О мультипликативной структуре централизатора мультисдвига в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Систематизация действий по поиску стратегии управления может быть проведена на основе построения и анализа специального дерева вариантов функционирования вероятностного автомата. Корнем дерева является начальное распределение вероятностей аео на множестве состояний S. Вершинами дерева полагаются распределения вероятностей, вычисляемые для каждой имеющейся вершины (распределения вероятностей) и каждой пары (je, у), где хе X*, у е Y*.

Для решения задач управления с конкретными исходными данными и конкретной математической моделью объекта управления (в форме вероятностного автомата) рассмотренное дерево вариантов функционирования может быть заменено его начальным фрагментом. Для этого вводится правило объявления вершин дерева висячими вершинами (оконечными вершинами). Такие правила устанавливаются анализом матриц, задающих функционирование вероятностного автомата, и условием объявления повторяющихся вершин оконечными. Построение и анализ начального фрагмента дерева вариантов функционирования позволяет в случае существования решения задачи управления определить поддерево, в котором полностью представлена стратегия управлейия.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Смирнов А. К., Твердохлебов В. А. Управление жизненными циклами сложных систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000.

2. Бухараев Р. Г. Теория вероятностных автоматов // Кибернетика. 1968. № 2.

3. Гихман И. И., Скороход А. В. Управляемые случайные процессы. Киев, 1977.

УДК 517.98

П. А. Терехин

О МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ СТРУКТУРЕ ЦЕНТРАЛИЗАТОРА МУЛЬТИСДВИГА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ*

В теории функций и теории операторов хорошо известен оператор сдвига V в пространстве Харди Я2; напомним, что Vf(z)=zf(z) и

оо 00 2

/ е#2 /(г)= ^,akzk , <°°- Берлингом [1] установлена связь

4=0 к=о

между мультипликативной структурой пространства Харди и геометрией оператора сдвига. Основным результатом о мультипликативной структуре

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 98-01-00842, программы "Ведущие научные школы", проект № 00-15-96123 и INTAS, грант № 99-00089.

119

Я2 является факторизационная теорема Рисса-Неванлинны (установленная для Яр -функций Риссом [2] и Герглотцем [3] и распространенная на функции ограниченной характеристики в книге Неванлинны [4]): всякая функция / е Я2,/ * 0, допускает каноническое представление в виде произведения (каноническую факторизацию) / = Ф ^, где (р - внутренняя, а Р - внешняя функции, определяемые однозначно с точностью до постоянного множителя, равного по модулю единице. Понятия внутренней и внешней функции введены Берлингом в упомянутой работе [1]. Подробнее о теореме факторизации аналитических функций см. монографию Гофмана [5, с. 100].

Как известно (см., например, Халмош [6, с. 81]), если У- изометрия в гильбертовом пространстве Я и существует такой элемент е е Я, что система векторов {У"е: я > 0} образует ортонормированный базис в Я, то оператор У унитарно эквивалентен сдвигу. Эту характеризацию сдвига можно принять за его определение. Дадим теперь определение мультис-двига в гильбертовом пространстве, являющегося одним из возможных обобщений оператора сдвига на случай многих операторов.

Определение 1 [7]. Пусть У0 и У1 - изометрии в гильбертовом пространстве Я. Скажем, что пара {У0, У^ определяет структуру мультисдви-га, если существует элемент е е Я такой, что семейство векторов (Уа, —Кхке: ^ -0, ау е{0,1}, 1 < V < образует ортонормированный базис в Я.

Конкретная реализация структуры мультисдвига, тесно связанная с семействами функций-всплесков на отрезке, приведена в работе автора [8]. Там же анонсирована теорема факторизации операторов, перестановочных с мультисдвигом, являющаяся аналогом канонической факторизации аналитических функций из пространства Харди на внутренний и внешний множители. Для того, чтобы сформулировать эту теорему, нам потребуются следующие обозначения и определения: 00

А= и {0,1} - семейство всех конечных последовательностей о

а = (а),..., ак), состоящих из нулей и единиц (включая при к- 0 пустую последовательность);

Уа - Уа ... Уак - произведение операторов, а = ((Х|,... ,ак)е А, первым действует оператор Уак, последним - Уа, пустое произведение считаем равным тождественному оператору /;

ка = УаИ для ИеН, в частности еа = Уае, ае А ;

Я0 = зрап{еа : а е А} - линейная оболочка векторов.

Всюду далее под словом оператор будем понимать линейный оператор Q в Я, не обязательно ограниченный, с областью определения D(Q)= Я0. Централизатором мультисдвига назовем множество r = {Q:QV0 = V0Q и QVl = VXQ) операторов, перестановочных с мультис-двигом. Для каждого вектора / е Я определим оператор Q(f) равенством Q(f)ea ~ fa ■ Можно показать, что Г = {б(/): / е Я}.

Определение 2. Функцию (т.е. вектор) ф е Я назовем внутренней, если семейство {сра : а е А} ортонормированное.

Определение 3. Функцию (т.е. вектор) F е Я назовем внешней, если семейство [Fa : а е А} полное в Я.

ТЕОРЕМА ФАКТОРИЗАЦИИ. Для любого ненулевого вектора f е Я справедливо представление Q(f) = Qi^QiF), где ср - внутренняя, а F - внешняя функции, определяемые однозначно с точностью до постоянного множителя, равного по модулю единице.

Доказательство состоит в рассмотрении разности

N=M(/)~ (V0M(J) е к,м(/)),

где М(/) = span{/a : ае А} - инвариантное относительно мультисдвига подпространство, порожденное вектором f. Устанавливается аналог разложения Вольда

М(/)= ф VaN

а еА

для пары изометрий F0| и V^му.у Наиболее принципиальным моментом является доказательство одномерности dimN = 1. (Здесь следует отметить, что произвольное блуждающее относительно мультисдвига подпространство может иметь любую конечную и даже бесконечную размерность.) Теперь, выбрав нормированный вектор (р е N, нетрудно видеть, что семейство {фа : ае А} ортонормированное, т. е. ф - внутренняя функция. Далее, если / = £сафа , где са = (/, фа), то, полагая F = еа , убеждаемся, что функция F является внешней и выполняется искомое представление. Единственность факторизации основывается на утверждении о делимости внутренних функций, которое по форме совершенно аналогично одному известному результату об операторе сдвига (см. Халмош [6, с. 86, следствие 1]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. BeurlingA. On two problems concerning linear transformations on Hilbert spaces // Acta Math. 1949. Vol. 81. P. 239-255.

2. RieszF. Über die Randwerte einer analytischen Function I I Mat. Zeit. 1922. Vol. 18. P. 274-278.

3. Herglotz G. Über Rotenzreihen mit positivem reelem Teil im Einheitskreis // Ber. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig. 1911. Vol. 63. P. 501 - 511.

4. НеванлиннаР. Однозначные аналитические функции. M.: Гостехиздат, 1941

5. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

6. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М: Мир, 1970

7. Терехин П. А. О представляющих свойствах системы сжатий и сдвигов функций на отрезке // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика Информатика. Тула: ТулГУ, 1988. Т. 4. Вып. 1. С. 136 - 138.

8. Терехин П. А. Оператор мультисдвига в гильбертовом пространстве и его приложения к теории всплесков // Теория приближений функций и операторов: Тез. докл. Екатеринбург, 2000. С. 149 - 150.

УДК 517.51

В. Г. Тимофеев

КОЛМОГОРОВСКИЕ ОЦЕНКИ В РАВНОМЕРНОЙ МЕТРИКЕ НА ПОЛУОСИ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИЮ И ЕЕ ПЯТУЮ ПРОИЗВОДНУЮ*

Пусть С5[0,оо) есть множество функций и (г), непрерывных на [0,со) вместе с производной 4-го порядка включительно таких, что sup{|w(i)|:0<i <оо}<оо, а ы(4) удовлетворяет на [0,оо) условию Липшица первого порядка.

Положим I и I = sup{| u(t) |: 0 < i < оо}. Это обозначение используем и в том случае, когда u{t) определена лишь почти всюду на [0, со). У всякой функции и е С5[0,со) существует на [0,со) почти всюду производная 5-го порядка и при этом sup{| м<5) (t) |: 0 < t < »} < ж.

Обозначим через U множество функций из С5[0,оо), обладающих свойством Iи I ^ 1, м(5) <120. Можно показать, что для 1 < к < 4

М-5А =sup|j|«(ft)j|:«et/1

: и е и оо.

Отсюда следует, что при 1 < к < 4 для всякой функции и е V справедливы точные неравенства

к

II II 12о*/511 11 1 И

В статье исследована конструкция сплайнов, экстремальных для неравенств (1), указан способ вычисления величин \х5к. Выяснено, что экс-

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 99-01-01120.