О мультипликативной сложности квазиквадратичных функций алгебры логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

С. Н. Селезнева1

О МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ СЛОЖНОСТИ КВАЗИКВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ*

Мультипликативной сложностью /г(/) функции алгебры логики /(х\,..., х„) называется минимальное число элементов конъюнкции в схемах из функциональных элементов в базисе {&, ф, 1}, каждая из которых реализует функцию /. Функция алгебры логики /(х1,..., х„) называется квазиквадратичной, если она может быть представлена в виде ср(х 1,... ,Хк) Ф д(х1,... ,х„), где ср — произвольная функция, д — квадратичная функция (т.е. функция степени два), к п. В настоящей работе исследуется мультипликативная сложность квазиквадратичных функций при к = 3 и произвольных п. Мы доказываем, что если /(^1,..., х„) — квазиквадратичная функция алгебры логики, где к = 3, п ^ к, то м(/) ^ Г(п+ 1)/2~Ь гДе Га1 обозначает наименьшее целое число, не меньшее числа а. Кроме того, мы описываем одну последовательность квазиквадратичных функций алгебры логики /п(х1,..., хп), к = 3, п = 5,6,..., для которой доказываем, что = \(п + 1)/2].

Ключевые слова: функция алгебры логики (булева функция), квадратичная функция, квазиквадратичная функция, полином Жегалкина, мультипликативная сложность, верхняя оценка, нижняя оценка.

1. Введение. Мультипликативной (или конъюнктивной) сложностью ¿¿(/) функции алгебры логики /(х\,..., х„) называется минимальное число элементов конъюнкции в схемах из функциональных элементов в базисе {ж&у, х Ф у, 1}, каждая из которых реализует функцию /. В [1, 2] подробно изучалась мультипликативная сложность квадратичных функций алгебры логики, т. е. функций степени два. В этих работах было показано, что для каждой квадратичной функции алгебры логики /(ж1,...,жп) верно, что ¿¿(/) ^ |_п/2_|, где [о] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее число а. Кроме того, в этих работах были описаны такие квадратичные функции /(х\,... ,хп), для которых ¿¿(/) = \_п/2\. В настоящей работе мы продолжаем изучение мультипликативной сложности функций алгебры логики. Мы рассматриваем квазиквадратичные функции. Функция алгебры логики /(х\,... ,хп) называется квазиквадратичной, если она может быть представлена в виде (р{х 1,...,ж/;)фд(ж1,... ,хп), где ср — произвольная функция, д — квадратичная функция (т.е. функция степени два), к ^ п. В настоящей работе мы исследуем мультипликативную сложность квазиквадратичных функций, которые являются суммой по модулю два некоторой квадратичной функции и произведения трех переменных. Мы доказываем, что для каждой квазиквадратичной функции такого вида /(ж1,..., хп) верно, что ¿¿(/) ^ \(п+1)/2], где [а] обозначает наименьшее целое число, не меньшее числа а. Кроме того, мы описываем одну последовательность квазиквадратичных функций такого вида /п(ж1,..., хп), п = 5,6,..., для которой доказываем, что /¿(/п) = |~(и + 1)/2"|. Некоторые результаты, также касающиеся исследования мультипликативной сложности функций алгебры логики, можно найти в [3-8].

2. Основные определения. Пусть В = {0,1}. На множестве И" введем частичный порядок Если а = («1,..., ап) (г И" и :1 (Ьь ..., Ь„) € И". то а ^ /3, если а,\ ^ 01, ..., йп ^ Ьп, п ^ 1. Весом Ы

п

набора а = («1,..., ап) € Вп назовем величину ^ щ (здесь рассматривается сумма целых чисел). Мо-

г=1

нотонную элементарную конъюнкцию (моном) Л а.ц обозначим как Ка и назовем соответствующей

<Ц = 1

набору а = (а,1,...,ап) € Вп. По определению будем считать, что К(о,...,о) = 1- Функцией алгебры логики (или булевой функцией) /, зависящей от п переменных, назовем отображение / : В" В,

п = 0,1,.... Каждая функция алгебры логики /(х\,..., х„) может быть представлена формулой вида

ф

а£-Вп:с/(ск) = 1

1 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., е-таП: seleznQcs.msu.su

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 12-01-00786-а, 13-01-00684-а, 13-01-00958-а.

где Cf(a) = ф /(/3) € В — коэффициенты, а € И". и ф обозначает сложение по модулю 2. Это

представление функций алгебры логики называется полиномом Жегалкина, или алгебраической нормальной формой (АНФ). Каждая функция алгебры логики представляется полиномом Жегалкина однозначно [9]. Степенью deg(/) функции f(x\,... ,хп) называется величина max |а|.

a£Bn:Cf(a) = l

Функция / называется аффинной, если deg(/) ^ 1. Множество всех аффинных функций, зависящих от переменных х\,...,жп, обозначим как Ап. Аффинная функция / называется линейной, если Cf(0,..., 0) = 0. Множество всех линейных функций, зависящих от переменных х\,..., жп, обозначим как Ln.

Линейные функции gi,... ,дт называются линейно независимыми, если из равенства

cigi Ф ... Ф стдт = 0,

где ci,... ,ст G В, следует, что с\ = ... = ст = 0. В противном случае линейные функции gi,... ,дт называются линейно зависимыми. Известно, что множество L" является линейным пространством размерности п.

Схемой из функциональных элементов (СФЭ, или просто схемой) в базисе {xSzy, х Ф у, 1} называется ориентированный ациклический граф, полустепень захода каждой вершины которого равна либо нулю, либо двум. Вершины, полустепень захода которых равна нулю, называются входными. Каждой из них приписывается либо переменная ж*, либо константа 1. Все остальные вершины называются внутренними вершинами схемы. Каждой внутренней вершине приписывается либо & (элемент конъюнкции), либо Ф (элемент сложения по модулю два). В каждой вершине v СФЭ S реализуется некоторая функция алгебры логики /„, зависящая от переменных, приписанных входным вершинам этой схемы. Если v — это входная вершина, то /„ = ж*, если вершине v приписана переменная ж*, и /„ = 1, если вершине v приписана константа 1. Если в вершину v входят дуги из вершин v\ и г-_>. причем в вершинах v\ и v2 реализуются соответственно функции fVl и /„2, а самой вершине v приписан элемент к, (соответственно элемент ф), то /„ = fVlk,fV2 (соответственно /„ = fVl Ф fV2). Говорят, что схема S реализует функцию /, если в схеме S найдется вершина v, в которой реализуется функция /.

Мультипликативной (или конъюнктивной) сложностью fJ,(S) схемы S называется число вершин в этой схеме, которым приписаны элементы конъюнкции Мультипликативной (или конъюнктивной) сложностью //(/) функции /(х\,..., жп) называется минимальная мультипликативная сложность среди всех схем, реализующих функцию /.

3. Верхняя оценка мультипликативной сложности квазиквадратичных функций алгебры логики. Функция алгебры логики / называется квадратичной, если deg(/) = 2. Функция алгебры логики /(х\,..., жп) называется квазиквадратичной, если ее можно представить в виде (р(х\,... ,Xk) (Bq(xi,...,жп), где ср — произвольная, a q — квадратичная функции, к ^ п. В настоящей работе исследуется мультипликативная сложность квазиквадратичных функций при к = 3 и произвольных п.

Теорема 1. Если функция алгебры логики f(x\,... ,хп) может быть представлена в виде Ж1Ж2Ж3 Ф q(x\,..., жп), где deg(g) = 2, п ^ 3, то //(/) ^ т + 1 при п = 2т или п = 2т + 1.

Доказательство. Докажем теорему индукцией по п. Базис индукции: п = 3. Тогда функция /(ж1,жг,жз) имеет вид

Ж1Ж2Ж3 Ф ах 1X2 Ф bxix3 Ф сх2х3 Ф д(х1,х2,х3), где а, Ь, с G В, д € А3. Заметим, что

Ж1Ж2Ж3 Ф ах 1X2 Ф bxix3 Ф сх2х3 = (xi Ф с)(ж2 Ф Ь)(х3 Ф а) Ф h(x1,x2,x3),

где h € А3. Из приведенного тождества понятно, что /х(/) ^ 2.

Индуктивный переход: пусть теорема 1 верна для всех функций указанного вида, зависящих менее чем от п переменных. Рассмотрим функцию указанного вида f(x\,..., жп), п ^ 4. Возможны следующие случаи.

1. Полином Жегалкина функции / содержит слагаемое ж¿ж^-, где 4 ^ г < j ^ п. Тогда функцию / можно записать в виде

XiXj Ф xigi Ф xjg2 Ф /1,

где <71, <72 — аффинные функции, а /1 — квазиквадратичная функция указанного в теореме 1 вида, и функции д 1, д2, /1 зависят от переменных х\,...,Хг-г,Хг+г,... ,х^-г,х^+г,... ,хп. Заметим, что

ХгХу ф Хгдг ф худ2 = Ф д2)(ху Ф 51) Ф 5152-Отсюда функцию / можно представить в виде

(а*е$2)(а:,е$1)е/2,

где /2 = /1 Ф<?1<?2- Функция /2 является квазиквадратичной указанного в теореме 1 вида и зависит от (п — 2) переменных. Значит, для функции /2 верно предположение индукции, откуда ¿¿(/2) ^ тп при п = 2т или п = 2т + 1. Отсюда для функции / получаем //(/) ^ т +1 при п = 2т или п = 2т +1.

2. Полином Жегалкина функции / не содержит слагаемых вида х^х^, где 4 ^ % < ^ п. Тогда полином Жегалкина функции / можно записать в виде

Х1Х2Х3 Ф хгдг Ф х2д2 Ф х3д3 Ф к,

где д 1, <?2; 5з — линейные функции, зависящие от переменных Ж4,..., жп, а /1 — аффинная функция, зависящая от переменных Ж4,...,хп. Если п ^ 6, то в этом выражении вынесем Ж1 за скобку. Получим выражение, в котором 4 умножения. Заметим, что 4 ^ т + 1 при п = 2т или п = 2т + 1, где п ^ 6. Отдельно рассмотрим случаи п = 4 и п = 5. Если п = 4, то выражение имеет вид

Ж1Ж2Ж3 Ф ах 1Ж4 Ф Ьх2х4 Ф СЖ3Ж4 Ф /г,

где а, Ь, с € -В, а /1 — аффинная функция, зависящая от переменной Ж4. Заметим, что достаточно рассмотреть случай, когда хотя бы один из элементов а, Ь, с равен единице. Не ограничивая общности рассуждений, пусть с = 1. Преобразуем приведенное выражение к виду

(хгх2 Ф ж4)(аж1 Ф Ьх2 Ф жз) Ф (а Ф Ь)хгх2 Ф к.

При реализации этого выражения схемой достаточно двух элементов конъюнкции. Если п = 5, то выражение имеет вид

хгх2х3 Ф хгдг Ф х2д2 Ф х3д3 Ф к,

где <71, <72; 9з — линейные функции, зависящие от переменных Ж4, х§; к — аффинная функция, зависящая от переменных ж4, ж5. Заметим, что дг,д2,9з € {О, Х4. Ш }. Если среди функций дъ д2, д3 есть две равные, например <71 = д2, то преобразуем выражение к виду

х3(хгх2 Ф д3) Ф (хг Ф х2)дг Ф к.

При реализации полученного выражения схемой достаточно трех элементов конъюнкции. Аналогично поступим, если хотя бы одна из функций <71, д2, д3 равна нулю.

Если все три функции <71, д2, д3 различны и не равны нулю, то, не ограничивая общности рассуждений, выражение имеет вид

хгх2х3 Ф Ж1Ж4 Ф Х2Х5 Ф жз(ж4 Ф Х5) Ф к.

Перепишем это выражение в виде

(хгх2 Ф ж4)(ж1 Ф ж3) Ф Ж1Ж2 Ф х5(х2 Ф ж3) Ф к.

При реализации этого выражения схемой достаточно трех элементов конъюнкции. Индуктивный переход полностью обоснован. Теорема 1 доказана.

4. Нижняя оценка мультипликативной сложности некоторых квазиквадратичных функций. Сначала докажем несколько вспомогательных лемм.

Функция алгебры логики /(хг, ■ ■ ■ ,хп) называется линейной по переменной ж*, 1 ^ г ^ п, если / может быть представлена в виде х^ Ф /г(хг, ■ ■ ■, х^-г, Жг+1, • • •, х„), где /г — некоторая функция.

Лемма 1. Если функция алгебры логики ср(хг, ■ ■ ■ , ■ ■ ■ ,х„) не является линейной по пе-

ременным ж/;_|_1,... ,хп, 1 ^ к ^ п, то в произвольной СФЭ Б в базисе {&,Ф, 1}, реализующей функцию (р, найдется такая вершина V с приписанным ей элементом конъюнкции, что в нее ведет дуга из вершины VI, причем для вершины Уг выполняются следующие условия:

1) или вершина является входной, или вершине приписан элемент сложения по модулю два;

2) в вершине реализуется функция вида х^ Ф к{хк+1,..., #¿-1, #¿+1,..., хп) Ф ф(х\,..., ж^), где к — аффинная функция;

3) для любого пути из входов СФЭ Б в вершину верно, что во всех вершинах этого пути, которым приписаны элементы конъюнкции, реализуются функции, зависящие только от переменных

Х\, ■ ■ ■ , X

Доказательство. Покажем, что такая вершина V всегда найдется в СФЭ Б. Для этого для каждой вершины и в СФЭ Б введем понятие ее конъюнктивной глубины <1&(и). Если и — входная вершина, то <1&{и) = 0. Если и не является входной вершиной и ей приписан элемент сложения по модулю два, то <1&(и) = тах(с^(«1),..., где и\,...,и3 — все вершины, которые встречаются на всех путях из входов СФЭ Б в вершину и. Если и не является входной вершиной и ей приписан элемент конъюнкции, то <1&(и) = тах(с^(«1),..., + 1, где щ,... ,и3 — все вершины, которые встречаются на всех путях из входов СФЭ Б в вершину и.

Теперь рассмотрим все такие вершины щ,... ,ив1, что им приписаны элементы конъюнкции и = 1, ] = Если хотя бы в одну из них ведет дуга из вершины, в которой реали-

зуется функция х,1 Ф /1(ж/г+1,..., Жг_1, Жг+1,..., хп) Ф ф(х\,..., Х)~), где ^ + 1 ^ ! ^ в, а /г — аффинная функция, то требуемая вершина V найдена. В противном случае во всех вершинах г^,... ,и31 реализуются функции, зависящие только от переменных х,\,... Пусть уже рассмотрены все вершины, которым приписаны элементы конъюнкции, с конъюнктивной глубиной <],, но требуемая вершина V не найдена. Значит, во всех вершинах, которым приписаны элементы конъюнкции и конъюнктивная глубина которых не больше й, реализуются функции, зависящие только от переменных х,\,..., х^. Рассмотрим все такие вершины г^+ъ ■ ■ ■ ■> иза+1; что им приписаны элементы конъюнкции и = й+1, 3 = + 1; • • •; з<1+1- Если хотя бы в одну из них ведет дуга из вершины, в которой реализуется функция Хг Ф к(хк+ 1 ч ■ ■ ■ 4X1 — 1, X 1-^-1, • • •, хп ) Ф Ф(х1,..., хк), где k + & к — аффинная функция, то требуемая вершина V найдена. И так далее в случае, если требуемая вершина не найдена.

Предположим, что мы рассмотрели все вершины СФЭ Б, а требуемую вершину V не нашли. Но это означает, что во всех вершинах, которым приписаны элементы конъюнкции, реализуются функции, зависящие только от переменных х,\,... ,хк. Но функции, которые реализуются в вершинах с приписанными им элементами сложения по модулю два, являются линейными комбинациями переменных и функций, которые реализуются в вершинах с приписанными им элементами конъюнкции. Значит, все функции, которые реализуются в СФЭ Б, являются линейными по переменным хк+1,... ,хп. Получаем противоречие, так как функция (р не является линейной по переменным хк+\,... ,хп. Следовательно, требуемая вершина V в СФЭ Б найдется. Лемма 1 доказана.

Теперь докажем основную лемму 2, которую будем применять при доказательстве нижних оценок.

Лемма 2 (основная). Если

1п,(р(х1-1 ■ ■ ■ 1 хп) = (Р(Х1-: • • • ! хк) © хк+1хк+2 Ф • • • Ф Хп-1ХП1 П ^ к,

то //(/„,¥>) = К'Р) + к)/2.

Доказательство. Верхняя оценка. Для того чтобы получить СФЭ Б, реализующую функцию с мультипликативной сложностью /¿((р) + (п — к)/2, достаточно построить в базисе {&, Ф, 1} СФЭ Б1, реализующую функцию (р с мультипликативной сложностью {¿((р), добавить (п — к)/2 элементов конъюнкции для реализации произведений хк+1Хк+2, ■ ■ ■, хп-\хп и элементы сложения по модулю два.

Нижнюю оценку докажем индукцией по п, п ^ к. Базис индукции п = к выполняется, так как К1к,ч>) = /*(¥>)•

Индуктивный переход. Пусть лемма 2 верна для всех функций такого вида, зависящих менее чем от п переменных. Рассмотрим произвольную СФЭ Б в базисе {&,Ф, 1}, реализующую функцию /п Рассмотрим в СФЭ Б такую вершину V с приписанным ей элементом конъюнкции, что в нее ведет дуга из вершины причем для вершины выполняются следующие условия:

1) или вершина является входной, или вершине приписан элемент сложения по модулю два;

2) в вершине реализуется функция вида х^ Ф к{хк+\, ■ ■ ■ ,Хг-1,Хг+1,... ,хп) Ф ф(х\,... ,хк), где г ^ к + 1, к — аффинная функция;

3) для любого пути из входов СФЭ Б в вершину верно, что во всех вершинах этого пути, которым приписаны элементы конъюнкции, реализуются функции, зависящие только от переменных Х\, • • •, Xк-

По лемме 1 такая вершина V всегда найдется в СФЭ Б, так как функция не является линейной по переменным Х)~+1,...,хп. Подставим в функцию вместо переменной хп функцию к Ф ф, а вместо переменной хп-\ — функцию к Ф ф Ф 1. Получим функцию /(п_2),^- Пусть г^,..., и3 — все такие вершины СФЭ Б, что им приписаны элементы конъюнкции и от каждой из них существует путь в вершину Пусть ф\{х,\,...,ж^),...,ф3{х,\, ■ ■ ■,Х)~) — функции алгебры логики, которые соответственно реализуются в вершинах щ,... ,и3. Заметим, что ф = к\ Ф ^ ф^, где к\(х1,..., Х)~) —

з=1

некоторая аффинная функция.

Преобразуем СФЭ Б. На вход хп подадим функцию к Ф к\ Ф ^ ф^. Для этого соединим через эле-

3 = 1

менты сложения по модулю два вершины и\,... ,и3 ж аффинную функцию кфк\ (ее можно реализовать

без элементов конъюнкции). На вход хп-\ аналогичным образом подадим функцию 1 Ф кф к\ Ф ^ ф^.

3 = 1

Тогда на один из входов элемента конъюнкции в вершине V поступит 0. Удалив этот элемент конъюнкции из схемы, получим новую СФЭ Б'. Схема Б' реализует функцию /(п-2),^- По предположению индукции в любой СФЭ, реализующей функцию /(п_2), не менее ^{ир) + (п — к — 2)/2 элементов конъюнкции, т. е. ¿¿(5") ^ [¿(р) + (п — к — 2)/2. Отсюда получаем, что в произвольной СФЭ Б, реализующей функцию не менее ^{ир) + (п — к)/2 элементов конъюнкции, т.е. ¿¿(/П)¥,) ^ (п — к)/2. Лемма 2

доказана.

Теорема 2. Если

1п(х 1, • • •

; Хп ) — X1X2X3 Ф Ж4Ж5 Ф . . . Ф ХЦ — 1 ХЦ ,

где п = 2т + 1, п ^ 3, то /¿(/п) = т + 1.

Доказательство. Теорема 2 следует из леммы 2 при (р{х,1,х2,х3) = х\х2х3. В самом деле, докажем, что /¿(Ж1Ж2Ж3) = 2. Верхняя оценка очевидна. Нижняя оценка следует из свойства ¿¿(/) ^ deg(/) — 1, верного для произвольной функции / [1]. Теорема 2 доказана. Лемма 3. Если

<р(хг, ...,х5) = хгх2х3 Ф Ж1Ж4 Ф ж2ж5 Ф х3(ах4 Ф Ьх5),

где а,Ь € В, то ¿¿(9?) = 3.

Доказательство. Верхняя оценка доказана при доказательстве теоремы 1. Докажем нижнюю оценку. Рассмотрим произвольную СФЭ Б в базисе {&, Ф, 1}, реализующую функцию (р. Рассмотрим в СФЭ Б такую вершину V с приписанным ей элементом конъюнкции, что в нее ведет дуга из вершины VI, причем для вершины VI выполняются следующие условия:

1) или вершина г>1 является входной, или вершине г>1 приписан элемент сложения по модулю два;

2) в вершине г>1 реализуется функция вида сх4 Ф йх^, Ф ф(х\,х2,х3), где с,й € В, с, й не равны одновременно нулю;

3) для любого пути из входов СФЭ Б в вершину г>1 верно, что во всех вершинах этого пути, которым приписаны элементы конъюнкции, реализуются функции, зависящие только от переменных XI, х2, х3.

По лемме 1 такая вершина V всегда найдется, так как функция (р не является линейной по переменным Х4, Ж5. Пусть, не ограничивая общности рассуждений, й= 1. Возможны следующие случаи.

1. с^^) ^ 1. Подставим в функцию (р вместо переменной функцию сх^фф. Получим функцию (р\, такую, что = 3. Преобразуем СФЭ Б: на вход Ж5 подадим функцию сх4 Фф. Тогда на один из входов элемента конъюнкции в вершине V поступит 0. Удалив этот элемент конъюнкции из схемы, получим новую СФЭ Б'. Схема Б' реализует функцию (р\, а значит, [м(Б') ^ 2. Отсюда получаем, что ц(Б) ^ 3.

2. с^^) = 2. Тогда в СФЭ Б найдется вершина «2, которой приписан элемент конъюнкции, в вершину «2 ведут дуги из двух вершин, в которых реализуются аффинные функции <71(0:1, х2, х3), д2(х 1,х2,х3) соответственно, и найдется путь из вершины я;2 в вершину Подставим в функцию ср вместо переменной функцию сх4 Ф ф. Получим функцию Преобразуем СФЭ Б: на вход Ж5 подадим функцию сх4 Ф ф. Тогда на один из входов элемента конъюнкции в вершине V поступит 0. Удалив этот элемент конъюнкции из схемы, получим новую СФЭ Б'. Вершина я;2 в СФЭ Б' останется. Схема Б' реализует функцию (р\, которая не является линейной по переменной Ж4. Значит, в СФЭ

Б' есть еще хотя бы одна вершина г>з, не совпадающая с вершиной у2, которой приписан элемент конъюнкции. Отсюда //(<?') 2. и /х(<5) ^ 3.

3. с^^) = 3. Тогда в СФЭ Б найдутся две различные вершины, которым приписаны элементы конъюнкции и в которых реализуются функции, зависящие только от переменных х,\, х2, х3. Но так как функция (р не является линейной по переменным Ж4, х$, в СФЭ Б обязан быть еще хотя бы один элемент конъюнкции. Отсюда {¿(Б) ^ 3.

Лемма 3 доказана.

Теорема 3. Если

/п(жЪ • • • ! хп) = х1х2х3 © Х1Х4. Ф Х2Х§ Ф жз(ж4 Ф Ж5) Ф Х^Хт Ф . . . Ф Хп—\Хп,

где п = 2т + 1, п ^ 5, то /¿(/п) = т + 1.

Доказательство. Теорема 3 следует из лемм 2 и 3 при

(р(х 1,Х2,Х3) = ХгХ2Х3 Ф Ж1Ж4 Ф х2х5 Ф ж3(ж4 Ф х5).

Лемма 4. Если ср(х ..., х„) = Ж1Ж2Ж3 Ф Ж1Ж4 Ф Ж2Ж5 Ф Ж3Ж6, то /¿((р) = 4.

Доказательство. Верхняя оценка. Рассмотрим выражение для функции ср:

хг(х2х3 Ф ж4) Ф х2х5 Ф ж3ж6.

По этому выражению можно построить СФЭ Б в базисе {&, Ф, 1}, реализующую функцию (р и содержащую четыре элемента конъюнкции.

Нижняя оценка. Рассмотрим произвольную СФЭ Б в базисе {&, Ф, 1}, реализующую функцию (р. Рассмотрим в СФЭ Б такую вершину V с приписанным ей элементом конъюнкции, что в нее ведет дуга из вершины причем для вершины выполняются следующие условия:

1) или вершина является входной, или вершине приписан элемент сложения по модулю два;

2) в вершине реализуется функция вида С1Х4 Ф С2Ж5 Ф С3Ж6 Ф ф{х,\, х2, х3), где с\,с2,с3 (г В. и с\, с2, с3 не равны одновременно нулю;

3) для любого пути из входов СФЭ Б в вершину верно, что во всех вершинах этого пути, которым приписаны элементы конъюнкции, реализуются функции, зависящие только от переменных XI, х2, х3.

По лемме 1 такая вершина V всегда найдется, так как функция (р не является линейной по переменным Х4, х^, Хб■ Пусть, не ограничивая общности рассуждений, с3 = 1. Возможны следующие случаи.

1. с^^) ^ 1. Подставим в (р вместо переменной х^ функцию с 1X4 Ф с2х$ Ф ф. Получим функцию (р\, удовлетворяющую условиям леммы 3. Преобразуем СФЭ Б: на вход хв подадим функцию с 1X4 Ф С2Ж5 Ф ф. Тогда на один из входов элемента конъюнкции в вершине V поступит 0. Удалив этот элемент конъюнкции из схемы, получим новую СФЭ Б'. Схема Б' реализует функцию (р\, а значит, по лемме 3, ^ 3. Отсюда получаем, что [м(Б) ^ 4.

2. с^^) = 2. Тогда в СФЭ Б найдется вершина у2, которой приписан элемент конъюнкции, в вершину «2 ведут дуги из двух вершин, в которых реализуются аффинные функции 51 (ж1, х2, х3), д2(х 1,х2,х3) соответственно, и найдется путь из вершины у2 в вершину Подставим в функцию ср вместо переменной х^ функцию С1Х4 Ф с2х$ Ф ф. Получим функцию Преобразуем СФЭ Б: на вход хв подадим функцию С1Х4 Ф С2Ж5 Ф ф. Тогда на один из входов элемента конъюнкции в вершине V поступит 0. Удалив этот элемент конъюнкции из схемы, получим новую СФЭ Б'. Вершина у2 в СФЭ Б' останется. Схема Б' реализует функцию (р\, которая имеет вид Х4Х1Фх^х2ф(р2{х,\, х2, х3). По лемме 1, в СФЭ Б' найдется такая вершина у3 с приписанным ей элементом конъюнкции, что в нее ведет дуга из некоторой вершины '04, причем для вершины г>4 выполняются следующие условия:

1) или вершина г>4 является входной, или вершине г>4 приписан элемент сложения по модулю два;

2) в вершине «4 реализуется функция вида ¿1X4 Ф (¿2Ж5 Ф ф\{х\, х2, х3), где й\,с12 € В, и й2 не равны одновременно нулю;

3) для любого пути из входов СФЭ Б в вершину «4 верно, что во всех вершинах этого пути, которым приписаны элементы конъюнкции, реализуются функции, зависящие только от переменных XI, х2, х3.

Заметим, что вершина у3 не лежит на путях из входов СФЭ Б в вершину у2 и не совпадает с вершиной г>2- Пусть, не ограничивая общности рассуждений, (¿2 = 1. Подставим в функцию (р\ вместо переменной функцию (¡1X4 Ф ф\. Получим функцию ср3, которая имеет вид Ж4Ж1 Ф ср4(х\,х2,х3).

Преобразуем СФЭ Б': на вход подадим функцию сх4 Ф ф\. Тогда на один из входов элемента конъюнкции в вершине г>з поступит 0. Удалив этот элемент конъюнкции из схемы, получим новую СФЭ Б". Заметим, что вершина у2 в СФЭ Б" останется. Схема Б" реализует функцию ср3, которая не является линейной по переменной Значит, в СФЭ Б" найдется еще хотя бы одна вершина с приписанным ей элементом конъюнкции, кроме вершины «2- Отсюда Б") ^ 2, и [¿(Б) ^ 4.

3. с^^) = 3. Тогда в СФЭ Б найдутся две различные вершины «2, у3, лежащие на путях из входов СФЭ Б в вершину которым приписаны элементы конъюнкции и в которых реализуются функции, зависящие только от переменных х,\, х2, х3. Подставим в функцию ср вместо переменной ж 6 функцию С1Х4ФС2Х5ФФ. Получим функцию (р\. Преобразуем СФЭ Б: на вход хв подадим функцию схх^фс^х^фф. Тогда на один из входов элемента конъюнкции в вершине V поступит 0. Удалив этот элемент конъюнкции из схемы, получим новую СФЭ Б'. Вершины «2, у3 в СФЭ Б' останутся. Схема Б' реализует функцию (р1, которая имеет вид х^хг Ф х$х2 Ф <£>2(^1, х2, х3). Значит, в СФЭ Б' есть еще хотя бы одна вершина, кроме вершин у2, у3, с приписанным ей элементом конъюнкции. Отсюда ¿¿(5") ^ 3 и [м(Б) ^ 4. Лемма 4 доказана. Теорема 4. Если

/п(жЪ • • • ! хп) = Х\Х2Х3 ф Ж1Ж4 ф Х2Х§ ф Х3Х§ ф Ж7Ж8 ф . . . ф Хп—\Хп,

где п = 2т, п ^ 6, то ¿¿(/п) = т + 1.

Доказательство. Теорема 4 следует из леммы 2 при ср(х\,х2,х3) = х1х2х3фх1х4фх2х5фх3хб. По лемме 4 верно, что [м(ср) = 4. Теорема 4 доказана.

Пусть (2 — множество всех квазиквадратичных функций алгебры логики, имеющих вид

(р(х 1,х2,х3) Ф д(х1,..., хп), где = 3, а д — квадратичная функция, и

= „ тах,

/(Ж1,...,ЖП)£(Э

Из теорем 1, 2 и 4 следует

Теорема 5. При п ^ 5 имеет место равенство /¿<з(п) = |~(п + 1)/2], где [а] обозначает наименьшее целое число, не меньшее числа а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sehnorr С. P. The multiplicative complexity of boolean functions // Proc. 6th Intern. Conf. AAECC-6. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 357. Berlin: Springer, 1989. P. 45-58.

2. Mirwald R., Sehnorr C. P. The multiplicative complexity of quadratic boolean forms // Theoretical Computer Science. 1992. 102. P. 307-328.

3. НечипорукЭ.И. О сложности схем в некоторых базисах, содержащих нетривиальные элементы с нулевыми весами // Проблемы кибернетики. Т. 8. М.: Физматлит, 1962. С. 123-160.

4. Boyar J., Peralta R., Pochuev D. On the multiplicative complexity of Boolean functions over the basis {A, 8,1} // Theoretical Computer Science. 2000. 235. P. 43-57.

5. Boyar J., Peralta R., Pochuev D. Concrete multiplicative complexity of symmetric functions. Technical Report YALEU/DCS/TR1219. Computer Science Department. Yale University, 2001.

6. Краснова Т. И. О конъюнктивной сложности схем в базисе Жегалкина для одной последовательности булевых функций // Материалы XI Международного семинара "Дискретная математика и ее приложения". М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2012. С. 138-141.

7. Kojevnikov A., Kulikov A. S. Circuit complexity and multiplicative complexity of boolean functions // Proc. of 6th Conf. on Computability (CiE 2010). Lecture Notes in Computer Science. Vol. 6158. Berlin: Springer, 2010. P. 239-245.

8. Sergeev I. S. A relation between additive and multiplicative complexity of boolean functions //arXiv: 1303.4177. 2013.

9. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.

Поступила в редакцию 02.07.14

ON THE MULTIPLICATIVE COMPLEXITY OF QUASI-QUADRATIC BOOLEAN FUNCTIONS

Selezneva S. N.

The multiplicative complexity /j,(f) of a boolean function f(x 1,..., xn) is the number of &-gates in circuits that are in the basis {&,©, 1} and that compute the function /. A boolean function f(xi,... ,xn) is a quasi-quadratic if / can be represented in the form <p(xi,..., xu) © q(x 1,..., xn) where <p is an arbitrary function, and q is a quadratic function (i.e. a function of the degree 2), k ^ n. In this paper, we study the multiplicative complexity of quasi-quadratic boolean functions if k = 3, n is an arbitrary number. We prove that if f(xi,... ,xn) if a quasi-quadratic boolean function where k = 3, and n ^ k, then ^ |"(n + l)/2] where [a] denotes the smallest integer number that is no smaller then a. Besides, we describe a sequence of quasi-quadratic Boolean functions fn(xi,... ,xn), k = 3, n = 5,6,..., and we prove for this sequence that ¿i(/») ^ l~(n + 1)/2"|.

Keywords: boolean function (logic function), quadratic function, quasi-quadratic function, Zhegalkin polynomial, multiplicative complexity, upper bound, lower bound.