CC BY
30
Дискретные функции
35
УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/9/14
О МНОЖЕСТВЕ ПРОИЗВОДНЫХ БУЛЕВОЙ БЕНТ-ФУНКЦИИ1
Н. Н. Токарева
Верно ли, что любая уравновешенная булева функция от n переменных степени
меньше n/2 является производной некоторой бент-функции от n переменных?
В работе исследуется этот вопрос при малом числе переменных.
Ключевые слова: бент-функции, производная, аффинная классификация.
В работе продолжено исследование множества булевых бент-функций. Известно, что бент-функции [1] интересны для криптографических приложений [2]; актуальными в данной области остаются вопросы о числе бент-функций и способах их построения.
«Много» или «мало» бент-функций? Этим вопросом озадачиваются многие исследователи. Если исходить из предположения, что бент-функций много и они разнообразны, то разнообразными должны быть и их производные. Так ли это на самом деле? При малом числе переменных мы исследуем этот вопрос.
Производной булевой функции f от n переменных по направлению y Е F^" называется функция Dyf (x) = f (x) + f (x + y). Напомним, что булева функция f от чётного числа переменных n называется бент-функцией, если её производная по любому ненулевому направлению y уравновешена, т. е. Dyf одинаково часто принимает значения 0 и 1. Хорошо известно, что степень бент-функции не превосходит n/2.
Заметим, что булева функция g является производной некоторой булевой функции f тогда и только тогда, когда найдётся ненулевой вектор y, такой, что g(x) + + g(x + y) = 0 для всех x. Напомним также, что если функция f отлична от константы, то степень её производной по любому ненулевому направлению меньше степени f.
Несложно доказать, что свойство быть производной некоторой бент-функции сохраняется при аффинном преобразовании, а именно: если булева функция g — производная некоторой бент-функции, то функция g(Ax + b) + А также обладает этим свойством, где A — невырожденная n х n-матрица, b — произвольный вектор, А — константа из F2.
В работе исследуется следующая гипотеза: любая уравновешенная булева функция g от n переменных степени не выше n/2 — 1, такая, что g(x) = g(x + y) для всех x при некотором y, является производной некоторой бент-функции от n переменных.
На основе аффинной классификации булевых функций от малого числа переменных проверено, что при n = 4,6 ив ряде случаев при n = 8 гипотеза верна; проверка продолжается.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.
2. Tokareva N. Bent Functions: Results and Applications to Cryptography. Acad. Press. Elsevier,
2015. 220 p.
1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №15-07-01328.
