CC BY
59
УДК 517.9
В.Л. Спицын
О МЕТОДЕ РИМАНА - АДАМ АРА ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА
Построена матрица Римана-Адамара задачи Коиш-Гурса. Методом Римана-Адамара получено классическое решение задачи Коиш-Гурса для гиперболических уравнений второго порядка в случае, когда матрица коэффициентов имеет комплексно — сопряженные корни.
Рассмотрим в области И = {(<£, т])/0 (77 (1} систему уравнений
(1)
где и=( Ц], и2 )т - искомый 2х1-вектор, <?- заданная над полем вещественных чисел 2x2-матрица; ц - положительное число.
Задача Коши - Гурса. Найти вектор -функцию Щ%, ^удовлетворяющую системе (1) и условиям
и(ї,гі)є ф)пС!(2)); (2)
/ ^\2С
ІІШ
(3)
и( 0,т] )= (}]), г]є J, J = (0,1),
где V ((р(0- заданные 2x1 -векторы.
Построение решения поставленной задачи проводится методом Римана- Адамара. Наряду с системой (1) рассмотрим сопряженную с ней по Лагранжу систему
м[у]=у,,
‘ в " с
V г- V
ц-У-£ = 0. ' 4
(4)
Определение [5]. Матрицей Римана- Адамара поставленной задачи Коши- Гурса для системы (1) будем называть квадратную матрицу второго порядка
к \ ...
0,Г] й)=\ , V (5)
\Щ£,Г1,? о>П о)’’]<? о.
где К - матрица Римана системы (1); Н - аналитическое продолжение матрицы Римана для задачи Коши- Гурса, если соблюдены следующие условия:
1) каждая строка матрицы 1У относительно переменных 77 является решением системы (4);
2) каждый столбец матрицы IV относительно переменных щ является решением системы (1);
3) имеют место равенства
.)=£; ^И+М-^г=0; <7=6,,
где ] = Иш[^(£, + £•; ?0,г/0)-1¥(?, ?0 - е; ?0, /у0)] - скачок функции IVна линии т}=^о ; Е -
£—>0
единичная 2x2 - матрица.
Матрица Римана для системы (1) известна [1]. В рассматриваемом случае она имеет вид
Ф)=Е°/-М-
м {*1о-£о
(6)
где ’ х - двойной вырожденный гипергеометрический ряд из списка Г орна [2];
Єї Д - соответственно идемпотенты и собственные числа матрицы Є [3],
Р =
(4 ~#)(?7о -п) . (^0
Из анализа матрицы (6) следует, что на линии т]=£, она имеет особенность довольно высокого порядка. Поэтому для произвольной точки (£0, г/о) е И необходимо строить аналитическое продолжение на ту часть рассматриваемой области, где г]<^о • Применяя формулу аналитического продолжения для гипергеометрической функции Гаусса [2]
( с’
Р(а,Ь;с;г) = Т
Ус-а,
+ Ге.
Кс-Ь, а
Ъ-а
(-г) аіг(ій,а + 1-с;а + 1-6;г ')+
(-г) ьр{р + \-с,Ь\Ъ + \-а\2 '),
после некоторых преобразований получим аналитическое продолжение матрицы Римана (6) вида
*(<?)=£<?,
/=1
=2>,г{ ‘-2Х; '
л-£
По-^о.
' (л-Ю2 '
(*о -^Хл-Ло)
Л,г,1 - Хі 1
;р;цт
Хі
н,
X/, Хі 1
2Хг р
+
±°,Г
1=1
Ґ1 - 2 ХҐ л-4 1 о 1 іП* о к> 1 Хі-\ и ь 1 1 г-Н << 1
Ло “4о 1 0 Р" 1 1 о пз О О!• 9 9 ^ ^ 2 - 2 кг р )
где функция Н;
а,р
;х; у - двойной вырожденный ряд из списка Г орна [2].
(7)
Первую группу слагаемых в правой части разложения (7) используем для построения матрицы Римана-Адамара задачи Коши-Гурса. Представим матрицу Н(С; г/',?0,г/0) из формулы (5) в
виде
"«“ФЧїгйЬ
м /
н3[
V
Лі, Ял 1 ^
0}. 1-1-МТ 2м р
(8)
где а(Лг) - произвольные константы, подлежащие определению. Потребуем выполнения условия
^И+Ит^ = о> ? = £<>•
д% 4-т}
(9)
Здесь |^1=НтК.| -.Н| , е> 0. Выберем сколь угодно малое положительное число £ и
1 1 *?=£°+£
изучим поведение матрицы Римана-Адамара в ^-окрестности линии г/=^0. С этой целью разложим входящие в матрицу (7) двойные ряды Н2, Н3 по гипергеометрическим функциям Гаусса
M,1 - Яг 1
\p\pr
H;
Ai, Ал 1 2 Ai ’ p
;-//r
Ai, Ai-n l 2 Ai ’ p
(10)
(11)
Можно заметить, что на линии 7]-^ двойные ряды (10), (11) имеют особенности для любого индекса суммирования п. Более того, особенности носят логарифмический характер при и, равном нулю. Для выделения особенностей воспользуемся в логарифмическом случае тождеством [2]
F(a,6;a + 6;z)=r |ir(a,6;l;l-.z)ln
уа,ъ)
1
\\-Zj
+ Г
(12)
а в общем случае ■
F(a,b;c;z) = Г + Г
с, с - а -b'
7r(a, b\\-c + a + b,\-z) +
'с,а + Ъ + сЛ с — а,с — b
с-а,с-Ьу (l - zf~a~b F(c - b, с - a;l + с - a - b;l - z).
(13)
В терминах функций сравнения, при z стремящемся к единице, тождества (12) и (13) имеют вид, соответственно
(а + b\ ,
[с +1 + 0(1 - z)ln(l - z) = 0(1 - z) ], с = const',
F(a, b;a + b;z) = -Г F(a, b; c; z) = —Г
Ka,b ; rc,c-a-b
с-a,c-b
[l + 0(1 - z)] + 0(1 - z)[l + 0(1 - z)].
Обратимся к формулам (10) и (11). Учитывая показанные выше упрощенные тождества (12) и (13), после некоторых преобразований получим в е- окрестности линии г]=%0 следующие разложения матриц Римана - Я и Римана-Адамара для задачи Коши-Гурса - Н:
fl(G) = YG,.[ 77 *
tT Uo-^o
1 Ai, АЛ j
{[Cl(Ai)-ln(l-p) + 0(f)] +
J W_[1 + o(4;
(14)
H(G)=+0(s)]^
уАл, Aij
С2(Л/)-1п
Vi'
p)
+0(£)
(15)
Подставляя разложения (14) и (15) в условие (9), находим матричный коэффициент
а(С) = £Є,Г
1=1
Хі
2Хі, 1 - Хі;
определяющий матрицу Римана-Адамара для задачи Коши-Гурса
Н(0) = £°.г
І=1
Аі
2Аі, 1 - Аі
(^)2
(^о -^Х?о -?)
Н:
ґХі, Аі 1 4
...
2Аі ^
(іб)
Пусть матрица Є имеет комплексно сопряженные корни Л/-Л = а+і/3, Л2= А = а-і/З. Преобразуем матрицу Римана-Адамара поставленной задачи Коши-Гурса (5) к виду, допускающему явное разделение на реальную и мнимую части. Это можно сделать, если найти интегральные представления для вырожденных рядов 32 и Н3.
В самом деле, запишем функции Н2и Н3 в виде повторных рядов
а,р
;х;у ч Г у
00 П со
(«)»(/*)»
ІҐ0П'-(г)п£Ґ0 (Г + П)т ’
Н-
а,/3
;х;у
(-У)" ^(а-")Мтх”
^0 (і ~ а)п П- тҐо і*5)»
т\
(17)
(18)
Используя интеграл Эйлера первого рода для бета-функции, формулу Эйлера для гипергеометри-ческой функции Гаусса [2]
Р(а,Ь;с;г) = Г
Ъ,с-Ь,
і
|^ь-1(і-1:)с”ь_1(і-гі)~аск, Кес>КеЬ>0, |aгg(l-z)|<л,
проверяемое тождество
г"
П+1
^п!(С)п ^(С + 1)п(2)п ’
находим искомые интегральные представления рядов (17) и (18) (соответственно):
а,{3
;х;у =Г
й г Л1/ Р 1(1-^Га[1 +
Р,г-Р)о о
р 1 о^і (2^(1-^)^ Л, Яе^ > Ые/? > 0,Кеог < 1; (19)
а,р
;х;у
= Г
5 1 [ [У-1 (1 - Г)в~р~х (1 - хі)[1 -
№-Р)1 I ) 1
- у{1 - лгґХі _ •у) а о Р\ (2; * у(і - л/), Яе 6 > Яе /? > 0, Яе а < 1.
(20)
Заметим, что при выводе формул (19) и (20) приходится дважды менять порядок интегрирования и суммирования. Это возможно в силу сходимости соответствующих рядов при 0< I <1 и О < Б < 1.
Введем обозначения весовых функций
у- *1-$. Л =______(^-/)2____.
*7о-#о’ (^о-^УЯо-ч)
(21)
Применяя формулы (19) и (20), обозначения (21) и функциональное соотношение для гамма-функции Г(г)Г(1 - г) = л1$т.т,
Л(С; #, гг,,Щ )= £ ^ Vм \ И (1 - О""1 (1 ~ /*)"* [1 +
<•=1 п о о + ц т (1 -1:)(1 - я)*'-1 о Р{ (2; //г(1 - ф)]с&с№, Яе 2М е (0,1).
(22)
2 ... 1 1 1 N
V-! „ БШ 1Ш , 1. Р Г. ч 1/-11 . 1
Щв&ъ4о,Щ) = | -О^-1
1=1 ^ 0 0
+ //г
' 1 4 1-—г р
(МЛ*;
1-—/ Р ;
—и
[1 +
1
с1я&, Яе 2Ял 6 (ОД) ,
(23)
получим матрицу Римана- Адамара поставленной задачи Коши-Гурса W(G , т|; £,0> Ло) (формула (5)).
Не ограничивая общности, в наших условиях ( с выделением главных ветвей) матрицы (22), (23) можно записать в виде
Я(в) =
р й г в Р
; н«?) =
5 Т\ Г а,р
\~Т Б У {-/3,а
(24)
где Р = Р(а,Р) =Ке ЩХ)\ Q = Q(ct,fЗ) =1ш ЩЛ); Б(а,Р) =11е Н(Л); Т(а,/3) =1т Н (Л) - вещественные функции вещественных переменных а,р. Они определяются следующими формулами:
3-ТЙ1
^ 0 0
Гвт ка с)шр сое ух - сое ка зЬтг/Мп/, [соб ла $Ъ.лр соэ/, + вт ка сЪ.к(3
Гвтка с\ук/3со$у2 - со%ка $Ъ.кР$ту2
[сое ка эЬ/г/? сов^з + вт ка сЪк/З вт у2 х (I - /)“ (1 - р1\а (1 - 5)“-10 Рх (2; //г(1 - *)$)]с&й&,
/?1п
Г(1-р
/(1-/#)’
Гг =/?1п
Г(1-р(1-д)
/(1-/*)
(25)
51=—И
Т я- 0Ч
хг“-'(1-0“-1
X (1 - ?)
[эт сИтт/? сое с), - соэ яог |
сое па бЬяг/? соэ^ + вт па сЬл^ эт ]
1 ^ “ |зт люсИя:/? сое £2 -соэя’азЬлу&т^ 1 [сое ягс вЬ пР со $8 2 + эт па сЬпР вт 82 ]
ч Р;
0-1 п *\а-1
VI4-"
\
(
р)
\ \
с1-5)-оЪ 2;И1-------
I V Р
<к& ;
8у — уб1п
Л/(1 — О
1-1'
Р
5г=Р 1п, 0
1-1
(26)
(1-5)
Выведем формулу Римана-Адамара, доставляющую решение поставленной задачи Коши-Гурса при наиболее общих предположениях относительно спектра матрицы системы (1). Для этого поступим следующим образом. Составим векторный аналог тождества Грина для системы (1) [4]:
ТЛ.\и]-Афгр = ^-^
Ше }¥ги + 2УГ ° и 1 д н Ш„ ТГМ + 2Ш ° и
. 9 4-Л . 2 дг} . п ’ 4-л .
(27)
Для произвольной точки {%о ,Г]о) е И проинтегрируем тождество (27) по области 0,сЛ), являющейся суммой областей
А> ={(&*7)|0<£<&>-£» 4о+3<т1<По> % + у!е2-б2 +5<г)\\
А = {(£>л)\4 < 4 + ~82 <Ч <£о~д}> VЕ > ^28 > О-
Применяя формулу Грина [6], приходим к тождеству
\l\WL\u]- М[ж]с/}й?^7 = - || Шип -1¥пи-21¥и
с1г) -
- -ТГ;и + 2\¥
4~Л
■и
сН;,
(28)
где сЮ = <Ж>2 и дОз - двусвязный контур, состоящий из восьми отрезков.
Если и{ /у) есть решение поставленной задачи для системы (1), Ш(^, г] ;?0, г/0)- матрица
Римана-Адамара поставленной задачи системы (1), то из тождества (28) приходим к сумме восьми интегралов вида
к-1 о
Г
+ I
О По
+ 1
*0
ш4-1¥4и + }¥
2в
4-7]
и
4в
4-л
и
и
£0+б + }
{о-Ь
Ш -Цги-1Г-Щ-. 4~Л
и
ал + Г
Ы-* о
<*ц- [
л~п *
ши„ -1¥„и-ТГ^-и 7 * 4-л
ИГЛ -1Г,и + ТГ-Ю-. { * 4-л
и
<!?]+
#=0
*4-
п=по
*=о
Ш( -РГ^и + Иг
2в
4-л
и
2в
4-Л.
и
(1% =0, £ = л/£2 -б2 .
Г}=%+£х+8
(29)
Во всех интегралах, кроме первого и восьмого, в выражении (29) применим интегрирование по частям. Приводя подобные, учитывая свойства матрицы Римана-Адамара и ее обозначение, по-
еле преобразований находим формулу Римана-Адамара для получения решения поставленной задачи Коши-Гурса (Дарбу):
н(^ -£/*)+(н„-Щ +К^-)и
<14 +
+1
£х-8
н и„—— I 4~Л
и
*7о
<11} + | ** {.+*
К \ип-Т— I £-*7
£/
+ в.--------
, 4 4-Г1
+1(Л1/)| +1)
1 (
+ - | й(С/;-С/7)+ Л,-Я{+Л
£о“*.
4С
£“»7.
с/
с/
--(нсЛ +—(нг7)| +
?=<Го-<* 2 1(й,-г„|0-<5) 2 1(0,*,-«?)
т}^+£1+8 к=1
(30)
Заметим, что в формуле Римана-Адамара (30) присутствуют две произвольные сколь угодно малые положительные величины е и 8, на которые могут налагаться взаимные требования , например, в нашем случае 8= £,+а, а >0. Это связано с тем, что понятие сходимости несобственных интегралов в смысле главного значения в случае функций двух переменных сводится к нахождению «согласованных» границ областей интегрирования и, следовательно, контуров интегрирования. Точнее, таких контуров, интегралы по которым взаимно компенсировали бы друг друга подобно случаю, рассмотренному в классическом примере Адамара [7].
Подстановкой в формулу (30) матриц И и Н - Римана-Адамара (24), с существенным использованием свойств этих матриц и применением краевых условий (2), (3), предельным переходом, при £ ,8, стремящихся к нулю, получим решение поставленной задачи:
> 2а-1 &
$2 Т2 Т2 $2 у
П \ /
-а <Го
ф'{тт) +—ф{г{)
с1г].
(31)
В решении (31) функции 5] и Т\ определяются следующими формулами:
1 1
т, ИЛ
О О
\sinna сЪп/3 со$ух - созтгог 1 а_, а ]
[сое па сое V, + вт па сЪ.п/3 эт V, (
Гэтпа сЬк/З соэ у2 - соэпа бИтт/Мпу2 ] ц(£0 - <%)(т]0 -£) [соепа ьЪ.пР соеу2 + этпа сЪ.п/3вту2\ 4
X/“-‘а-О*-1 о*; 2;
■ м(4о ~4Хпо -4).
4 ‘
скЖ,
Я1 4/(1-0
™У'=РЫ^-Ш-4)' ^
4/(1-0
Во втором интеграле решения (31) функции 52 и Т2 имеют вид
1 1
-fi
о о
f sin па chn/3 cos - cos;ra sh^sin//, 1 а
jcos^ra sh;r/? cos//, + sin ;га сЬл-/? sin //, J
i у(Пй-4о). . Zoivo-v)
+ f Sin ЯОГ сЬя-/? COS цг - COS ЯОГ sh^sin/i2 1 x (1 _ t)a-\ x
[cos яо: sh;r/? cos/i2 + sin ка сЪ.к/3 sin ju2 J 4
l-a
(l-*P 0*1
/'б7о-7)Г1 tl(no~4o)t
4o(fJo -n)
dsdt,
Mi-0
Pi — ft In
В третьем шггеграле формулы (31) функции Pi и Q\ определяются следующим образом:
а
;М1
о о
|sin;ra discos 5, -cos^ash^sinS, 1 ({ £о(?7о -rj)'t
[cos ка sh к/3 cosS, + sin па chn/3 sin б, j - 4о)
(sinnachnj3cosd2-cosnashK/3smd2 j //£0(?70 ~ ri) -a a
"b i г X t (1 — /) X
[cos na sh n/5 cos32 + sin^or ch nf3 sin d2\ 4
t 4o(r?o-r?)t . nfao-4o)
\-a
где 9, = J3ln-
(l-fTV,
(7o
л.-A).
d2 = /?ln-
dsdt,
77(1-0(1-*)
(% -^o>
п(щ-4о) j
Т е о р е м а . Если я е^О,-^ , ('(^)еС1(/), р(7)еС2(./), то вектор-функция, определяемая формулой (31), суть классическое решение задачи Коши- Гурса для системы (1) в области Б.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Андреев А.А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа // Дифференциальные уравнения : Сб. науч. тр. пед.ин-тов РСФСР. Рязан. гос. пед. ин-т. 1980. Вып. 16. С. 9-14.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1965. Т.1.
3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.
4. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: АН СССР, 1959.
5. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.
6. Векуа КН. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.: Гостехиздат, 1948.
7. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Гостехиздат, 1947.
