О линейной разложимости двоичных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018 Теоретические основы прикладной дискретной математики №40

УДК 519.719.325

О ЛИНЕЙНОЙ РАЗЛОЖИМОСТИ ДВОИЧНЫХ ФУНКЦИЙ

А. В. Черемушкин ФГУП «НИИ «Квант», г. Москва, Россия

Рассматривается множество возможных разложений двоичной функции в сумму (произведение) функций от непересекающихся множеств переменных при различных линейных преобразованиях аргументов, полученных отбрасыванием одночленов малой степени в их многочленах Жегалкина. Каждому такому разложению соответствует разложение векторного пространства в прямую сумму подпространств. Приведены условия, при которых такое разложение определяется однозначно с точностью до перестановки слагаемых (сомножителей) и связанных с ними подпространств между собой.

Ключевые слова: двоичные функции, бесповторная декомпозиция, разложение в прямую сумму, линейное преобразование.

DOI 10.17223/20710410/40/2

LINEAR DECOMPOSITION OF BOOLEAN FUNCTIONS INTO A SUM OR A PRODUCT OF COMPONENTS

A. V. Cheremushkin

Technology Federal State Unitary Enterprise "Research Institute Kvant", Moscow, Russia

E-mail: avc238@mail.ru

Let f : GF(2)n ^ GF(2) be a Boolean function, n ^ 2, and Us be a set of Boolean functions f of degree deg f ^ s. Here is a consideration of the disjunctive decomposition of f into sum and products modulo Us of Boolean functions after a linear substitution on arguments. The main result is the following: if all arguments of the functions f (xA) under linear substitutions A of the vector space GF(2)n are essential modulo Us and f may be represented as disjunctive sum f = f1 ® ... ® fm (mod Us), where m is maximal, then subsequent direct sum of subspaces GF(2)n = V(1) + ... + V(m) is unique and invariant under stabilizer group of the function f in general linear group. The article contains analogous result describing sufficient uniqueness condition for disjunctive products f = f1... fm (mod Us), namely, every function f has no affine multipliers and the set {a e Vi : fi(x ® a) ® fi(x) has affine multipliers} generates the whole subspace Vi, i = 1,..., m. For instance, this class of functions contains a nondegenerated quadratic forms.

Keywords: Boolean functions, disjunctive decomposition, disjunctive sum, disjunctive products, linear transformation.

Пусть Fn = {f : GF(2)n ^ GF(2)} —множество двоичных функций от n переменных, n ^ 1, Hn — группа сдвигов. Для каждого целого s ^ 0 определим подпространство Us = {f : deg f ^ s} пространства функций Fn, имеющих ограниченную

степень нелинейности. Заметим, что ТЛ0 = {0,1}. При в < 0 положим Ы3 = {0} —нулевое подпространство. Обозначим множество таких сдвигов ( ) Е Нп, что

7 \х ф а/

выполнено сравнение

/(х ф а) = /(ж)(шоа Ы8), х Е ОЕ(2)п

При в < 0 группа (Нп)^8) является обычной группой инерции (Нп)^ функции /.

Пусть 0 ^ £ ^ п — 1, 1 ^ к ^ п. Будем говорить, что переменные х&+1,...,хп функции / (х1,..., хп) являются несущественными по модулю и8, если найдётся функция к(х^... , хк), такая, что / ф к Е 1Л8. Нетрудно видеть, что переменная хп является несущественной для функции / по модулю и8, если и только если

х Х Е (Нп)78-1)

x ф en) f

при en = (0,..., 0,1).

Определение 1. Пусть * — бинарная ассоциативная операция. Будем говорить, что функция f Е Fn линейно разложима относительно * по модулю Us, если при некотором линейном преобразовании A пространства GF(2)n и 1 ^ k < n найдутся функции fi и f2, для которых выполнено сравнение

f (xA) = fi(xi,... ,xfc) * f2(xfc+i, ...,Xn) (mod Us).

Заметим, что всего имеется четыре бинарных ассоциативных операции: x ф y, x • y, x ф y ф 1 и x V y, однако при s ^ 0 достаточно ограничиться рассмотрением только двух операций: сложения и умножения.

1. Бесповторная сумма функций

Сначала исключим случай наличия слагаемых первой степени. Каждая функция, представимая в виде суммы функций с непересекающимися наборами аргументов, среди которых есть слагаемые, имеющие вид переменных в первой степени, линейно эквивалентна функции, у которой такое слагаемое только одно. Пусть, например, это xn. Тогда вектор en = (0,... , 0,1) порождает инвариантное подпространство, а описание групп инерции таких функций имеет следующий вид.

Теорема 1. Если имеет место равенство

f(xi,... ,xn) = h(xi,... , xn i )ф

xn

и (Hn)f = 1, то справедливы следующие изоморфизмы:

GL (n, 2) f = GL (n - 1,2)

(i). h .

AGL (n, 2)f = AGL (n - 1, 2)hi); AGL (n, 2)f0) = AGL (n - 1, 2)hi) x Hi.

Действительно, в этом случае |(Hn)fi)| = 2, причём ( ) Е (Hn)fi). Поэтому

' \x ф enJ '

0)

матрицы из группы PrGL (n,2)AGL (n, 2)f ) имеют вид

A b

Q 1 0... 0 1

Искомый изоморфизм задаётся соответствием Н) М- ((А, Л,1), Нп), где Н = (Н^... ,

Нп-1,Н"п) = (Н1,Нп).

Заметим, что для сумм слагаемых второй степени и в ^ 1 ни об однозначности разложения, ни о сведении вычисления группы инерции всей функции к вычислению групп инерции слагаемых в принципе не может быть и речи, так как полученные функции имеют неприводимые группы инерции, в качестве которых выступают классические линейные симплектическая и ортогональная группы, являющиеся неприводимыми линейными группами.

В то же время для слагаемых степени три и выше, как правило, такое сведение уже может иметь место. Найдём достаточно общие условия, при которых можно показать однозначность разложения функции степени к в бесповторную сумму по модулю ТЛ3 при —1 ^ в ^ к —1. Естественно, что для этого разложение должно иметь максимально возможное число слагаемых.

Сначала рассмотрим частный случай, когда разложение имеет вид, аналогичный каноническому представлению квадратичной формы.

Пусть [С]Яр обозначает экспоненцирование линейной группы О ^ ОЬ(т, 2) и симметрической группы степени р, [С]8р ^ ОЬ(тр, 2). Эта группа состоит из матриц, полученных путем замещения ненулевых элементов подстановочных матриц произвольными матрицами из группы С. Воспользуемся следующей удобной конструкцией, введённой М. В. Лариным. Обозначим (Mf) подпространство, порождённое множеством Ы] С ОР(2)п.

Утверждение 1. Пусть множество Ы] = (а € ОР(2)п : / (а) = 1} удовлетворяет условию(Ы]) = ОЕ(2)п, причём его можно представить в виде такого нетривиального разбиения Ы] = Ы1 и... и Ыт, что ОЕ(2)п = (Ы1) +... + (Ыт) — разложение в прямую сумму и т — максимальное число с этим свойством. Тогда:

1) группа ОЬ (п, 2)] сохраняет это разбиение и разложение;

2) если множество функций (/г : Ы]. = Ыг, г = 1,... ,т} разбивается на классы эквивалентности относительно ОЬ (п, 2) вида {/М1,... , /Мр},... , (/и1,... , /„ }, то

ОЬ (п, 2)] = [ОЬ п 1, %1 X ... х [ОЬ (п^, 2)^ ^.

Доказательство. Утверждение следует из того, что если два разбиения Ы] = = Ы1 и ... и Ыт и Ы] = Ь1 и ... и Ьг порождают разложение пространства в прямую сумму, то их пересечение Ы] = У Ыг П Ь^ также порождает разложение пространства

в прямую сумму подпространств. ■

Теорема 2 [1]. Если п = тк, к ^ 3, т ^ 2 и функция / имеет вид

т- 1

/(х1,...

i=0

то группа Ргоь (п,2)АОЬ (п, 2)]к-1) изоморфно вложима в группу [ОЬ (к, 2)]Ят.

Доказательство. В данном случае множество векторов, для которых производные имеют линейные сомножители по модулю Ык-2, совпадает с объединением подпространств (егк+1, егк+2,..., егк+к), г = 1,..., т, где е^ — векторы стандартного базиса, 3 = 1,... , п. Это множество удовлетворяет условиям утверждения 1 и является инвариантным относительно группы Ргс^,(п,2)АОЬ (п, 2)]к 1). ■

Заметим, что в неявной форме в терминах полилинейных форм этот результат сформулирован в работе [2].

Перейдём теперь к рассмотрению общего случая (данный результат анонсирован в [3]). В дальнейшем будем использовать понятие подпространства существенных переменных (подробнее см. в [4]). Вместо двоичных функций на пространстве GF(2)n, являющемся множеством двоичных векторов, удобно рассматривать функции, заданные на произвольном пространстве V размерности n над полем GF(2). При фиксации базиса e = (с1 ,... , en) этого пространства функция f : V ^ GF(2) может быть записана в виде двоичной функции fe(x1,... ,xn), где fe : GF(2)n ^ GF(2), а каждой переменной x^ = (x, е*г) соответствует вектор сопряжённого базиса е*г из сопряжённого пространства V*.

Если функция f зависит по модулю Ut существенно лишь от k, 1 ^ k < n, переменных, т. е.

f (x) = fe(xe) = he(xi, . . . , xfc) (mod Ut),

причём k — минимальное с этим свойством по всем базисам (или, что то же самое, по всем линейным заменам переменных), то с этой функцией однозначно связаны два подпространства: подпространство W = (ek+2,... , en) С V векторов, сдвиги по которым лежат в группе (Hn)f 1), и двойственное ему подпространство

W * = (W = {e* : (x, e*) = 0, x Е V>} = (e*1,...,e*k) С V *,

называемое подпространством существенных переменных по модулю Ut. В этом случае будем использовать обозначение f = f(W*).

Нетрудно видеть, что функция f = f (V*) линейно разложима в бесповторную сумму по модулю Us, если при некотором нетривиальном разложении пространства V* в прямую сумму V* = V2* + V* функция имеет вид f = f1(V1*) ф f2(V2*) (mod Us).

Лемма 1. Пусть имеется два разложения пространства V* в прямую сумму ненулевых подпространств V* = V/ + V2* = U* + U2*. Если при s ^ 2 функция f = f(x1,...,xn) = f(V*) имеет тривиальную группу инерции (Hn)fs 1) и выполняется сравнение

f = fi(Vi*) ф f2(VT) = hi(U*) ф h2(U*) (mod Us), (1)

то функция f допускает разложение

f = di(W*1) ф d2(W*2) ф da(W2*1) ф d4(W2*2) (mod Us), где Wj = V* P| Uj, i, j = 1, 2, удовлетворяют условиям

V* = W1*1 + W2*2, V2* = W2*1 + W2*2, U* = W* + W2*2,

u* = w* + W22,

di, i = 1,... , 4, — некоторые функции, удовлетворяющие следующим сравнениям:

f2 = d2 ф d2 (mod Us), f2 = d3 ф d4 (mod Us), h2 = d2 ф d3 (mod Us), h2 = d2 ф d4 (mod Us).

Доказательство. При n ^ 5 таких разложений у функции f не существует. При n = 6 однозначность разложения (1) вытекает из теоремы 2. Пусть теорема верна для всех функций от n — 1 ^ 6 переменных, докажем её для функции f от n переменных. Из условия (Hn)fs ^ = 1 следует, то все производные Af, 0 = a Е V, функции f имеют степень нелинейности не меньше s. Выберем вектор 0 = a Е V так, чтобы у производной Aaf было минимальное число существенных переменных по модулю Us. Так как производная суммы функций равна сумме соответствующих производных, то число существенных переменных по модулю Us у производной Aaf суммы f = f (V*) ф f2(V2*) может быть минимальным только в том случае, когда a Е V или a Е V2, где V = V + V2 — соответствующее разложение пространства V. Аналогично получаем, что a Е U или a Е U2. Пусть для определённости a Е V П U.

Дополним вектор a до базиса пространства V так, что e1 = a, (e1,...,efc) = V, (ek+1,..., en) = V2. Пусть (e *1,..., e *n) —сопряжённый базис пространства V*, такой, что (e *1,... ,e *k) = V*, (e *k+1,... ,e*n) = V2*. Обозначим U*= ((a))x=(e* 2,... ,e*n) С V*.

Выберем еще один базис (u1,...,^) пространства V так, чтобы u1 = a и (u1..., uk) = U1, (ut+1,..., un) = U2. Обозначим сопряжённый базис через u *1,..., u*n, (u *1,..., u = U*, (u *i+1,...,u *n) = U2*. Имеем (a,e *1) = (a,u *1) = 1, (a,e **) = = (a, u *') = 0 при 2 ^ i ^ n.

Нетрудно видеть, что U * = (e *2,... , e*n) = (u *2,... , u *n).

Рассмотрим два случая:

1) u *1 Е V*;

2) u 1 Е V11 .

В первом случае можно предполагать, что u *1 = e *1. Тогда сравнение (1) принимает вид

f = f1(x1, V1) ф f2(V*) = h1(x1, U*) ф ВД*) (mod Us), (2)

где x1 = (x, e *1) = (x,u *1), V** = (e * 2,...,e *k), U* = (u * 2,...,u * *), причём выполнены равенства U * = V* + V2* = U* + U*. Разложим функции f1 и h1 по первой переменной:

f 1e(x1, V*) = X1f1e(Vf) ф fie°)(V?(0o)) (mod Us), h1u(x1, U*) = X1h/1u(U1* ') ф h(1°J(U*(0)) (mod Us),

где

fie(V? ) = f1«(1,Uf)© f1u(0,U**),

f1(°)(^*(0)) = f1u((LU!), _

h1„(U1*') = h1u(1, U*) ф h1u(0, U*),

h1U)(U1:(0)) = M0,U?),

i (0) i (0) V* , V* С V** и U* , U* С U* — соответствующие пространства существенных переменных по модулю Us. Подставляя в сравнение (2) значения x1 = 0 и x1 = 1, получаем, что оно равносильно системе

f1°)(V?(0)) ф f2e0/2*) = h&U^) ф MU2*) (mod Us), f1 e(V* ') = h1u(U1*') (mod Us-1).

Так как в этих сравнениях стоят функции, у которых все переменные существенны по модулю Us, то, в частности, получаем V* + V2* = U* + и V** = U* .

Введём обозначения для подпространств пространства U*:

----(0) n ~(0) = V (0) U (0)

= V*(0) n U* = V* П U2

W2 21(0) = V2*n U**(0) = V2* П U*

W2 2 2 = V2 U2 .

По предположению индукции для пространства U*, размерность которого меньше размерности пространства V*, найдутся функции d(0), такие, что функция f(0) допускает разложение

f(0) = ^(Wif) ф d20)(w*2(0)) ф d30)(w2*1(0)) ф df^) (mod Us). При этом должны выполняться следующие сравнения:

f(0) = di0) ф d20) (mod Us), 40) (mod Us), (mod Us), df (mod Us).

(0)

hi0) h2 =

(0) 3 (0)

f2 = d

= d1

d20)

(e * 1 > + V* ' + W*(0) и di = d

(0)

Полагая d'1e = ffe = h'1e (mod Us- 1), d 1 = x 1d'iфdi), W* i =1, 2, 3, получаем требуемое утверждение.

В о в т о р о м с л у ч а е, не уменьшая общности, можно предполагать, что

e *1 + e * k+1. Поэтому сравнение (1) принимает вид

вектор u*1 имеет вид u*1

f = f1(x1, К) ф f2(V*) = h1(x1 ф xt+1, U*) ф h2(U*) (mod Us),

где U* = (e *1 + e *t+1 > + U* и U* = V* + V2* = U* + U2*.

Рассуждая аналогично, получаем, что (3) равносильно системе

(3)

f(0) J 1e

f2e (V* ) = Xi+1h1u(U1* ) ф h f^Uf') ф h2u(U2 ) (mod Us)

(0)

f e(V* ) = h u(U* ) (mod Us- 1), где h 1 „(y, U*) = yh1 „(Ц*') ф h №(0)), h^U*(0)) = h 1 „(0, U*).

— f —f

Теперь из второго сравнения получаем равенство подпространств V* = U* . С другой стороны, в первом равенстве в правой части содержится произведение перемен-

f

ной xt+ 1 на функцию h1 „, зависящую от переменных из множества U* , а в левой части

переменная xt+1 может входить только во второе слагаемое, зависящее от переменных

f

xt+ 1,... ,xn. Но это может быть только в том случае, когда U* —пустое множество, а переменная x является линейным слагаемым. Получаем противоречие с тем, что по условию x 1 является существенной переменной по модулю Us при s ^ 2. ■

Теорема 3. Если при s ^ 2 функция f = f (x 1,... , xn) имеет тривиальную группу инерции (Hn)fs 1 ) и линейно разложима в бесповторную сумму по модулю Us, то для этой функции найдётся однозначно определённое линейное разложение по модулю Us в бесповторную сумму линейно неразложимых (в бесповторную сумму) слагаемых в том смысле, что любое другое такое разложение соответствует тому же самому разложению пространства в сумму подпространств, а соответствующие функции сравнимы по модулю Us.

Доказательство. Предположим, что имеется два разложения

/ (V *) = / (К) 0 /2(У2*) 0 ... 0 (шса Ц), т ^ 2,

/(V*) = Н 1 (и*) 0 ми*) 0 ... 0 Н1(Ц*) (шса Ц-), / ^ 2,

в которых функции / и Н линейно неразложимы в бесповторную сумму по модулю Ц, г = 1,..., т, 3 = 1,..., /. Если разложения пространства

V * = V* + V; +... + V; = ц* + и2* +... + иг*

различны и не получаются одно из другого перенумерацией подпространств, то найдётся нетривиальное пересечение V* ^ Ц* при некоторых г, и с помощью леммы 1 получаем противоречие с линейной неразложимостью функций / и Н в бесповторную сумму по модулю г = 1,... , т, 3 = 1,... , / . Поэтому разбиения пространства совпадают, а соответствующие функции сравнимы по модулю ТЛ3. ■

В качестве следствия получаем описание группы инерции таких функций в полной аффинной группе.

Следствие 1. Если в условиях теоремы 3 функция / представлена в виде суммы линейно неразложимых в бесповторную сумму по модулю Ц функций

/ = /1 0 ... 0 /т (шса ц-),

причём множество функций {/,... , /;} разбивается на Ь классов аффинной эквивалентности по модулю Ц: /,... , /Мр } € Тщ,... , /,... , /„} е , то для группы инерции бесповторной суммы этих функций справедлив изоморфизм

ЛОЬ (п, 2)дф...ф/т = [ЛОЬ (п 1, 2)^ х ... х [ЛОЬ (п4, 2)^-^1 ^.

Аналогичное описание справедливо для группы ОЬ (п, 2).

2. Бесповторное произведение функций

Как и в случае слагаемых первой степени, у функции необходимо сначала выделить аффинные сомножители. Говорят, что функция / имеет аффинный сомножитель по модулю Ц, —1 ^ 5 ^ п — 1, если найдутся такие функция /(ж) = (ж, а *) 0 Ь, 0 = а * е V *, Ь е V, и функция Н, что / = /Н (шсd Ц). Приведём простейшие свойства таких функций.

Лемма 2. Пусть аффинная функция /(ж) = (ж, а *) 0 Ь отлична от константы. Следующие условия равносильны:

(а) / имеет аффинный сомножитель / по модулю Ц;

(б) // = / ^ Ц+1);

(в) // = 0^ Ц+1).

Доказательство. Импликации (а) ^ (б) и (б) ^ (в) очевидны. Докажем (б) ^ (а). Пусть /(ж) = (ж,е *) 0 Ь, Ь е {0,1}. Вектор е * должен принадлежать пространству существенных переменных функции /, иначе deg // = deg / + 1. Поэтому достаточно рассмотреть случай /(ж1, . . . , ж„) — ж1 0 Ь — ж1 . Разложим функцию / по первой переменной:

/(ж1,ж2, . . . ,ж„) = ж/(0)(ж2, . . . ,ж„) 0 ж/(1)(ж2, . . . ,ж„).

Условие // = / имеет вид х1 ь/(1 ь) = х/(0) ф х/(1), что эквивалентно /(ь) € ТЛ8 откуда

/ = х/(0) ф ж 1/( 1 ) = ж 1 ( 1-ь) ф ж} /(ь) =

1-

Следствие доказано. ■

x1-b(/(0) Ф /(1)) Ф /(b) = x1-b(/(0) ф /(1)) (mod Us).

Следствие 2. Если deg / = k, то / не имеет аффинных сомножителей по модулю Uk-1 в том и только в том случае, когда (x, e *)/ = 0(mod Uk) при всех 0 = e * G V*, или, что то же самое, deg (x, e *)/ = k + 1.

Доказательство. Если (x,e *) ф b — аффинный сомножитель по модулю Uk-1, то [(x, e*) ф b]/ = / (mod Uk), откуда (x,e *)/ = 0 (mod Uk). С другой стороны, если (x, e*)/ = 0 (mod Uk) при некотором 0 = e * G V *, то [(x,e *) ф 1]/ = / (mod Uk) и поэтому (x, e *) ф 1 — аффинный сомножитель по модулю U^-1. ■

Лемма 3. Пусть разложение функции / по первой переменной имеет вид /(x1,x2, . . . ,x„) = x/(0)(x2, . . . ,x„) ф x1 /(1)(x2, . . . , x„)

и —1 ^ s ^ deg / — 2. Тогда / не имеет аффинных сомножителей по модулю Us в том и только в том случае, когда функции /(0), /(1) не принадлежат Us-1 и не имеют аффинных сомножителей по модулю Us-1 с одинаковой линейной частью.

Доказательство. Пусть e1,..., en — базис пространства V и e *1,..., e*n — сопряжённый базис. Рассмотрим разложение функции / по первой переменной / = x1/(0) ф ф x/(1), где /e(0)(x2,...,x„) = /e(0,x2,... ,x„), /e(1)(x2,... , x„) = /e(1,x2,... ,x„). Можно считать, что функции /(0) и /(1) заданы на пространстве U = (e2,... , en) = (e * 1)±, поэтому

/ = x/(0)(U *) ф x1/(1)(U *),

где U * = (e *2,...,e *n).

Пусть (x, e *) ф b = 0 — аффинный сомножитель функции / по модулю Us, e * G V *, b G {0,1}. Если векторы e *1 и e * совпадают, то ((x,e *) ф b) = x^6 и

((x, e*) ф b)/ = x1-b(x1/(0) ф x/(1)) = x1-6/(1-b) = / (mod Us+1),

откуда /(b) G Us. Если же векторы e *1 и e * линейно независимы, то либо e * = e *1 + u*, u* G U *, либо e * = u * G U *. Можно полагать, что u * = e *2. В первом случае имеем (x, e*) = x1 ф x2 и (x1 фx2 ф b)/ = x1x2-6/(0)(U *) фx1x2/(1)(U*) = / (mod Us+1), откуда x2-6/(0) = /(0) (mod Us) и x6/(1) = /(1) (mod Us). Во втором случае ((x, e *) ф b) = x<j>-b и

((x, e *) ф b)/ = x1-b(x1/(0) ф x1/(1)) = x1x2-6/(0) ф x1x2-6/(1) = / (mod Us+1).

Отсюда x 2-6/(i) = /(i) (mod Us), i =1, 2. Поэтому (x, e ) ф b — аффинный сомножитель обеих функций /(0) и /(1) по модулю Us-1. Обратное утверждение очевидно. ■

Пусть NLs С — подмножество функций, не имеющих аффинных сомножителей по модулю Us, s ^ —1. Легко видеть, что справедливы включения

D NL0 D NL1 D • • • D NL„_2 = 0.

Следствие 3. Если в условиях леммы 3 f(0), f(1) G Us-1 и f(0), f(1) G N^s-^, то f G .

Если функция f имеет k аффинных сомножителей по модулю Us

/¿(x) = (x,a") ф bi,

где a *i G V* линейно независимы, bi G {0,1}, i = 1,... , k, k ^ 1, но не имеет k +1 таких сомножителей, то будем говорить, что она имеет ровно k аффинных сомножителей по модулю Us. Доказательство следующей леммы очевидно.

Лемма 4. Пусть k ^ 1 и s ^ deg f — 1. Тогда следующие условия эквивалентны:

а) f имеет ровно k аффинных сомножителей по модулю Us;

б) при некоторой линейной замене переменных c матрицей A функция f удовлетворяет условию f (xA) = x!1... xkkh(xk+1,..., xn)(mod Us), где bi G {0,1}, i = 1,... , k, и h не имеет аффинных сомножителей по модулю Us-k.

В условиях леммы 4 с функцией f однозначно связаны также два подпространства: подпространство аффинных сомножителей L1 = (e * 1,...,e *k> ^ V * и двойственное к нему подпространство (L1 С V, первое из которых является инвариантным относительно линейных преобразований из группы G = PrGL (n,2)AGL (n, 2)fs), а второе — относительно группы G * = {A : (A4)-1 G G}. Описание групп инерции таких функций в полной линейной и аффинной группах приведено в [1]. Поэтому далее будем предполагать, что функция раскладывается в произведение нелинейных сомножителей.

Заметим, что для случая точного равенства функций (случай s = —1) разложение двоичной функции в бесповторное произведение нелинейных неразложимых сомножителей изучалось в работе [5], где показана однозначность такого разложения с точностью до перестановки эквивалентных сомножителей.

Приведём результаты, позволяющие в некоторых случаях описывать группы инерции функций для случая сравнения функций по модулю Us при s ^ 0 для произведения функций без аффинных сомножителей. С их помощью можно, в частности, описывать группы инерции в обобщённых группах для бесповторных произведений квадратичных форм. В основе применяемого подхода лежит изучение структуры множества векторов, производные по направлению по которым имеют аффинные сомножители.

Лемма 5. Пусть f (x) = f^x1 )f2(x2) (mod Uk-1), degf = k, degf = ki > 1, xi = (xi1, ...,xin.), x = (x1,x2), i = 1,2. Обозначим через V пространство V = = {ei1,..., e^;}, г*= 1, 2, V = V ф V2, V1 U V2 = {0}. Тогда

1) для всех a = (a1, a2), ai G Vi, i =1, 2, выполняется сравнение

Aaf = (Д01 f1)f2 ф (Д„2f2)f1 (mod Uk-2);

2) f имеет линейные сомножители по модулю Uk-1 в том и только в том случае, когда при некотором i, i G {1, 2}, функция fi имеет линейные сомножители по модулю Uki-1.

Доказательство. Первое утверждение леммы вытекает из равенства Aof (x) = (A01 f1)(x1)f2(x2) ф (До2f2)(x2)f1(x1 ф a1).

Докажем второе утверждение. Пусть функция f имеет линейный сомножитель по модулю Uk-1: (x, / *1 ф /* 2)f (x) G Uk, где / *i G V/, i =1, 2. Тогда

(x,/* 1)f1(x1)f2(x2) ф f1(x1)(x,/*2)f2(x2) G Uk. Отсюда (x,/* i)fi(xi) G Uk;, i = 1, 2. ■

Пусть Ls(/) — множество векторов a G V, таких, что Д0/ имеет аффинные сомножители по модулю Us, — 1 ^ s ^ deg / — 1. Очевидны включения

V = Ldeg f-1 D Ldeg f-2 D • • • D L0 D L-1.

Лемма 6. Пусть выполняется условие леммы 5. Если, кроме того, при i = 1, 2 /i G NLki-1 и |(H„)fki-2)| = 1, то Lk-2(/) = Lfcl-2(/1) и Lfc2-2(/2). Доказательство. Достаточно проверить только включение

Lk-2(/) С Lki-2(/1) и Lk2-2(/2).

Предположим, что при некотором a G V функция Д0/ имеет аффинный сомножитель по модулю Uk-2. Тогда по следствию 2 при некотором 0 = e * G V *

(x, e*)Да/(x) = 0 (mod Ufc-i).

Пусть a = a1 ф a2, ai G Vni, a1 = 0, i = 1, 2. Если e * = e *1 ф e *2, e *i G Vni, i =1, 2, то предыдущее сравнение принимает вид

(x, e *1 ф e *2)(Д„1 /1 • /2 ф Д„2/2 • /1) = 0 (mod Ufc-i). Раскрывая скобки, получаем

(x, e*1 )Д01 /1 • /2 ф (x, e* 1)/1 • Д„2/2 ф Д01 /1 • (x, e *2)/2 ф /1 • (x, e *2)Д„2/2 = 0 (mod Ufc-i).

Одночлены степени k = k1 + k2, в которых имеется k1 — 1 переменных из первого множества и k2 + 1 переменных из второго множества, могут появиться только из слагаемого Д01 /1 • (x,e *2)/2. Так как |(Hnif -2)| = 1, то degД0l/1 = k1 — 1, откуда (x,e *2)/2 G Ufc2. С другой стороны, функция /2 не имеет линейных сомножителей по модулю Ufc2-1. Поэтому в силу следствия 2 должно быть e *2 = 0 и e * = e *1 = 0. Аналогично из второго слагаемого получаем a2 = 0 и a = a1 G Lfc1-2(/1). ■

Теорема 4. Пусть выполнено сравнение

/ (x) = /1(x1) ••• /m(xm) (mod Uk-1),

где deg / = k, deg / = ki > 1, xl = (x^1, ...,xin.), x = (x1,...,xm), | (Hn)fki-2) | = 1, i = 1,... ,m, причём m — максимальное число с таким свойством среди всех функций, получающихся из / линейной заменой переменных. Обозначим через Vi подпространство V = {ei1,..., ein;}, i = 1,... ,m, V = V1 ф ... ф Vm. Тогда если /i G NLki-1 и (Lki-2(/i)) = Vi, i = 1,..., m, то группа PrGL(n,2)(AGL (n, 2))fk-1) сохраняет разложение V = Vl ф ... ф Vm в прямую сумму подпространств.

Доказательство. Из леммы 6 следует, что справедливо разложение

Lk-2(/) = Lk1-2(/l) и ... и Lfcm-2(/m).

Пусть Lfc.-2(/¿) = Mi,iU.. .UMi ti —максимальное разбиение, удовлетворяющее условию (Lfci-2(/i)) = (Mi,i) ф ... ф (Mj,ti), ti ^ 1, i = 1,...,m. Тогда разбиение

m ti

Lk-2(/) ^ U Mi,j i=1j=1

также удовлетворяет условию утверждения 1. Поэтому группа Ргсь(п,2) (АОЬ (п, 2))/к ^

т ^

должна сохранять разложение V = и и Vij, где ^ = (М^-), г = 1,...,т, =

г=1¿=1

Составим базис пространства V из базисов подпространств , г

1,

, т,

= 1,... , ¿¿. Тогда, сравнивая старшие члены в многочленах Жегалкина у функций Л-(х) = /(хС), где С — матрица линейного преобразования, соответствующего переходу к этому базису, и Л-(х^) при Q € АОЬ (п, 2)^г-1), получим, что Рг^ (га,2)АОЬ (п, 2)|!к-1), а следовательно, и группа Ргсь(п,2) АОЬ (п, 2)/к 1) должны сохранять разложение в прямую сумму подпространств V = V ф ... ф что и доказывает теорему. ■

Следствие 4. Если в условиях теоремы 4 множество функций {/1,... , /т} при некотором в ^ 1 разбивается на классы АОЬ (п, 2)Ц--8-эквивалентности {/М1,..., У^р},..., {/^1 ,...,/^ч}, то

АОЬ (п, 2)

(к-в) /

АОЬ (пМ1, 2)

(кМ1 -в) '/Д1

Яр х •

х

АОЬ , /-в)

Б

9"

При в = 1 утверждение теоремы вытекает из теоремы 4. При в > 1 оно вытекает из того факта, что группа АОЬ (п, 2)/к-в) является подгруппой группы АОЬ (п, 2)/к-1).

Следствие 5. Если в условиях теоремы 4 функции / являются невырожденными квадратичными формами ранга 2г ^ 4, г = 1,...,т, причём при некотором в, 1 ^ в ^ 3, множество функций {/1,...,/т} разбивается на классы АОЬ (п, 2)и2-в-

эквивалентности {/М1,... , ^},... , {/^1,... , Л,}, то

АОЬ (п, 2)

(2т-в) /

Бр х • • • х

АОЬ , 2)/2-в)

Б

9-

Доказательство. Квадратичные формы невырождены, если число переменных совпадает со значением ранга. Поскольку невырожденные квадратичные формы / ранга 2г^ ^ 4, г = 1,... ,т, удовлетворяют условию теоремы 4, то для доказательства достаточно показать, что т — максимальное число сомножителей среди всех разложений функции /, полученных при различных линейных заменах переменных.

Предположим, что это не так. Тогда у функции / есть линейные сомножители по модулю и2т-1. Но в силу леммы 5 из условия / € N¿1, г = 1,... ,т, вытекает / € Я^2т-1. ■

Следствие 6. Пусть выполняются условия теоремы 4 и функции / являются квадратичными формами ранга 2 г ^ 4, г = 1,... , т, причём все они имеют тривиальные группы инерции в группе Нп, где п — число переменных формы /¿, г = 1,... , т. Тогда если при некотором в, 2 ^ в ^ 3, множество форм {/1,... , /т} разбивается на классы АОЬ (п, 2)^2-5-эквивалентности {/т,..., /^},..., / ,...,/„}, то

АОЬ (п, 2)

(2т-в) /

Бр х • • • х

АОЬ К, 2)/2-в)

Б

9-

Доказательство. Если все квадратичные формы невырождены, то утверждение вытекает из предыдущего следствия.

Рассмотрим теперь случай, когда некоторые квадратичные формы могут быть вырожденными. Пусть это /4+1,...,/т. С учётом классификации квадратичных форм

достаточно рассмотреть случай, когда ранг квадратичной формы на единицу меньше числа переменных, т. е. можно полагать, что

fi(xi,l) • • • , xj,n) xi,lxi,2 © ' ' ' © xj,ni-2xj,ni- 1 © xj,n ,

n = 2r + 1 = mj + 1, i = t + 1, • • •, m. Если ввести обозначение

fj(xj,1, • • • , ) hj(xj,1, • • • , xj,ni —1) © ,

то функции hj — невырожденные квадратичные формы, i = t + 1, • • •, m. Пусть f (x) = fi(x1) • • • /m(xm), f'(x) = fl • • • ftht • • • hm

Так как / = /' (mod U2m-1), переменные xj,rat+1, • • • ,xj,nm являются несущественными по модулю U2m-1. Поэтому у всякого аффинного преобразования (Q,b), такого, что

(Q, b) G AGL (n, 2)f2m-s) С AGL (n, 2)f2m-1), матрица Q после перенумерации переменных может быть приведена к виду

A B

Q 1 0 C

где C — n x n-матрица, (A, b1) G AGL (n — (m — t), 2)f^m-1), b = (b1, b2). В силу теоремы 4 получаем, что преобразование (A, b1) должно переставлять между собой функции

f1, • • • , ft, ht+b • • • , hm.

Далее, не уменьшая общности, можно полагать, что преобразование (A,b1) не изменяет порядка следования функций f1, • • • , ft, ht+1, • • •, hm. Покажем, что преобразование (Q, b) также оставляет на месте функции f1, • • • , fm. Имеем

n

f (x) = f1 • • • ftht+1 • • • hm © E Xj,nif1 ■ ■ ■ ftht+1 • • • hj-1hj+1 • • • hm (mod ^-2)^

j=t+1

Тогда из сравнения f (x) = f (xQ © b)) (mod Us) вытекает, что

n

E (lj,ni (x) © xj,ni )f1 • • • ftht+1 • • • hj-1hj+1 • • • hm = 0 (mod Uim-2), (4)

j=t+1

где lj,ni (x) —линейная функция, описывающая координату с номером nj вектора xQ©b, i = t + 1, • • •, m.

Пусть /j,n. (x) = ljni (x) © lfn. (x), где ljn. (x) —часть слагаемых функции lj,n. (x), которая зависит от переменных xj,j, 1 ^ j ^ nj, относящихся к функции hj, i = t+1, • • • , m, а lj'n (x) — от оставшихся переменных. Из вида слагаемых в правой части сравнения (4) следует, что при каждом i = t + 1, • • • , m после умножения lj'n. (x) на произведение f1 • • • ftht+1 • • • hj-1 hj+1 • • • hm в качестве ненулевых слагаемых в сравнении получаются только одночлены, не содержащие ни одной переменной xj,j, 1 ^ j ^ nj, но содержащие произведения более трёх переменных других функций. Такие одночлены могут встретиться только в i-м слагаемом суммы из сравнения (4) и, следовательно, не могут ни с чем сократиться. Поэтому при каждом i = t + 1, • • • , m должно выполняться сравнение

l"n (x)f1 • • • ftht+1 • • • hj-1 hj+1 • • • hm = 0 (mod W2m-2)-

Поскольку функции f1 , • • • , ft, ht+1 , • • • , hm по условию не имеют линейных сомножителей, должны выполняться равенства lj'n (x) = 0, i = t+1, • • • , m, что означает равенство нулю элементов подматрицы B матрицы Q. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Черемушкин А. В. Методы аффинной и линейной классификации двоичных функций // Труды по дискретной математике. М.: Физматлит, 2001. Т. 4. С. 273-314.

2. Dixon L.E. Linear Groups with Exposition Galois Field Theory. Leipzig, 1901; 2nd ed.: N.Y.: Dover Publications, 1958.

3. Черемушкин А. В. Условие однозначности разложения двоичной функции в бесповторную сумму функций при линейной замене переменных // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2017. №10. С. 55-56.

4. Черемушкин А. В. К вопросу о линейной декомпозиции двоичных функций // Прикладная дискретная математика. 2016. №1(31). С. 46-56.

5. Черемушкин А. В. Однозначность разложения двоичной функции в бесповторное произведение нелинейных неприводимых сомножителей // Вестник Московского государственного университета леса «Лесной вестник». 2004. №4(35). C. 86-90.

REFERENCES

1. Cheremushkin A. V. Metody affinnoy i lineynoy klassifikatsii dvoichnykh funkiy [Methods of affine and linear classification of binary functions]. Tr. Diskr. Mat., 2001, vol.4, pp.273-314. (in Russian)

2. Dixon L. E. Linear Groups with Exposition Galois Field Theory. Leipzig, 1901; 2nd ed.: N.Y., Dover Publications, 1958.

3. Cheremushkin A. V. Uslovie odnoznachnosti razlozheniya dvoichnoy funktsii v bespovtornuyu summu funktsiy pri lineynoy zamene peremennykh [A condition for uniqueness of linear decomposition of a Boolean function into disjunctive sum of indecomposable functions]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika. Prilozhenie, 2017, no. 10, pp. 55-56. (in Russian)

4. Cheremushkin A. V. K voprosu o lineynoy dekompozitsii dvoichnykh funktsiy [On linear decomposition of Boolean functions]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2016, no. 1(31), pp. 46-56. (in Russian)

5. Cheremushkin A. V. Odnoznachnost' razlozheniya dvoichnoy funktsii v bespovtornoe proizvedenie nelineynykh neprivodimykh somnozhiteley [The uniqueness of the binary function decomposition in a unrepeated product of non-linear irreducible factors]. Lesnoy vestnik, 2004, no. 4(35), pp. 86-90. (in Russian)