CC BY
25
Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 2 (2). 2010. С. 15-18
УДК 517.925.51
О квазилинейных неавтономных системах ОДУ с нормальной матрицей
Ю. А. Коняев*, В. И. Безяев+
* Кафедра высшей математики Российский Университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д.6, г. Москва, 117198, Россия ^ Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики Российский Университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д.6, г. Москва, 117198, Россия
С помощью нового вычислительного алгоритма изучены спектральные условия устойчивости решений квазилинейных неавтономных систем с нормальной матрицей.
Ключевые слова: устойчивость, спектральные условия, нормальная матрица.
1. Введение
Анализ неавтономных линейных и особенно квазилинейных систем ОДУ известными методами [1-4] часто сопряжён с большими трудностями. Для некоторых классов таких систем разработан вычислительный алгоритм построения точных оценок модулей их решений, приведены конструктивные спектральные критерии устойчивости решений и существования устойчивых предельных множеств, аналог принципа суперпозиции для квазилинейных систем. Полученные без использования аппарата функций Ляпунова результаты дополняют или уточняют ранее известные [1-5].
2. Вычислительный алгоритм
Теорема 1. Если для квазилинейной системы
х = А(х,£)х, х(0) = х0, х е Еп, (1)
с нормальной в области и = {|ж| < 5, £ > 0} матрицей (т.е. при выполнении в области и тождества А(х,1)А* (х,1) = А*(х,£)А(х,£) [6]) её спектр {Х^(х,£)} удовлетворяет в и условиям
а1(х,г) < И,еХ^(х,£) < а2(х,г) Ц = Т~п), (2)
тогда для квадрата модуля решения задачи Коши (1) имеют место дифференциальные неравенства
2а1(х,ф12 < ^ ^ ^(х,^2. (3)
Доказательство. В силу нормальности матрицы А(х,Ь) существует унитарная подстановка х = и(х,Ь)у такая, что
и*(х,Ь)А(х,г)и(х,£) = diag {Хг(х,г),.. .,Хп(х,£)},
и *(х,г)и (х,г) = е, |ж| = |у|.
Это даёт возможность преобразовать известное [5] дифференциальное равенство для квадрата нормы решения системы (1):
Статья поступила в редакцию 11 декабря 2009 г.
1 ны2
1 1 — Re (х* А(х, t)x) = Re (у*U*(х, t)A(x, t)U(х, t)y) = Re(y*Л(х, t)y)
2 di
Re (х, í)|у, |2
i
и с учётом (2) получить нужный результат (3). □
Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 ReЛJ• (х, t) — ^(¿)|х|а, j = 1,п, а > 0, тогда модуль решения задачи (1) определяется выражением
|хф| = (—ab(t) + |х°|-а)-^ (х0 = 0), а в случае а = 0 имеем
í
|х(£)| = |х°| exp(b(t)), где b(t) = J (p(s)ds.
0
При b(t) ^ —то (t ^ +то) тривиальное решение системы (1) асимптотически устойчиво, при b(t) < С (t > 0) — устойчиво, а в случае b(t) ^ +то (t ^ +то) — неустойчиво.
Следствие 2. Тривиальное решение системы (1) с кососимметрической или косоэрмитовой матрицей А(х, t) будет устойчивым, так как такая матрица, являясь нормальной, имеет чисто мнимый спектр.
Пример 1. Исследование системы [3, с. 68] х = (Е sin t + В(х, £))х — А(х, £)х, х £ Rn (В(х, ¿)-кососимметрическая матрица) с помощью функции Ляпунова в стандартной форме у(х) — | х |2 не даёт результата, так как её производная в силу системы v = 2v sin t знакопеременна. Но по следствию 1 с учётом того, что матрица А(х, t) нормальная с ReЛ^á (t) — siní ( j = 1,п), мы имеем устойчивое решение, так как
í
1Н|х|2 , |2 . Г .
-—= |х| siní и sinrdr < 2.
0
Пример 2. Предложенный алгоритм упрощает исследование устойчивости системы уравнений малых колебаний пространственного гирогоризонтокомпаса
[7]:
/0 ш° 0 ü(t)\
-ш° 0 Ü(t) 0
0 —n(t) 0 — ш°
\—ü(t) 0 ш° 0 J
х =
х — А(Ь)х,
( ) sin °
х1 = д1 ._^, х = 02, х3 = о3, х4 = 2В о4-
y/gR' 2 2 3 44(тiVgR)'
v(t) — абсолютная скорость точки подвеса, R — радиус Земли (при этом v2 ^ gJR), fi(í) — проекция абсолютной угловой скорости чувствительного элемента гирогоризонтокомпаса на направление геоцентрической вертикали, ш° = \fgJR, 2В cose = miv, В,т,1, е° — величины, определяемые конструкцией гироскопа, S j (j = 1,4) — углы ориентации осей чувствительного элемента в неподвижной системе координат.
В работе [7] эта система исследуется с помощью достаточно громоздкого метода. Но в силу следствия 2 тривиальное решение этой системы с кососимметри-ческой матрицей А( ) всегда устойчиво.
О квазилинейных неавтономных системах ОДУ с нормальной матрицей
17
Теорема 2. Если для системы
х = А(х,€)х + / (х,$, х(0) = х°, / (0,1) = 0, (4)
спектр нормальной в П матрицы А(х, £) удовлетворяет неравенствам Ие Х^ (х, £) < —С1|ж|а (] = 1,п, С1 > 0, а > 0) и для достаточно гладкой функции /(х,1) справедлива оценка |/(х,1)\ < С2\х\1+^ (С2 > 0, @ > а), тогда тривиальное решение системы (4)) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Доказательство следует (с учётом теоремы 1) из дифференциального неравенства [5]
1 ^ |тР
= Ке(х*А(х,г)х) + Ке(х*/(х,$) < Ке (у*Л(х,г)у) + С2\х\2+^ <
< — С1\х\2+а(1 — С2/С1\х\^~а~) < —Сэ|ж|2+а (0 < Сз < С1)
и соответствующей оценки (а > 0, ж(0) = 0) |ж(£)| < (аС3Ь+х(0)-а)-1/а ^ 0 ( Ь ^ +то) или (при а = 0) \х(г)\ = \ж(0)\ ехр(—С31) ^ —то(£ ^ +то), что и требовалось доказать. □
Теорема 3. Если для системы
х = (А(х, г) + В(х, £))х, ж(0) = х0, х е Кп
с нормальными в области П матрицами А(х,£) и В(х,1) (сумма нормальных матриц в общем случае не является нормальной матрицей [6]) спектр этих матриц удовлетворяют в П тождествам Ие (х,£) = аА(х, 1), Ке Хв3 (х,1) = ав(х,£) (] = 1,п), то справедливо дифференциальное равенство
= (аА(х,Ь) + ав (х,Ь))\х\2.
Доказательство. С учётом теоремы 1 и унитарных подстановок х = иА(х, Ь)у и х = Ив(х,1)х (\ж| = \у\ = \х\) имеем:
1 ё| х I2
= Ие (х*А(х, Ь)х) + Ие (х*В(х, £)х) =
= Ке(у* ЛА(х,г)у) + Ке(г*Лв (х,?)г) =
= ^ХА. (х,Щу^\2 + ^ Хв, \2 = (аА(х,г) + ав (х,г))\х\2
11
что и требовалось доказать. □
Замечание. Теорема 3 имеет место и в случае, когда матрица квазилинейной системы равна сумме конечного числа нормальных матриц.
Пример 3. В работе [3, с. 156] с помощью достаточно громоздкого алгоритма доказана неустойчивость при 0 < а < 2Ь линейной неавтономной системы х =
А(г)х, А(г) = {а^(г)]2,
а11(I) = — + & сов2(Ы), а12 = Ь — 0,5а вт(2Ы), а21(к) = —Ъ — 0, 5а вт(2Ы), а22 = —Ь + а 8т2(Ы),
хотя спектр матрицы А(Ь) лежит в этом случае в левой полуплоскости: Х1,2 = 0, 5(а — 2Ь ± Vа2 — 4Ь2). Если матрицу А(1) представить (после замены т = Ы) в
виде суммы двух нормальных матриц:
„ td í \ л ( 0 Л D, л (—1 + С° cos2T —0,5С° sin 2r \ А(т) = А° + В(т), А° = 1 0 , В(т)=[ 2 ),
\-1 0J V —0, 5 С° sin 2т — 1 + С° sin т)
тогда из теоремы 3 и структуры спектра матриц А° и В(т) : Л^01,2 = ±i, Лвг = — 1, Лв2 = С° — 1 (С° = а/b) имеем асимптотическую устойчивость при 0 < а < b, устойчивость при 0 < а = b и неустойчивость в случае а > b > 0.
Пример 4. Для системы [4, с. 23]
х= (а — f(Г) а ——1(г))х, г2 = х2 +х2, f(r) = r2k-i sin(1/r)
с учётом дифференциального равенства — | = ( а — f (г))|х|2, существует при
2d
0 < а < 1 конечное число устойчивых предельных циклов, а в случае а = 0 их число бесконечно.
Литература
1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — С. 472.
2. Баутмн Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1990.
3. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980.
4. Хэссард Б., Казаринов Н, Вэн Ч. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. — М.: Мир, 1985.
5. Коняев Ю. А. Метод унитарных преобразований в теории устойчивости // Изв. вузов. Математика. — 2002. — Т. 2. — С. 41-45.
6. Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1971.
7. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976.
UDC 517.925.51
On Quasilinear Nonautonomous Systems with Normal Matrix
Yu. A. Konyaev*, V. I. Bezyaev^
* Department of Mathematics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia t Department of Differential Equations and Mahtematical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
Spectral criterions for solutions of quasilinear nonautonomous systems with normal matrix research by new calculated algorithm.
Key words and phrases: stability, spectral criterions, normal matrix.
