CC BY
115О КВАТЕРНИОНАХ I. КОНЕЧНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ТОЧКИ
Ханукаев Ю.И. (khan@ptci.ru) Московский Физико-технический Институт (государственный университет)
Рассматривается техника кватернионов, как альтернатива векторного и матричного описания пространственных конечных перемещений твердого тела. Дано кватернионное описание преобразования Х.Лоренца
1. В 1853 году У.Гамильтон (1805-1865) ввел понятие кватернионов [1] как обобщение комплексных чисел на четырехмерное пространство. Аппарат кватернионов представляет собой пример четырехмерной алгебры, в которой для операции умножения однозначно определена обратная операция - деление. Особенность кватернионов состоит в правиле их умножения.
Итак, А = {а0, а1, а2, а3 } = а0 + Т1а1 + Т2а2 + Т3а3, а е Я. (11)
Операции умножения отражают возведение во вторую степень мнимой единицы и векторное перемножение элементов базиса декартовой системы координат:
2 2 2-, Т = т2 = Т3 =-1,
т °т2 =т3, т2 °т =-т3,
Т2 °Т3 = Т т3 °т2 = —т
(12)
т3 °т
Т °Т3 = Т2 .
Таким образом, имеет место гиперкомплексное пространство ао — скалярная часть кватерниона,
а = ао + Т1а1 + Т2 а2 + Т3 а3 — векторная часть кватерниона. Операции перемножения мнимых единиц позволяют записать
С = А о В = а0Ь0 — (а ■ Ь) + а0Ь + Ь0а + (а X Ь).
(1.3)
Отсюда видно, что перемножение кватернионов не коммутативно. В скалярной и матричной форме имеем
с0 = а0Ь0 — а1Ь1 — а 2ь2 — а3ь3,
с1 = а0Ь1 + Ь0а1 + а2Ь3 — а3Ь2, с2 = а0Ь2 + Ь0а2 + а3Ь1 — а1Ь3, с3 = а0Ь3 + Ь0а3 + а1Ь2 — а 2 Ь1,
с = А ■ Ь = В ■ а,
(1.4)
где А
а„
а,
а.
а.
а1 а0
— а3 а 2
а
v а3
а
а
а
а
а
В
0
Ь0 — Ь1 — Ь2 — Ь3
Ь3 — Ь2
ь1 Ь0
Ь3 Ь0
V ь3 ь2
Ь1 Ьа ;
(15)
Матрицы А и В ортогональны при условии ^ а.2 = 1, ^ 2 = 1, то есть
имеем
1=0
1=0
дело с четырехмерными матрицами поворота типа
Ь
Ь
2
2
3
3
Л =
Ао — А
А1 Ао
а 2 а3
А3 —А
а1 — а2 А3
„ ^2 х0 -хх
2 а1 ао
Произведение л - В/ = Л т
Вт =
Ао —А1 —А2 —А
а1 Ао а3 —А
а2 —А3 Ао а1
а3 а2 —А1 Ао
(1.6)
коммутативно и также дает ортогональную
матрицу
Л т
0
2 0 2 0 2 а2 — а3
0 V+а1
0 2(^2^1 +!о^3)
2(а1а2 — АоА3)
2 2 2 2 Ао +Я2 -к3
2(а1а3 + Аоа2) 2(а2а3 -Аоа1)
0 2(А3А1 — АоА2) 2(А3А2 +АоА1) Ао 2 — А12 — А22 +А32
'"3 у
(1.7)
которая поворачивает векторную часть кватерниона, оставляя неизменной его скалярную часть. Матрицы Лт и Вт выделяют между ортогональными базисами Ео, Е1 ,Е 2 ,Е 3 и ео, е1 ,е 2 ,е 3 ортогональный базис а о ,d1 ,d 2 ,d 3:
Е = Лт а, е = Вт а , Е = Л т е.
По аналогии с комплексными числами вводится понятия сопряженного кватерниона, нормы кватерниона и обратного кватерниона:
Л = ао — а - кватернион, сопряженный кватерниону Л = ао + а ,
Л о Л = Л о Л = ао2 + а12 + а22 + а32 — норма кватерниона А , Л
Л"1 =
кватернион обратный А .
Операции сопряжения и определения нормы обладают следующими свойствами: С = Л ° В, С = В ° Л, ||С|| = С ° С = Л ° В ° В ° Л =||Л||-Щ.
Если кватернион нормирован, то обратный кватернион равен сопряженному кватерниону. Операция деления определяется как умножение на обратный кватернион Л о Л"1 = Л— о Л = 1.
Требование Ао 2 + А12 + А22 + А32 = 1, обеспечивающее ортогональность матриц Лт и Вт (16), будет выполнено, если ввести параметризацию
Чг
А; =
2 , 2 , 2 2 Чо + Ч1 + Ч2 + Ч3
г = 0,1,2,3.
Каждый кватернион определяет некоторое положительное число, равное норме кватерниона, единичный вектор Т = т1а1 + Т2а2 + Тъаъ, Т2 = —1, где
а2 +а22 +а32 = 1 и угол р. Соотношения между этими величинами
выражается формулой и = д/Щ
' ( ( СОБ — + Т БШ —
^л/М
ехр
2
(1.8)
У
. 2 2 у
Представление кватерниона (1.8) аналогично представлению комплексного числа 2 = г ехр(гр), что позволяет рассматривать функции комплексного переменного как неразвернутые функции кватерниона. Точка мнимой оси
3
2
2
0
0
разворачивается в плоскость трехмерного пространства г = т1а1 + Т2а2 + Т3а3,
. и—и
гу =-.
2
2. Свойство (1.7) матриц (1.6) позволяет использовать кватернионы для описания вращения твердого тела - трехмерной декартовой системы координат. Для этого полагают, что радиус-вектор г принадлежит четырехмерному пространству г е Н , тогда отображение Н — Н по правилу
Я = Ь о г о ||Ь| = 1 (2.1)
эквивалентно преобразованию поворота. Проведем вычисления
Я = (Ла + Л) о (го + Г) ° (Ла — Л) = £Л,2 г + (Л0 +1) ° Г ° (Л0 —Л) = = (Л0 2 +Л12 + Л22 +Л32)Г0 + (—!■ Г + Л0Г + Лх Г) о (Л0 —Л) = (2.2)
= (Л/ +Л/ +Л2 +Л3 )т0 + r(Л / -Л ) + 2Л(Л • r) + 2Л0Лхr.
В скалярной форме имеем Яо = (Л0 2 +Л12 + Л22 + Л32)го,
r1 = (Ло 2 -л12 Л 2 2 -л32)г1 + 2л1(л1г1 +л2 r2 +л3 r3) + 2Ло (Л 2 г3 -л3 г2)
= (Ло 2 +л12 Л 2 2 -л32)гг1 + 2(Л 1Л 2 Л оЛ 3 )r2 + 2(л1л3 + Л оЛ 2 )r3 ' я2 = (Ло 2 -л12 Л 2 2 -л32)г2 + 2 Л 2 (Л 1 r1 +л2 r2 +л3 r3) + 2Л о (Л 3 r1 -л1г3):
= 2(Л2Л1 +ЛЛ3У1 + (Ло2-Л 2 +Л22 -Л32)г2 + 2(Л2Л3 - ЛоЛ>3,
2 1 о 3 1 о 1 2 3 2 2 3
я3 = (Ло2 -л12 Л 2 2 -л32)г3 + 2л3(л1г1 +л2 r2 +л3 r3) + 2Л о (л1г2 -л2 r1) = = 2(л3л1 Л оЛ 2 )r1 + 2(Л 3Л 2 +лол1)г2 + (Ло 2 -л12 Л 2 2 +л32)г3
или в матричном виде Я = Л-r , где Л-матрица (1.7). Норма кватерниона и норма его векторной части сохраняются.
Векторная часть преобразования (2.2) может быть получена прямым геометрическим построением.
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси точки тела описывают окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а радиус-вектор r любой точки с началом на оси вращения описывает коническую поверхность и преобразуется в вектор R.
Поворот вокруг оси, совпадающей по направлению с единичным вектором e = e1a1 + e2 a2 + e3 a3,
на угол (О можно определить скаляром Л = CoS—
о 2
и вектором L = e sin — 2 = e1 Л1 + e 2 Л2 + e3 Л3,
O Л1 =ai sin— 2, а12 +а22 +а32 = 1.
Величины Лi, i = 0,1,2,3 называются параметрами Эйлера, которые можно считать прямоугольными декартовыми координатами точки в четырехмерном пространстве. Точки на гиперсфере Ло2 +Л12 +Л22 + Л32 = 1 определяют конечное положение тела. Выразим матрицу поворота через параметры Эйлера.
Пусть N общее основание перпендикуляров, опущенных из точек p и P на вектор L . Единичный вектор вдоль отрезка Np обозначим через n и введем единичный вектор s = e X n. Разложим вектор R по трем взаимно ортогональным направлениям e,n, s. R = eON + nNP cos p + sNP sin p, где ON = e • r, NP = Np, nNp = r - eON , sNP = e X nNp = e X r и, значит,
R = r cosp+e(e • r)(1 - cos p) + (e Xr)sinp =
= r
г 2 p -2 рл cos — - sin
+ 2e(e • r)sin2 P+2(e X r) sin P cos P = 2 2 2
v 2 2 У
= r(lo2 -L2)+ 2L(L • r) + 2Ao(LXr). (2.3)
Это выражение совпадает с векторной частью (2.2).
Проведенное построение показывает, что преобразование R = L о r о L = Л • r есть поворот вектора r в положительную сторону вокруг оси e , либо изменение описания вектора r при повороте в противоположную сторону системы координат.
Аналогично, преобразование r = L о R о L = Л • R есть поворот вектора R в отрицательную сторону, либо изменение описания вектора R при повороте системы координат в положительную сторону.
Формуле (2.3) можно придать другой вид введением вектора конечного
поворота F = e tgР (2.4)
2
Равенства sNP = e X nNp = e X r, ON = e • r, r = eON + nNp или - nNp = (r • e)e - r = e X (e X r) позволяют записать исходное выражение
R = eON + nNP cos p + sNP sin p в виде
1"tgJ P 2tg P 2tg2 p 2tg p
R = eON + nNp-2 + (e X r)-— = r + e X (e X r)-— + (e X r) 2
1 + £ 1 + ^2 £ ! + ^2 £ ! + ^2 £ 2 2 2 2
Получили формулу Родрига (1794-1851) я = г + 2Г х (г + (г х г)) (2.5)
1 + Г2
Кватернионы поворота, записанные в виде N = Уа (1 + V¡Уа ) = Уа (1 + ¥у)
Ь = Яо(1 + Х!Хо)=Ао(1 + Тх\ М = ,(1 + Р/МО) = МО(1 +
устанавливают также связь между векторами конечного поворота ^ = гу Ъ£, Гя= ея Ъ£, е, Ъ£,
N = у0 (1+к)=М о ь = Мо (1+Г)о яо (1+Тя)=,л (1 - Гя+ Г + Гя+ Гх ¥х)=
V
А (1 - Fr Fx]
V
r Fy + Fa + FvX FА
1 + у л у л
1 - F- Fx
V у л j
Из этого равенства получаем правило сложения векторов поворота
¥„+ Г, + ¥„х Г / ч , ч
Г = \ Я , Я, V = ,0Я0(1 -¥■ Жя) (2.6)
1 - Fy- Fa
3. Аппарат кватернионов может быть использован для описания метрики Г.Минковского (1864-1909), инвариантной относительно преобразования
Х.Лоренца (1853-1928). Обозначим какое-либо событие в пространстве-времени кватернионом X = Хо + таХа, где Хо = гсТ, Т — время, с — скорость света
(фундаментальная постоянная), Xа — декартовы координаты точки. Интервал
между двумя событиями метрики Минковского определяется формулой
52 = х о ~ = X о X = Б2. Результаты измерений одного и того же события, наблюдаемого двумя наблюдателями 5 и Б, связаны преобразованием Лоренца
г // = (я // — ут ), т± = я±, г =
Т-
У ■ я
7, 7 = ¿1—Ут , (31)
оставляющим инвариантным интервал
5
^ + у±2 — с2г2
:Я/ + я±2 — с 2Т2 = Б2.
Формально преобразование Лоренца есть "жесткое" преобразование пространства-времени в себя и описывается ортогональной матрицей Б:
ха = БарXр . Например, при движении вдоль оси OX1
' скш — ¡8к ш 0 0 ^ Г г —гуУ/с 0 0
Б = ¡8кш скш 0 0 гуУ/с 7 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
V 0 0 0 1) V 0 0 0 1
Рассмотрим преобразование Ь о Я о Г,
(3.2)
(3.3)
. ^ ^ ^ ^ гШ . гш , Ш . , Ш
где я = гсТ + Т1 X1 + т2 X2 + Т3 X3, Ь = со^-^ + Т1$,т-^- = ск у + Т1 г$к у.
Запишем в матричном виде произведение
Ь о Я = Л0Xо — I ■ X + Л0X + XoЛ + Лx X = = ( X — ¿1Xi —12 X 2 — ¿3 X 3 ) ( X + Л0 XI —Л3 X 2 + Л 2 X 3 )+
+ Т2 (¿2Xо +Л3X1 +¿0X2 — ¿1 X3 ) (¿3X —¿2X1 +¿1X2 +¿0X3 ).
В произведении кватернионов Ь ° Я первому сомножителю соответствует квадратная матрица, а второму - матрица столбец
Ь о Я ^
¿0 — ¿1 — ¿2 — ¿3 ^ г ^ ^
¿1 ¿0 — ¿3 ¿2 X1
¿2 ¿3 ¿0 — ¿1 X 2
¿3 — ¿2 ¿1 ¿0 ) 1X 3 )
= а2я
(3.4)
Далее запишем в явном виде произведение
Я о ~ =Л0Xo +1 *■ X + Л*0X — X0Л*+Л*x X = = (¿0X0 +л; X1 +¿2 X 2 +¿3 X 3 ) (—л; х +¿0X1 — ¿3 X2 +¿2 Xз)-(—¿2 ^0 +¿3 X1 +¿0X2 — л; X 3 ) (—¿3 ^0 —¿2 X1 +¿2 X2 +¿0X3),
+
+ Т
Я о Ь ^
Ло — ¿1 —¿2 — Л 3 ] г Xo >
¿1 ¿0 ¿3 — ¿2 Xl
¿2 — ¿3 ¿0 ¿1 X2
¿3 ¿2 — ¿1 Ло ) 1X3 )
■ В2я.
(3.5)
В последнем равенстве учтено, что Л* =Л и ¿* = —Л , а = 1,2,3.
По сравнению с выражением (3.4) транспонированным оказался блок, соответствующий векторной части. Это понятно: кватернионное и комплексное
сопряжения в рассматриваемом случае совпадают, то есть Ь* = Ь, а
произведение Я ° Ь* = Я о Ь отличается от произведения Ь ° Я знаком векторного произведения.
Вычислим результирующую матрицу преобразования
S = AZ • BZ = BZ • AZ =
^2Яo 2 — 1 — 2ЯЯ1 — 2ЯЯ2 — 2Я/?Я3^
2A2Ao V 2Я3Я
1 — 2Я12 — 2Я1Я2 — 2Я1Я — 2Я2Я1 1 — 2Я22
—2Я3Я1 —2Я3Я2
— 2Я 2 Я 3 1 — 2Я 32
(3.6)
В рассматриваемом случае Я = ек— Я, = ish— Я2 =Я3 = 0 и £ совпадает
0 2 2 3 с (3.2). Само преобразование г = БЯ есть преобразование Лоренца (3.1)
V
ict = icTy — i—X ху = ic
T —
VXl
c2 y
Y, X = —VTy+ X y, x2 = X 2, x3 = X 3.
В общем случае V = e V и кватернион преобразования имеет вид
iw . iw . iw . iw L = cos--i-та, sin--+T9a9 sin--+т3а3 sin—,
2 11 2 2 2 2 3 3 2
(3.7)
V2 V V2
где cos iw = chw = Y= 1 J1--^, sin iw = ishy = i—y = iV cJ 1--— •
Матрица поворота (3.3) в рассматриваемом случае принимает вид
S ■
— г—y c
•V2 — i—y
c
V3 — i—y
c
Y
V 2
^Y 1 + a (Y—1) aa(Y—1) aa(Y—1)
c
v2 2 i-2-y aa(Y—1) 1 + a2 (y—1) a2a3(Y—1) c
v3 2
^Y a3ai(7—1) a3ai(Y— 1) 1 + a3 (Y—1)
V c
Запишем само преобразование Лоренца
(3.8)
ict = icTY—iY^VaX,
a, c XJ
= —VjTY+ Xj YakXk (y— 1)
a=1
k=1
t =
T
V • R ~ У
Y,
r = R
V (R • V) f V (R • V) ----+---
VV
VV
VT
Y
или
(3.9)
4. В 1873 году У.Клиффорд (1845-1879) дал оригинальное описание [2]
движения твердого тела с помощью кватерниона, у которого компонентами
являются величины а + еа0, где а, а" — вещественные и комплексные числа и
£2 = 0. Впоследствии величины А = а + £а" Э.Штуди (1862-1930) назвал
дуальными числами [3]. А.Котельникову (1865-1944) в 1895 году удалось
истолковать все формулы теории кватернионов, как "неразвернутые" формулы
теории дуальных кватернионов [4], то есть установить полную аналогию тех и
других формул. Применительно к кинематике эта аналогия устанавливает
c
соотношение между движениями тела с одной неподвижном точкой и движениями произвольного вида.
Действия над дуальными числами ассоциативны по отношению к умножению и дистрибутивны по отношению к сложению. В дуальном числе
А = a + £a° = a
a
1 + £ —
V a У
°
a
[1 + £ p(A)] (4.1)
а — главная часть, а° = тот(А) — моментная часть, а° /а = р(А) — параметр числа. Если а° = 0, то р( А) = 0 и дуальное число вещественно. За модуль дуального числа принимают модуль его главной части |А| = |а|. Равенство А = а + еа° = 0
означает, что одновременно а = 0 и а о = 0 . А ± В = (а ± Ъ) + е(а° ± Ь°), А • В = (а + £ а° )(Ъ + £ Ъ°) = аЪ + £(а°Ъ + аЪ°), А = (а + £ а°) = (а + £ а°)(Ъ-£ Ъ°) = аЪ +£ а°Ъ —аЪ°
В (Ъ + £ Ъ°) (Ъ + £ Ъ°)(Ъ — £ Ъ°) Ъ2 Ъ2
Возведение в степень и извлечение корня (п — целое) производится по формулам бинома И.Ньютона:
Ап = (а + £а°)п = ап +£ па°ап—1, 4А = \¡а + £ а° = 4а + £ -.
п
Функции дуальной переменной представляют также в виде дуальной величины и считают дифференцируемыми [5]. Общее выражение для функции дуальной переменной представляет собой первые два члена ряда Тейлора, в котором
£ Ax° играет роль приращения: F(X) = f (x) + £
х°4Цх1+f° (x)
dx
(4.2)
Например, для функции exp X имеем exp X = exp x • exp £ x° = ex (1 + £x°). Для дифференцируемых функций дуальных переменных сохраняются все формулы и теоремы дифференциального и интегрального исчислений,
dXn vn 1 deX X d ln X 1 d sin X
например, -= nXn 1, -= eX, -= —, -= cos X,
dX dX dX X dX
d cos X
= -sin X, J XAdX = a+1 XA+1 + C, J cos( AX )dX = A sin( AX) + C.
dX J A +1
Фигуру, образованную двумя скрещивающимися осями Ex, E 2 и осью E,
пересекающей Ex и E2 под прямым углом, называют дуальным углом. Для
приведения единичного вектора E1 к совпадению с единичным вектором E2
необходимо оси Ex сообщить винтовое движение, состоящее из смещения §
вдоль оси E и поворота на угол (р вокруг оси E . Дуальное число Ф = ф + £§
принимают за меру дуального угла между осями Ex и E2 . Числа р,§
считаются положительными, если вращение происходит в положительную
сторону, а смещение - в положительном направлении оси винта E .
Можем написать cos Ф = cos р - £ § sin р, sin Ф = sin р + £ § cos р,
„„ sin р + £ § cos р sin р cos р + £ § „„ 2 .
= —--= —"—Г-= *§р + £§(1 + tg р).
cos р — £ О sin р cos р
Дуальный кватернион вводится равенством
Ф + Е • Ф cos—+ Е sin — = f р ^ . рЛ cos— + E sin — +e ó ( • р+E р^ sin —+E cos— =
2 2 l 2 2 2 l 2 2)
_ f р + E ■ р^ cos—+E sin — o f -ó^ 1 + eE- (4.3)
L 2 2 У L 2)
где
E
■ tjoj + т2а2 + т3а3
2 , 2 2 а1 + а2 + а3
= 1.
и
собой
представляет
произведение кватерниона поворота и соосного ему кватерниона сдвига.
Кватернион сдвига получается из кватерниона поворота простой заменой
„ « eó — . eó , — ó гл АЛ
угла р на смещение eó: cos-+ E sin— = 1 + eE —. (4.4)
2 2 2
ó ó
При этом вектор Родрига 0 = Etg< перейдет в 00 = Etge — = e E— и
2 2 2
1 + (0 0)2 = 1, 00 X(00 xR) = 0.
Рассмотрим преобразование L0 o f o L0, где f - произвольный вектор-
кватернион и Lo
ó
1 + e E— - кватернион сдвига. 2
/
1 г ó
1 + e E —
V 2 j
ó
ó
E ó e E — 2j
\ r
f -e-E • f + e-Ex f
1 -eE ó
V 2,
= f + e ó E x f.
(4.5)
Преобразование (2.5) f + 2
0 X f + 0 x(0 X f )
, эквивалентное L o f o L , при замене
1 + в 2
вектора 0 на вектор 00сразу дает (4.5) Г + ед ЕхГ .
Итак, преобразуемый вектор заменяется совокупностью того же вектора и момента вектора относительно исходного полюса.
Поскольку скользящий вектор Г, приложенный в точке с радиус-вектором
r, эквивалентен в начале координат вектору
рассматриваемое преобразование (4.5)
1 + e
f
/
и моменту
r x f
то
1 -e
= f + e r x f есть
приведение скользящего вектора Г к началу координат. Тогда преобразование
Ь о (/ + £ г х /) о Ь , где Ь = Яа +А, есть поворот вектора Г, приложенного в
точке с радиус-вектором г .
Так возникает понятие дуального вектора и винтовое исчисление [7]
Ж = Т + £ Г0 = ег (/' +£Г) = (Г Г0), (4.6)
где Г — главная часть дуального вектора,
Го
- моментная часть дуального вектора, момент. Если момент (моментная часть) дуального вектора пропорционален его главной части, то дуальный вектор (Г, рГ) называется винтом, р — параметр винта.
Вектор т0 (Ж) = рГ + г х Г называется моментом винта относительно точки О, а дуальный вектор (, р{ + г х Г) — мотором винта относительно точки О. Винт полностью определяет мотор для любой точки пространства, этот мотор в свою очередь единственным образом определяет параметр винта, и,
следовательно, сам винт
f • f0 f •(f + r xf)
p =-= ——--.
f • f f • f
(4.7)
Моментная часть мотора винта имеет минимальное значение для точек оси винта min fo = pf, г = af. При переходе к какой-либо другой точке пространства момент винта увеличивается, получая приращение, перпендикулярное вектору винта foх = г х f . Компонента момента винта коллинеарная вектору винта, остается неизменной f // = pf . Таким образом, любой дуальный вектор (f, fo), заданный в некоторой точке O, можно рассматривать, как мотор винта (f, pf) для этой точки O.
Выбором точки приведения C на оси винта компонента foх моментной
f х fo
f
2
части дуального вектора может быть обращена в нуль. Полагая гос =
{ х Го Го • Г
получаем Гс = Го + г х Г = Го--— х Г = Г—— = рГ .
ОС I2 I2
В основу всех действий над винтами положено действие над моторами, которые соответствуют этим винтам. При рассмотрении двух и более винтов выбирается в пространстве общая точка приведения О, и к ней относятся
моторы всех винтов F = f + е fo = ^ I 1 + еГ- I о (f. + е fi)
далее переход к точке C на оси винта
2
f r \
1+
V 2 у
(f + efo)
o
О
' гЛ 1 -е-°-
V 2 у
/ r \
1 -е-^
V 2 у
дает один из четырех винтов Г = 0 + е0, Г = Г + е0, Г = 0 + еГо, Г = Г + ерГ.
Любая алгебраическая операция над винтами (умножение на число, сложение и перемножение винтов) определяется как операция над моторами этих винтов, а так как каждый мотор формально выражается дуальным вектором, то алгебра винтов сводится к алгебре дуальных векторов, в которой работают обычные и дуальные кватернионы. О перенесении дуального формализма на трехмерное векторное пространство, тензорный анализ и т.д. укажем обзор [7].
Аналогия операций над дуальными объектами с операциями обычной векторной алгебры позволила А.П.Котельникову и Э.Штуди [6] сформулировать «принцип перенесения»: все формулы векторной алгебры сохраняют силу при замене векторов Г = Г или винтов Г = Г + е рГ моторами Г = { + е(рГ + г х Г), отнесенными к новой точке, и углов между винтами -дуальными углами между осями винтов.
Техника кватернионов весьма эффективна при сложении поворотов. Пусть кватернионы Ь и М заданы в исходной системе координат, и каждый из них поворачивает произвольный вектор вокруг некоторой оси: & = Ь о Я о Ь ,
& = М о я о М = М о Ь о Я о Ь о М К = N ° я ° Й, где N =М о Ь . Кватернион результирующего поворота N равен произведению составляющих кватернионов Ь и М в обратном порядке, то есть произведение кватернионов в обратном порядке есть два последовательных поворота вокруг двух осей, фиксированных в исходной системе координат. Это правило получения кватерниона результирующего поворота не изменяется при отображении составляющих кватернионов на любой базис. Пусть, например, это отображение задается кватернионом Б, то есть
NS = Б о N о Б, = Б о Ь о Б, = Б о М о Б,
NS = ~ о М о Ь о Б = ~ о М о Б о ~ о Ь о Б = М5 о ЬБ. В большинстве практических случаев кватернионы составляющих поворотов заданы своими компонентами в осях, которые они сами поворачивают. В этих же осях требуется найти компоненты кватерниона результирующего поворота. Кватернионы, заданные таким образом, называются собственными. Один кватернион всегда можно считать собственным, так как его описание в исходных и повернутых им самим осях совпадают. Если же преобразование задается двумя собственными кватернионами, то их нужно выразить в какой либо одной системе осей, то есть преобразовать первый кватернион Ь к системе осей, преобразованной вторым кватернионом ЬМ = М о Ь о М , либо записать второй кватернион М в исходной системе осей
МЬ = Ь о М о Ь . Далее кватернионы, выраженные в одной системе осей, перемножаем в обратном порядке
N = М о ЬМ = М о о Ь о М = Ь о М, N = МЬ о Ь = Ь ° М ° о Ь = Ь о М. Наконец, можно считать, что оба кватерниона Ь и М заданы в промежуточной системе координат, то есть в системе координат, в которую переходит исходная после первого преобразования. Кватернион результирующего поворота М ° Ь преобразуем к исходной и конечной системам координат
N = Ь о М о Ь о Ь = ММ о М о Ь о М = Ь о М
Литература
1. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions. Dublin, 1853
2. Clifford W. Preliminary Scetch of Biquaternions.
Proc. of London Math. Soc., 1873, v. IV, p. 381-393.
3. Study E. Ueber Nicht-Euklidische und Liniengeometrie.
Festschr. der Philos. Fakult. zu Greifswald, 1900.
4. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения
его к геометрии и механике. Казань, 1895.
5. Зейлигер Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия. ОНТИ, 1934.
6. Котельников А.П. Теория винтов и комплексные числа.
Сб. Некоторые приложения идей Лобачевского в механике и физике. Гостехиздат, 1950
7. Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения.
М., Наука, Гл. ред. физ-мат лит.,1978
Реализованы два приложения 0иаРа1ейе и Биа1Ра1ейе к пакету МАТНЕМАТ1СА 4, позволяющие проводить аналитические преобразования с комплексными и дуальными кватернионами.
Работа выполнена при поддержке РФФИ. Проект 02-07-90327
