О критических состояниях толстостенной трубы, подверженной осесимметричному внешнему и внутреннему нагружениию Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.03

О КРИТИЧЕСКИХ С ОСТОЯНИЯХ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ, ПОДВЕРЖЕННОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОМУ ВНЕШНЕМУ И ВНУТРЕННЕМУ НАГРУЖЕНИЮ

С.Я. Маковенко

Кафедра Теоретической механики и Сопротивления материалов Московского Государственного вечернего металлургического института

111250 Москва, ул. Лефортовский вал, 26

Рассматривается взаимосвязь между параметрами силового воздействия на толстостенную трубу в виде внутреннего и наружного давления и характером распределения напряжений в пластической и упругой зонах. Получены критические значения нагружений, соответствующие начальной и конечной стадиям развития пластических деформаций, исследованы некоторые закономерности процесса деформирования трубы. В частности, показывается, что при любых комбинациях внешнего и внутреннего нагружения трубы, пластические деформации начинаются всегда с внутренней поверхности, а критические параметры можно описать едиными универсальными формулами.

Рассмотрим задачу о распределении напряжений в длинной толстостенной трубе, находящейся под действием равномерного внутреннего давления $р и внешнего давления ар (Рис. 1).

Числовые параметры а и (3 , стоящие множителями при силовом параметре р, могут быть произвольными числами, удовлетворяющими соотношениям

Р - а > 0, (1)

р - а < О, (2)

или

(3 - а = 0. (3)

Дания я задача, вообще говоря, хорошо освещена в литературе. Тем не менее, при описании упруго-пластической деформации остается некоторая неопределенность в характере распространения пластической деформации в трубе в зависимости от комбинаций параметров внешнего воздействия. Это приводит к тому, что порой в литературе встречаются ошибочные данные о величине силового параметра р = /?,, соответствующего началу появления пластических деформаций в трубе, и силового параметра р = р2, соответствующего момету полного перехода материала из упругопластического состояния в пластическое.

В этой связи попытаемся найти взаимосвязь между особенностями силового воздействия на трубу, выраженными условиями (1) - (3) и характером распределения

напряжений в пластической и упругой зонах, включая появление критических состояний. Выведем также некоторые универсальные формулы для определения рх и р2, пригодные для любого воздействия типа (1) - (3).

Рассмотрим сначала случай (1).

Будем считать трубу, как это обычно принято, бесконечно длинной и материал трубы идеально упругопластическим несжимаемым, т.е. 8г = Еср = 0 (ось трубы совпадает с

осью г , перпендикулярной плоскости чертежа).

При достаточно большем параметре р в трубе образуются два слоя: пластический слой

(определяемый радиусом ГТ) и упругий слой.

Зададимся вопросом, при каком значении р = рх материал трубы начнет переходить из упругого состояния в упругопластическое состояние, при каком значении р — р2 весь материал трубы перейдет в пластическое состояние? Каково условие, определяющее границу контакта упругой и пластической зон?

Заметим, что упругое состояние материала отнюдь не идеально жесткое состояние. Однако, полагая модуль упругости Е достаточно большим и коэффициент Пуассона упругого материала равным нулю, мы сколь угодно близко упругий материал можем приблизить к идеально жесткому материалу.

Пока внутреннее давление мало, труба деформируется упруго и напряжение в полярной системе координат определяется известными выражениями [1]:

В в

ог = А--------г , о = А + — , X = 0, (4)

г- * г-где А , В - произвольные константы, а < г < Ь .

Следовательно, напряжения ог (радиальные) и Оф (кольцевые) являются главными, а третье главное напряжение (в поперечном сечении трубы) -

= у(аг + о„) (5)

V - коэффициент Пуассона упругого материала.

Заметим, что формула (5) следует из условия

= 1 ^ ~ + = °'

Для пластического участка трубы вместо (5) будем иметь:

^ \ (ог + аф) (6)

По мере увеличения давления р напряжения в рассматриваемой точке возрастают до тех пор, пока не наступит состояние текучести.

Полагаем, что при выполнении условия (1), пластическое состояние наступит, прежде всего, в кольцевой зоне, примыкающей к внутреннему контуру поперечного сечения трубы (несколько позже мы докажем, что и при любом воздействии пластическая деформация начинается с внутренней поверхности трубы).

Обозначим радиус внешнего контура этой области через гт. Очевидно, всегда соблюдается соответствие а < гт < Ъ.

В зоне текучести напряжения Ог и аф должны удовлетворять условию равновесия

с1ог Ог

—с + —

<Лг

о

- = 0.

(7)

Для плоского деформированного состояния условие пластичности записывается в виде [2]

= 2 К,

(8)

где

уг О у

А — —-= (по условию Мизеса) и

л/З

К = — стг (по условию Сен-Венана),

2

ат - предел текучести материала.

Условие (8) соответствует в сопротивлении материалов III теории прочности - теории прочности наибольших касательных напряжений. В этом условии игнорируется третье

главное напряжение о2.

Подставим в уравнение (7) вместо разности напряжений Ог — оф константу - 2К . Тогда

Ф

2К

г

(9)

Интегрируя это уравнение, получаем

2 К 1п— + С,

(10)

где С - произвольная постоянная. Из соотношений (6), (8) находим:

сг = 2 К

Л

1 + 1п —

+ С,

•т у

о, = Ж

+ С.

'т У

Для определения констант А , В, С воспользуемся граничными условиями:

аг = -(Зр при г - а,

<зг = -ар при г = Ь,

оуг = огя при г = гт.

(11)

(12)

Здесь <зу’, О1/ - радиальные нормальные напряжения соответственно в упругой и пластической зонах трубы.

Из первого условия имеем:

а

С = -2К1п — .

В таком случае в пластической области напряжения равны:

ог = 2 К 1п---------

а

аф = 2 К

аг = 2 К

Из второго граничного условия

. В

1 + 1п

а

1 , г

- + 1п — ч2 а.

а/?,

Рр,

-Рр-

а < г < гТ

Из условия (8) и представлений (4) получаем

(14)

(15)

или

В =

Г ■

В таком случае из формулы (15)

ар.

(16)

(17)

Из третьего граничного условия (12) будем иметь уравнение относительно неизвестного гТ:

К

1 гт гт

1п ~~г — + 1

а Ъ2

\

Р - а

В итоге в упругой области напряжения определяются формулами

Ъ2

(18)

Кг2 (

1 -

Кг.

1 (

О, =-^

1 +

2у

гКг2

ар

ар,

ар,

гт < г < Ь

(19)

Условию отсутствия пластических деформаций (точнее, моменту их первого появления), т.е. когда гт — а, из равенства (15) соответствует

К Р - а

1 -

а

2 Л

(20)

У

Предельному состоянию трубы, когда весь материал находится в пластическом состоянии (т.е. когда гт — Ь), из того же условия (18) находим

Рг

К

Р - а

а

(21)

Отношение найденных давлений

- 1п

Ъ2

Рг

а

,2 'Ч

1 -

а

-1

(22)

как видим, не зависит от значений параметров К и а, Р .

Полученные выражения (20), (21) свидетельствуют, что сделанное предположение о характере развития пластического состояния (начиная с внутренней поверхности трубы) оказалось верным. Для этого достаточно лишь выполнения условия (1). Сами параметры а и р при этом могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Здесь можно выделить несколько характерных случаев. А именно,

1. Р > 0, а > 0,

2. Р < 0, а < 0,

3. Р > 0, а = 0, > (р - а > 0) (23)

4. р = 0, а < О,

5. р > 0, а < 0.

Схемы нагружения, соответствующие случаям 1-5, представлены на рис. 2

Рис. 2. Схемы нагружения трубы, соответствующие началу пластической деформации с внутренней поверхности трубы

Обратимся теперь к условию (2). Из предыдущих построений ясно, что для этого случая и принятой модели пластической деформации, внутренняя поверхность не может быть началом пластической деформации. Тогда может быть таковой является внешняя поверхность трубы? Опираясь на эту гипотезу, легко выводим

Р =

К

Г

а - (3

а

\

+ 1

(24)

При гТ = Ь , получаем

Р\

К

а - Р

1 -

а

< 0

и, следовательно, наружная поверхность не может быть начальной поверхностью появления пластической деформации.

Из формулы (24) также следует

Рг

К , а2 1п

а - Р Ь2

(25)

Именно эта формула (при Р = 0) приводится в учебнике [1, стр. 430]. Однако выражение (25) ошибочно хотябы потому, что меняет знак давления - вместо сжатия имеем внешнее растяжение, т.е. пришли к схеме нагружения, представленной на рис. 2 (г), вопреки первоначальному предположению о внешнем сжатии.

Легко также доказать, что начальной поверхностью пластической деформации не может

быть и какая-либо промежуточная поверхность а < гт < Ъ .

Отсюда можно сделать вывод, что условию (2) должна соответствовать своя модель развития пластической деформации, отличная от модели, соответствующей условию (1).

С тем, чтобы уточнить модель пластической деформации трубы при выполнении условия (2), предположим сначала, что труба работает в упругой стадии. При этом, учитывая первые два из граничных условий (12), находим выражения для соответствующих упругих напряжений:

аг = р

а

а - Р

ъ-

о а - Р

Р +------------Ц- +

а

а

а - Р

1 -

а

Ь2

Г—

<а2

Полуразность выписанных главных напряжений определяет значения экстремальных касательных напряжений в материале трубы:

~Р

а

(26)

\а

Ъ2

Отсюда видно, что наиболее опасными точками трубы по теории наибольших касательных напряжений (по третьей теории прочности, согласно классификации теорий прочности в сопротивлении материалов) будут точки внутренней поверхности трубы, т.е. при г = а.

Можем также заключить, что и условие пластичности независимо от способа нагружения (1) или (2) всегда реализуется на внутренней поверхности трубы.

Из соотношения (26) вытекает, что при выполнении условия (2) условие пластичности, в противовес условию (8), следует записать на этот раз в виде

а„ = -2 К.

(27)

Сравнивая выражения (26), (27) сразу же находим

К

а

Р

а

V2

2 Л

(28)

Для описания пластических деформаций вместо уравнения (9), рассматриваем в соответствии с представлением (27) несколько измененное уравнение

2 К

СІГ г

При этом будем иметь в пластической зоне

(29)

= -2 К 1п

а

% = -2 К

1 + 1п

Рр,

„Л

- Рр,

(30)

о = —2К\ — + 1п-\2 а,

-Рр.

Сравнивая формулы (14) и (30), видим существенное различие в характере распределения напряжений в пластической зоне для случая (1) и случая (2).

Соответственно изменятся формулы распределения напряжений в упругой зоне:

Кг2 С

1 -

2 Л

Кг,

°ф = -

2 ґ ьг

1 + — Г ”

\

- ар,

ар,

-2\

Кг:

+ ар

• гт < г < Ь

(31)

Из третьего граничного условия (12) получаем

Из этого условия следует, во-первых, при гТ — а выражение (28) и при

г = Ь выражение

К . ъ2

Рг = ■-------г Ьг — . (33)

а - р а

Сравнивая полученные выражения (20) и (21) для случая (1) и (28) и (33) для случая (2),

можем заметать идентичность их структуры и записать единые для этих случаев формулы

К

Рх =

|э - а|

г 2 \ а

1 ЪТ

V у Ь2

1п

(34)

<35>

Наконец, рассмотрим случай (3), для которого выражение (26) дает

= Ог.

Из уравнения равновесия (7) получаем

<зг = С,

где С - константа.

Из первых двух граничных условий (12) получаем

= аф = -Щ>-

В упругой стадии:

ог = аф = -ар, аг = -2уар.

В пластической стадии:

Ог = оф = о2 = -ар = ~от,

где ат - предел текучести материала.

Здесь мы можем констатировать факт лишь однородного перехода упругого материала в пластическое состояние, осуществляемого одновременно во всех точках материала трубы, но не разрушения материала (по третьей теории прочности материал не разрушится).

Из изложенного можно сделать вывод, что при равномерном осесимметричном нагружении толстостенной трубы, пластическая деформация во всех случаях (кроме случая (3)) начинается с внутренней поверхности трубы и распространяется постепенно к внешней поверхности; что характеристики внешнего нагружения существенно влияют на характер распределения напряжений в пластической и упругой зонах, однако критические

параметры нагружения рх и р2 определяются на основе идентичных (универсальных) выражений вида

где

т/"

А = —рг (по условию Мизеса) и

£

К = — ат (по условию Сен-Венана). 2

ЛИТЕРАТУРА

1. Безухое НИ. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М., Изд-во “Высш. шк.”, 1968, 512 с.

2. Александров А.В., Потапов В.Д Основы теории упругости и пластичности. М., Изд-во “Высш. шк ”, 1990, 400 с.

3. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М., Наука, 1969, 420 с.

4. Соколовский В.В. Теория пластичности. М., Изд-во “Высш. шк ”, 1969, 608 с.

ON CRITICAL STATES OF THICK- WALLED TUBE SUBJECT TO BY EXTERNAL AND INTERNAL

AXIALLY SYMMETRIC LOADING

S.Y. Makovenko

Department of Theoretic Mechanic and Strength Materials The Moscow State Evening Metallurgical Institute

Lefortovsky Val st., 26, 111250 Moscow, Russia

In the article critical states of thick-walled tube is analyzed in account of the variants of the axially symmetric loading it. It is shown, that the plastic deformations in any case are beginning on the internal surface of a tube. The parameters of a loading, corresponding the moment of the beginning and the final stages of the plastic deformations, are considered.

Сергей Яковлевич Маковенко родился в 1937 г., окончил в 1960 г. Одесский инженерно-строительный институт. Доктор техн. наук, профессор, зав. кафедрой Теоретической механики и Сопротивления материалов МГВМИ. Автор 100 научных трудов.

S.Y. Makovenko (b. 1937) graduated from Odessa’s Institute of Civil Building Engineers in 1960, DSc (Eng), Professor, manager of Theoretic Mechanics and Strength Materials Department of MSEMI. He is the author of 100 publications, including 2 books.