CC BY
30
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 9 Выпуск 1 (2008)
УДК 511.9
О КОНЕЧНЫХ ЦЕПНЫХ ДРОБЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО
ВИДА1
О. А. Горкуша (г. Хабаровск)
Аннотация
В работе получена асимптотическая формула для среднего значения длин конечных цепных дробей специального вида заданного знаменателя.
О. A. Gorkusha. On finite special continued fractions. In the present work the asymptotical formula is obtained for average length of a special class of finite continued fractions with a fixed denominator.
§1. Введение
Любое рациональное число r единственным способом раскладывается в конечную непрерывную дробь длины s = s(r)
1| 1| 1|
r = tqo; qb q2,... qs] = qo + |q- + +—+ jq-
c целым q0 = [r] (целая часть r), натуральными qi,q2, ••• qs (неполные частные). Для s ^ 1 всегда qs ^ 2. Напомним, что при 1 ^ i ^ s + 1 дробь
Pi Г 1
q = [qo; qi, • • • , qi-i]
есть 1 — я подходящая дробь к г с взаимно простыми целым Рг и натуральным По определению Р0 = 1 и (^0 = 0.
г
тацию. Рассмотрим решетку Гт с 0 < г < 1/2 на плоскости:
Гт = {(п — г • т, т)|п,т € Z}.
Назовем ненулевой узел у = (у-|,у2) решетки Гт локальным минимумом, если не существует ненулевого узла решетки л = (лъЛ2) (л = Для которого
М ^ 1гти 1л21 ^ 1у21-
хР^ота выполнена при поддержке фонда РФФИ, грант N 07-01-00306 и проекта ДВО РАН 06-III-A-01-017).
Заметим, что при ограничении 0 < г < 1/2 хотя бы одно из неравенств строгое. Множество локальных минимумов будем обозначать через М(Гт). Согласно
г
II, §6, теоремы 16, 17]
М(Гт)= {±(Рг — ^г^г)}, (1)
где Рг и (^г — числитель и знаменатель подходящей дроби с номером 1 числа г. В соответствии с этим #М(Гт) = 2в(г) + 4. Эта конструкция допускает естественное обобщение в следующем виде.
Пусть Д — ограниченная и замкнутая выпуклая область на плоскости с кусочно-гладкой границей, которая содержит некоторую окрестность точки (0,0) и симметрична относительно координатных осей:
(*1,Х2) € Д (—Х1,Х2), (Х1, —Х2), (—Х1, — Х2) € Д.
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие области.
Рассмотрим аффинное преобразование
(Х1,Х2) -» (11Х1,12Х2) = Т(Х1,Х2)
с положительными числами ^ и 12. Обозначим через Т(Д) множество точек Т(х1,х2), (х1,х2) € Д.
Определение 1. Ненулевой узел у = (уьу2) решетки Гт назовем, минимумом относительно Д, если для некоторого преобразования Т
1) на границе области Т(Д) лежат только узлы у и —у;
2) внутри Т(Д) нет ненулевых узлов из Гт.
Множество таких минимумов будем обозначать через М(Гт; Д). Легко заметить, что М(Гт) = М(Гт; Д) для квадрата
Д = {(Х1, Х2) € И2 | |Х11 ^ 1, |Х2| ^ 1}.
Впервые эта конструкция была предложена Эрмптом [2; стр. 191-216] в случае
|
Д = {(х1 , х2) € К2 | х1 + х2 ^ 1}.
Позднее Мпнковскпй [3; стр. 41-60] рассмотрел более общую ситуацию с
Д = {(х1,х2) € Л2 | |х1 |е + |х2|0 ^ 1}, где 0 € [1,оо).
Такие области будем обозначать через Д0, а множество минимумов относительно Д0 — через М0(Гт). Заметим, что случай, рассмотренный Эрмитом — это М2(Гт).
Замечание 1. Из определений немедленно следуют вложения М01 (Гт) С М02 (Гт) С М(Гт) для 1 ^ 01 < 02 < оо.
Поэтому естественно считать, что М(Гт) = Моо(Гт).
Асимптотическому поведению величины s(a/d) по a (a < d) посвящен ряд работ. В работе [4] Хейльбронн доказал асимптотическую формулу
s( т! = 2!°g2<p(d) logd + O(dff-i(d))-
dj Z(2)
НОД (a,d)=1
Тонкову в работе [5] удалось улучшить оценку, заменив в остатке cr-i(d) на c-itd)- Позже Портером в статье [6] этот результат был уточнен в виде
У = 2^0g)2y(d) log d + Cф(d) + O^d5^6^
НОДа(а^)=1
Здесь C — константа, окончательно найденная Ренчем [71:
C log2/,, 2 , 4 4С'(2) Л 3 C = дат!3log2+4Y—4W —2 —2
Устинов А. В. в недавно опубликованной работе [8] доказал асимптотическую формулу в виде
У s^d^ = 2Z0g)2^(d) log d + Cф(d) + O£(d5/6log7/6+£ d)-
HOfla(a1,d)=1
Применяя подход, предложенный в [8], мы доказываем следующий результат.
Теорема 1. Пусть функция ^(x,y) = 0 описывает границу области П и не существует преобразования, T, для, которого выполнялось бы, равенство Обозначим, ч,ерез (a0,b0), (a1,b1) точки с условием,
•ф(2ао,0) = ^(ao,bo) = ^(abbi) = ^(0,2bi) = 0^
Для всех а из [0,1 ] будем рассматривать функцию Ра = в (а) со свойствами
^(u,v) = 0, для ao ^ u ^ a-|,
^(s,t) = 0, u = sP,t = va для a1 ^ s ^ 2ao;
■ф(х,у) = 0, x = s — u,y = t + v для 0 ^ x ^ ao
Определим функции g(a), д(в) равенствам,и
г Л в(а) -гол а(в)
g(a) = ——, д(в) =
1 + ав(а) ’ 1 + ва(в) ’
где а = а(в) — функция, обратная к в = в (а) Пусть
1) д(а),д(в) непрерывно дифференцируемы на отрезках [0,1], [1/2,1] соответственно;
2) не существует чисел а1, а2 Е [0,1], въ в2 Е [1/2,1], для которых
д(а) = с1а + с2 (с1 = 0) для всех а Е (а1, а2], д(в) = с1 в + с2, (ci = 0) для всех в Е (в 1, в2]•
Тогда для натурального числа d > 2 справедлива асимптотическая формула d
Y_ #M(Fa/d,П) = фИ)(ф1(П) log d + ф2(П)) + Oa,e(d5/6log7/6+£ d), (2)
a=i
НОД (a,d)=1
где £ — сколь угодно малое положительное число, ф1 (П),ф2(П) (/ф1(П) > 0)
— некоторые константы,, которые мы определим позже.
§2. Локальные минимумы и непрерывные дроби
Определение 2. Два линейно независимых узла у иц из М(Гт;П) назовем, смежными минимумами в М(Гт; П), если для некоторого преобразования T
1) узлы ±у и ±ц будут лежать на, границе Т(П);
2) внутри Т(П) не будет ненулевых узлов из Г^
П.
1 o^flbi у и —у только одновременно могут быть минимумами относитель-П.
Это свойство позволяет в дальнейшем рассматривать только узлы решетки с неотрицательными вторыми координатами.
2^ Узлы ±(1,0) всегда принадлежат множеству М(Гт;П)
3^ Узел (0, d) всегда принадлежит множеству M(Ta/d;П)
4o^ Имеют место вложения Mi(Гт) С М(Гт;П) С
5o^ Пары узлов (1,0), (—r, 1) и (—1,0), (—r, 1) - смежные минимумы в М(Гт; П) б^ Пусть Ps/Qs,Ps+i/Qs+i — соответственно предпоследняя и последняя подходящие дроби числа r Тогда узлы (Ps — rQs, Qs), (0, Qs+i) — смежные минимумы в М(Гт; П)
7o^ Любые два смежных минимума в М(Гт;П) образуют базис в Гт•
1 o — 3o
Докажем четвертое свойство. Поскольку в любую выпуклую область, симметричную относительно координатных осей, всегда можно вписать прямоугольник {(xi, Х2) Е R2 | |xi | ^ IyiI, IX2I ^ IY2I} с точкой (yi , Y2), лежащей
на границе П, то М(Гт; П) С
Теперь покажем, что М1(Гт) С М(Гт;П^ Пусть y = (Yi,Y2) Е M1(ГT)• Если
2o, 3o
Y будет принадлежать М(Гт; П)• Для таких узлов свойство доказано. Поэтому дальше будем рассматривать только узлы из М1(Гт) с ненулевыми координата-
Yi , Y2 > 0.
Согласно определения Мі (ГТ) для некоторых вещественных положительных
из Гт и у 1 /а + у2/Ь = 1.
Хорошо известно, что для любого вещественного неотрицательного 1 найдется точка Р = (и,V), лежащая на границе области Д, в которой Д имеет опорную прямую
Обозначим через Цх, точки пересечения прямой 1(1, Р) с координатными
осями ОХ и ОУ соответственно. Непрерывно продвигаясь по границе области Д по часовой стрелке от точки с нулевой первой координатой до точки с нулевой второй координатой, будем расматривать соответствие
Из свойств границы области Д следует, что каждому числу Нр Е [0, оо] соответствует либо одно значение 1, либо отрезок (1 Е К| 1 Е [0,1о]}. Последний случай возникает тогда, когда в точке Р = (0^о) облаеть Д имеет несколько опорных прямых (при этом Нр = 0). Здесь 1о^о — некоторые вещественные положительные числа.
Поскольку выполняется равенство Нр = 1 • и^, то числу Нр = У1/У2 • Ь/а соответствует только одна опорная прямая 1(1, Р) и только одна точка Р с ненулевыми координатами.
При преобразовании Т(х,у) = (х • у1/и,у • у2А) опорная прямая 1(1, Р) переходит в опорную прямую 1(Ь/а,у) области Т(Д) в точке у. Следовательно
Свойство 50 докажем сначала для узлов у = (1,0),п = (—г, 1). Прежде убедимся в том, что у,п — смежные минимумы в М (Гт). Для этого построим область Т(Д-|) с 11 = 1, 12 = 1/(1 — г). Граница ((х,у) Е К2| |х| + |у|( 1 — г) = 1} построенной области проходит через у и П' Так как г Е (0,1/2), то внутри этой области нет ненулевых узлов из Гт. Поэтому У, п — смежные минимумы в М1 (Гт). Также [9; стр. 214-215] у и п — смежные минимумы в М(Гт).
Согласно свойству 30 у,п — локальные миним умы в М(Гт; Д). Проведем через эти узлы область Т(Д). Поскольку узел у + п не лежит внутри ромба {(х,у) Е 112||х| + |у|(1 — г) ^ 1}, то внутри области Т(Д) нет ненулевых узлов решетки Гт. Таким образом, у,п — смежные узлы в М(Гт;Д). Относительно узлов (—1, 0), (—г, 1) это же доказательство проводится без изменений.
Свойство 60 следует го того, что решетка Гт однозначно определяет решетку
при этом минимальность и смежность узлов сохраняется. А так как узлы (РБ — ^5^5^ (0, 0 5+1) решетки Гт переходят в узлы (—0s/0s+1,1), (—1,0)
чисел а и Ъ внутри обл асти {(х,у) Е їі2| |х|/а + |у|/Ъ ^ 1} нет ненулевых узлов
1(1, Р) = {(х,у) Е Ї12| у + 1х = V + Ш}.
у Е М(ГТ; Д).
решетки Гт / и [1; глава 1, §2, теорема 6] 05/05+1 = [0; ^,•••,41] < 1/2, то согласно свойству 50 (Р5 — г05, 05), (0, 05+1) — смежные минимумы в М(Гт; Д).
Доказательство свойства 70 принадлежит Касселсу [10; глава III, §6, лемма
6].
Согласно определения минимума относительно Д множество узлов М(Гт; Д) можно представить в виде конечной последовательности
М(Гт; Д) = (±у0,..., ±у£,..., ±УЙ, (3)
в которой уЮ = (хг,а,У1,а), (|хг)а 1} — строго монотонно убывающая последовательность, (у!,а} — строго монотонно возрастающая последовательность неотрицательных чисел. Из перечисленных свойств следует, что
1) у|°) = (1,0),уЮ = (—г, 1),Уа = (0, (1) ^ — знаменатель числа г);
2) Уо,Уо+1) — смежные минимумы в М(Гт;Д).
Нам понадобятся следующие свойства последовательности (у^}.
80 Для каждого 1 ^ 0 найдется целое положительное число т, при котором
(1+2) | (г) , (г+1)
Га = ±Уа + тУа .
90. Для всех 1 ^ 0 1 ч (г) (г+1)
1) узлы У^ ,Упсо лежат в соседних четвертях;
пч (г+2) (г) . (г+1) . л
2) = уЫ + ^0^с т > °;
3) если уО^ и у!о+2) составляют базис решетки, то т = 1;
4) и Уо1+к) не составляют базис реше тки при к ^ 3.
10°. Среди двух смежных минимумов в М(Гт) один узел обязательно будет из М(Гт; Д).
110. Если у'0+1) Е М(Гт; Д),тоуО+2) = у^ + уО^. ^ 2
Докажем свойство 80. Так как каждая из пар уО),уО+1) и ),Уа+2) со_
ставляет базис Гт, то для некоторой унимодулярной целочисленной матрицы А выполняется равенство
(?)=а-(,#0-а -( т).
Положительность числа т вытекает го того, что последовательность (уг,а} возрастает и состоит из неотрицательных чисел.
Первые два пункта свойства 90 следуют из (1) и свойства 80, а третий пункт
— из [10; глава III, §6, лемма 6]. Для доказательства последнего пункта свойства
90 потребуется следующее утверждение:
Лемма 1. Пусть г = [ц0; ц1,..., ц5] — некоторое рациональное число. Для фиксированного целого числа 1 ^ 0 рассмотрим целочисленную функцию 5г(к)= (—1)г(Рг0г+к — 0гРг+к), в которой Рг, 0г _ числитель и знаменатель подходящей дроби числа г. Тогда для любого к ^ 2 имеем
5г(к) = 5г(к — 2) + Чг+к-1 Зг(к — 1), 5г(к) >0.
Доказательство. Этот результат непосредственно следует из соотноше-
ний
Рг+2 = Рг + Чг+1 Рг+1, 0г+2 = 0г + Чг+1 0г+1, Рг0г+1 — 0гРг+1 = ( —1 Г.
Теперь перейдем к доказательству четвертого пункта свойства 90. Пусть узлы у^ и у0+к) составляют 6азис решетки Гт. Стало быть, выполняется равенство
/ Р. __л'ГЛ • Р. , __л'ГЛ • , \
= Бг(к) = 1.
І Рі ^і Рі+к rQi+k ^
Рі
0г °г+к У
С другой стороны, из леммы 1 получаем 5г(к) ^ 5г(1) + 5г(2) ^ 2. Свойство 90 доказано.
Свойство 100 — прямое следствие предыдущего свойства. Действительно, пусть уП^,т!а+1) Е М(Гт; Д). Так как любые два смежных минимума в М(Гт; Д)
образуют базис Гт, то найдутся числа т < 1 и п > 1+1 такие, что узлы уП!, Тот!
принадлежат М(Гт; Д) и составляют базис решетки Гт. Но, так как п — т ^ 3,
то они не могут образовывать базис Гт. Поэтому наше предположение неверно и свойство 100 доказано.
Свойство 110 непосредственно вытекает из свойств 90 и 100.
Рассмотрим конечную дробь
Ь0+^—+• • • + — (агЕ(—1,1}, Ь0 Е Тл, Ьг Е N для всех 1 ^ 1, Ь5 ^ 2). (4)
|Ь1 |Ь2 |Ь 5
По определению, ДЛЯ 1 ^ 1
Рг г, , а11 а21 аг_11
Т^т = Ь0 + НТ + ^ +-----------+ тт:—
0г |Ь1 |Ь2 |Ьг_1
1— тая подходящая дробь к (4) с Рг— числителем и 0г— знаменателем дроби.
Хорошо известно [11; введение, соотношения (8), (9)], что при Р0 = 1, 00 = 0, Р1 = Ь0, 01 = 1 имеют место равенства
Рг+2 — аг+1 Рг + Ьг+1Рг+1- 0г+2 — аг+1 °г + Ьг+10г+1 (5)
для всех 1 ^ 0.
Дг (0 < г < 1/2), если конечные последовательности чисел, (аг} и (Ьг} удовлетворяют условиям:
1) Ь0 = 0; ^
2) для всех Рг — г0г = 0 с 1 ^ 1 числа аг, Ьг такие, что узел у!^ =
агУо 1) + ЬтуЦ — смежны и с Уп в М(Гт; Д).
В соответствии с (5) и определением 3, для всех 1 ^ 0 выполняется
Уа = (Р — т0ъ00. (в)
Согласно свойству 80 и тому, что последовательность (1x1,01) монотонно убывает, получаем
1 (i-1) (i)
a _ I если уа ,ya лежат в соседних четвертях,
i —1 в противном случае,
{
а так как выполняется (6), то
к если a^j 1) + kyj — смежный с у^в М(ГТ; Q),
I
bi _ - VX1
к + I в противном случае,
где к _ [|Pi-1 — rQi-л |/|Pi — rQi|].
Определение 4. Дробь
1| a1 a2| as|
— +—- + — +---------+ —
|1 ^ |bi |b2 |bs
назовем, обобщенной Q — дробью числа, r (1/2 < r < 1), если
ai | + aj +_______+ а|
|bi +1 |b2 |bs
—обобщенная Q — дробь числа, 1 — r.
В соответствии с определениями зависимость между величиной s _ s(r, Q)
— длиной обобщенной Q— дроби чиела r и мощностью множества М(ГТ; Q) имеет вид
s(r rn _/ #М(ГТ;Q)/2 — 2, если r < 1/2,
S(r,Q) \ #М(Г1-т;Q)/2 — 1^лиг>1/2. [ >
§3. Множества Дй, Д
Для каждой пары смежных в М(Га/д) (а, 1 Е N, а ^ а/2^д(а,а) = 1) минимумов у = (у-|/1,у2) и л = ('Л1/1,'Л2) с у1,у2,Л1,Л2 Е Z, 0 ^ |л1 < |у1|,
0 ^ У2 < П2 определим
(а, в) = (У2/Л2, |Л1/п|).
Согласно свойству 100 из этих двух узлов хотя бы один принадлежит М(Га/д; Д). Также из (1) и из условия НОД(а, 1) = 1 следует НОД(у1,л0 = =НОД(у2,Л2) = 1. Эти два замечания позволяют нам ввести еще одно понятие.
Для фиксированного натурального числа (1 > 2 обозначим через Дд множество точек (а, в), для которых у,л — смежные минимумы в М(Га/Д) и л Е М(Га/й; Д) по всем Га/д из (...). Здесь и в дальнейшем (...) означает множество решеток Га/д для всех а с ограничениями 1 ^ а < 1/2,Н0Д(а, 1 = 1.
Лемма 2. Пусть функция 'ф(х-у) = 0 описывает границу области Д и не существует преобразования Т, для, которого выполнялось бы, равенство
Д^> = Т(Д). Для функции ва = в(а), определенной в формулировке теоремы 1 (см. введение), построим область
Доказательство. Из определения функции во следует, что в (а) е [1/2,1] для всех а е [0,1] и в(0) _ 1/2, в(1) _ 1.
Возьмем какую-нибудь точку (а, в') го множества Q с рациональными координатами а _ У2/Л2, в' _ л1/т1 и с ограничением у1л2 + Т2Л1 > 2. Подберем число a/d _ [0; q 1,..., qs] (a, d — взаимно простые числа, qi ^ 2), у которого для некоторого i ^ 0 подходящие дроби Pi/Qi, Pi+i /Qi+i в канониче-a/d
Если а_0, то i_ 0 и a/d_ в'. А так как в' ^ в (0) и d > 2, то a/d < 1/2. Если а _ 1, то i _ 1, Pi _ 0, P2 _ 1, Qi _ 1, Q2 _ 1. Из равенства (8) находим a/d_1/^' + 1). Учитывая ограничение a/d ^1/2, получаем в' _1 и a/d_1/2. В другой ситуации исходя из соотношения У2/Л2 _ [0; qi, ...,qi] [1; теорема 6, СТр. 14], Определим ПОДХОДЯЩИе Дроби Pi/Qi, Pi+i /Qi+i числа a/d. Затем из уравнения (8) найдем числа a и d и для d будет выполняться равенство Yin2 + niy2 _ d. Таким образом, пара чисел (а, в') однозначно определяет решетку Га/d, И узлы у' _ (( —1)iyi/d,y2),n ' _ ((—1 )i+ini/d,Л2) — смежные локальные минимумы Га^.
Предположим, что (а, в') е Qd. То есть, п' е М(Га^;Q). Тогда узлы у' и у' + п' — смежные минимумы в М(Га^;Q) (свойство 110). Поэтому для некоторых вещественных чисел ti,t2 (tit2 _ 0)
^(Yiti,Y2t2) _ 4((Yi — ni)ti, (Y2 + П2Н2) _ 0 и ^(niti,n2t2) > 0.
Обозначим s' _ Yiti, v' _ n2t2, t' _ у'а, u' _ s^', x' _ s'(1 — в'), у' _
v'(а + 1) и перепишем соотношения в другом виде:
а, в ( а) Д
ку точек (в,1), (—и,"у), (х,у), удовлетворяющих условиям I = vа, и = зв, х = б(1 — в),У = ^(а + 1).
Тогда, для всех d > 2
а _ Qi/Qi+i,
(8)
^(s',t')_ -ф(х',у') _ 0, ^(u',v') > 0.
Если точка (б^!) лежит ниже отрезка {(Лб,Л"Ь) | Л Е [0,1]}, то мы имеем v/ < V. Поэтому точка (—и^/) лежит ниже луча В, проходящего через точки (0,0) и (—и, V). Однако в силу того, что отрезок {(—Лu/,Лv/)|Л Е [0,1]} получен в результате параллельного переноса отрезка {(Лх/ + (1 — Л)Б/,Лу/ + (1 — Л)^)| Л Е [0,1]} и у > у/, точка (—и^/) лежит выше луча В.
Если точка (б/,!/) лежит выше отрезка {(Лб, Л!)| Л Е [0,1]}, то и/ ^ и и v/ > V. Отсюда, то чка (—и^/) лежит выше луча В. С другой стороны, точка (—и^/) лежит ниже луча В (в результате параллельного переноса и ограничения у/ > у). Стадо быть, б/ = б и ! = ^поэтому то чка (и/, V/) лежит на границе области Д. Это означает, что наше предположение неверно и (а, в/) Е Дд.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть (1 > 2 — натуральное число. Возьмем любую точку (а, в/) с рациональными координатами а = У2/Л2, в/ = Л1/У1 из Дд. Согласно определения множества Дд найдется натуральное число а (НОД(а, 1 = 1,а < (1/2) такое, что узлы у = (±у1/1,у2),л = (+Л1/1,Л2) _ локальные минимумы решетки Га/д и Л Е М(Га/а; Д).
Возможны два случая: у Е М(Га/а; Д) и у Е М(Га/а; Д). И в том и другом случаях найдется преобразование Т, при котором узлы у и у + Л лежат на границе области Т(Д), а Л находится внутри или на границе Т(Д). Следовательно будут выполняться соотношения
^(б/,1/)= ^(х/,у/) = 0, ^(и^) ^ 0,
4(б,-Ь) = -ф(х,у) = 4(и^) = 0.
Здесь мы используем обозначения, принятые при доказательстве прямого утверждения леммы.
Если точка (б/,!/) лежит выше от резка {(Лб,Л"Ь) | Л Е [0,1]}, то v/ > V, у/ > у. Заметим, что от резок {(—Лu/,Лv/) | Л Е [0,1]} получен в результате параллельного переноса отрезка {(Лб/ + (1 — Л)х/,Л!/ + (1 — Л)у/) | Л Е [0,1]}. Поэтому точка (—u/,v/) лежит ниже луча В, проходящего через точки (0,0) и (—и, V). А учитывая, что (—и^/) лежит внутри деформируемой области, получаем v/ < V.
В других случаях получаем б ^ б/, v/ ^ V. Также замечаем, что точка (—и^/) лежит выше луча В и поэтому и/ ^ и. И, наконец, из соотношений Бв/ ^ и/ = б/в/ ^ и = Бв следует в/ ^ в. Лемма доказана.
в ( а) в (а) Е
[1/2,1].
Доказательство. Мы уже знаем, что в(а) Е [1/2,1]. Докажем, что функция "Ь(а) монотонно возрастает и непрерывна. Возьмем две тройки точек на Д : (Бг,-Ьг), (—иг, VI), (хг,уг), 1 Е {1,2}, которые связаны соотношениями
0 ^ хг ^ а0 ^ иг ^ а1 ^ Бг ^ 2а0,
(Бг,1г) = (и/в^),^^),
(хг,уг) = (—иг,^) + (Бг,Ъ), аг Е [0,1],ат = а2.
д=де=
Не теряя общности будем считать, что Б1 ^ Б2. Покажем, что х2 ^ Х-|. Если это не так, то, с одной стороны, точка (Х2,У2) лежит выше прямой, проходящей через ТОЧКИ (—и-|^-|), (Х1 ,У~|), с другой стороны, точка (х2, у 2) лежит выше прямой, проходящей через ТОЧКИ (—и-!,"^), (Х1,У1) (так как Б1 ^ Б2 И и < и2). Следовательно, Х2 ^ Х1.
Остается только заметить, что при Б! ^ Б2 выполняется неравенство 1т ^ ^2> из которого следует "1 а.1 ^ "2^2. А так как Х2 ^ Х1, то "2 ^ "1. Следовательно а ^ СХ2- Таким образом, 1( а) монотонно возрастает. Из свойств области Д следует, что 1(а) пробегает все значения из отрезка [0, Ъ1 ]. Согласно критерию непрерывности монотонной функции "Ь(а) — непрерывная функция. Из тех же соображений следует, что и( а) — монотонно возрастающая непрерывная функция, б (а) — монотонно убывающая непрерывная функция.
Из равенства в (а) = и(а)Б-1 (а) следует возрастание функции в (а) и ее непрерывность.
Рассмотрим частный случай.
Лемма 4. Для областей Д, представимых в виде Т(Де) имеют м,есто равенства
{(а в)€Д2 0 ^ а’ в ^ 1 }
\(а,в) ((1 + а)е — ае)ве + 1 —(1 — в)е ^ (1 + а)е — ае(1 — в)е/'
Доказательство. Положим
д' = {(а в) € и2 0 ^ а’в ^ 1 }
Д |(а,в) ((1 + а)е — ае)ве + 1 — (1 — в)е > (1 + а)е — ае(1 — в)е/.
Мы имеем Д П Д = 0 и
Д и Д' = {(Х,у) еЛ2| (Х,у) е [0,1] х [0,1]}.
Поэтому достаточно доказать лемму в следующей формулировке:
П е Ме(Га/а^ (а, в) е Д'.
Зафиксируем решетку Га/д (по-прежнему считаем, что НОД (а, (1) = 1). Рассмотрим два смежных локальных минимума у = (у-|/1,у2),П = (П1/1,П2) (Т1,Т2,Л1,Л2 е Z). Если п е Ме(Га/а)^о у е Ме(Га/д) (свойство 10°). А так как любые два смежных минимума в Ме(Га/д) образуют базис в Га/д (свойство 7°), то согласно свойству 11° узел у' = (у!/1,у2), смежный с п в М(Га/а) принадлежит Ме(Га/д) и у' = у + пс 1У1 I > 1п11 > 1у11 и 0 ^ у2 < П2 < у2.
Применим преобразование плоскости (ОХу) —> (Ои"), заданное равенствами и = (1Х)е, " = уе. Из определения смежных минимумов в Ме(Га/д) следует, что внутри ромба
( 1 ^ ) + мл* ( ЭД „ 1 ) <^ )
нет точек (| dx |е, | y | 0), с (x,y) £ Fa/d \{(0,0)}. Поэтому
ln.ledet ( J *20 ) +n0det ( J ) > det ( ЭДе *0 ).
Переписывая это неравенство относительно а = У2/У2 и в = |y.l/ly. J, получаем (a, в) £ П , то есть верно утверждение
П £ M0(Fa/d) (а, в) £ П'.
Теперь возьмем произвольную точку (а, в) с рациональными координатами из множества П .Обозначим a = у 2 /У2, в = Л./У. и предположим, что для соответствующей решетки ra/d узлы у = (у./d,y2),n = (-n./d,y2) — смежные локальные минимумы и у £ M0(Fa/d)-
Из условия (а, в) £ П следует, что в >
1/2. Также для узла у' = у + my
из M(ra/d) выполняется неравенство
det ( 1 у» ) + n0det ( у» 1 ) « det ( $> $ )-
Из определения минимума в M(Fa/d) следует, что 0 ^ у. -my. <П. , то есть m = [у./у.] = [1/в] = 1- Тогда последнее неравенство перепишется относительно a, в
((1 + а)0 - а0)в0 + 1 - (1 - в)0 ^ (1 + а)0 - а0(1 - в)0,
что противоречит условию (а, в) £ П . Таким образом, предположение не верно и справедливо утверждение
(а, в) £ П' => у £ M0(ra/d)-
Тем самым лемма доказана.
Из этой леммы, свойства 40 и замечания 1 непосредственно следует Замечание 2.
1) Для 1 ^ 0. ^ 02 < оо имеют место вложения
П0. С П02 С {(x,y) £ R2| (x,y) £ [0,1] х [0,1]},
П
П0. С П С {(x,y) £R2 | (x,y) £ [0,1] х [0,1]}.
§4. Вспомогательные асимптотические формулы
Мы будем использовать следующие обозначения.
1. Для натуральных чисел п и 1 функция 6п(1) — характеристическая функция делимости на п
2. Для натуральных чисел 1, п, т функция ^^(т) — число решений сравнения тХ = с1(тос1 п) относительно переменной Х е N в пределах 1 ^ Х ^ п.
3. Определим для чисел п, 1 (п е N, 1 е) сумму
п
Кп(а) = У_ Мт^ — а).
т1 ,т2 =1
4. Для целых чисел п, 1 (п ^ 1 ) И вещественных чисел , Р2, Р1, Р2 (0 < Р1, Р2 ^ п) обозначим
Фп^^1^2‘, Р1 ,Р2)= X- Мтчт.2 — 1).
д1 <ш-1 ^1 +Р1
д2 <т2 <д2 +р2
Нам понадобятся следующие асимптотические равенства.
Р
Фп^,0; Р,п) = ^Кп(Л) + О^Кй)), (9)
И°(п, 1) = ст°(п)о°(а)а, а = НОД(п, 1) [8; замечание 2]. (10)
Фп^1 , Q2; Р1, Р2) = Кп1) Р1 Р 2 + О№ (п, 1) + И2(п, 1)), (11)
^1 (п, 1) = о°(п)о°(а)о-1/2(а) log2(п + 1)п1/2,
И2(п, 1) = о°(п)о°(а) log(п + 1 )а, а = НОД(п, 1) [8; лемм а 3],
Лемма 5. Пусть Q,P — действительные числа и Р ^ 2. Определим величины равенствам,и
Фп^(^,Р)= У_ 6п(т1 т.2 — 1),
д<т1 <д+р °<т2 ^(т-| )
5п^(^,Р) = - У ^(т^ЖтО.
п
д<т1 <д+р
Пусть на, всем, отрезке ^, Q + Р] вещественная неотрицательная функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и для, некоторого А > 0
А «1 -гм 1«-А.
(12)
Тогда справедлива асимптотическая формула
Р Фп^(^,Р) = Бп^-^Р) — 2 • 6п(1 + О(Кз(Р—,п, 1)),
в которой
К3(Р-,п,1) = о/ (п)а°(а)РА 1/3 + (А1/2а1/2 + п1/2 + а)Р£, а = Я0Д(п,1).
Доказательсво. см. в [8; теорема 1, замечание 3].
Лемма 6.Пусть Q,P — действительные числа и 0 < Р ^ п. На всем, отрезке в, Q + Р] неотрицательная вещественная, функция -(х) = сопб^Ь. Тогда справедлива, асимптотическая формула
Фп^-, Q; Р) = Бп^—, Q; Р) + О^К 1)),
в которой
И4(п, 1) = (п1/2 + а)п£, а = Я0Д(п, 1).
Доказательсво. см. в [12; лемма 5].
Для области Д (см. лемму 2) и функций в (а), д(а),"д(в), удовлетворяющих условиям теоремы 1 (в дальнейшем будем рассматривать только такие функции), рассмотрим величины при 0 ^ а1 < а2 ^ 1
а2
Ф(Д, а1, а2) =
д(а)1а, (13)
а1
Н(Д;а1,а2) = У У в(т/п) — ф(д,а а2Л. (14)
П=г ^ т €£г№ ]п + тв(т/п) )
Обозначим
Ф(Д)= Ф(Д,0,1)= ^ 1а1в
(1 + ав)2’
Нв(Д)= Н^О;1^ £ ^ ф(Д)),
п=1 4 m<n 7
а
оо
(15)
(16)
н«(Д)=£К Г log2+ф(Д0; (17)
п=1 Уп/2<-ш<п \ I ) /
Н(Д) = н — На(Д)+ Кр(Д). (19)
Заметим, что все представленные ряды сходятся.
Лемма 7. Пусть 1 е ]\Г, а1, а2,и е 0 ^ а1 < а2 ^ 1, и > 0. Положим
Б(д, а1, а2, с1,и) = 1 У 1 У ^^(т)д(т/п).
— п — п
1<п<^ т €(а1 ,а2 ]
Им,еет м,есто асимптотическая формула
Б(д, а1, а2,1,и) = ^ ^Ф(Д, аьа2)^ 1о^и^ + у—^^^^Д, а1,а2)
+О^ 1ас(1)к^и)^
в которой у — константа Эйлера, С(б) — дзета-функция Римана. ДОКАЗАТЕЛЬСВО. Определим функции
¥(и,а1,а2) = у п_ у дГ^п), ^*(и, а1,а2) = У п_ у дЛпЛ
п<^ т е(а1,«2 ] ' 7 п<^ т €(01,02 ]
HOД(n,m)=1
и получим для ¥(и, а1, а2) асимптотическую формулу, используя (13).
¥(и,аьа2)= Ф(Д,а1,а2) У 1 + У У д(^т) — Ф(Д,аьа2)^ =
—п *—п\п — \п/ !
п<^ п<^ 4 т е(а1 ,а2 ] 4 7 7
= Ф(Д,а1,а2)(1ogи+у)+К(Д, а1, а2)— У U(U У_ д(т)—Ф(Д,а1,а2)
п^ п ^п т €(01,02 ] ^п7
+0а( и)"
Так как д(а) — непрерывно дифференцируема на [0,1], то
1 И д(т) = Ф(Д;а1;а2)+ Оа( А).
т €(0-1,02 ] 4 7 4 7
п
Следовательно,
¥(и, а1,а2) = Ф(Д, а1, а2)(1og и + у) + Н(Д, а1,а2) + Оа(и-1). (20)
Теперь оценим ¥*(и, а1, а2). Согласно второй формуле обращения Мебиуса
¥*(и, а1,а2) = У ^0^1 ^и,а1,а^.
а<и ' '
К этому равенству применим (20) и соотношения
—2 Z(2) I Чи.
— ^ I o(T\
n<u —2 Z(2) vv
у ц.(—) log — — Z/(2) I o(logu\ :
—2 Z2(2) V u ) '
n<u 4 7
лтг \ Ф(a,al,a2) Л , Z/(2)^ h(a,ai,a2^ ^ (logu^
V (u:«, :«2)— Z(2) (log U I Y — I ----C(2)--------- I O4 — )■
Представим ^n,d(m) — a6a(d), ще a —НОД^, —). Тогда, учитывая полученную асимптотическую формулу, перепишем S(g, ai, a2, d,u) в виде
У d У J. У g(m) — У v(и»,»,) —
a|d n<u/a m €(ai ,a21 a|d
НОД (n,m)=i
= ((2) £1(Ф(°; а1;“2)( + *—^)+н(Д;а1; »2))+>а( dаo(dU1og(u))
Лемма доказана.
Для функции а = а(в) (см. формулировку теоремы 1) определим область
Д = { (х,у ) е К2| 1/2 ^ х ^ 1, 0 ^ у ^ а(Х) } .
1 е , и е .
Б(Д, 1,и) = 1 У - У ^(т) тт { д(т/п), -------------------------—}
п п т ти
1<п<^ т €(1/2,1] ^ }
справедлива асимптотическая формула
S(Q:d:U) = Щ 2d u( ( log 2 — Ф(П)К lo^U) I Y — I С(П))
( doo(d) log u\
V u )'
OnV и
в которой
Гi log(1 I ва( в))
C(a) — Ha(a) — log 21 Ф(a) I
в(11 ва(в))
dв•
Доказательство.Определим функции ¥а(и),¥а(и) равенствами
1 V" • /9(т/п) 1 п 1
— \ тптп / ------ - — --- Ч.
¥а (и) = тт |
п<и п т^п п 11 V
п п т ти
п<^ тт€(1/2,1] ^ }
\и* I \ V 1 V • / д(т/п) 1 п 1 ¥а(и) = У — У тт <-----------------------
п<т п т€(1/2,1] ^
HOД(m,n)=1
п п т ти
т €(1/2,1] ^ >
При помощи стандартных преобразований (см. лемму 7), получаем
Б(а,1,и) = у а¥а( а). (21)
Ограничения 0 ^ а(т/п) ^ 1,т ^ п < и,
д(т/п) 1 п
>------
п т ти
эквивалентны неравенствам п+та(т/п) > и, п > и/2. Поэтому ¥а(и) можно
• 5МПИОМТЬ В ВИД6
¥а(и) = ¥1 — ¥2, (22)
¥1 = у 1 у д(т/п) ¥2 = у 1 у (д(т/п) — .1 + .
1 п п 2 п п т ти
п<^ тт€(1/2,1] и<п<^ т€(1/2,1] у 7
п+'Ш-О^ ш/п) >и
Асимптотическая формула для ¥1 находится из (16) и из равенства
¥1 = ^ 2 — Ф(Д))(1og и + у) + На(Д) + О^ и^^).
Теперь ВЫЧИСЛИМ ¥2. Поскольку
д(т/п) 1 п 1
----+----« -,
п т ти и
ТО
V" 1 Гп (д(т/п) 1 п 2Г (т2 К гл (12
¥2 = > —-1-п + та — > и 1т + Оа — .
^— п п V п т ти / V п / \и/
л, ° \ / I- \/J \/
[А] 1 А 0
ном случае. Сделаем замену переменной интегрирования т : в = т/п. Тогда
¥2 =
u/2<n<u
Поменяем последовательность суммирования и интегрирования: ¥2 =
1 + рОх (в) <n<u ' 2 ' 1 + (в) <n<u
IVV _____________V u
1 + ва
Используя (15), получаем
¥2 = log2 - Ф(П)-
в-
2 в(1 + MP)) '
Все необходимые оценки для ¥1 и ¥2 получены. Применим их к формуле (22): ¥0(u) = (log2 - Ф(П))^и + У) + C(Q) + On(^ .
Согласно формуле обращения Мебиуса
log 2 - Ф(П)^, , t'(2)^ , C(a) , O flog u^
= Z(2) llog u + Y - «2)j+ Ш + O4—)■
Осталось оценить S(Q, d,u), пользуясь (21):
S(Q,d,u) = (log2 - Ф(П))( bg(u) + У - ^(2у) + С(П)) +
O^ doo(d) log u^j
Лемма доказана.
§5. Доказательство основного результата
Положим
У/2]
Аа(1)= У_ #М(Гам Д),
а=1
НОД (a,d)=1
та (1) 1
1 = т1 т2 + п1 п2, т1 , п1 , т2, п2
т1 ^ п1, т.2 ^ п2в(т1/щ), (24)
НОД (щ, т1) = НОД (п2, т2) = 1.
Лемма 9. Для всех натуральных чисел, 1 > 2 выполняется, равенство
Аа(1)= 2Т^ (1)+ 3ф(1).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВОЮ Определим множество N^(1) = I (п1, п2, т1, т2) е Z4
НОД(щ, т1) = НОД(п2, т2) = 1,
0 ^ т1 ^ п1, 0 ^ т2 ^ п2в(т1/п1)
1 = т1 т2 + п1 п2
Величины #Ша(1) и Т^(1) связаны соотношением
3
#^И) = Т^ (1) + 2ф(1) (25)
Пусть а, 1 — фиксированные взаимно простые натуральные числа и 1 ^ а < 1/2. Обозначим через (Рг/Рг) последовательность подходящих дробей числа а/1. Используя (1), получаем
#М(Гам Д) = 2#{( 11Рг — аРг|, Рг, | 1Рг+1 — арг+11 ^+1)^+1 — ар.+1;р.+1) е
е ^^а^ Д)) + 2.
Для некоторого г определим величины п1, п2, т1, т2 равенствами п2 = |1Рг — арг|,т1 = Рг,т2 = 11Рг+1 — арг+1|,п1 = рг+1.
Так как имеют место ограничения (см. лемму 2)
1 = т1т2 + п1п2, 0 ^ т1 ^ п1, 0 ^ т2 ^ п2в(т1/п1), НОД(щ,т1) ^ШД(п2,т2) = 1,
то (п1,п2,т1,т2) е N^(1). Таким образом, каждому числу а соответствует последовательность четверок (такую последовательность обозначим через ^а(а; 1)) из N^(1). Для всех 1 ^ а, Ь ^ 1/2 с а = Ь, НОД(а, 1) = НОД(Ь, 1) = 1
^(а; 1) П ЭТа(Ь; 1) = 0,
поэтому
Аа(1) = 2£_ #ЭТа(а; 1) + ф(1).
С другой стороны
#ЭТаИ) = У #ЭТа(а; 1) + ф(1)/2.
Собирая последние два равенства и (25), получаем утверждение леммы.
Следуя Г. Хейльбронну ([4; стр. 87-96]), определим Та( 1) как число решений уравнения (23) с условиями (24). Применив дважды первую формулу обращения Мебиуса к функции Та( 1) , получаем
Т^(1)= У ц(ЬМе)Та(ЬСУ (26)
ЪсД ' '
Дальше будем использовать метод получения асимптотических оценок, изложенный в работе [8; теорема 2].
Для некоторого вещественного положительного числа и < 1 (и £ N) рассмотрим множества
1 ^ т1 ^ п1, 1 ^ т2 ^ п2в(т1/п1), 1 = т1 т2 + п1 п2, п1 < и
1 ^ т1 ^ п1, 1 ^ т2 ^ п2в(т1/п1), 1 = т1 т2 + п1 п2, п1 > и
Т1(1,и, Д) =^ (п1,п2, т1,т2) е ^
Т2(1,и, Д) =^ (п1, п2, т1, т2) еК4
Тогда
Та(1) = #Ш,и,Д) + #Т2(1,и,Д). (27)
Вычислим #Т|(1,и, Д). Исходя из определения
#Т1 (1, и, Д) = 6П1 (т1т2 — 1), при этом
1 <п1 <и т1 т2
1 ^ т1 ^ п1, 1 ^ т2 ^ — д( т ). (28)
п1 п1
То есть
#Т1(1,и,Д)= Х_ Т(д, 1,п1), где
1 ^П1 <и
Т(д, 1,п1) — число решений сравнения т1т2 = 1(тос1 п1), лежащих в области с ограничениями (28).
Для фиксированного числа п1 разобьем отрезок I = [1, п1 ] на три группы интервалов I(1), 1(2), I(3),
К;
1(;) = у 1(;), 1(;) = (а^пъЬ^щ], 0 ^ а(;),ь(;) ^ 1
г=1
по правилу:
1. функция д(т1/п1) дважды непрерывно дифференцируема по перемен-
Г (1) 1 (1) 1
ной т.1 на каждом отрезке [аг п1,Ьг п1], причем на каждом таком отрезке д(т1/п1) либо выпукла вниз, либо выпукла вверх;
2. число т.1 относится к 1(2), если выполняется равенство
(2) ( 2)
д(т1/п1) = сопз^ для всех т1 е [аг пьЦ п1];
3. число т1 относится к 1(3), если в точке т1/п-| функция д(т1 /пО не имеет
т1 .
Количество интервалов в группе 1(;) обозначим через к;.
В соответствии с ограничениями на функцию д(а) справедливы соотношения
I = 1(1) и 1(2) и Iй и 1(г) П 1(;) = 0 для г = ].
Применим на группах интервалов !(1) и I(2) леммы 5, 6, а на остальных интервалах тривиальную оценку
Фп,у (^,Р) = Sn,d(f,Q,P)+ О(Р).
Величины Фп,у(^ Р, Р) , Sn,d(f,Q,P) определены в лемме 5. В итоге получим асимптотическую формулу для Т1 (д, 1, п1) :
3
Т1 (д, 1, щ) = ^ £_ Sn1 ,d(f, а(;)п1, Р^Ш) + О(И(1) + И(2) + И(3)),
;=1 г^к;
f(m1)= Ад(^ );Р|;) = ь(;> — а?»;
(~^) , пГ V п1 / И(1) = У (щбщ (1) + Rз(Pг1)п1,f,п1,d)),R(2) = У ^4(п1,1), И(3) = у Pгз)п1'
г<к1 г<к2 г<к3
Суммируя величину Т1 (д, 1,п1) то индексу п1 е [1,и), и учитывая лемму 7, а также то , что величина R(2) вносит меньший вклад в остаток, чем R(1), получаем
#Т1 (1,и, Д) = S(g,0,1,1,и) + О ( У (R(1) + R(3))). (29)
^ П1 <и 7
Вычисление R(1)'
П1 <и
Так как д(т1/п1) — неотрицательная функция и на каждом из интервалов I
(—д(т122" = Лд"(-2 - ^Аа (0<Аа < со),
Уп1 \п^/т1 п3 \п1/ п3
то в остатке Rз(Pг1)пъf,пъd) (лемма 5) А = п3/(1Аа). Оценим
к1
У Х.п15П1 (1) < иОо(1),
1 <п1 <и ;=1
(1)
ki
L L R3(P(1)ni,f,ni,d) < Y_ R3(ni,f,ni,d).
i
Представим
^3(Pi ni,f,ni,d) < /_ R3(
1 Jn/| <U j = 1 1 Jn/| <u
Y_ R3(n1, f, П1, d) = R' + R'' + R''' + R'''',
1 Jn/| <u
R' < d1/3 У~ o^n^a^a), R'' < d 1/2 У" n1+3/2a1/2, a z— 0 0 a,£ z— 1
1 Jn/| <U 1 Jn/| <u
I''' << Y" n£+1/2, R'''' << У" n1<
a,e ^— a,e ^—
1 Jn/| <U 1 Jn/| <u
Используя неравенство Гельдера, а также оценки о0(an) ^ o0(a)o0(n),
log d < d£, 00(d) < d£,
£ £
Y_ °0(a) < ulogu, y_ °0(a)/a < log£ d ([8; лемма 8]),
a<u a|u
получаем
R' < ud1 log2+£ d, R'' < u2+£d-2 +£, R''' < u3 +£d£, R'''' < u1+£d£ a,£ a,£ a,£ a,£
(подробное доказательство изложено в [8]). Собирая все оценки, получаем
У R(1) << ud3 log3 +£ d + u2+£d 2 +£ + u2 +£d£. (30)
— a,£
1 Jn/| <u
Вычисление sumn,<uR(3). По определению, R(3) — остаток, который получен при подсчете числа решений сравнения m1m2 = d(mod П1) относительно m1 , m2,
{ m е М (a<V<3' + P<3>],0<m « f(m1)},
>-n1 ’ ’ n2 1
причем P(3) может быть сколь угодно малым положительным числом. Возьмем P(3) = 1/((k3 + 1 )n1). Тогда
£ R(3) = Oa(u).
П1 <u
Подставляя эту оценку и (30) в (29), затем используя лемму 7 и (15), (16), получаем
#T1(d,u,n) = -2_ £ d (ф(П^ log (u) + Y-^Ц) + Нв(пЛ + Oa(R(u, d)),
a|d
R(u, d) = u 1d1+£ log(u) + ud3 log3 +£ d + u2 +£d 2 +£ + u2 +£d£. (32)
Замечание 3. Для u = (dlog d)1/2 остаток R(u, d) ^ d5/6log7/6+£ d. Вычислим #T2(d,u,Q). Учитывая, что в (a) E [1/2,1], в(0) = 1/2, представим
#T2(d,u,Q) = #T(1)(d,u)- #T(2)(d,u,Q) + Oa,^u log£ d), (33)
T(1)(d,u) = < (n1,n2,m1,m2) e N4
m1 ^ n1, m2 ^ n2, d = m1m2 + n1n2, n1 > u
T(2)(d,u, Q)=< (n-|,n2,m1,m2) e N4
n2/2 < m2 ^ n2, m1 ^ n1a(m2/n2), d = m1m2 + n1 n2, n1 > u
Асимптотическая формула для величины #T(1)(d,u) в иредиоложении u = (d log d)1/2 получена в [8]:
#t <i'(d,u)=z1) у a( i°g ^ io^ ua)+y - W-^ - ^+*)+
aid
+O£(d5/6 log7/6+£ d) (34)
(H определена равенством (17)).
Приступим к вычислению #T(2)(d,u,Q). Положим
т:го Л Л А • ! 1 -fmA 1 - n2u/dl
г(П, n2, d,u; m2) = d min < — • 9 — ,--------------->.
IП2 \П2 J m2 J
Тогда
#T (2)(d,u,Q) = LLL §n2 (ml m2 — d) = T(F, d, n2), (35)
n2<d m2 mi П2 <d
при этом
п2/2 < т2 ^ п2,1 ^ т-| ^ Р(П, п2, d,u; т2).
Согласно определения ?(Д,П2, d,u; т2) разобьем пнтервал I = (п2/2,П2] на два интервала 11 = (п2/2,х], 12 = (х, П2], оде х находится из равенства
(1 _ / х \ d — п2и
91
<а
n2 \П2/ x
Мы имеем
!
, л I _d • 9(, m2 E 11;
F(Q,n2,d,u; m2) = { d-n_2uV n2 m c т
----- m2 E 12*
m2
Пусть т.2 пробегает все целые значения из II. В этом случае мы повторим рассуждения при получении оценки для величины #Т|(1,и, П) :
Т(?,1,П2) = — У Цп2,а(т2)?(П,П2,1,и;т*) + 0(И(п2)), (36)
т2 €11
где согласно (32)
Y_ R(ni) < R^u). (37)
d2 <d
Теперь пусть m2 E (x,—2]. Мы не можем воспользоваться леммой 5, потому
что
Fm(Д,П2, d,u;m2) X —3.
m2 m32
Поэтому разобьем интервал 12 точками 2*+1,..., 2к (к = [^2 п2], 1 = [к^2 х]) :
к
12 = Ц1 12,), 2)-
Тогда на каждом из интервалов ^
^т2 1,и; т2) х 2|.
Теперь воспользуемся леммой 5
1
T(F, d,n2) = — ^d2,d(m2)F(Q,n2, d,u;m2) + of^Rj),
П2 m2 el2 j=t '
p.
Rj < у • 6d2(d) + a^Ma^^PjA^3 + (л]/2а1/2 + n^2 + a)P£, a = НОД(—2, d), Pj = 2j, Aj = P3/d.
Суммируя Rj то индексу j, при этом учитывая соотношения
k k k
£Pj < —2, £p£ < d£, £p£aJ/2 < d£-1/2—3/2, j=t j=t j=t
получаем
k
У Rj < П2§п2(d) + d1/3log da0/3(—2)a2(a) + (d-1/2—3/2a1/2 + n^2 + a)d£. j=t
(38)
Дальше, как и в случае оценки остатка величины #Ti(d,u, П), приходим в
u = (d log d) 1/2
k
Rj << d5/6 log7/6+£ d.
n2<d/u j=t
Отсюда и из (35)-(38) получаем асимптотическую формулу для #T(2)(d, u,Q):
#T(2)(d,u,n) = У — У ^d2,d(m2)F(Q,n2, d,u;m2)+
n2
d2<d/u d-2/2<m2 ^d2
+Oa,£(d5/6log7/6+£ d).
Оценка главного члена получена в лемме 8. Следовательно
#T(2)(d,u,n) = У d((log2 - Ф(П))(log (—) + у - + С(пЛ +
С(2) а\ \ \иау
а|а
+Оа,£(15/б log7/б+£ 1).
Теперь мы можем вычислить #Т2(1,и, П). Для этого подставим последнюю формулу и (34) в (33), учитывая (19):
#ш>и’п)=а2) у 1(ф(п^ Ц иа) +т—Ш—0+С1(п)—мп))+
+Oa,£(d5/6log7/6+£ d),
log2 2 2
Ci(Q)= H(n) -
1 log(1 + pa(p)) i в(1 + ва(в))
dp. (39)
Дальше, пользуясь замечанием 3 и формулами (27), (31), вычислим Ta(d) : Ta(d) = z1) Ц ^(ф(п)( log a + 2y - 2Ц-^ + Ci(n)) +
aid
+Oa,£(d5/6log7/6+£ d).
Затем подставим Ta(d) в (26), и используя соотношения (см. [8], стр. 95)
V- Ц(Ъ)Ц(с) V- Ц(Ъ)Ц(с) , 2г, Л Л
*^—4ыГ = ф(Й)> L^b^ log(abc) = 0-
abc|d abc|d
получим асимптотическую формулу для Tq(d) :
Ta(d) = ||2т(Ф(П)(logd + 2y-2Z2 - ^ + Ci(n)) + Oa,£(d5/6log7/6+£ d).
Из результатов леммы 9 и из равенства
#M(Ta/d; n) = #M(r(d-a)/d; n) a > d/2
следует
Y_ #M(Fa/d;n) = 4TQ(d) + 6V(d).
a=1
НОД (a,d)=1
Положив
^ (n) 4Ф(П) ф (n) 4Ф(П)^2 (2) ^ , 4Ci(n) , 6 ,„n,
ф1(п) = ""сйГ’ ф2(п) = “даГvy-2с[2Т- ) + ""даГ +6’ ( *
получаем (2). Теорема 1 доказана.
Следствием теоремы 1 и (7) служит
Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда
У s(a/d,n) = cp(d) Гф12п) logd + ф22П) - 2^ + Oa,£(d5/6log7/6+£ d).
a=1 ' '
НОД( a,d)=1
Замечание 4. Функция ф1 (Пе) возрастает по переменной 0. Доказательство. Доказательство непосредственно следует из замечания
2 и (40).
В завершение работы вычислим константы ф1 (П|), ф2(П|) для i E {1,2}. Мы имеем из леммы 4 pai (a) = 1/(2 - a), pa2(a) = (1 + 2a)/(2 + a), из (15) Ф(П1) = 1/2, Ф(П2) = log3/2. Следовательно (см. (40))
2 2 log 3
ф1(П1) = , ф1(П2) = . (41)
Согласно формулам (16)-(19) и (39)
H(n2)= H - у U2 у 2 +m-'n-log 2 + !°|1)
n 2 n2 + m2 - mn 2
n=1 v d<2m<2n 7
1^1 / — + 2m ,4
+^ —2----2---------log 3 ), (43)
2 n n2 + m2 + mn
n=1 4 m<n 7
Ci (ni) = H(ni) - 2 (log2 2 - log 2 + 1)
Ci(n2) = Н(П2)-
log2 2 2
log
1/2
(
2(p2 - в + 1 ) 2 - Р
)
2 - Р
p(p2- p + 1)
dp.
Первообразная для функции, стоящей в интеграле равна
log(p2 - Р + 1) log
(
-2
(^Li^РР(1 + i^3)^ + Li2^Pp(1 - i^3^^ + Li2^(^3 + i^ + (V3 - 4
+Li2
где
Li2(z) = -
z 1 log(1 - z)dz — дилогарифм Эйлера.
Дальше применим свойства дилогарифма Эйлера (см. [13; глава 1, §1.3, §1.4, глава 5, §5.4,§5.5])
Li2(z2) = 2Li2(z) + 2Li2(-z),
Li2(z) + Li2(1 - z) = n2/6 - log zlog(1 - z),
Li2(r, ф) + Li2(R, Ф) = - logr log R - фФ + n2/6, если tan Ф = r sin(ф)/(1 - r cos(ф)), R = sin^)/ б1п(Ф + ф)),
11
Li2(r,n/3) = 7Li2(-r ) - -Li2(-r)
62
(здесь Li2(r, ф) = Re(Li2(rexv))). Тогда
Ci (n2) = H(n2) - log22 - ^ - Li2(-1/8) + 7Li2(-1/2)
8
72
2
2
Используя (40), вычислим
z(2)
ф2(П1) = -^(ly - 2^р_(2) + 2H(ni) - log2 2 + log 2 - 2^ + 6, (44)
z(2)
ф2(П2) =
2
z(2)
log3
z(2)
+7Li2
4
2y - 2^-^ + 2(H(n2)- log2 2)-^ - Li^ - ^ +
31
2) ) + T.
(45)
Таким образом, мы доказали
Следствие. Пусть для области П найдется преобразование Т, для которого Т(П) = П 1 € {1,2}. Тогда ф1(П) = ф1(П|), ф2(П) = ф2(П|), Величины ф1 (П|), ф2(П|) определены равенствами (18), (41)~(45).
Автор глубоко признательна В. А. Быковскому и А. В. Устинову за постановку задачи, внимание к работе, советы и критические замечания.
Z
0
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Наука, 1978.
[2] Hermite CH. Sur L’introduction des variables continues dans la theorie des nombres. Journal fur die reine und angewandte Mai hemal ik. 1851. Bd. 41.
[3] Minkowski H. Zur Theorie der Kettenbruche. Annales de PEcole Normale Superieure. 1894. V. 13. № 3.
[4] Heilbronn H. On the average length of a class of finite continued fractions.^ in Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis, Berlin, VEB, 1968, 87-96.
[5] Tonkov T. On the average length of finite continued fractions.^ in Acta Aril h.. 26 (1974), 47-57.
[6] Porter J. W. On a theorem of Heilbronn. Mathematika, 1975, v/ 22, №1, 20-28.
[7] Knuth D. E. Evaluation of Porter’s Constant. Comp, and Maths/ with Appls., v. 2, 1976, 137-139.
[8] Устинов А. В. О числе решений сравнения xy = l(modq) под графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции. Алгебра и анализ, том 20, № 5, стр. 186-216.
[9] Вороной Г. Ф. Собрание сочинений в трех томах. Киев: Издательство АН УССР, 1952.
[10] Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. М.:Мир, 1965.
[11] Боднар Д. И. Ветвящиеся подходящие дроби. Киев: Наука, 1986.
[12] Устинов А. В. О распределении чисел Фробениуса с тремя аргументами. Математический сборник, в печати.
[13] Lewin L. Polylogarithms and associated functions.^ in North-Holland Publishing Co., 1981.
Хабаровское отделение Института прикладной математики Дальневосточного
отделения Российской академии наук.
Получено 25.10.2008.
