CC BY
38
УДК 514.7
О КОГОМОЛОГИЯХ АЛГЕБРЫ ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА Si/Z2
Е. Ю. Волокитина
Саратовский государственный университет,
кафедра геометрии
E-mail: evgenia.yu@gmail.com
Вычислены диагональные когомологии алгебры Ли векторных полей на орбифолде Si jZ2 с коэффициентами в пространстве гладких функций и 1-форм, одномерные и двумерные когомологии с коэффициентами в R.
Ключевые слова: орбифолд, алгебра Ли, когомологии. ВВЕДЕНИЕ
Cohomology of Lie Algebra of Vector Fields on S1 /Z2
E. Yu. Volokitina
Saratov State University,
Chair of Geometry E-mail: evgenia.yu@gmail.com
In the present paper we calculate the diagonal cohomology of Lie algebra of vector fields on Si /Z2 with coefficients in the space of smooth functions and 1 -forms, one-dimensional and two-dimensional cohomology with coefficients in R.
Keywords: orbifold, Lie algebra, cohomology.
В работах И. М. Гельфанда и Д. Б. Фукса [1,2] было доказано, что кольцо И*(и(£1)) изоморфно тензорному произведению кольца полиномов с одной двумерной образующей и внешней алгебры с одной трехмерной образующей. В работе В. Н. Решетникова [3] рассматривалась задача о нахождении когомологий алгебры Ли векторных полей на окружности обращающихся в нуль в данной точке и были вычислены одномерные и двумерные когомологии.
Пусть £1 — единичная окружность в плоскости комплексного переменного г. В данной работе рассматриваются когомологии алгебры Ли векторных полей орбифолда £1/^2, получающегося из окружности действием группы З2, порожденной отражением относительно оси х. Эта алгебра Ли является подалгеброй алгебры Ли векторных полей на окружности. Заметим, что ограничения коциклов, представляющих образующие Гельфанда - Фукса для И * (и (£1)), на нашу подалгебру тривиальны.
1. ДИАГОНАЛЬНЫЕ КОГОМОЛОГИИ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ФУНКЦИЯХ И 1-ФОРМАХ
Пусть Ь — угловой параметр на окружности, тогда гладкими функциями на орбифолде £1/^2 являются четные периодические гладкие функции на К. Векторными полями на £1 /З2 являются дифференцирования алгебры гладких функций на £1/^2. Любое векторное поле на окружности представляется в виде X(Ь) —, где X(Ь) — гладкая периодическая функция. Аналогичным образом векторное
dt
d
поле на орбифолде £і/^2 можно представить в виде X(£) —, где X(£) — нечетная периодическая гладкая функция. Алгебра Ли и(£1 /^) векторных полей на орбифолде £1/^2 — топологическая алгебра Ли с С ^-топологией. В далнейшем будем вместо X (£) — писать просто X (£).
Пусть X ^ XV — непрерывное представление алгебры Ли и(£1 /^2), где V Є V, V — топологическое пространство. Коцепью Ь Є С9(Ы(£1/^2), V) называется д-линейный, кососимметрический непрерывный функционал, определенный на и(£1 /^) и принимающий значения в V. Дифференциал №: С9 ^ С9+1 определяется следующим образом:
dqL(Xl,... ,Xq+l) =5] (-1)i+j-1L([Xi,Xj],Xl,... ,Xi,
l<i<j<q+l
Xj
, Xq+l) +
Xs
.,Xq + 1),
(1)
+ 5] (-1ГХ^(ХЬ
1<з<д+1
где Ь е Сд(и(£1 /З), V) и [X(Ь), У(Ь)] = X(Ь)У'(Ь) - X'(Ь)У(Ь).
Если V — алгебра над К, то стандартным образом определяется внешнее произведение коцепей: пусть Ь1 е С д (и (£1 /Зг), V), Ь2 е Сг (и (£1/^2), V), тогда
Ь1 Л Ь2 (X! , . . . , ) =
© Волокитина Е. Ю., 2G12
1 < і 1 <...<г9 <д+г
і і • Я ( Я + 1)
(-1Г1+...+г* —~ Ь^ ^..^Я )Ь2 (XI,..., ,...5X9+,. ).
■+?
Можно показать, что
й(Ьі Л Ь2) — ^Ьі Л Ь2 + (—1)9Ьі Л ЙЬ2-
Для произвольного комплекса С*(и(£1 /^),V), где V — пространство гладких тензорных полей данного типа на £1/^2, определяется так называемый диагональный комплекс СД (и(£1/^2), V), состоящий из таких коцепей, что Ь^і,... 5X3) — 0 в точке і, если хотя бы одно из векторных полей XI,... 5X3 равно нулю в окрестности і.
Рассмотрим сначала комплекс С0 — {С 9(и(£1 /^2), О0(£1 /^2)),й9}, где О0(£1/^2) — алгебра гладких функций на орбифолде £1 /^.
Каждую коцепь ш из С3 можно представить в виде
Пі
П1 ,...,П,
^ (/шп1 Л ... Л шпЯ ) — ш0 Л шп1 Л ... Л шпЯ + /(п1 + ... + — д)ш1 Л шп1 Л ... Л шпЯ +
где /П1 •••п<г — функция на окружности, четная, если п1 +... + пд — д — четно, и нечетная в противном
ла/ \ С ,лг, чч (Ь)
случае; если X(Ь) — — векторное поле на окружности, то (X(Ь)) = — --------. При этом сумма
С Ь
состоит из конечного числа ненулевых слагаемых. Для этого комплекса дифференциал (1) задается формулами:
^Ь£
+/Сд (шП1 Л ... Л ), если П1 ,...,Пд = 0, йд+1(/^0 Л ^П1 Л ... Л ) =
= _/(п1 + ... + Пд — 9)и0 Л и1 Л ^п1 Л ... Л ипч — /и0 Л ^ (^п1 Л ... Л ипч),
_ д К/2]
(^п1 Л ... Л ипч ) = У^(— 1)1 1 (СП * — С£ ^ + 1)^^' Л -.7 + 1 Л ШП1 Л ... Л Л ... Л .
г = 1 ^=2
Справедлива
Теорема 1. Имеют место следующие изоморфизмы:
И0 (С0* ) = И1 (С0* ) = К и Ик (С0*)=0 при к = 0,1.
Образующей одномерных когомологий является класс коцикла и1.
Доказательство. Произвольную коцепь и нашего комплекса можно представить в следующем виде:
и / П1 ’•••’Пз ^П1 Л ... Л ^01 ’ ’Ч 1 и0 Л ик1 Л ... Л икя-1 +
п1,...,пя =0,1 к!,^,^ — ! =0,1
+ ^11’ ,Ч 1 и1 Л ^г1 Л ... Л и1ч—1 + ^т1, • • •,тч—2 ^0 Л ^1 Л ^То1 Л ... Л итч—2.
«1 ,•••,«4—1 =0,1 т1,-,тч —2=0,1
д д-1 д-1 д-2
Положим П = ^ Пг, к = ^ кг, I = ^ I,, Ш = ^ Ш,.
г=1 г=1 г=1 г=1
Предположим д > 1 и рассмотрим следующий оператор ^д: Сд ^ С?"1:
^11 ’ ’ч 1 Л,т1 ’•••>Шч—2
= 2_^ 1 + 1 _ д и«1 Л ... Л и«ч —1 ^2^ _ Ш — 2 и0 Л ШШ1 Л ... Л шШч—2 ,
«1 ,,,-,1ч— 1 =0,1 Ш1 .••,,Шч — 2 =0,1
если д _ ш _ 2 = 0. д _ ш _ 2 может равняться нулю только в случае д = 2, ш = 0, тогда положим
£
1 Г
^2 ( /п1,п2^П1 Л ип2 + и0 Л ик + #1 и1 Л + ^и0 Л I ^1 1 _ ^(т)Сти1.
п1 ,п2=0,1 к=0,1 1=0,1 1=0,1 0
t
Так как h — нечетная функция, то ее интеграл по окружности равен 0 и функция J h(r)dr —
0
периодическая.
Прямыми вычислениями можно показать, что справедливо равенство Fq+1 о dq + dq-1 о Fq = id^,, т. е. F — оператор гомотопии. Следовательно, Hk(Cq) = 0, при k > 1.
Рассмотрим случай q =1. Тогда форма нашего комплекса будет иметь вид u = f (t)un. Из формулы для дифференциала видно, что коцепь f (t)un не является коциклом при n > 1.
Пусть u = f(t)u0. Коцепь такого вида является коциклом. Коцепи нулевого порядка — гладкие четные функции на окружности и df(X(t)) = —f'(t)X = —f'(t)u0. Рассмотрим функцию t
g(t) = — f f (t)dr, тогда dg = u, т. е. коцикл f (t)u0 является границей.
0
Остается случай u = fu1. Дифференциал от такой формы равен нулю только в случае f = const. Из формулы для дифференциала нуль-коцепи мы получаем, что форма u1 не является дифференциалом, а следовательно, ее класс когомологий является образующей одномерных когомологий данного комплекса и других образующих при q > 0 нет. При q = 0 циклами являются постоянные функции. Таким образом получаем, что Hk(C0) = R, если k = 0,1. □
Рассмотрим теперь комплекс диагональных коцепей с коэффициентами в пространстве 1-форм на S1 /Z2 = {Cq (U(S1 /Z2), O1 (S1/Z2),dq}. Любая коцепь Cq представляется в виде
u = ^2 fni •••nq Um Л ... Л Unq dt,
где /nl•••nч — функция на окружности, нечетная, если п1 +... + п? _ д — четно, и четная в противном случае и
/П1 •••П^
•/П1 Л ... Л ипч . . . , )
Дифференциал вычисляется по формуле
fni uni Л ... Л unq dt(X1,...,Xq) = f ni-nq uni Л ... Л un, (X1,...,Xq )dt.
dq(funi Л ... Л un,dt) = (dq(funi Л ... Л un,) — fu Л um Л ... Л u^)dt.
Тогда
С/
(/ип1 Л ... Л ипч СЬ) = _ СЬи0 Л ип1 Л ... Л ипч СЬ + /(п1 + ... + Пд _ д _ 1)и1 Л ип1 Л ... Л ипч СЬ +
+/с??(иП1 Л ... ЛиПч))СЬ, если П1 , ...,Пд = 0,
Сд+1 (/^0 Л и„1 Л ... Л иПч СЬ) =
= /(д + 1 _ П1 _ ... _ Пд)^0 Л ^1 Л шП1 Л ... Л Ш„ч СЬ _ /и Л С^1^^ Л ... Л и„ч )СЬ.
Справедлива
Теорема 2. Имеют место следующие изоморфизмы:
И1 (С* )= И2 (С* ) = К и Ик (С*) = 0, при к = 1,2.
Образующей одномерных когомологий является класс коцикла и2СЬ, а двумерных — класс коцикла
и1 Л и2СЬ.
Доказательство. Всякую коцепь нашего комплекса можно представить в виде
u = f ni ’•••’nq uni Л ... Л un, dt + g0i’ ’9 i u0 Л uki Л ... Л uk, —1 dt+
ki ,•••,0, — i
(
n1,•••,nч =0,1 ki ^^k,—1=0,1
11, — — i
+ g1i’ ’ , iu1 Л uz1 Л ... Л u;,—1dt + ^ h^i’•• •’^, 2u0 л u1 Л umi Л ... Л um,—2dt.
11 ,•••,/, — i =0,1 mi v„,m,— 2 =0,1
n, k, l, m определяются также как и ранее. Предположим q> 1, q — l = 0 и рассмотрим опрератор Fq : Cq ^ Cq-1:
™ -,Z,—1 hmi--m,—2
Fq u = > -uii Л ... Л u; 1 dt + > ------------—u0 Л umi Л ... Л um,—2 dt,
f—' q — p , q — m — 1 ,
Z i ,•••,;, —1=0,1 mi^^m, — 2=0,1
ni ,•••,'/£
;
если т — q + 1 = 0. Пусть теперь т — д + 1 = 0. Это возможно только при д = 3,т = 2, тогда положим
f3 ^ /П1 ,П2,Пз^П1 л ^П2 л ^П3gob°2и0 Л Л ио2dt+
ni ,n2 ,n3 =0,1 k1 ,k2 =0,1
gl1,12 *
J'1 ,12 ,
//-I /\ ///7 /\ ///7 III —I— tlllln /\ ///-I /\ itlr\ll.l I _ > ------------и] /\ v
l — 2
/1 ,/2=0,1 /1 ,/2=0,1 0
+ g1 ,/2и Л и^ Л и/2dt + Л,и0 Л и Л и2dtj = g1—2и^ Л и/2 dt — h(r)dr^1 Л и2,
t
где J h(r)dr — периодическая функция, так как h — нечетная функция.
0
При p — k = 0 (это возможно только при q = k = 2) положим F2
Е /n1 ,n2 иП1 Л иП2 dt + ^ ^ g0и Л и2 dt + ^ ^ g1 и Л и/ dt + Ли0 Л ^dt^ —
n1,n2=0,1 /=0,1
t
= — J д0(т)dr^2dt + hw0dt.
0
t
где J g0(т)dT — периодическая функция, так как g0 — нечетная функция.
0
Прямыми вычислениями можно показать, что справедливо равенство Fq+1 о dq + dq-1 о Fq = id^q, и, следовательно, F — оператор гомотопии.
Пусть теперь q = l. Это возможно только в том случае, когда q = 2,l = 2. В этом случае коцепь представляется в виде
и = й + g1 и Л w2dt.
где
й = /n1,n2иП1 Л иП2 dt + g°и0 Л и0dt + Л,и0 Л и dt.
n1,n2=0,1 0=0,1
Рассмотрим d2(g1w1 Ли2dt) = — dg1(t)и0 ли Ли2dt. Слагаемое dg1 (t)и0 Ли Ли2dt в d2^ ни с чем
dt dt не может сократиться, и будет коциклом, только при g1(t) = const = с. В этом случае
d2 и = d2 й.
Для й определен оператор F, поэтому если и является коциклом, то й — граница. Из формулы для дифференциала 1-коцепи
d/
d1 (/undt) = ^^и0 Л undt + /(2 — n)u1 Л un + /c?(un)), если n = 0.
Видно, что цикл и1 Ли2dt не может являтся границей, т. е. его класс когомологий является образующей двумерных когомологий. Получаем, что H0(C) = 0 при k > 2 и H2(C1) = R.
Пусть теперь q = 1. Тогда любая коцепь может быть записана в виде
и = /undt + g1 и1 dt + g0u0dt.
Рассмотрим
d/ dg
d1u = — — и0 Л undt + /(n — 2)и1 Л un + /d 1 (un)dt —— и0 Л u1dt + g0и0 Л u1dt. dt dt
1 dg1 d/
Откуда видно, что для выполнения равенства d1 и = 0 необходимо, чтобы g0 = ——, — = 0, и либо
dt dt
n = 2, либо / = 0 (/d 1(ип)dt в этом случае равняется нулю автоматически). Тогда если du = 0, то коцепь записывается в виде
и = си2 dt + g1 ^dt + dg1 и0.
dt
Так как дифференциал нуль-мерной коцепи записывается в виде
(°(/(£) = — ((^и°С; — / (£)^1 (£,
то и = си2(: — й(д1 (£). Коцикл и2(: не является границей нуль-мерной коцепи, и поэтому его класс когомологий является образующей одномерных когомологий. Из формулы для дифференциала нульмерных коцепей видно, что только нулевая коцепь является коциклом.
Таким образом, получаем, что Н1 (С*) = К и Н°(С*) = 0. □
Обозначим через (9: С9 ^ С9 внешний диференциал форм на 5/^. В нашем случае он действует по формуле
(/
—с
М
+ /ип1 +1 Л ... Л (Х1 , . . . , Хд)(£ + /ищ Л ... Л ип? +1(Х1 , . . . , Хд)(^.
Прямым вычислением можно показать, что (9(9 = —с^'?+1 . Тогда возникает двойной комплекс
С * = 0 6д (и (£/^2)), (£/^2)) с полным дифференциалом ( + (. Так как окружность одномер-
9,р
на, то в нашем случае р = 0,1.
Справедлива
Теорема 3. Имеют место следующие изоморфизмы:
Н °(С * )= Н3(С * )= К и Нк (С * ) = 0 при к = 0,3.
С9(/^П1 Л ... Л )(Хі,... ,Хд) = — Л ... Л ^п9(X,... ,Хд)(£+
Образующей трехмерных когомологий является класс коцикла ^1 Л и2 (£.
Доказательство. Рассмотрим первую фильтрацию двойного комплекса и соответствующую спектральную последовательность Е9Р. Для нее Е,1 = Н9(Н 1(С*)) = Н9((С1 /С70)*), где Н и Н когомологии относительно дифференциалов С и С соответственно и Е|р = 0 при р = 1, д > 0.
Найдем сначала Н9((С0). Определим для подкомплекса (С0 оператор і79: (С, — (70-1. Пусть с = С9и, тогда
і?9 с = -с!9-1 (і9 и),
где і — оператор гомотопии для 70. Тогда в силу антикоммутирования дифференциалов и условия того, что і — оператор гомотопии, следует
С9-1 (і?9 с) + і?9+1((9 с) = с,
т. е. і — оператор гомотопии для ((70. Образующая и1 одномерных когомологий с коэффициентами в функциях при действии С перейдет в образующую <^2(£ для Н1 ((70). В итоге получаем Н1 ((70) = Н1 (70) = К, Н9((70) = 0, если д > 1, и Н0(<?<70) = 0, так как в комплексе 7* нет ненулевых нуль-мерных коциклов. Тогда из точной последовательности когомологий для 7*, (70 и 7*/(70 получаем, что Н3(7*) = К, Н0(7*) = Н0(70) = К, Нк(7*) = 0 при к = 0,3, а образующей
трехмерных когомологий является класс коцепи и1 Л и2(£. □
2. КОГОМОЛОГИИ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ В К
Рассмотрим теперь комплекс коцепей 7* (и(51/^)) с коэффициентами в тривиальном модуле К. Дифференциал в этом случае задается правилом: если Ь є 79(и(51 /^2)), то
сад,..., Х9+1) = V (-1)^-1 ь( [Хі, х ], Х1,..., X,..., X,..., *9+1).
Е
1<ї<7<9+1
Рассмотрим отображения ^° : С0 ^ С9(и(51 /^2)), ^1: С0 ^ С9(и(51 /^2)), ф: С9+1 С9(и(51 /^2)), которые определяются следующим образом: пусть и е СО, с е С9+1, тогда
^°(и)(Х1,..., X) = и(Х1,..., X)(0), ^(и)(Хь..., X) = и(Х1,..., Х9)(п),
п
ф(с)(Х1,..., Х9 ) = ^ с(Х1,...,Х9).
°
Можно показать, что эти отображения являются гомоморфизмами комплексов.
——
Для комплекса C* (U(S1/Z2)) определяется диагональный подкомплекс. Коцепь с е Cq(U(S1 /Z2))
принадлежит диагональному подкомплексу, если с(Х15... ) = 0, когда носители векторных полей
dd
Х-^ —, ...,Xq — имеют пустое пересечение. В одномерном случае полный комплекс и диагональный dt dt
подкомплекс совпадают. В случае гладкого многообразия когомологии диагонального подкомплекса с коэффициентами в тривиальном модуле R получаются из двойного комплекса с помощью гомоморфизма, аналогичного 0. В нашем случае это не так. А именно справедлива Теорема 4. Имеют место следующие изоморфизмы:
H 1(Cq(U(S1 /Z2))) = H2(Cq(U(S1/Z2))) = R 0 R.
Образующими одномерых когомологий являются классы коциклов ^0 (и1) и ^1(и1), а двумерных
— классы коциклов 0(и1 Л и2dt) и ^0(и1) Л ^1(и1).
Доказательство. Известно, что подпространство векторных полей, порожденных векторными полями вида sin kt—, k е N, всюду плотно в U(S1/Z2).
Поставим в соответствие коцепи L е Cq(U(S1/Z2)) набор чисел {ai1,...,iq}i1 ,...,iqeZ, где ai1,...,iq = L(sini11,..., siniqt). L однозначно определяется этим набором. При этом, так как а0 = 0, а а— = — а* и в силу кососимметричности коцепи, можно считать, что i1,... ,iq е N и i1 > i2 > ... > iq. Условие dL = 0 можно написать в терминах ai1,...,iq следующим образом:
2 (—1)/ + 0-1 ((i/ + i0 )aii-ifc ,i1 ,...,£ ,...,ik ,...,iq+1 — (i/ — i0 )aii+ifc ,i1 ,...- ,...,ik ,...,iq + 1 ) =0. (2)
1</<0<q+1
Рассмотрим случай q = 1. Тогда формула (2) будет иметь вид
(i1 + «2 )ai1 —— (i1 — i2 )ai1+i2 = 0. (3)
Если i1 + i2 — четное(нечетное) число, то и i1 — i2 — четное(нечетное) число. Поэтому уравнения (3) разбиваются на две независимые группы: когда i1 +i2 — четно и соответственно нечетно. Пусть i1 = 1, тогда (3) примет вид (2k + 1)а1 — а20+1 = 0, k = 1, 2... Откуда получаем а20+1 = (2k + 1)а1. Аналогично, полагая i1 = 2, получаем a2o = ka2, где k = 2,3... Таким образом, размерность множества решений системы уравнений (3) не превосходит 2.
Обозначим с1 = ^0(и1) и с2 = ^1(и1). Так как ^0 и ^1 — гомоморфизмы комплексов, то с1 и с2 являются коциклами. Обозначим а1 = c1 (sint), а2 = c1 (sin2t), b1 = c2(sint), 62 = c2(sin2t) Из
того что
а1 а2 61 62
следует, что с1 и с2 — линейно независимы. Таким образом, получаем H1 (C*(U(S1/Z2))) = R2. Рассмотрим теперь случай q = 2. Тогда формула (2) будет иметь вид
(i1 + «2)ai1 —i2, i3 — (i1 — «2)ai1+i2, i3 — (i1 + «3)ai1 — i3, i2 +
+ (i1 — i3)ai1 +i3, i2 + (i2 + «3)ai2 — i3, i1 — (i2 — «3)ai2 +i3, i1 = 0. (4)
Как и в одномерном случае уравнения (4) разбиваются на две независимые группы: 1) когда
«1 + «2 + «3 — четное число и 2) когда «1 + «2 + «3 — нечетное число.
Пусть сначала «1 + «2 + «3 — четное число. В этом случае суммы индексов всех ао, / — четные числа. Условие того, что коцикл ai1,i2 является границей, записывается в виде
ai1, i2 = 2((«1 + «2)ai1 — ifc — («1 — «2)ai1 +i2). (5)
Записывая формулу (5) в случае, когда «1 = «2 + 2, получим ai1, i1 — 2 = («1 — 1)а2 — a2(i1 —1). Откуда
2a2(i1 —1) = 2(«1 — 1)а2 — ai1,i1—2. (6)
= 0,
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1 Пусть теперь ii + i2 = 2m, ii — i2 = 2n. Тогда формула (5) примет вид
aii, i2 — ma2n na2m • (7)
Полагая сначала i1 — m +1, а потом i1 — n +1, из формулы (6) найдем 2a2m и 2a2n и подставим в
(7). Тогда получим, что в случае четной суммы индексов условие того, что коцикл является границей,
можно записать в виде
а = i1 — i2 а i1 + i2 a (8)
aii, i2 2 a fi+i2 +1, fi+i2 — 1 2 a ^i-i2 +1, ^i- i2 —1. (8)
Обозначим
i1 — i2 i1 + i2
ii,i2 = aii,i2 о a fi+i2 +1 ii+i2 —1 0 a ii-i2 +1 »i-i2 —1 •
2 2 +1’ 2 1 2 2 +1’ 2 1
Так как любая граница является коциклом, то каждое уравнение системы (4) может быть записано как линейная комбинация уравнений системы (8), т. е. в терминах Xii,i2. При этом Xii,i2, у которых
i1 — i2 = 2 в уравнения входить не будут, Xii,ii = 0, так как aii,ii = 0, остальные Xii,i2 входят в уравнение с теми же коэффициентами, а нулевое решение соответствует границам.
Из формулы (4) видно, что в каждое уравнение входят ak, l с суммой индексов k +l = i1 + i2 + i3 и меньше. Из этого следует, что в уравнения, для которых i1 + i2 + i3 < 2k, входит лишь конечное число неизвестных с суммами индексов, не превосходящими 2k. Индукцией по i1 + i2 + i3 покажем, что других решений кроме границ система (4) не имеет.
Пусть сначала i1 + i2 + i3 =6 — наименьшая возможная сумма при i1 > i2 > i3 > 0. Такой сумме соответствует единственный случай, когда i1 = 3,i2 = 2,i3 = 1. Формула (4) будет иметь вид
5a1,1 — a5,1 — 4a2,2 + 2a4,2 + 3a1,3 — аз, 3 = — a5,1 + 2a4,2 + 3a1,3 =0, или в терминах Xkbk2:
— X5, 1 =0.
Предположим, что все Xki;k2, входящие в уравнения, при k1 + k2 < 2m равны нулю. И пусть теперь
i1 + i2 + i3 = 2m. Записывая формулу (4) для случаев i1 = m +l — 1, i2 = m — l, i3 = 1, где l = 1, m — 2, и используя предположение индукции, получим, что
Xm+2, m —2 Xm+3, m —3 • • • Xm+(m — 2), m — (m — 2) Xm+(m — 2), m — (m—2) 0,
т. е. Xk,i, входящие в уравнения с суммой индексов равной 2m, равны нулю — индукция завершена.
Получаем, что в случае четной суммы индексов других решений уравнений (4) кроме границ нет. Рассмотрим теперь случай, когда i1 + i2 + i3 — нечетное число.
Запишем условие того, что коцепь aii>i2 является границей (формула (5)) для случая i2 = i1 — 1: aii,ii—1 = 1((2i1 — 1)a1 — a2ii—1). Откуда
a2ii —1 — (2i1 1)a1 2aii, ii — 1 • (9)
Запишем формулу (5) для случая нечетной суммы индексов или i1 = 2k + 1, i2 = 2l:
a2k + 1, 21 = 2((2(k + l) + 1)a2(k—1) + 1 — (2(k — l) + 1)a2(k+l) + 1^ (10)
Полагая сначала i1 = k — l + 1, а затем i1 = k +1 + 1, найдем a2(k—1)+1 и a2(k+l)+1 из формулы (9)
и подставим в (10). Полученное условие того, что коцикл является границей, запишем в виде
a2k+1,2i = (2(k — l) + 1)ak+i+1, k+i — (2(k + l) + 1)ak—1+1, k—i• (11)
Обозначим X2k + 1, 21 = a2k + 1, 21 — (2(k — l) + 1)ak+l + 1, k+l — (2(k + l) + 1)ak—1 + 1, k —I •
Аналогично четному случаю условие коцикла (формула (4)) может быть записано в терминах Х2к+1,2г. При этом Хг1>г1-1 в уравнения входить не будут. А границам соответствует нулевое решение.
Индукцией по сумме «1 + «2 + «3 покажем, что все Х2к+1) 2г можно выразить через Х5,2 и Х1; 4.
Рассмотрим формулу (4) для случая «1 = 4,«2 = 2,«1 = 1. Она будет иметь вид
6^2,1 — 2аб, 1 — 5аз, 2 + 3а5,2 + 3а14 — аз, 4 = 0,
или в терминах Xk,i:
—2Хб, 1 + 3X5,2 + 3X1,4 — 0-
Откуда получаем
Хб, 1 — 2(3X5,2 + 3X1, 4) •
Предположим, что все Xki,k2, у которых k1 + k2 < 2m + 1, m > 3, выражаются через Х5,2 и Х1; 4. Пусть i1 + i2 + i3 — 2m + 1. Записывая формулу (4) для i1 — m + l,i2 — m — l,i3 — 1, где 1 < l < m — 2, получим, что все Xki,k2 с суммой индексов k1 + k2 — 2m + 1 можно выразить через Xm+2,m—1, Х5,2 и Х1, 4.
Записывая формулу (4) для i1 — m, i2 — m — 1, i3 — 2, получим, что и Xm+2,m—1 выражается через Х5,2 и Х1; 4, т. е. мы получили, что все Xkb k2 с суммой индексов, равной 2m + 1, выражаются через Х5,2 и Х1; 4, индукция завершена.
В итоге мы получаем, что размерность множества решений системы в терминах Xkbk2 не превосходит двух, т. е. не может быть больше двух независимых коциклов, не являющихся границами.
Рассмотрим коцепи а и в, определяющиеся следующим образом: a — c1 Л c2, в = ф(^1. Л w2dt), а является коциклом как внешнее произведение коциклов, в также является коциклом, так как ф — гомоморфизм комплексов.
Пусть aii,i2 — a(sini11, sini2t). Если i1 + i2 — четно, то aii>i2 — 0, и a2k+1,2l — 2(2k + 1)2l, a2k, 21+1 — —2(2l + 1)2k. Тогда X5,2 — a5,2 — 3a4,3 + 7a2,1 — 0, X4,1 — a4,1 — 3a3,2 + 5a2,1 — 0. Откуда следует, что коцикл а не является границей.
Пусть bii ,i2 — в (sin i11, sin i21). Если i1 — 0, i2 — 0 или i1 + i2
bi
— 0. В остальных случаях bii ,i2 — 2
i1i2 + i1i2 -2 -2 i2 — i2
четное число, то
• Тогда Y5,2 — b5,2 — 3b4,3 + 7b2,1 — 0,
У4,1 = Ь4,1 — 363,2 + 5Ь2,1 = 0, откуда следует, что коцикл в не является границей. А из того, что
Х5, 2 Х4, 1
*5 2 П, 1
— 0,
следует, что а с в определяют разные классы когомологий. Таким образом, мы получили, что Н2(С* (и(51 /£2))) = К2 с образующими классами коциклов а и в- П
Можно предположить, что найденные классы когомологий являются образующими алгебры когомологий с коэффициентами в К.
В заключение автор выражает благодарность М. В. Лосику за поставленную задачу и помощь в работе.
Библиографический список
1. Гельфанд И. М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры зия // Функц. анализ и его прил. 1969. Т. 3, вып. 3. Ли векторных полей на окружности // Функц. анализ С. 32-52.
и его прил. 1968. Т. 2, вып. 4. С. 92-93.
3. Решетников В. Н. О когомологиях двух алгебр Ли
2. Гельфанд И. М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры векторных полей на окружности // УМН. 1971. Т. 26, Ли касательных векторных полей гладкого многообра- вып. 1(157). С. 231-232.
