CC BY
88
Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 14 (268).
Физика. Вып. 13. С. 37-40.
А. Д. Зубов, М. А. Зубов
о гипотезе е. и. забабахина об ограниченности кумуляции
Приводятся достаточно простые математические модели, показывающие возможность неограниченной кумуляции даже при несимметричных начальных данных . Малые возмущения могут подавляться . В некотором смысле эти модели являются контрпримерами к гипотезе Е . И . Забабахина
об ограниченности кумуляции. Используются простые дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие эволюцию замкнутой или цилиндрической поверхности со скоростью, зависящей от кривизны . Хорошо известным примером таких моделей является каналовое приближение CCW (Честера—Чизнелла—Уизема) для описания эволюции фронта ударной волны . Подобные несимметричные фокусировки теоретически возможны в газовой динамике, например, так называемые многомерные движения с однородной деформацией, приводящие к фокусировке не только в точку, но и в отрезок прямой или фигуру, ограниченную эллипсом . Ставится вопрос о выделении класса возможных начальных состояний, а также класса функций от кривизны, которые приводят к неограниченной, возможно, несимметричной, кумуляции
Ключевые слова: ограниченность кумуляции, многомерные математические модели неограниченной кумуляции, газовая динамика, фронт ударной волны.
Ниже приводятся достаточно простые математические модели, показывающие возможность неограниченной кумуляции даже при несимметричных начальных данных . Малые возмущения при этом подавляются . Основу моделей составляют простые дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие эволюцию замкнутой или цилиндрической поверхности, двигающуюся по нормали со скоростью или ускорением, зависящими от кривизны этой поверхности . Хорошо известными примерами таких моделей являются каналовое приближение ССW (Честера—Чизнелла—Уизема)
[1], для описания эволюции фронта ударной волны в газовой динамике, а также процесс роста кристаллов и распространение фронта пламени [2] . Подобные несимметричные фокусировки теоретически возможны в газовой динамике, например, так называемые многомерные движения с однородной деформацией, приводящие к фокусировке не только в точку или на ось, но и в отрезок прямой или фигуру, ограниченную эллипсом [3-4] .
Рассматриваемый вопрос изучался ранее Е . И . Забабахиным [5-7] . С помощью теоретико-множественных рассуждений им было показано, что «любая неограниченная кумуляция неустойчива или ее вероятность равна нулю и предполагавшегося иногда свойства самофокусировки нет» [5] . Там же было указано, что диссипация энергии (вязкость и теплопроводность) обычно не устраняет кумуляции . В то же время для случая ударных волн в [8] было показано, что «диссипативные эффекты, выбранные фи-
зически обоснованным образом, устраняют неограниченный рост параметров кумуляции» .
В нашей работе вводится некоторый модельный диссипативный механизм, напоминающий поверхностное натяжение, и ставится вопрос
о выделении класса возможных начальных состояний, а также классов функций от кривизны, которые могут приводить к неограниченной, возможно, несимметричной, кумуляции .
Заметим при этом, что описываемые ниже математические модели и результаты численных расчетов по ним ни в коем случае не следует считать математическими доказательствами . Это только «правдоподобные рассуждения», но не математические теоремы, по выражению известного венгерского математика Д. Пойа (G . Polya) .
Приведем примеры кумулятивных явлений:
— схождение сферической ударной или детонационной волны;
— захлопывание воздушных и паровых пузырьков в воде в процессе кавитации;
— захлопывание цилиндрической полости в металле, обжимаемом с помощью взрыва;
— захлопывание сферической полости в металле, который подвергается быстрому разогреву с помощью интенсивного нейтронного потока;
— ударная волна в форме многогранника (форма меняется периодически);
— Z-, 0-, X-пинчи, плазменный фокус, лайнер-ные системы;
— сходящиеся ударные волны электромагнитного поля;
— гравитационный коллапс (протозвезд, нейтронных звезд);
— акустический коллапс (сонолюминесценция) — первый пример практически неограниченной кумуляции в природе (концентрация энергии — в 1011 раз) .
Из факторов, противодействующих кумуляции и ограничивающих возможность получения высоких значений степени сжатия, первостепенное значение играет развитие гидродинамических неустойчивостей типа неустойчивости Рэлея—Тейлора на границе пузырька — границе раздела «жидкость—газ», «жидкость—вакуум», или «проводящая жидкость — магнитное поле» .
Борьба с этой неустойчивостью составляет важное направление в физике управляемого термоядерного синтеза (УТС) .
Ограничимся здесь двумерным случаем движения с плоской симметрией .
Пусть в начальный момент времени ^ = 0 в Я2 задана замкнутая простая регулярная (дважды дифференцируемая) кривая Г: /(х, у) = 0, или, иначе, у(0), с естественной параметризацией — длиной кривой 5 .
Пусть у(0 — 1-параметрическое семейство кривых, где t е [0, да) — время . Это семейство образуется движением начальной кривой у(0) вдоль нормального векторного поля со скоростью V = К(к), где к = к(х, у) — кривизна линии у(0 в точке М(х, у) е Г:
к
= ( УЛ -Х*У,) / (X2 + У2 )3
(1)
Уравнения движения запишем в виде
У*
(х2 +
у*2 )
У і =— (к)
(X2 + У2 )
1/2 •
(2)
Замкнутая кривая Г представляет в данном случае фронт волны, контактную границу либо линию уровня какого-либо параметра гидродинамического течения (плотности, давления, температуры и т. д .) . Зависимость от кривизны позволяет сглаживать границу Г и представляет некоторый гипотетический механизм поверхностного натяжения в гидродинамике
Несмотря на сложный вид уравнений (1)—
(2), существует теория [2], позволяющая рассматривать эту систему с точки зрения известного в аналитической динамике уравнения Гамильтона—Якоби .
При выборе ¥(к) = а • к2, а > 0 — постоянная, происходит самофокусировка кривой в точку, причем перед этим форма кривой становится круглой (рис . 1) (относительное отличие от окружности в расчете составляет менее 104) .
Выбор невыпуклой начальной функции/(х, у) = 0 также приводит к симметричной самофокусировке в точку (рис . 2) .
Вместо уравнения первого порядка для описания эволюции границы Г можно применить уравнение второго порядка (его можно также записать в форме, аналогичной (2)):
д2п
-ф = * (к( *. ))■
(3)
Здесь q = q(t, х, у) — векторное поле, нормальное к кривой Г, W = W(к (х, у)) — заданная функция, определяющая ускорение точки М(х, у) е Г вдоль него . Уравнение (3) позволяет учесть «предысторию» процесса и, в определен-
X
Рис. 1. Фокусировка эллипса в точку
Рис. 2. Фокусировка невыпуклой кривой в точку
ном смысле, родственно известному каналовому приближению ССW (Честера—Чизнелла— Уизема) [1] для описания эволюции фронта ударной волны (так называемая геометрическая теория ударной волны) .
Множество фокусировочных состояний при этом расширяется . На рис . 3 приведен пример самофокусировки (при нулевых начальных скоростях дq/дt = 0 для всех точек М(х, у) е Г) в отрезок оси Оу .
Подобные несимметричные фокусировки теоретически возможны в газовой динамике, например, так называемые многомерные дви-
жения с однородной деформацией [3—4], приводящие к фокусировке не только в точку, но и в отрезок прямой или фигуру, ограниченную эллипсом .
К сожалению, неясно, как в рамках модели (3) выделить класс возможных начальных состояний /х, у) = 0, дq/дt|t = 0 = у(х, у), М(х, у) е Г, а также класс функций W = W(к (х, у)), которые приводят к подобным фокусировкам . Это явится предметом дальнейших исследований .
На рис . 4 приведен пример расчета по модели
(3) цилиндрической волны квадратного сечения . Эволюция границы напоминает периодическую
Рис. 3. Фокусировка эллипса в отрезок
Рис. 4. Периодическая фокусировка квадрата
кумуляцию ударной волны такого же вида [7], но есть и существенные отличия . Заметим, что скорость распространения возмущения вдоль сторон квадрата можно рассматривать как некую «скорость звука» данной математической модели .
Список литературы
1 . Whitham, G. B . Linear and Nonlinear Waves / G. B . Whitham. N . Y. : Wiley Interscience . 1974. [Рус . пер . : Уизем, Дж . Линейные и нелинейные волны. М . : Мир, 1977. 624 с .]
2 . Osher, S. Fronts Propagating with Curvature-Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton—Jacobi Formulations / S . Osher, J. A . Sethian // J . Comput . Phys . 1988 . Vol . 79, № 1 . P. 12 .
3 . Богоявленский, О. И . Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике / О. И . Богоявленский. М . : Наука, 1980. 320 с .
4 . Зубов, А . Д . Движения с однородной деформацией в магнитной газодинамике / А . Д . Зубов, В . А . Симоненко // Вопр . атом . науки и техники . Сер. Теорет. и приклад, физика . 1986 . Вып. 1 (3). С. 3—12 .
5 . Забабахин, Е . И . Неустойчивость неограниченной кумуляции / Е . И . Забабахин // Письма в Журн . эксперимент, и теорет. физики . 1979. Т. 30, № 2 .С . 97—99.
6 . Забабахин, Е . И . Неустойчивость неограниченной кумуляции / Е . И . Забабахин // 1984 (не-опубликовано)
7 Забабахин, Е . И . Явления неограниченной кумуляции / Е . И . Забабахин, И . Е. Забабахин. М . : Наука, 1988 . 173 с .
8 . Имшенник, В . С. Кумуляция сходящихся ударных волн с учетом диссипативных процессов / В С Имшенник // Приклад математика и теорет. физика . 1980 . № 6 . С . 10—19.
