О единственности решения краевой задачи для уравнения смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 2(13). C. 24-27. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-13-2-24-27

УДК 517.95

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

ПОРЯДКА

З.В. Кудаева

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 а E-mail: Kudaeva_zalina@mail.ru

В работе доказывается единственность решения краевой задачи для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа второго порядка

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, принцип экстремума.

© Кудаева З.В., 2016

MSC 65N80

ON THE UNIQUNESS OF THE SOLUTION TO THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MIXED DEGENERATE HYPERBOLIC EQUATION

Z.V. Kudaeva

Institute of Applied Mathematics and Automation 360000, Kabaerdino-Balkariya, Nalchik, Shortanova st., 89 a, Russia E-mail: Kudaeva_zalina@mail.ru

In this paper the uniquness of the boundary value problem solution for the mixed elliptic-hyperbolic equation of the second order.

Key words: mixed type eqyation, extremum principle.

© Kudaeva Z.V., 2016

Введение

В работе исследуется единственность решения краевой задачи для линейного уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа второго порядка в двумерной полосе.

Значительную роль в становлении современной теории уравнений смешанного типа и ее прикладных аспектов сыграли работы многих авторов, в том числе [1]-[6].

Единственность краевой задачи для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка

Пусть D - односвязная область комплексной плоскости z = x + iy, ограниченная кривой Жордана о, расположенной в полуплоскости Imz > 0 с концами в точках A = (0,0) и Б = (1,0), отрезками AA§, ББ§ прямых x = 0, x = 1, — S < y < 0, S = const > 0 и отрезками AsC : 0 < x < 1/2 и BsC : 1/2 < x < 1 прямых x + y = —S и x — y = 1 + S соответственно (см. рис.).

С

Рисунок

В области Б рассмотрим уравнение

(ихх + Щу + й\ (¿)их + Ъ\(¿)иу + С1 (г)и, у > 0,

их - иу + со(г)и, -8 < у < 0, (1)

ихх - иуу + аг(г)их + Ъ2(г)иу + сг(г)и, у < -8.

Через Б1, Б0 и Б2 обозначим части области Б, где у > 0, -8 < у < 0 и у < -8 соответственно. Предполагается, что коэффициенты aj(г), Ъ](г), Cj(г) принадлежат классу C(Dj), Dj - замыкание Dj, j = 0,1,2.

ISSN 2079-6641

Кудаева З.В.

Уравнение (1) в области Б является уравнением смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка в области Бо. Оно относится к уравнениям эллиптического типа в области и к гиперболическому типу - в области Б2. В области Бо уравнение (1) имеет одно семейство £ = х + у действительных характеристик, а в области Б2 - два семейства £ = х + у, п = х — у.

Цель этого раздела состоит в исследовании однозначной разрешимости следующей смешанной задачи.

Задача. Найти решение "(г) = "(х, у) уравнения (1), регулярное всюду в области Б, за исключением, быть может, характеристических отрезков АСЬ : х + у = 0, 0 < х < 1/2 + 8/2, С§Са : х — у = 28, 8/2 < х < 8, которое принадлежит классу С(Б) П С'(Б \АСЬ \ С8Са) и удовлетворяет граничным условиям:

"(г) = ф(5) Vг е а 0 < 5 < 1, (2)

"(¿у) = V(у) Vу е [—8,0], (3)

где ф(5) и V(у) - заданные непрерывные функции, 1 - длина кривой а, отсчитываемая от точки В.

Теорема. Пусть с1(г) < 0 в Б1; с0(х) > 0 при 0 < х < 1; да2(г) и д^^ принад-

дх ду

лежат С(Б2). Тогда задача не может иметь более одного решения. Доказательство.

Доказательство существенно опирается на следующий принцип экстремума. Пусть С1(г) < 0 в Б1, С0(х) > 0 при 0 < х < 1. Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) решения "(г) задачи (1)-(3) на компакте Б1 достигается лишь на а.

Действительно, пусть "(г) -решение задачи (1)-(3) и т(х) = "(х), V(х) = "у(х). Тогда из уравнения

"х — "у + С0(г)" = 0 (4)

заключаем, что

V (х) = т'(х) + С0(х)т (х). (5)

Предположим, что шах"(г) = "(С). Из принципа Хопфа следует, что £еБь Допу-Б1

щение, что £ = £ е]0,1[ в силу (5) приводит к неравенству V(£) > 0, противоречащему принципу Зарембы-Жиро [1], утверждающему, что V(£) < 0. Остается включение

С е а.

Докажем теперь, что однородная задача, соответствующая задаче (1)-(3), то есть задача (1)-(3) при ф(г) = 0, V(у) = 0, имеет только нулевое решение "(г) = 0. Итак, пусть "(г) решение однородной задачи. Из принципа экстремума вытекает, что "(г) = 0 в замкнутой области Б1. Далее, функция "(г) должна быть решением однородной задачи Коши: "(х) = 0, 0 < х < 1 для уравнения (4). Из единственности решения этой задачи следует, что "(г) = 0 в части Б+ области Б, лежащей в характеристической полосе 0 < х+у < 1. В области Б0 = Б\Б+ "(г) - решение однородной задачи Коши: "(¿у) = 0, —8 < у < 0 для уравнения (4). Поэтому "(г) = 0 ив Б-, и в целом в Б0. В области Б2 функция "(г) как решение уравнения

"хх — "уу + «2 (г)"х + Ь2(г)"у + С2(г) = 0, (6)

должна удовлетворять однородному условию Коши: "(х — ¿8) = 0 при 0 < х < 1 и как следует из уравнения (4) при у = —8 "у(х, —8) = 0 при 0 < х < 1. Из единственности

решения задачи Коши для уравнения (6) приходим к выводу, что u(z) = 0 в D2. Этим и завершается доказательство единственности решения задачи (1)-(3). □

Список литературы

[1] Бицадзе А. В., Уравнения смешанного типа, Из-во АН ССР, М., 1959, 164 с.

[2] Бицадзе А. В., "К проблеме уравнений смешанного типа", Труды Мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова, 41 (1953), 1-58.

[3] Нахушев А. М., "Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа", ДАН СССР, 183:2 (1968), 261-264.

[4] Нахушев А.М., Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка, Эльбрус, Нальчик, 1992, 155 с.

[5] Пулькин С. П., Избранные труды, Из-во Универс групп, Самара, 2007, 203 с.

[6] Смирнов М. М., Уравнения смешанного типа, Наука, М., 1970, 296 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 20.05.2016