О единственности аналога задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.18454/2079-6641-2015-11-2-13-16

УДК 517.95

о единственности аналога задачи трикоми для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями

вырождения

З.В. Кудаева

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Республика Кабардино-Балкария, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а E-mail: kudaeva_zalina@mail.ru

В работе доказана единственность аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа в области, содержащей внутри себя две параллельные линии параболического вырождения.

Ключевые слова: принцип экстремума, аналог задачи Трикоми

© Кудаева З.В., 2015

MSC 35К57

on the uniqness of tricomi problem analogue for mixed type equation with two degenerated parallel lines

Z.V. Kudaeva

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Republic of Kabardino-Balkariya, Nalchik, st. Shortanova, 89a E-mail: kudaeva_zalina@mail.ru

In this paper the solution uniqness toTricomi problem analogue for the mixed type equation in a do-main containing two parallel lines with parabolic degeneration.

Key wards: extremum principle, Tricomi problem analogue

© Kudaeva Z.V., 2015

Введение

В работе рассматривается уравнение смешанного типа второго порядка

signy(y — 1) ■ ихх + Uyy = 0, (1)

в смешанной области, содержащей интервалы двух непересекающихся линий изменения типа. В качестве моделей такого вида уравнений могут выступать следующие уравнения:

signy(1 — y) ■ Uxx + Uyy = 0, (2)

y(y — 1)uxx + Uyy = 0, (3)

y(1 — y)uxx + Uyy = 0. (4)

Уравнения (1) и (2) являются естественным аналогом уравнения Лаврентьева-Бицадзе signy ■ ихх + uyy = 0, а уравнения (3) и (4) в определенном смысле представляют собой аналог уравнения Трикоми yuxx + uyy = 0.

Первые результаты для уравнения (3) были получены А.М.Нахушевым [1],[2].

Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения

Уравнение (1) рассмотрим в смешанной области О, ограниченной характеристиками A0C0 : х+y = 0, 0 < х < г/2, B0C0 : х — y = r, r/2 < х < r, A1C1 : y — x = 1, 0 < x < r/2 и BiCi : x+y = r + 1, r/2 < x < r; кривыми Жордана 00 с концами в точках A0 = (0,0) и A1 = (0,1) и о! с концами в точках B0 = (r, 0) и B1 = (r, 1), расположенными в полосе 0 < y < 1 євклидовой плоскости точек (х,y) (см. рисунке).

Рисунок. Область О с характеристиками

Уравнение (1) является уравнением в частных производных второго порядка смешанного типа. Оно эллиптического типа в полосе 0 < у < 1 и гиперболического типа вне этой полосы. Прямые у = 0 и у = 1 представляют собой линии параболического вырождения, где коэффициент k(y) = signy(y — 1) при старшей производной uxx претерпевает разрыв первого рода.

Через О0 и О1 обозначим части области О, лежащие в полуплоскости у < 0 и у > 1 соответственно, где уравнение (1) совпадает с волновым уравнением

uxx — иуу = °. (5)

Через О01 обозначим часть области О, лежащую в полосе 0 < у < 1, где уравнение (1) совпадает с уравнением Лапласа

uxx + иуу — 0. (6)

Аналогом задачи Трикоми является

Задача 1. Найти регулярное в областях О01, О0, О1 решение u(x,у) уравнения (і) из класса C1(О) П С(О), удовлетворяющее следующим краевым условиям:

u L = 00(x,у), u h = ф1(У y), (7)

u |А1С1 = ^1(У у^ 0 < x < r/2, (8)

u |А0С0 = у^ 0 < x < r/2, (9)

где ф0(х,у), ф1(х,у), у0(х,у), 1^1 (x,у) - заданные функции.

Имеет место следующий

Аналог принципа экстремума А.В. Бицадзе:

Решение u(x,у) задачи 1, равное нулю на характеристиках A1C1 и A0C0, положительный максимум (отрицательный минимум) в замыкании области О01 принимает на ст1 U а0.

В области О1 функция u(x,у) как решение уравнения (5) представима в виде u(x,у) = f1(x — у) — f 1 (—1), где f1(x) Є С[— 1, r — 1] П С2] — 1, r — 1[. Поэтому функции T1(x) = u(x, 1) и v1(x) = uy(x, 1) связаны уравнением

т1 (x) + v1 (x) = 0, 0 < x < r. (10)

На компакте О01 положительный максимум (отрицательный минимум) функции u(x,у) может достигаться только на границе. Допустим, что положительный максимум (отрицательный минимум) u(x,у) на компакте О01 достигается в точке (x1, 1), 0 < x < 1 отрезка A1B1. Тогда т1 (x1) = 0, и из (10) следует, что и v1(x1) = 0. Но в соответствии с принципом Заремба [3, с.85] для уравнения (5) v1(x1) > 0 (v1(x1) < 0). Таким образом положительный максимум (отрицательный минимум) u(x,у) на компакте О01 в точках (x1,1), 0 < x1 < 1 не достигается.

В области О0 функция u(x,у), как решение волнового уравнения (5), представима в виде u(x,у) = f0(x + у) — f0(0), где f0(x) Є С[0,r] ПС2]0,r[. Поэтому функции T0(x) = u(x,0) и v0(x) = uy(x, 0) связаны уравнением

т0(x) — v0(x) = 0, 0 < x < r. (11)

Предположим, что положительный максимум (отрицательный минимум) функции u(x,у) на компакте П01 достигается в точке x0, 0 < x0 < r на отрезке A0B0. Тогда г,)(x0) = 0 и из (11) следует, что и v0(x0) = 0. Но в соответствии с принципом Зарембы для уравнения (5) v0 (x0) < 0.

Таким образом, положительный максимум (отрицательный минимум) u(x,у) может достигаться только на 00U 0ц

Справедлива следующая теорема единственности решения задачи 1.

Теорема. Задача 1 имеет не более одного решения.

Действительно, пусть u1 (x,у) и u2(x,у) - решение задачи 1. Тогда разность u(x,у) = u1(x,у) — u2(x,у) является решением однородной задачи. Из доказанного аналога принципа экстремума, следует, что положительный максимум (отрицательный минимум) функции u(x,у) достигается на 00, 01, где u(x,у) = 0, следовательно, u1 (x,у) = u2(x, у).

Задача 2. Найти регулярное в областях П01, П0, П1 решение u(x,у) уравнения (і) из класса С1(П) П С(П), удовлетворяющее краевым условиям (7), (9) и условию

u |в1с1 = ^(x^), 0 < x < r/2. (12)

Аналогично задаче 1 доказывается, что задача 2 имеет не более одного решения.

Существование решений задач 1 и 2 можно доказать методом их редукции к задаче Римана-Гильберта для аналитической в области П функции комплексного переменного z = x + іу, методом, предложенным А.В. Бицадзе [4, с.8] при решении задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Существование решений задач 1 и 2 при дополнительных предположениях гладкости на кривых 00, 01 можно доказать и методом редукции к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно функций T0(x), v0(x), т1 (x), v1(x).

Библиографический список

1. Нахушев А.М. Краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения// дан СССР. 1966. т.170, № 1. С. 38-40.

2. Нахушев А.М. Об одной задаче смешанного типа для уравнения у(у — 1)uxx + u-y-y// ДАН СССР. 1966. т.166, № 3. С. 536-539.

3. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. - М.: Из-во АН ССР, 1959. - 164 с.

4. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа// Труды Мат.ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова.- М. 1953. Т. 41, С. 1-58.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 30.09.2015