CC BY
27
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том VI 1 9 75 '
№ 1
УДК 532.527
О ДЕФОРМАЦИИ В ПЛОСКОМ ПОТОКЕ ПОВЕРХНОСТИ ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО РАЗРЫВА, ОКРУЖАЮЩЕЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР
Г. А. Павловец
Рассмотрена задача о деформации поверхности тангенциального разрыва, окружающей круговой цилиндр, в потоке идеальной несжимаемой жидкости. Подробно исследован случай, когда плотность распределения вихрей на линии разрыва в начальный момент времени такова, что выполнено условие прилипания жидкости на поверхности цилиндра. В предельном случае при стремлении поверхности тангенциального разрыва к контуру цилиндра получено аналитическое решение задачи об изменении во времени плотности вихревого слоя.
1. Выпишем уравнения, определяющие деформацию поверхности танген-
циального разрыва, окружающей круговой цилиндр, и изменение во времени
плотности в1£хревого слоя. Ограничимся случаем, когда контур линии танген-
циального разрыва может быть представлен параметрически через полярный
угол 0, отсчитываемый от некоторого направления (фиг. 1). Пусть в некоторый
момент времени часть контура АВ линии тангенциального разрыва соответствовала изменению параметра 0 от 01О до взо (0ю<^9 ^0го)- Согласно теореме Гельмгольца о сохранении вихрей в идеальной жидкости можем написать
здесь §-(0, £) — так называемая приведенная плотность вихревого слоя, связанная с линейной плотностью 7(0, £) и производной , характеризующей изме-
00
нение длины контура по параметру 0, соотношением
Дифференцируя соотношение (1.1) дважды, вначале по времени <, а затем по параметру 02, и опуская индекс ,2“ у аргумента 02, приходим к дифференциальному соотношению
МО
е, (О
(1.1)
(1.2)
(0, Ъ д Г (6- 0 8 (6- О д( (Э0 [ /? (0, О
(1.3)
где 1/в (в, І) = /? (0, І)
ли
ді
■ окружная составляющая скорости рассматриваемой
точки контура; /?(0, *) — расстояние от данной точки до начала координат; <)в
— угловая скорость движения рассматриваемой точки контура.
Для замкнутой поверхности тангенциального разрыва, охватывающей круговой цилиндр радиуса /?0, в однородном плоском потоке идеальной жидкости
Я'
со скоростью на бесконечности комплексный потенциал и комплексная скорость течения представимы в виде
о> =Уоа \ г +
)+ ф ІІІіОіп / ш 2%і 2 - "і (О
^ І і гіг 00
+ <£ 7 (Д. *)
гЧ I У 9 тт/
і (О
2 иг
:«) г-Сі (О
где С = ге“р [/■ = У? (<р, <)) — комплексная координата точки контура Ц
(1.4)
(1.5)
В полярных координатах выражение (1.5) запишем
Чг
1
ге'
№
г — гх е** _
(1.6)
Скорость движения точки линии тангенциального разрыва равна величине, сопряженнойпроизводной комплексного потенциала в данной точке
йг _
АІ йг
г=Л (в, і) е‘ь
(1.7)
В частности, радиальная и окружная составляющие скорости могут быть выражены следующим образом:
vR(Q, і) = Ие е>
!йш Л\ „ ПІіг) и
,9 '; (0, <)=-1тЬг«
(1.8)
Подставляя в (1.8) выражение (1.6) для йю/йг, запишем радиальную и окружную составляющие скорости точек контура поверхности тангенциального разрыва в виде
* о
^(0> 1-7^- С08в +
/?2
О
Г (6 — <р)
г, вш (0 — <р)
Ю + П - 2 Яг сое (0 — у) Д2 4- г2 _ 2Яг, сое (0 - <р)
Лг, (1-9>
»,(в, 0= ^о[ 1+^» ).1пв-
2 я
~2Т С *<¥.
<)
И — г сое (0 — ср)
I? — Г! С05 (0 — <р)
/?2 + Г2 _ 2 /?г сое (0-9) 4- г2 _ 2 /?п сое (0-<р)
Йср. (1.10>
Выпишем нелинейное сингулярное уравнение, определяющее деформацию поверхности тангенциального разрыва,
зя (0, () _ Л 8 ао
дt
„ (дЯ\2
/?2 + / — 1
дЧ
Таким образом, задача о деформации в однородном плоском потоке поверхности тангенциального разрыва, охватывающей круговой цилиндр, с заданными в начальный момент времени плотностью вихревого слоя и формой контура
^ (в, г'о) = (в); /?(0, *»> = /?(«)
(1.12>
состоит в решении задачи Коши для уравнений (1.3) и (1.11) с начальными условиями (1.12).
2. Пусть в некоторый момент времени линия тангенциального разрыва представляет собой окружность радиуса /?, концентричную контуру цилиндра
радиуса Я0 ■ Приведенная плотность вихревого слоя (0) является
заданной периодической функцией от полярного угла и представима в виде ряда Фурье по 0
g0 (0) = 2 Уж /? 2 (АП сое Я0 + Вп БШ Я0).
П=О
(2.1>
Подставляя это выражение в (1.9), (1.10) и (1.3) и учитывая значения интегралов
2~ I 81П к с(§ -у- сИ = 1;
вШ п% £ <Ц
: (2.2)
тяЫпЫ£ _и 2 /?о //?0 \2 п
С08 !
Vn _ 00 _П
-у— = VR— (\ — cos 0 -f- У (1 — Rln) (/l„sin 0 — B„cos Л0); (2.3)
00 B=1
vB _ _ 00 _
~w— = Vt = — (1 + Rq) sin 0 + y. Rln (An cos И0 + Bn sin ив); (2.4)
00 n=l
ж = 2 (nCncos n6 + nDnsin и9)’ (2-5>
n=1
(1 + *8») ) - (1 -/?*») 2 /?» (.Ак вк+п -Ак+п Вк) +
*=1
+ 2 ^{Л.В^-А^В,)-*=1
= - (1 + Цп ) (Вп+1 - В„_! ) + (1 + Щп ) 2 М* лй+„ + вк вк+п ) +
*=1
+ 2 /?2‘<лйля_*-в*в„_*).
А=1
Приведенные выражения дают представление о характере деформации поверхности тангенциального разрыва и изменении плотности вихревого слоя в рассматриваемый момент времени.
Заметим,, что поверхность тангенциального разрыва сохраняет в момент свою форму в виде окружности, если Ап = 0, В„ = 0(я>1), ^1=1. В этом частном случае из формул (2.3), (2.4) и (2.5) следует
дR (0, *0) Л дк <>
--М-----= ^=0; и0 = — вт0; -^- = 27^3^20. (2.6)
Продифференцировав выражения (1.9) и (1.10) по Ь и выполнив для рассматриваемого случая интегрирование, получим
^. = -^5(1-^00820; ^- = ^фт20. (2.7)
Из этих выражений следует, что при любом R^>R0 контур поверхности тангенциального разрыва, представляющий в начальный момент времени t<> окружность, охватывающую круговой цилиндр, при начинает деформи-
роваться.
3. При численном решении задачи Коши для системы нелинейных уравнений (1.3) и (1.11) с начальными условиями (1.12) оказывается удобным заменить непрерывный вихревой слой на заданном в начальный момент времени контуре системой дискретных вихрей. Тогда задача сводится к расчету траекторий движения вихрей заданной интенсивности.
На фиг. 2 и 3 приведены некоторые результаты численного решения задачи об изменении формы поверхности тангенциального разрыва, представляющей в момент ^0 = 0 окружность радиуса R. Плотность вихревого слоя в начальный момент времени принималась в виде g0 (0) = 2 Vx R sin 0, т. e. в момент t0 = 0 жидкость в области, ограниченной окружностью радиуса У? и контуром цилиндра» покоилась. Изображенные на фиг. 2 формы поверхностей тангенциального раз-
tv~
рыва соответствуют значению т = п 2 и различным отношениям R/R0- Для
по
где
С„ = -
жидкого контура в момент т, =_____ =
= 2 при /?о = °- В данных расчетах число дискретных вихрей на линии разрыва было равным 128, шаг по времени составлял Дт = 0,1.
Дифференциальные уравнения, определяющие траектории движения вихрей, интегрировались численно по схеме второго порядка точности. Изменение числа вихрей и шага по времени не оказывало существенного влияния на результат.
Приведенные на фиг. 2 иллюстрации свидетельствуют о том, что при любом RУ>R(I поверхность тангенциального разрыва, представляющая в
Фиг. 2
начальный момент времени окружность, в дальнейшем трансформируется и в потоке появляются вихреобразования спирального вида.
4. Исследуем предельный случай при R -> /?0- Переходя в выражениях (2.3) и (2.4) к пределу при /?0 -» 1, получим
lira _ R—*Ro 1
R _
■4
— cos (
+ 2 Ro’
1 dg 2R0 дв
(4.1)
(4.2)
Таким образом, при R R0 величина v^-tO. Дифференцируя выражение (1.9) по t и выполняя затем интегрирование при /?(в, t0) = const, нетрудно убедиться, что
d*v.
lim
R-*-Ro
dtn
1*=0 (n :
2,...).
(4.3)
Итак, в предельном случае при R -» Я0 контур поверхности тангенциального разрыва, представляющий в начальный момент времени окружность, сохраняет свою форму и при ty>t0.
Уравнение (1.6) в пределе при /? -> /?в преобразуется к виду
Ё£.
dt
_д_
дЬ
:0.
(4.4)
tv
Введем безразмерную переменную т = —и новую функцию г(0, т)
Ro
z = g~ sine, g = 2V8mR0 • (4-6>
Ограничиваясь случаем g0 = 2 R sin 0, для функции г(0, т) получаем квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка
дг дг
■*"+ 2г дТ = sin26 (4-6>
с начальными условиями:
т — 0, г —0. (4.7)
Чтобы решить задачу Коши для уравнения (4.6), выпишем соотношения,, справедливые вдоль характеристик
d\ dft dz 1ж n%
Т~ = 27 = sinTF • ^4-8^
Из (4.8) следует первый интеграл г2— sin2 0 = const. Учитывая начальные условия (4.7), имеем
г2 = sin2 0 — sin2 0О. (4.9)
Не нарушая общности, можно ограничиться рассмотрением решения при О<;0<;п/2. В этом случае
6
1 Г ад „
Т “ 2 J У sin2 0 — sin2 0О ' (4Л *
После подстановки
0 0О 1 -j— COS 0О sin2 «р
2 2 1—cos0osln2<p
и несложных преобразований интеграл (4.10) записывается в виде нормального, эллиптического интеграла Лежандра первого рода
‘ ' 9 „ ■ ■
г rfS
т = I —г ■ ==r , k = cos 0О. (4.11>
J у 1 - k? sin2 5 0 v r
о
Обращая полученное выражение, можем написать
sin <f = sn (т, cos 0О); (4.12>
sin 6 = dn (2 т, cos 0О) ’ <4,13)'
где sn т и dn2T — эллиптические функции Якоби, соответственно синус амплитуды и дельта амплитуды.
Итак, решение уравнения в частных производных первого порядка (4.6) получено в параметрическом виде:
sin 0п
г5 = sin2 0 sin2 0О; 8т0 = -ап(2т сО80о) . (4.14)
Важно отметить, что при т -»оо решение стремится к разрывному
sin 9, --J-<0<-|-lim г(0, т) = ■! (4.15)
I —sin 0, JL<0<3JL.
7Т
На фиг. 4 изображены кривые § (0) при соответствующие различ-
ным значениям х. Так же, как и 2(0, -г), функция £ (0, х) при х -> со стремится к разрывной функции
lim g (0, х) =
2 sin 0, - -- < 0 < —
2 2
О,
JL<0<!?L 2 2
При этом
О,
_1L<0<
. 2 2 lira ve — ^ .
T^°° —2 V„ sin 0, -2L < 0 < —-
1 00 2 2
(4.16)
(4.17)
Иначе говоря, при x oo все вихри сосредоточиваются с подветренной стороны цилиндра.
Из полученного решения следует, в частности, что при х -*■ оо в точках О — тс/2 и 0=3 я/2 производная dg/dS ->—оо.
Таким образом, точки 0 = и/2 и 0 = 3 ic/2 на окружности являются особыми.
5. В предыдущем разделе было показано, что цилиндрическая поверхность тангенциального разрыва в предельном случае при R-»R0 сохраняет свою форму, несмотря на то, что с течением времени изменяется линейная плотность вихревого слоя. Этот результат, по-видимому, можно трактовать таким образом, что при R -> Ro окружность радиуса R0 представляет собой .положение равновесия" для линии тангенциального разрыва. О том, является данное „положение равновесия” устойчивым или нет, можно судить по знаку производной dv^jdR.
Продифференцируем выражение (1.9) по R и выполним необходимое интегрирование в предположении Л(0, t0) = const. В результате получим
dv
R
dR
V„
- /?о cos 0 — 2 [!—(«+!) Rln ] (Л„ sin пв — В„ cos пв).
R R
П — \
Переходя к пределу при R -*■ Ro, получим .. 2 Л dR - R0
cos в —
1 dg 2 R2 дв ■
(5.1)
(5.2)
Выражение (5.2) допускает существование как положительных, так и отрицательных значений дvR/дR. Отрицательные значения дVf(!дR соответствуют устойчивости рассматриваемого .положения равновесия', положительные — неустойчивости.
Нетрудно убедиться, что для рассмотренного в п. 4 частного случая
я тс ди о
^0 = 2 ^/?о вт 0 будем иметь: дvR|дR>0 при — — < 0 < _ и < 0 при
Фиг. 4
Этот результат свидетельствует о неустойчивости указанного выше „положения равновесия" для поверхности тангенциального разрыва с под-
71 3 ТС
ветренной стороны цилиндра. В особых точках 0=-у и 6 = -g- прит-»оо,
Svp
—— -> со. dR
6. Изложенное выше можно обобщить на случай цилиндрической поверхности тангенциального разрыва, охватывающей круговой цилиндр, радиус которого изменяется во времени по линейному закону
Rc = R0 + R'(t-t0). (6.1)
Выражение для vb (1.10) остается в силе, а в выражении для vR (1.9) появ.
о dv q
ляется дополнительное слагаемое -JLR’. Для производной —~ в момент t0 по-
R oR
лучим в пределе при R -» R0
dvR 2 1 dg R'
11Ш n n COS 0 9 зс n . (6.2)
R-R0df? *0 2Rl^ Ro v ’
(6.3)
В частном случае при g0 = 2 sin 0 в момент t0 можем написать
dvR _ cos 0 R’
dR R~0 '
л , dvo
Отсюда следует, что область положительного знака производной —— для
oR
расширяющегося цилиндра меньше я. Граница области положительного знака dvp
—— определяется соотношением dR
со 8 0. = /г'/Иоо- (6-4)
dVa
При /?'> V на всем контуре производная _£-<;0.
oR
Автор пользуется случаем выразить благодарность Ю. Я. Михайлову и С. Г. Игнатьеву за обсуждение работы и полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский А. А. О „второй* форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков). ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.
2. Ильичев К. П., Постоловский С. Н. Расчет нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1972, № 2.
3. Белоцерковский С. М., Н и ш т М. И. К расчету срыв-ного нестационарного обтекания тонкого профиля. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1972, № 3.
Рукопись поступила 2jV 1974 г.
