CC BY
39
Математика
УДК 519.178 DOI: 10.14529/mmph160101
О ЧИСЛЕ ОЕ-ЦЕПЕЙ ДЛЯ ЗАДАННОЙ СИСТЕМЫ ПЕРЕХОДОВ
1
Т.А. Макаровских'
Ранее установлено существование ОЕ-цепи в плоском эйлеровом графе и предложен алгоритм построения такой цепи. В статье исследуется вопрос о числе ОЕ-цепей с системой переходов, индуцируемой отдельной ОЕ-цепью и установлено, что верхняя оценка этого числа не превышает удвоенной суммы количества вершин, смежных внешней грани, и суммы степеней разделяющих вершин. Построенная оценка достижима, если система переходов является системой переходов Л-цепи. Исследован вопрос существования ОЕ-цепей, удовлетворяющих произвольной системе переходов.
Ключевые слова: плоский граф; эйлеров цикл; система переходов; А-цепь; упорядоченное охватывание.
Введение
В настоящее время активно развивается раздел теории графов, посвященный построению различных цепей с ограничениями. Данный интерес обусловлен тем, что граф является математической моделью объектов из различных прикладных областей.
Например, при технологической подготовке процесса раскроя в качестве математической модели раскройного плана рассматривается топологический плоский граф G, который с точностью до гомеоморфизма отображает раскройный план. Задача заключается в построении в графе G маршрута, представляющего собой покрытие упорядоченным множеством цепей, удовлетворяющих следующим ограничениям на траекторию движения режущего инструмента:
(P1) отрезанная часть листа не должна требовать дополнительных разрезаний (данная задача рассмотрена в [1, 2]);
(P2) при огненной резке (flame cutting) должны отсутствовать пересечения резов [3]. В работе [4] для плоских эйлеровых графов введено понятие OE-цепи и предложен алгоритм ее построения. Понятие ОЕ-цепи решает задачу с ограничением (P1). Если граф является полуэйлеровым и хотя бы одна из вершин нечетной степени смежна внешней грани, то применение алгоритма из работы [4] с небольшими модификациями решает задачу и в этом случае. В работе [1] решена задача с ограничением (P1) для плоских связных графов G общего вида. Задача решается построением OE-маршрута, представляющего минимальное по мощности упорядоченное ребер-но-непересекающееся покрытие графа ОЕ-цепями. Таким образом, любая ОЕ-цепь в построенном ОЕ-маршруте покрывает некоторый полуэйлеров подграф графа G.
В связи с изложенным выше представляет интерес оценка количества ОЕ-цепей в эйлеровом графе. Любая ОЕ-цепь индуцирует систему переходов [5], для которой существует множество ОЕ-цепей M. В результате встает задача оценки мощности множества M.
1. Основные определения
Общепринято формализовать локальные ограничения на маршрут в терминах системы переходов. Приведем определения системы переходов из монографии [5].
Определение 1. Графом разрешенных переходов (или короче, графом переходов) TG (v)
вершины v e V(G) будем называть граф, вершинами которого являются ребра, инцидентные вершине v, т.е. V(TG(v)) = EG(v), а множеством ребер - разрешенные переходы между ребрами.
1 Макаровских Татьяна Анатольевна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Экономико-математические методы и статистика», Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация. E-mail: kwark@mail.ru, paniukovata@susu.ac.ru
Определение 2. Системой разрешенных переходов (или короче, системой переходов) TG
будем называть множество {TG (v)| v е V(G)}, где TG (v) - граф переходов в вершине v .
В соответствии с работой [6] будем использовать следующее определение.
Определение 3. Эйлеров цикл в плоском графе G называется самонепересекающимся, если
он гомеоморфен циклическому графу G, который может быть получен из графа G с помощью
применения |E(G)| операций расщепления вершин.
Определение 4. Систему переходов цепи, соответствующую самонепересекающейся цепи, будем называть системой непересекающихся переходов.
Далее рассмотрим задачу пересчета цепей в графе G, совместимых с системой переходов XT (G) некоторой цепи T, удовлетворяющей условию упорядоченного охватывания [4].
Определение 5. Пусть S - плоскость, на которой представлен плоский граф G = (V, E). Пусть f - внешняя грань графа G. Для любого подмножества H с S через Int(H) определим подмножество S, являющееся объединением всех компонент связности множества S \ H, не содержащих внешней грани f. При этих условиях цикл C = v1e1v2e2 ...vk в плоском эйлеровом графе G называется циклом с упорядоченным охватыванием (или для краткости OE-циклом), если для Cl = v1e1v2e2...vl, l <| E | выполнено условие Int (Cl) n E = 0 .
Построенный в графе OE-цикл T(G) однозначно определяет систему переходов XT (G) графа G. Например, для графа, приведенного на рис. 1, цикл
C1 = vieiv3e3v2 e2vie6v2e5v3e4vi
соответствует системе переходов X^ (G), представленной жирными линиями на рис. 1.
Для дальнейших рассуждений потребуется понятие ранг ребра e в плоском графе G(V,E) [1], в работе [1] эта величина определялась как уровень вложенности.
Определение 6. Рангом ребра е, обозначаемым как rank(e), плоского графа G(V, E) является величина, определенная следующим образом:
• все ребра, ограничивающие внешнюю грань f графа G(V,E), образуют множество ребер E1 = {e е E : e с f0} ранга 1: (Veе E1)(rank(e) = 1).
• Ребра ранга 1 для графа
i А-1 ^
G
V, E \|U El
i=1
Рис. 1. Пример графа с системой непересекающихся переходов
образуют множество Ек ребер ранга к исходного графа О, т.е. ("е е Ек)(гапк(е) = к).
Таким образом, ранги всех ребер графа возможно определить рекурсивно за полиномиальное время [7]. С помощью введенных определений покажем, что при соответствующем выборе начальной вершины и начального ребра ОЕ-цикла возможно построить и другие ОЕ-циклы, удовлетворяющие той же системе переходов.
2. О числе ОЕ-циклов
Рассмотрим плоский эйлеров граф О и построенный в нем, например, с использованием алгоритма из [7] ОЕ-цикл Т. Если ХТ (О) - система переходов, соответствующая циклу Т, тогда справедливо следующее утверждение.
Предложение 1. Пусть О(¥,Е) - плоский эйлеров граф без точек сочленения и Т представляет ОЕ-цепь в графе О, которой соответствует система переходов ХТ (О). Тогда число ОЕ-цепей N для системы переходов ХТ (О) удовлетворяет неравенству 1 < N < 2-1 V(/0)|, V(/0) = (V | V е /0}, причем как верхняя, так и нижняя оценки достижимы.
Доказательство. Существование ОЕ-цепи Т доказано в работе [4], откуда следует нижняя оценка. Зафиксируем систему переходов ХТ (О) ОЕ-цепи Т . Для данной системы переходов все
вершины множества V(/0) можно разбить на два класса: У1 = {у | Е(Т0 (у)) е (е1,е2}, е1,е2 е /0] и У2 = {у | Е(ТО (у)) е {е1, е2}, е1, е2 й /0 ]. Система переходов для у еУ1 допускает не более двух ОЕ-
цепей, стартующих с ребер, ограничивающих внешнюю грань. Если предположить, что цепь стартует с ребра, которое не принадлежит внешней грани, то она и закончится ребром, которое не принадлежит внешней грани, что не удовлетворяет требованию ОЕ-цепи. Для вершин из множества У2, наоборот, построение ОЕ-цепи возможно только при условии старта по ребру, не принадлежащему внешней грани. В противном случае при возврате в выбранную вершину у будет охвачено по крайней мере одно ребро, не смежное внешней грани. Таким образом, заданная система переходов допускает не более 2-1 V(/0) | ОЕ-цепей. Покажем, что эта оценка достижима. Рассмотрим граф, приведенный на рис.1. В этом графе ОЕ-цепь Сп = У1е1У3е3У2е2У1е6У2 е5 у3е4 у1 индуцирует систему переходов Х^ (О) = {Т0 (у1), ТО (у2), ТО (у3)] , где
у(То(у1)) = {е1,е2,е4,е«}. Е(Тоу)) = {{е1,е4},{е2,е6}] ; у(То(у2)) = {е2,ез,е5,еб}; Е(То(у2)) ={{е2,ез},{е5,еб}] ; у(То(уз)) = {е1,ез,е4,е5}; Е(Та(уз)) = {{е,ез},{е4,е5}] .
Для вершины у1 существует еще одна ОЕ-цепь С12 = у1е2у2е3у3е1у1е4у3е5у2е6у1. При этом для вершины у2 е / ОЕ-цепи С21 = у2е6у1е2у2е3у3е1у1е4у3е5у2 и С2 2 = у2е5у3е4у1е1у3е3у2е2у1е6у2 удовлетворяют системе переходов ХС^ {О), а для вершины у3 данной системе удовлетворяют ОЕ-цепи С31 = у3е4у1е1у3е3у2е2у1е6у2е5у3 и С3 2 = у3е5у2е6у1е2у2е3у3е1у1е4у3. Таким образом в графе из трех вершин имеется шесть ХТ (О) -совместимых ОЕ-цепей.
Рассмотрим теперь тот же граф с другой системой переходов ХС(О) (рис. 2). Основным отличием данной системы переходов от системы переходов, заданной на рис.1, является наличие пересечений переходов в вершинах у2 и у3.
В данном случае граф имеет единственную ОЕ-цепь
С = у2 езузе4 у1е1узе5у2 е2у1е6у2
для заданной ХС (О). В случае выбора как вершины уь так и вершины у3 получим, что цикл у1е1у3е5у2е2у1 охватывает еще непройденное ребро е3. Заметим, что стартовым ребром в данном случае может быть только ребро е3. Следовательно, достижима и нижняя оценка.
С практической точки зрения особый интерес представляют графы, для которых верхняя оценка достижима. Из доказательства предложения 1 видно, что не всякий ОЕ-цикл индуцирует систему переходов, для которой будет достигаться верхняя оценка. Отметим также, что для нахождения подходящей системы переходов, для которой достигается верхняя оценка, недостаточно знать только начальную вершину и начальное ребро.
Рис. 2. Пример графа с системой переходов, имеющей пересечения
2.1. Число ОЕ'-циклов для системы переходов, соответствующей А-цепи
Рассмотрим эйлерову цепь Т = у0,к1,у^...,кп,уп,уп = у0 в графе О = (У, Е). Предположим, что в каждой вершине у е V
задан циклический порядок О± (у), определяющий систему переходов АО (у) с О± (у) в этой вершине.
Определение 7. Систему переходов АО (у) называют полной, если "у е У (О) АО (у) = О± (у).
Определение 8 [5]. Эйлерову цепь Т будем называть А-цепью, если она является Ад-совместимой цепью. Таким образом, последовательные ребра в цепи Т (инцидентные вершине V) являются соседями в циклическом порядке О± (V).
Очевидно, что пример, приведенный на рис. 1, удовлетворяет данному случаю. Для системы переходов, соответствующей А-цепи, справедливо следующее утверждение об ОЕ-циклах.
Теорема 1. Пусть плоский граф О = (V, Е) без разделяющих вершин имеет А-цепь Т, которой соответствует система переходов ХТ (О). Если V(/0) - множество вершин, смежных внешней грани, то число ОЕ-циклов для ХТ (О) равно 2-1 V(/0) |.
Доказательство. Доказательство факта, что А-цепь, начинающаяся и заканчивающаяся в вершине v0 е /0, является ОЕ-циклом приведено в [8].
Подсчитаем число ОЕ-циклов для фиксированной системы переходов. В [6] доказано, что любой ОЕ-цикл начинается в вершине V е /0 и завершается ребром е е /0. В соответствии с условием теоремы, любая вершина vJ■ е /0, ] = 1,... | v(/0) | не является разделяющей, поэтому имеет ровно два инцидентных ей ребра, смежных внешней грани /0 . Так как система переходов соответствует А-цепи, если по одному из этих ребер достигается вершина vj, то по другому цепь выходит из этой вершины. Если оба этих ребра используются только для достижения вершины, то не выполнено условие упорядоченного охватывания (в этом случае одно из этих входящих в вершину ребер оказывается пройдено раньше, чем были пройдены некоторые внутренние ребра). Если оба ребра используются только для покидания вершины, то в системе переходов ХТ (О) возникнут пересечения. Однако такая система переходов не соответствует системе переходов А-цепи.
Так как А-цепь является замкнутой последовательностью ребер и вершин, то ее начало может быть помещено в любую вершину, например, в vj е /0. Если V^ является последней вершиной ОЕ-цепи, то необходимо, чтобы в последовательности ребро е^_1 е /0. Действительно, в противном случае последнее ребро е^_1 ОЕ-цепи окажется охваченным циклом из ребер, смежных внешней грани. Если за начало цепи принять некоторую вершину V е V(/0), то в соответствии с предопределенным циклическим порядком О ± (О) можно выбрать одно из двух инцидентных ребер для покидания текущей вершины. Следовательно, из произвольной вершины Vе V(/0) можно построить два ОЕ-цикла. Так как существует | V(/0)| вершин, смежных внешней грани, число ОЕ-циклов, соответствующих системе переходов для А-цепи, равно 2-1 V(/0) |.
Если в графе О(V, Е) имеется несколько разделяющих вершин, то для системы ХТ (О), соответствующей А-цепи в данном графе, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть плоский граф О = (V, Е) имеет К разделяющих вершин v1,...vK е /0 и пусть в этом графе существует А-цепь Т. Пусть ХТ (О) - система переходов, соответствующая Т, а V(/0) - множество вершин, смежных внешней грани. Существует
2-1V (/0)|+£ ^евС,.) _ 2)
1=1
ОЕ-циклов для ХТ (О).
Доказательство. В соответствии с теоремой 1 граф О без разделяющих вершин имеет ровно 2-1V(/0)| ОЕ-циклов для системы переходов, соответствующей некоторой А-цепи. Пусть v¡ е V(/0) - разделяющая вершина степени deg(v¡) = 2М,.. В циклическом порядке ребер, соответствующем данной вершине, имеется ровно М, ребер, по которым цепь достигает данную вершину и столько же ребер, по которым она покидает эту вершину. Одна пара ребер уже подсчитана в | V(/0)|, но не учитывается еще М1 _ 1 возможность начала ОЕ-цикла. Суммируя по всем разделяющим вершинам, получим выражение, указанное в формулировке теоремы.
Заметим, что если ХТ (О) не соответствует А -цепи, то верхняя оценка не достигается даже если цепь Т является самонепересекающейся. Подтверждением данного факта является пример,
приведенный на рис. 3. В приведенном графе не существует А-цепи, однако можно определить систему непересекающихся переходов ХТ (О) . Для этого графа при заданной системе переходов ХТ(О), приведенной на рис. 3, существует только пять ОЕ-цепей, начинающиеся в разных вершинах на внешней грани:
С1 = ^7^0^4^^2^0 ;
С2 = eVleгVoеЛе7V ;
Сз = ^5^6 V eзV0e9VгЧV0e7V1 ;
С4 = Vез^е9^е8^е7^еЛе2^е4^е5^е6^ \ С5 = V2e9V0eзV2e6Vle5V2e4Vle2V0elVle7^0^2 .
При построении цепи из вершины у1 возможно построение цепи, начинающейся либо с ребра е1 (в этом случае будет построена цепь Сз, последним ребром которой будет е7), либо с ребра е5 (в этом случае последним в цепи будет ребро е6, однако построенная цепь С6 = У1е5У2е4У1е2у0е1У1е7У0е8У2е9У0езУ2е6У1 не будет являться ОЕ-цепью, т.к. ребра е9 и ез к моменту их включения в цепь окажутся охваченными).
В общем случае система переходов ХТ (О), соответствующая любой ОЕ-цепи, может иметь пересечения (пример цепи, соответствующей системе переходов с пересечениями, приведен на рис. 2). Таким образом, в данном случае число ОЕ-цепей лежит в интервале от 1 до 2-1 V(/0) |.
Рис. 3. Пример графа с системой непересекающихся переходов, не допускающей A-цепь
3. Необходимое условие существования ОЕ-цепи для заданной системы переходов
Рассмотрим частный случай, когда граф О(у, Е) является 4-регулярным плоским графом.
Тогда в О существует эйлерова цепь Т с соответствующей ей системой переходов ХТ (О) . Выше было доказано, что если ХТ (О) не имеет пересечений, тогда число ОЕ-цепей для этой системы переходов равно 2-1 V(/0) |.
Предположим, что система переходов Хт (О) имеет хотя бы один пересекающийся переход. В общем случае существование ОЕ-цепи определяется как наличием пересечений в системе переходов, так и их расположением. Например, в графе на рис. 4 приведена система переходов с единственным пересечением, для которой не существует ОЕ-цепи.
Тем не менее, если изменить всего два перехода, то получим систему переходов, которой соответствует некоторая ОЕ-цепь. Например, заменив всего два перехода (в вершинах у1 и у2), получим ОЕ-цепь
Фис. 5). Граф на
рис.6 имеет систему переходов с тремя пересечениями, которой соответствует также одна ОЕ-цепь. Более того, несложно найти примеры графов, имеющих до IV (/0)| ОЕ-цепей для систем переходов с пересечениями.
Прежде чем привести утверждения для 4-регулярных графов, докажем следующее.
Предложение 2. Если система переходов ХТ (О) для некоторой эйлеровой цепи Т 2-вершинно-связного 4-регулярного плоского графа О без разделяющих вершин имеет только пересекающиеся переходы, то ХТ (О) не соответствует ни одной ОЕ-цепи в графе О.
Доказательство. Построим модифицированный граф О*, полученный из графа О расщеплением вершин, имеющих непересекающиеся переходы. Таким образом, если для некоторой вершины V графа О ее степень deg(v) > 2, то в этой вершине существует пересекающийся переход
Рис. 4. Пример системы переходов с единственным пересечением, которая не соответствует ни одной ОЕ-цепи
как в графе О*, так и в графе О. С точностью до гомеоморфизма будем считать, что все вершины графа О имеют степень больше 2, следовательно, во всех вершинах графа О имеются пересекающиеся переходы. Предположим, что заданная в условии утверждения система переходов ХТ (О) соответствует некоторой ОЕ-цепи Т. Рассмотрим 2-вершинно-связный граф О (как было сказано выше, имеющий только вершины с пересекающимися переходами) и цепь, начинающуюся с ребра е0 (на рис. 7 представлены фрагменты такого графа).
Рис. 5. Пример системы переходов, соответствующей одной ОЕ-цепи
Рис. 6. Еще один пример системы переходов, которой соответствует единственная ОЕ-цепь
Все ребра, представленные на рис. 7, являются абстрактными и могут представлять различные множества ребер. В соответствии с заданной системой переходов, после е0 цепь проходит по «ребру» е2. Так как вершина х0 не является разделяющей, то цепь, начинающаяся с «ребра» е2, должна будет пройти по «ребру» е3, пересечься с «ребром», смежным е0, и вернуться в вершину х0. Непосредственно из построения следует, что е4 в данном случае окажется охваченным циклом, следовательно, построенная цепь не является ОЕ-цепью. Легко видеть, что подобное охватывание возникает и для цепей, начинающихся и с других «ребер».
Рассмотрим эйлерову цепь Т, соответствующую системе переходов ХТ (О) 4-регулярного плоского графа О(У,Е) . Построим редуцированный граф О'(у', Е), в котором вершины, не имеющие пересечений переходов в ХТ (О) , расщеплены на две вершины. В соответствии с предложением 2, если в графе О' найдется блок, не являющийся циклом, то в графе О для заданной системы переходов не существует ОЕ-цепи.
С другой стороны, граф О' имеет ОЕ-цепь только в том случае, когда каждый блок в О' имеет ОЕ-цепь. Доказательство данного факта очевидно, т.к. все блоки редуцированного графа обходятся последовательно один за другим. Таким образом, если предположить, что существует блок, не имеющий ОЕ-цепи, тогда этот блок, объединенный с остальными, никаким образом не будет иметь такой цепи.
Изложенное дает доказательство теоремы 3.
Теорема 3 (Необходимое условие). Если в редуцированном графе О' существует ОЕ-цепь, соответствующая заданной системе переходов, то в исходном графе О существует хотя бы одна ОЕ-цепь, начинающаяся в вершинах, соответствующих разделяющим вершинам графа О'.
К сожалению, данное условие не является достаточным даже для 4-регулярного графа с заданной системой переходов. Например, редуцированный граф О' для графа О, представленного на рис.4, является парой петель, инцидентных висячей вершине v0 . В редуцированном графе О'
Рис. 7. Некоторые фрагменты графа, имеющего только пересекающиеся переходы
существует ОЕ-цепь, тем не менее, выше было показано, что для данной системы переходов не существует ОЕ-цепи в графе G. Вообще, вершина v0 в рассмотренном примере несмежна внешней грани, потому из данной вершины невозможно начать построение ОЕ-цепи. Но если начать построение цепи из любой вершины смежной внешней грани, построить ОЕ-цепь для заданной системы XT (G) также не удастся. Несмотря на это, в редуцированном графе G' имеется ОЕ-цепь.
Заключение
Таким образом, в плоском графе G для непересекающейся системы переходов XT (G) существует не более 2-1 V(f0)\ (где | V(/0)| - число вершин, смежных внешней грани графа) ОЕ-цепей. Если система переходов XT (G) имеет пересечения, то число ее ОЕ-цепей лежит в промежутке от 1 до 2- \ V(/0)\ только тогда, когда в редуцированном графе G' существует ОЕ-цепь. Данные результаты могут быть использованы при технологической подготовке процесса вырезания деталей, когда раскройный план представлен в виде плоского графа, траектория движения режущего инструмента является ОЕ-цепью и требуется определить все возможные точки старта процесса вырезания при фиксированной последовательности вырезания деталей.
Автор благодарит Герберта Фляйшнера, профессора Технического университета г. Вены, за постановку задачи и плодотворное обсуждение.
Литература
1. Панюкова, Т.А. Оптимальные эйлеровы покрытия с упорядоченным охватыванием для плоских графов / Т.А. Панюкова // Дискретный анализ и исследование операций. - 2011. - Т. 18, № 2.- С. 64-74.
2. Makarovskikh, T.A. The Algorithm for Constructing of Cutter Optimal Path / T.A. Makarovskikh // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2014. - Vol. 1, № 2. - P. 52-61.
3. Фроловский, В. Д. Автоматизация проектирования управляющих программ тепловой резки металла на оборудовании с ЧПУ / В.Д. Фроловский // Информационные технологии в проектировании и производстве. - 2005. - Вып. 4. - С. 63-66.
4. Panioukova, T.A. The Algorithm for Tracing of Flat Euler Cycles with Ordered Enclosing / T.A. Panioukova, A.V. Panyukov // Известия Челябинского научного центра УрО РАН. - 2000. -№ 4(9). - P. 18-22.
5. Fleischner, H. Eulerian Graphs and Related Topics, Part 1, Vol. 1 / H. Fleischner // Ann. Discrete Mathematics. - 1990. - Vol. 45. - 450 c.
6. Белый, С.Б. О самонепересекающихся и непересекающихся цепях / С.Б. Белый // Математические заметки. - 1983. - № 34. - Вып. 4. - С. 625-628.
7. Панюкова, Т.А. Обходы с упорядоченным охватыванием в плоских графах / Т.А. Панюкова // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. - 2006. - Т. 13, № 2. -C.31-43.
8. Панюкова, Т.А. Построение эйлеровых циклов с упорядоченным охватыванием как математическая модель решения задачи раскроя / Т.А. Панюкова // Современные информационные технологии и ИТ-образование: cборник избранных трудов VIII Международной научно-практической конференции. Под ред. проф. В.А. Сухомлина. М.: ИНТУИТ.РУ, 2013. - С. 706713.
Поступила в редакцию 29 июня 2015 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2016, vol. 8, no. 1, pp. 5-12
DOI: 10.14529/mmph160101 ON THE NUMBER OF OE-TRAILS FOR A FIXED TRANSITION SYSTEM
T.A. Makarovskikh'
The existence of OE-trail for a plane Eulerian graph had been established earlier and algorithm of its constructing was suggested. This paper is devoted to a question of enumeration of OE-trails for a system of transitions induced by a particular OE-trail. The upper bound of this estimation does not exceed the double sum of vertices adjacent the outer face and sum of cutvertices degrees. This bound is reachable if a transition system satisfies any A-trail. The number of OE-trails for an arbitrary chosen transition system is also examined.
Keywords: planar graph; Eulerian cycle; transition system; А-trail; ordered enclosing.
References
1. Panyukova T.A. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy. 2011, Vol. 18, no. 2, pp. 64-74. (in Russ).
2. Makarovskikh T.A. The Algorithm for Constructing of Cutter Optimal Path. Journal of Computational and Engineering Mathematics. 2014, Vol. 1, no. 2, pp. 52-61.
3. Frolovskiy V.D. Informatsionnye tekhnologii v proektirovanii i proizvodstve, 2005, Issue 4, pp. 63-66. (in Russ.).
4. Panioukova T.A., Panyukov A.V. The Algorithm for Tracing of Flat Euler Cycles with Ordered Enclosing. Izvestiya Chelyabinskogo nauchnogo tsentra UrO RAN, 2000, no. 4(9), pp. 18-22.
5. Fleischner H. Eulerian Graphs and Related Topics, Part 1, Vol. 1. Ann. Discrete Mathematics. North Holland, Amsterdam, 1990, Vol. 45, 450 p.
6. Belyy S.B. Matematicheskie zametki, 1983, no. 34, Issue 4, pp. 625-628. (in Russ.).
7. Panyukova T.A. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy. Ser. 2, 2006, Vol. 13, no. 2, pp. 3143. (in Russ.).
8. Panyukova T.A. Postroenie eylerovykh tsiklov s uporyadochennym okhvatyvaniem kak mate-maticheskaya model' resheniya zadachi raskroya [Construction of Euler cycles ordered grapple as a mathematical model of solving the cutting problem]. Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie: sbornik izbrannykh trudov VIIIMezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii. Pod red. prof. V.A. Sukhomlina [Modern information technology and IT education: Proceedings of the VIII International Scientific and Practical Conference. prof. VA Sukhomlin (Ed.)]. Moscow, INTUIT.RU Publ., 2013, pp. 706-713. (in Russ.).
Received 29 June 2015
1 Makarovskikh Tatiana Anatolievna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associated Professor, Mathematical Methods in Economics and Statistics Department, South Ural State University, Chelyabinsk, Russia. E-mail: kwark@mail.ru, paniukovata@susu.ac.ru
