CC BY
37
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
1.1. О БИЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ КВАЗИАДАМАРОВЫМИ МАТРИЦАМИ
Никонов Владимир Глебович, доктор технических наук, член Президиума РАЕН
Литвиненко Виталий Сергеевич, сотрудник ФГУП «НИИ «КВАНТ». E-mail: vslitvinenko@mail.ru
Аннотация: В статье продолжены исследования биективных отображений, задаваемых квазиадамаровыми матрицами, начатые в [НЛ15]. Доказывается, что если отображение, задаваемое квазиадамаровой матрицей A п биективно, то обратное отображение задается транспонированной матрицей А^. Также доказывается, что любая квазиадамарова матрица порядка 4, 6 или 8 задает биективное координатно-пороговое отображение.
Ключевые слова: биективные отображения, пороговые функции, квазиадамаровы матрицы.
1.1. ABOUT BIJECTIVITY OF TRANSFORMATIONS DETERMINED BY QUASI-HADAMARD MATRIXES
Nikonov Vladimir Glebovich, Doctor of Technical Sciences, a member of the Presidium of Russian Academy of Natural Sciences
Litvinenko Vitaly Sergeevich, employee of Federal State Unitary Enterprise Scientific Research Institute KVANT. E-mail: vslitvinenko@mail.ru
Abstract: The article continues studies of bijective mapping determined by quasi-hadamard matrixes started in [НЛ15]. It is proved that if mapping determined by quasi-hadamard martixes A п is bijective, then the inverse mapping is set by the transposed matrix A^. It is also proved that any quasi-hadamard matrix of order 4, 6 or 8 determines bijective coordinate-threshold map.
Index terms: bijections, threshold functions, quasi-hadamard matrices.
Пусть и - п-мерное арифметическое пространство над полем Е. Рассмотрим множество Уп векторов-столбцов из 1_п, состоящих из ±1, которое образует п-мерный двоичный куб. Очевидно, что мощность множества Уп
2п
Рассмотрим произвольное преобразование Р множества Уп, заданное системой координатных функций (^ ...Дп). В этом случае преобразование
Р:(х!,...,хп) ^ (У1, .,Уп), где (х1,.,хп) ,(У1, ., Уп) е Уп записывается в виде
'У1 = ¡1(х1,.,хп);
у2 = ¡2(х1, .,хп); (1)
1Уп =*п(х1,.»,хп), где Л е 1, п - двоичные функции от п переменных. В данной статье внимание будет
сосредоточено на изучении биективных преобразований Р множества Уп.
Напомним определение двоичной пороговой функции (см. [Дер67]).
Определение 1: Двоичная функция £ V ^ V называется пороговой, если для некоторых действительных чисел ах,... ,ап , с . значения функции f определяются условием: ¡(х1, ...,хп) = 1 <=> а1х1 + ...+ ап хп > с , (2) где суммирование производится в действительной области. Действительные числа ах, ... ,ап получили название коэффициентов линейной формы, а с - порога.
Для одной и той же пороговой функции коэффициенты и значение порога могут выбираться неоднозначно. Такие функции представляют интерес в связи с простотой технической реализации, а также в связи со свои-
ми вычислительными возможностями. Пороговые функции появляются и изучаются во многих разделах математики. В данной работе используется одно интересное свойство этих функций, а именно возможность генерации подстановок с помощью систем пороговых функций.
Определение 2: Квазиадамаровой матрицей будем называть квадратную матрицу над полем действительных чисел, состоящую из элементов {-1, 0, 1}, с попарно ортогональными строками и имеющую чётный размер, причём каждая строка и каждый столбец такой матрицы содержат хотя бы один нуль и хотя бы один отличный от нуля элемент.
Будем рассматривать квазиадамаровы матрицы вида
1,1 ■■ a1,n-1 0
2,1 0 a.n ), (3)
0. an,n-1 an,n/
где ац = ±1.
Определение 3: Множество матриц такого вида размера пхп обозначим через
Заметим, что матрицы подобного вида, так называемые конференц-матрицы, изучались Витольдом Белевичем (см [Bel50]). Он рассматривал квадратные матрицы С с нулями на главной диагонали и элементами, равными ±1 вне ее, такие, что ССТ =(n-1)E, где п - размер матрицы С. Нормальным видом конференц-матрицы С называется матрица, полученная из С умножением строк и столбцов на «-1», такая, что в первом столбце и в первой строке нет «-1». Конференц-матрица С называется симметричной, если подматрица ее нормальной формы, образованная последними п-1 столб-
л w
цами и п-1 строками, является симметричной матрицей. Аналогично определяется антисимметричная конференц-матрица. В работах [Bel50, GS67] были получены некоторые свойства таких матриц, среди которых можно отметить следующие:
1. Размер матрицы п - четное число.
2. Если п + 2 делится на 4, то C — симметричная конференц-матрица. При этом п должно быть не только сравнимо с 2 (mod 4), но также п - 1 должно быть суммой квадратов двух це-
лых чисел. Первые несколько возможных порядков симметричных конференц-матриц п=2, 6, 10, 14, 18, (не 22, так как 21 не является суммой двух квадратов), 26, 30, (не 34, так как 33 не является суммой двух квадратов), 38, 42, 46, 50, 54, (не 58), 62...
Если п делится на 4, то матрица С - антисимметричная конференц-матрица.
Определение 4: На множестве Уп определим координатно-пороговое отображение
Бд: задаваемое матрицей А. Пусть
(и1,...,11п), ^1,...,Уп) £ Уп, Бд(и1,.,ип) = ^1,...,Уп), где
rv1 = 1 <=> a1,1u1 + —+ а
*1,n-1un-1
Un-i > 0
(4)
[Уп = 1 <=> ап,2И2 + - + ап,п% > 0.
Замечание 1: Отображение Бд можно задать эквивалентным образом. Рассмотрим произ-
вольный вектор иг 6 Vn., Au
г _ „I _
(с1, ..., cn)..
Тогда Ба(их) = у1 = (VI, ...,Уп),
где V; = sign(сi), 1 = 1, п.. Напомним, что функ-
( 1, а > 0 ция знака Б^п(а) = | -1, а < 0 . .
( 0, а = 0
Замечание 2: Так как размер матриц из ЭДп четен (см [Ве150]), то, в условиях замечания 1, С] =А]и1'. - нечетное целое число.
Эмпирически было зафиксировано существование матриц, задающих биективное ко-ординатно-пороговое отображение при п = 4, 6, 8, однако при п = 10, 12 были найдены матрицы, задающие не биективные координатно-пороговые отображения.
Определение 5: Элементарными преобразованиями матрицы будем называть перестановку строк, перестановку столбцов, умножение строки на -1 и умножение столбца на -1.
Замечание: Умножение 1-ой строки (1-го столбца) матрицы Ап £ на -1 равносильно умножению Ап слева (справа) на матрицу d¡ag(1,...,-1¡,...,1)пхп. Перестановка 1-ой и ]-ой строк (¡-го и ]-го столбцов) матрицы Ап равносильна умножению матрицы слева (справа) на матрицу, полученную из единичной матрицы размера пхп перестановкой ¡-ой и ]-ой строк (¡-го и ]-го столбцов).
Определение 6: Матрицы, определенные в предыдущем замечании будем называть матрицами элементарных преобразований.
Утверждение 1: Пусть матрица А задает биективное координатно-пороговое отображение БА. Если матрица В получена из матрицы А с помощью элементарных преобразований, то координатно-пороговое отображение Бв также является биекцией.
Доказательство: Достаточно доказать утверждение для случая, когда матрица В получена из матрицы А одним элементарным преобразованием. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существуют два различных вектора и*. = (и!,...,ип) и у* = (У1,...,уп) е Уп которые после применения преобразования Бв переходят в один вектор ш*, то есть
Бв(и*) = S в(у*) = ш* =
Рассмотрим два вектора
с* = (С1.....Сп) = Би* и а1 = (с11.....сСп) = Бу*
тогда б1§п(с1) = sign(d¡)= wi, I = 1, п.. Далее рассмотрим каждое элементарное преобразование.
Если матрица В получена из матрицы А умножением ¡-го столбца на -1, то рассмотрим вектора Ц. = (и1,.,-и|,.ип) и у. =(у1,.,-у|,.,уп).
Если матрица В получена из матрицы А перестановкой ¡-ого и ''-го столбцов, где I < '', то рассмотрим вектор Ц. = (и1,.,и',.,и|,.ип) и вектор у. = (у1,.,у',.,у|,.,уп), полученные из векторов и*. и у*, перестановкой ¡-ой и '-ой координат.
В обоих случаях выполняются равенства векторов АЦ = Би* = с*, это означает, что БА(Ц.) = s¡gn(AU.) = s¡gn(c*) = ш*. Аналогично доказывается, что БА(У) = ш*., при этом У Ф и Значит, преобразование БА не является биекцией. Получили противоречие.
Если матрица В получена из матрицы А
V л
умножением ¡-ой строки на -1, то верно равенство векторов Аи* = (с^...,-^,...^), значит БА(и*) = Аналогично доказы-
вается, что БА(У) = поэтому,
преобразование БА не является биекцией. Получили противоречие.
Если матрица В получена из матрицы А перестановкой ¡-ой и '-ой строк, где ¡ < ', то верно равенство векторов Аи*. = (с^...,^,...,^,...^), то есть переставили ¡-ую и '-ую координаты вектора с*, значит БА(и*) = ^^.е.^,...^,...^^ Аналогично доказывается, что
Ба(у*) = (w1,.,wj,.,wi,.,wn), поэтому, преобразование БА не является биекцией. Получили противоречие. Утверждение доказано.
Замечание: Пусть М - непустое подмножество и, а в - некоторый вектор из 1_п. Далее мы будем говорить, что а е М является ближайшим вектором к в среди всех векторов из множества М. Под этим выражением будем понимать, что угол между векторами а и в не больше угла между векторами а и у для любого вектора у из множества М.
Рассмотрим координатно-пороговое отображение с геометрической точки зрения.
1
Матрица А = ^¡=А - матрица поворота, то
есть ортогональная матрица, которая используется для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. Каждой матрице поворота А соответствует поворот векторного пространства
I «
1_п, который определяется умножением векторов из и на А, а так как АО* = 0*, то поворот осуществляется относительно начала координат. Далее, ААТ = Е, поэтому матрица
Ат
задает обратное преобразование (обратный поворот). Умножение векторов из 1_п на А = Vn — 1 • А задает поворот векторного пространства 1_п с его растяжением в Vn — 1 раз. С геометрической точки зрения коорди-натно-пороговое преобразование БА, задаваемое матрицей А, выглядит следующим образом: рассматривается вектор и е Уп., осуществляется его поворот с растяжением в Vn — 1 раз соответственно матрице А, образуется вектор с* = Аи*, затем ищется ближайший к с*, вектор у* из Уп, тогда 3А(и*) = у*., причем мерой близости является значение острого угла между векторами.
Утверждение 3: Отображения и Ба. равны.
Доказательство: Рассмотрим произвольный вектор и1 £ Уп. и умножим его на матрицы А и А, получим равенства Аи1 = с1 = (сх,..., сп),, Аи1 = с'1 = (с1, ...,сП)•. Так как
' с1 = Vn—1 с'1..
А =
А,
то
Значит
7П-1 ' _
б^п(с^=б^п(с'.), ¡ = 1, п., поэтому БА(иг) = БА(иг).
Лемма 1: Если матрица Впхп является произведением матриц элементарных преобразований, а х1 £ Ьп, то в-б^х1) = б^в-х1).
Доказательство: Очевидно, что лемму достаточно доказать для случая, когда В - матрица элементарного преобразования. Не нарушая общности, можно считать, что матрица В соот-
V л
ветствует умножению первой строки на -1 или перестановке первых двух строк матрицы. В случае умножения на -1 матрица В меняет знак первой координаты вектора х\. В этом случае лемма верна, так как операция смены знака перестановочна с операцией б^п. Во втором случае, матрица В переставляет первые две координаты вектора х1 и в этом случае лемма также очевидно верна.
Утверждение 4: Пусть БАп. - биекция. Если матрица Вп является произведением матриц элементарных преобразований, то цикловые структуры БАп. и $ВАпБт. совпадают. При этом если подстановка, порожденная БАп., представляется в виде произведения циклов
(а 1, а 2,., а к)(Ьъ Ь2,...,Ь б). (с1, с 2,...,с О, то подстановка, порожденная $ВАпВт, представляется в виде произведения циклов тех же длин
(Ва 1, Ва2,..., Вак)(ВЬь ВЬ2,...,ВЬб)... (Всъ Вс2,...,Вс().
Доказательство: Заметим, что матрица Вт является обратной к матрице В, так как матрицы элементарных преобразований являются ортогональными. Рассмотрим преобразование ^х1.) вектора х1: умножаем вектор х1 справа на матрицу Вт, к вектору применяем БАп., затем результирующий вектор умножаем справа на матрицу В. Такое отображение является биекцией, как композиция биективных функций. Значит, это преобразование порождает подстановку, которую можно представить в виде произведения независимых циклов (см. [ГЕН 1 том, стр. 277, лемма 2])
(Ваг, Ва 2,..., Вак)(ВЬг, ВЬ2,...ВЬб)... (Вс ь Вс 2,...Вс(). То есть преобразование ^х1). = в-б^п^В^1.), но из леммы 1 следует, что
^х1) = В ■ sign(AnBTxi) = sign(BAnBTxi) =
^ВАпВт (х1)'.
Лемма 2: Для любого вектора а из 1_п не содержащего нулевые координаты существует единственный ближайший вектор в из Уп. При этом в = Б^п(а).
Доказательство: Пусть а = (а1,.,ап) £ 1_п,
(а,в)
в=(Ь1,.,Ьп) £ Уп. Заметим, что cos(а , в) =
но вектор а фиксирован, а нормы всех векторов из Уп равны Угол между векторами а и в зависит только от скалярного произведения (а, в), равного а1Ь1+.+апЬп, причем, чем больше значение скалярного произведения, тем меньше угол между этими векторами. Теперь очевидно, что максимум достигается, когда
Ь = Б^п(а^ для всякого 1< ¡ < п, то есть, когда в = Б^п(а).
Лемма 3: Преобразование БАп(Ап £ переводит вектор а в вектор в тогда и только тогда, когда вектор в - ближайший к у = Апа среди всех векторов из Уп.
Доказательство: Пусть БАп(а) = в. По определению отображения БАп, оно действует на вектор а следующим образом: вычисляется значение вектора у = Апа, затем в = Б^п(у). Так как в £ Уп, то по лемме 2 получаем равносильное условие: в является ближайшим вектором к у среди всех векторов из Уп.
Лемма 4: Преобразование БАп(Ап £ переводит вектор в в вектор а тогда и только тогда, когда вектор у = Апа - ближайший к в среди всех векторов из множества {Ап£ | £ £ Уп}.
Доказательство: Пусть вектор у = Апа, а вектор 5 = Атв. По лемме 3, вектор а является ближайшим к вектору 5 среди всех векторов из множества Уп. Так как умножение на ортогональную матрицу задает поворот арифметического пространства, то вектор Апа - ближайший к вектору Ап5 среди всех векторов из множества {Ап£ | £ £ Уп}, а так как Ап5 =Ап Атв = (п-1)в, то вектор у = Апа является
ближайшим к вектору в среди всех векторов из множества {Ans | s е Vn}. Пусть теперь Sat (в) = а', тогда, по доказанному выше, Ana' - ближайший вектор к в, но по условию, вектор Ana является ближайшим к в. Тогда а' - ближайший к вектору Л^в среди всех векторов из множества Vn, аналогично, а является ближайшим к вектору Л^в среди всех векторов из множества Vn. В силу леммы 2, вектора а и а' совпадают, то есть Sat (в) = а.
Теорема 1: Если преобразования SAn и Sat являются биекциями, то Sat - преобразование, обратное к SAn.
Доказательство: Докажем теорему методом от противного. Если преобразование Sat не является обратным к преобразованию SAn, то существуют такие векторы ах * а2, что SAn (ах) = в1, Sat (вО = а2. Продолжим строить цепочку ах ^ в1^ а2^в2^аз..., где SAn(а¡) = в|, Sat(в¡) = а+1. В силу конечности множества Vn и биективности отображений SAn и Sat в этой цепочке вектор а1 встретится еще раз. А именно, в силу конечности множества Vn существуют такие s < k такие, что а5 = а k , а в силу биективности отображений SAn и Sat левый и правый соседи каждого вектора цепочки находятся однозначно. Поэтому а^-^) = а1. То есть цепочка будет иметь вид: а1 ^ а2^в2^а з^.... а1 ^ в^-
Вектора а из этой цепочки умножим слева на An, тогда получим вторую цепочку векторов: Апа1 ^ в^ Anа2^в2^ Anаз^.. Anаl ^ в^-
Согласно леммам 3 и 4 углы между векторами во второй цепочке не увеличиваются, но так как а1 * а2, то угол между A^ и в1 строго больше угла между A^2 и в1. Поэтому угол между A^ и в1 строго больше угла между любой последующей парой векторов. Но далее в цепочке встретится пара A^ и в1, откуда следует противоречие, теорема доказана.
Далее более подробно рассмотрим квазиа-дамаровы матрицы при n = 4, 6 и 8.
При n = 4 зафиксируем квазиадамарову матрицу
Ад =
(5)
(6)
'1 1 10 1 -1 0 1 10 -1 -1 /■ 0 1 -11 Система (4) для координатно-порогового отображения БА4 (и1,и2,и3,и4) = (у^у2,у3,у4) имеет вид
= 1 <=> % + и2 + и3 >0 | у2 = 1 <=> % - и2 + и4 >0 | у3 = 1 <=> % - и3 — и4 > 0" ^у4 = 1 <=> и2 и3 + и4 >0 Пример 1: Рассмотрим вектор и* = (-1,1, -1,1). Система (4) примет вид
- у1 = 1 <=> (-1) + 1 + (-1) > 0 у2 = 1 <=> (-1) - 1 + 1 > 0 у3 = 1 <=> -1 - (-1) - 1 > 0 " у4 = 1 <=> 1 - (-1) + 1 > 0
Тогда БА4(их) = у* = (-1,-1,-1,1). Образ вектора и* при отображении БА4 можно вычислить и другим способом. Умножим А4и* = с* = (-1,-1,-1,3) и, покоординатно применив к вектору с* функцию знака, получим вектор у* = (-1,-1,-1,1). Далее рассмотрим обратное преобразование, которое порождается матрицей Ат. Система (4) для вектора у* = (-1, -1, -1,1) примет вид
- ш1 = 1 <=> (-1) + (-1) + (-1) > 0 ш2 = 1 <=> (-1) - (-1) + 1 > 0 ш3 = 1 <=> (-1) - (-1) - 1 > 0 ■ ш4 = 1 <=> (-1) - (-1) + 1 > 0 Тогда БАт(у*) = ш* = (-1,1,-1,1). Образ вектора ш* при отображении Бдт можно вычис-
4
лить и другим способом. Умножим Атш* = ё* = (-3,1,-1,-1) и, покоординатно применив к вектору ё* функцию знака, получим вектор ш* = (-1,1,-1,1). В обоих случаях получили ш * = и*.
Утверждение 5: Любая квазиадамарова матрица А е с помощью элементарных преобразований сводится к матрице А4.
Доказательство: Рассмотрим произвольную матрицу А из
/а1,1 а1,2 а1,3 0
а2,1 а2,2 0 а24
A=|
*3,1
0 a3,3 а3,4
0 ад,2
4,3 а4,4 >
Если a1,¡ = -1, ¡ =1,3, то умножим ¡-ый столбец на -1. Если a¡,4 = (-1)¡+1, ¡ =2,4, то умножим ¡-ую
строку на -1. Таким образом, матрицу А можно привести к виду
1 0
а3,3 а4,3
Так как первые две строки ортогональны, то, либо а2,1 = 1, а2,2 = -1, либо а2,1 = -1, а2,2 = 1. Если выполнено второе, то переставим два первых столбца и последние две строки. В любом случае, матрица А примет вид 1 1 1 1 -1 0 а3,1 0 а3,3 0 а4,2 а4,3
Третья строка должна быть ортогональна первым двум строкам, поэтому а3,1 = 1, а 3,3 = -1. Четвертая строка тоже должна быть ортогональна первым двум, поэтому а4,2 = 1, а4,3 = -1. Матрица А эквивалентна матрице '11 10 1 -1 0 1 10 -1 -1 0 1 -11
Следствие: В работе [НЛ15] было показано, что матрица А4 задает биективное координат-но-пороговое преобразование. Учитывая этот факт, из утверждений 1 и 5 следует, что любая квазиадамарова матрица А £ задает биективное координатно-пороговое отображение Бд. Тогда БАт также является биекцией. Теперь из теоремы 1 следует, что для любого преобразования преобразование БАт является обратным.
При п = 6 зафиксируем квазиадамарову матрицу
Аб =
1 1 1 -1 -1 0
1 1 -1 1 0 -1
1 -1 1 0 1 -1
1 -1 0 1 -1 1
1 0 -1 -1 1 1
0 1
(7)
1/
Для координатно-порогового отображения Ба6(и1,и2,из,и4,и5,иа) = си-
стема (4) примет вид
у1 = 1 <=> и1 + и2 + и3 + и4 + и5 >0 У2 = 1 < = > и1 + и2 - и3 — и4 + и6 >0 Уз = 1 <=> и1 - и2 + из - и5 + иб >0 (8) У4 = 1 < = > -и1 + и2 + и4 - и5 + и6 >0 .( ) У5 = 1 < = > -и1 + и3 - и4 + и5 + и6 >0 Уб = 1 < = > -и2 - из + и4 + и5 + иб >0
Утверждение 6: Любая квазиадамарова матрица А £ ЭД 6 с помощью элементарных преобразований сводится к матрице А6.
Доказательство: Рассмотрим произвольную матрицу А £
а1,1 а1,2 а1,з а2,1 а2,2 а2,з
аз,1 аз,2 аз,з
а4,1 а4,2 0
1,4
А=
\ 0
5,1
а4 0 а6,2
45,3
а
а2,4 0 а4,4 5,4
а1,5 0 0 а2,6 аз,5 аз,6
4,5 а4,6 г5,5 а5,6
а6,3 а6,4 а6,5 а6,6/
Если а у = -1, ¡ =1,5), то умножим ¡-ый столбец на -1. Если а^4 = -1, ¡ =2,(3, то умножим ¡-ую строку на -1. Таким образом, матрицу А можно привести к виду
а21,1 а2,1 1 1 1 1 1 ^
а2,2 а2,з а2,4 0
а3,1 аз,2 аз,з 0 аз,5 1
а4,1 а4,2 0 а4,4 а4,5 1
а5,1 0 а5,3 а5,4 а5,5 1
\ 0 а6,2 а6,3 а6,4 а6,5 1/
В силу результатов [Ве150, GS67] а у = а7_|,7_;, ¡ =2,6, ] =1,5!. Так как первые две строки ортогональны, то среди а2,1, а2,2, а2,3, а2,4 два значения «1» и два «-1». Перестановкой первых четырех столбцов можно добиться того, чтобы а2,1 = а2,2 = 1, а2,3 = а2,4 = -1. Затем переставим последние 4 строки так, чтобы на нули стояли на тех же местах что и в матрице А. Таким образом, матрица А сводится к 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 0
1 1 -1 -1 0 1
аз,1 аз,2 а3,3 0 -1 1
а4,1 а4,2 0 а4,4 -1 1
а5,1 0 а5,3 а5,4 1 1
0 а6,2 а6,3 а6,4 1 1
/
Так как первая и третья строки ортогональны, то среди а3,1, а3,2, а3,3 два значения «1» и одно «-1». Так как вторая и третья строки ортогональны, то а33 = 1. Если а31 = -1, то а32 = 1, переставим первые два столбца и последние две строки. Такими преобразованиями свели матрицу А к виду
1 1 1 1 1
1 1 -1 -1 0
1 -1 1 0 -1
а4,1 а4,2 0 1 -1
а5,1 0 а5,3 -1 1
0 а6,2 а6,з 1 1
0
/
Третья и четвертые строки ортогональны, поэтому а41 = -1, а42 = 1. Соответственно а53 = 1, а63 = -1. Затем однозначно восстанавливаются а5,1 = а62 = -1. Таким образом, свели матрицу А к матрице А6.
Следствие: В работе [НЛ15] было показано, что матрица А6 задает биективное координат-но-пороговое преобразование, поэтому, из утверждений 1 и 6 следует, что любая квазиа-дамарова матрица А е задает биективное координатно-пороговое отображение Бд. Тогда Бат также является биекцией. В свою очередь из теоремы 1 следует, что для любого преобразования преобразование Бат является обратным.
При п=8 зафиксируем квазиадамару матрицу /-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -0\ /-1 -1 -1 -1 -1 -1 -0 -1\ -1 -1 -1 -1 -1 -0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 \-0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1/
Утверждение 7: Любая квазиадамарова матрица А е ЭД 8 с помощью элементарных преобразований сводится к матрице А8.
Доказательство: Рассмотрим произвольную матрицу А е ,
=
(9)
A=
/a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 a1,5 a1,6 a1,7 0
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5 a2,6 0 a2,8
a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5 0 a3,7 a3,i
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 0 a4,6 a4,7 a4,i
a5,1 a5,2 a5,3 0 a5,5 a5,6 a5,7 a5,i
a6,1 a6,2 0 a6,4 a6,5 a6,6 a6,7 a6,i
a7,1 0 a7,3 a7,4 a7,5 a7,6 a7,7 a7,i j
\ 0 a8,2 a8,3 a8,4 a8,5 a8,6 a8,7 a8,i
Умножением первых семи строк и последних семи столбцов эту матрицу можно свести к матрице следующего вида:
1 1 1 1 1 1 1 0
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5 a2,6 0 1
a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5 0 a3,7
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 0 a4,6 a4,7
a5,1 a5,2 a5,3 0 a5,5 a5,6 a5,7
a6,1 a6,2 0 a6,4 a6,5 a6,6 a6,7
a7,1 0 a7,3 a7,4 a7,5 a7,6 a7,7
0 a8,2 a8,3 a8,4 a8,5 a8,6 a8,7
\
/
Так как первая и вторая строки ортогональны, то среди элементов а2д, а2,2, а2,3, а2,4, а2,5 и а2,6 три значения «-1» и три «1». Переставляя
первые шесть столбцов, можно добиться того, что а2,1 =а2,2 = а2,з=1, а2,4 = а2,5 = а2,б =-1. Далее переставим последние шесть строк так, чтобы на побочной диагонали остались нули. В силу результатов [Бе!50, GS67] получаем матрицу
1 1
a3,1 a4,1
1 1
l3,2
1 1
a3,3 a4,3
1
*3,4
*3,5 0
0
a4,6
1 0 1 1
0
a5,1 a6,1
a7,1 \ 0
/
а3,2 а3,3 а3
а4,2 а4,3 а4,4
а5,2 а5,3 0 а5,5 а5,б 1
аб,2 0 аб,4 аб,5 аб,б -1
0 а73 а74 а7,5 а7,б -1
а82 а8,з а8,4 а8,5 а8,б -1
Так как третья строка ортогональна первым двум, то среди элементов азд, а3,2, а3,3 одно значение «1» и два «-1», а среди элементов а3,4, а3,5 одно значение «1» и одно «-1». Аналогичным образом, переставляя столбцы, можно добиться того, что аз,1 = а 3,4 — 1, аз,2= азз= а35=-1. Переставив строки, получим матрицу
- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -0 1
-1 -1 -1 -1 -1 -0 -1 1
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 0 -1 -1 1
a5,1 a5,2 a5,3 0 a5,5 -1 -1 1
a6,1 a6,2 0 a6,4 a6,5 -1 -1 1
a7,1 0 a7,3 a7,4 a7,5 -1 -1 1
0 a8,2 a8,3 a8,4 a8,5 -1 -1 1
/
Четвертая строка ортогональна первой, поэтому среди элементов а4Д, а4,2, а4,3, а4,4 одно значение «1» и три «-1». Так как четвертая строка ортогональна третей, то а42 или а43 равен 1. Во втором случае, переставим шестую и седьмую строки, второй и третий столбцы. Получим матрицу
/
-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 0 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 0
-1 -1 -1 -1 -1 -0 1 1
-1 -1 -1 -1 0 -1 1 1
a5,1 a5,2 a5,3 0 -1 -1 1 1
a6,1 a6,2 0 a6,4 -1 -1 -1 1
a7,1 0 a7,3 a7,4 -1 -1 -1 1
0 a8,2 a8,3 a8,4 -1 -1 -1 1/
Так как пятая строка ортогональны первой, то среди элементов а5,1, а5,2, а5,3 одно значение «1» и два «-1». Из ортогональности третей и пятой строк следует, что а5д = -1. А из ортогональности четвертой и пятой строк следует, что а52 = -1, а53 — 1. Матрица примет следующий вид:
-1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1 -0
-1 -1 -1 -1 -0 -1
-1 -1 -1 0 -1 -1
a6,1 a6,2 -0 -1 -1 -1
0 a7,3 1 -1 -1
V 0 a8,2 a8,3 1 -1 -1
-1 -0
/
Из ортогональности четвертой и шестой строк следует, что а61 = 1, а 62 = -1. А из ортогональности третей и седьмой строк следует, что а71 = -1, а73 = 1. В силу результатов [Ве150, GS67] получаем матрицу
-1 -1 -1 -1 -1 -1
v:1
0
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -0 -1
-1 -1 -1 -1 -1 -0 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -0 -1 -1 -1
1 0
0
/
Полученная матрица совпадает с матрицей As.
Следствие: В работе [НЛ15] было доказано, что матрица As задает биективное координат-но-пороговое преобразование, поэтому, из утверждений 1 и 7 следует, что любая квазиа-дамарова матрица A е задает биективное координатно-пороговое отображение SA. Тогда Sat также является биекцией. В свою очередь из теоремы 1 следует, что для любого преобразования SA преобразование Sat является обратным.
Таким образом, доказано, что все матрицы из множеств и порождают биектив-
ные координатно-пороговые отображения. При этом в каждом из этих множеств матрицы попарно эквивалентны.
В заключение отметим, что преобразования, рассмотренные в статье, обладают простотой аналитического задания и исследования. Представление этих преобразований с помощью пороговых функций может стать предпосылкой к их компактной реализации в вычислительных средах, в том числе и перспективных, например оптических.
Список литературы:
1. [Bel50] Belevitch, V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony. 1950. Electr. Commun., vol. 26, pp. 231—244.
2. [GS67] Goethals, J.M., and Seidel, J.J. Orthogonal matrices with zero diagonal. 1967. Canadian Journal of Mathematics, vol. 19, pp. 1001—1010.
3. [ГЕН03] Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра. 2003. Т. 1, 2.
4. [Дер67] Дертоузос М. Пороговая логика, 1967.
5. [НЛ15] Никонов В.Г., Литвиненко В.С. Геометрический подход к доказательству биективности одного ко-ординатно-порогового отображения // Computational nanotechnology. 2015. №4. С. 26-30.
6. [НС03] Никонов В.Г., Саранцев А.В. Методы компактной реализации биективных отображений, заданных регулярными системами однотипных булевых функций // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Прикладная и компьютерная математика. 2003. Т. 2. № 1. С. 94-105.
7. [НС04] Никонов В.Г., Саранцев А.В. Построение и классификация регулярных систем однотипных функций // Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе: материалы XXXI Международной конференции. Т. 5 из Прил. 1. - М.: Академия естествознания, 2004. С. 173-174.
8. [НС09] Никонов В.Г., Сидоров Е.С. О способе построения взаимно однозначных отображений при помощи квазиадамаровых матриц // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. 2009. №2 (65).
РЕЦЕНЗИЯ
Публикацией статьи Литвиненко В. С., Никонова В. Г. журнал Computational nanotechnology демонстрирует продуманную редакционную политику, сосредотачивая внимание на конкретных научных направлениях с системным изложением последних результатов в данных областях. В этом отношении представленная статья может рассматриваться как прямое продолжение и развитие исследований, начатых в публикации в журнале Computational nanotechnology №4, 2015 г., и посвященных проблемам компактного синтеза биективных отображений, в том числе в новой перспективной элементной базе. Потенциальный выигрыш реализации связан с разработкой представлений этих преобразований в нейробазисе с ожидаемой возможностью выполнения пороговой операции в среде-носителе сигнала (в случае оптики) со скоростями порядка скорости света.
Данная статья конструктивно допускает ранее опубликованную, прежде всего тем, что в ней наряду с прямым биективным отображением рассматривается обратное и доказывается возможность его простой реализации также в пороговом базисе. Более того, если прямое преобразование реализуется с помощью квазиадамаровой матрицы A, то обратное легко представляется с помощью транспонированной матрицы AT.
Если первая статья основывалась целиком на геометрических рассуждениях, то в данной, наряду с геометрическими используются и комбинаторные методы доказательства.
В целом статья затрагивает актуальную проблематику реализации базовых логических операций в новой элементной базе и заслуживает опубликования.
Доцент МИРЭА (Технического университета) кандидат технических наук, доцент
Шурупов А. Н.
