CC BY
46
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ПГПУ
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 514.764.2
НОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЙ ИЗОМЕТРИИ
© С.Е. СТЕПАНОВ1, И.И. ЦЫГАНОК2 1 Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, кафедра "Математика" e-mail: s.e.stepanov@mail.ru 2Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, кафедра "Теория вероятностей и математическая статистика" e-mail: i.i.tsyganok@mail.ru
Степанов С. Е., Цыганок И.И. — Новая характеристика инфинитезимальной изометрии // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 222—225. — Доказывается, что на компактном римановом многообразии (M, д) со связностью Леви-Чивита V векторное поле X является инфинитезимальной изометрией, тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений traceg (Lx V) = 0, traceg (LxRic) = 0, где Lx - производная Ли в направлении X и Ric -тензор Риччи.
Ключевые слова: Инфинитезимальная изометрия, компактное риманово многообразие, солитон Риччи
Stepanov S. E., Tsyganok 1.1. — A new characteristic of an infinitesimal isometric // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 222—225. — On a compact Riemannian manifold (M, g) with the Levi Civita connection V an arbitrary vector field X is an infinitesimal transformation if and only if X satisfies the following system of differential equations traceg (LxV) = 0, traceg (LxRic) = 0, where Lx is the Lie differential and Ric is the Ricci tensor of.
Keywords: infinitesimal isometric, compact Riemannian manifold, Ricci soliton
1. Введение и результаты. Векторное поле X на римановом многообразии (M,g) со связностью Леви-Чивита V называется инфинитезимальным гармоническим преобразованием (см. [1]), если порождаемая X локальная однопараметрическая группа преобразований состоит из локальных гармонических диффеоморфизмов. Аналитическая характеристика такого X имеет вид равенства
traceg (Lx V) = 0 (1)
для производной Ли Lx в направлении X.
Примером инфинитезимального гармонического преобразования служит инфинитезимальная изометрия (см. [2], стр. 60-64), характеризующаяся равенством Lxд = 0, которое влечет, в свою очередь, равенство Lx V = 0, откуда и следует условие (1).
Равенство Lxд = 0 влечет также и условие инвариантности тензора Риччи Lx Ric = 0 (см. [3], стр. 43). В общей теории относительности мы встречаем работы (см., например, [4]; [5]), где вместо условия
Lx Ric = 0 изучается "ослабленное условие"следующего вида
traceg (Lx Ric) = 0. (2)
Интересно, что в случае компактного риманова многообразия (M,g) присоединение к уравнению (1) условия (2), превращает инфинитезимальное гармоническое преобразование X в инфинитезимальную изометрию. А именно, справедлива следующая
ТЕОРЕМА. Если инфинитезимальное гармоническое преобразование X на компактном римановом многообразии (M,g) удовлетворяет одному из двух условий traceg (LxRic) < 0 или traceg (LxRic) > 0, то X является инфинитезимальной изометрией.
Сформулируем здесь очевидное следствие, которое дает новую характеристику инфинитезимальной изометрии (ср. [2], стр. 63)
СЛЕДСТВИЕ 1. Векторное поле X на компактном римановом многообразии (M, g) со связностью Леви-Чивита V является инфинитезимальной изометрией, тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет системе дифференциальных уравнений traceg(LxV) = 0, traceg(LxRic) = 0.
Для формулировки второго и третьего следствий обратимся к теории солитонов Риччи (см. [6]; [7] и [8]). Во-первых, напомним понятие солитона Риччи, как триплета (g,X,A) на многообразии M для метрики g, векторного поля X, и постоянной А, связанных уравнением
-2Ric = Lx g + 2Ag. (3)
При A = 0, A< 0 и A> 0 солитон Риччи называется устойчивым, стягивающимся и растягивающимся соответственно. И далее, солитон Риччи называется эйнштейновым, если g - метрика Эйнштейна, градиентным, если X = gradf для некоторой функции f Є CTOM и, наконец, тривиальным, если X = 0.
Во-вторых, приведем некоторые факты теории. На компактных многообразиях всех размерностей n > 2 стабильный и растягивающийся солитоны Риччи являются эйнштейновыми. Стягивающийся солитон Риччи на компактном многообразии M размерности n =2 или n = 3 превращает его в риманово многообразие постоянной положительной кривизны. На компактных многообразиях размерностей n > 4 существуют отличные от эйнштейновых стягивающиеся солитоны Риччи. Известное на сегодняшний день условие тривиальности стягивающегося солитона Риччи на компактном многообразии размерности n > 4 состоит в требовании обращения в нуль тензора Вейля метрики g. В обзорной статье [7] сформулированы открытые проблемы теории. И, в частности, проблема нахождения условий тривиальности для стягивающегося солитона Риччи на компактном многообразии размерности n > 4, отличных от требования обращения в нуль тензора Вейля.
В работе [9] было доказано, что векторное поле X солитона Риччи является инфинитезимальным гармоническим преобразованием. Тогда на основании сформулированной выше теоремы может быть доказано следствие, которое является возможным решением обозначенной проблемы.
СЛЕДСТВИЕ 2. Солитон Риччи (g,X,A) на компактном многообразии M будет тривиальным, если выполняется одно из двух условий traceg (LxRic) < 0 или traceg (LxRic) > 0 для тензора Риччи Ric метрики g.
В статье [9] также было найдено условие эйнштейновости солитона Риччи на компактном многообразии M, а именно, Lxs < 0 для скалярной кривизны s = tracegRic. Сформулированное ниже на его основе утверждение является еще одним из возможных решений обозначенной проблемы.
СЛЕДСТВИЕ 3. Солитон Риччи (g,X,A) на компактном многообразии M будет тривиальным, если Lx s < 0 для скалярной кривизны s = traceg Ric метрики g.
2. Доказательство теоремы. Пусть ш есть 1-форма, двойственная к X относительно данной метрики g, тогда, как это было доказано в [1], уравнение (1) равносильно следующему
Д ш = 2Ric*X (4)
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ
Физико-математические науки
№ 26 2011 г.
для лапласиана Ходжа-де Рама Д (см. [2], стр. 203) и определяемого равенством Ше(У,2) = д(Ше*У, 2) оператора Ше*.
Подействуем поочередно на выражения, стоящие в обеих частях равенства (3) оператором кодиф-
Для нахождения выражения в правой части равенства (3) определим в произвольной локальной
и/
локальными ковариантными дц и контравариантными компонентами д , и, наконец, оператор контрава-риантного дифференцирования V и := Vд/вхк. Тогда в правой части равенства (4) после воздействия на нее оператора ¿* будем иметь
(см. [3], стр. 41) и известное тождество 2УkRj = ^в для скалярной кривизны в = ЬтаевдШе (см. [3], стр. 21). В итоге мы приходим к дифференциальному уравнению
Заметим, что применяя теорему Грина следует считать, что M ориентируемо. Если M не ориентируемо, то надо рассмотреть его ориентируемое двулистное накрытие (см. [2], стр. 80).
Предположим далее, что одно из условий теоремы traceg (LxRic) < 0 или traceg (LxRic) > 0 выполнено, тогда из (5) последует, что traceg (LxRic) = 0 и, как следствие этого, из (5) выводим AdivX = 0, что для компактного многообразия (M,g) в силу теоремы Хопфа (см. [3], стр. 29) означает divX = const. Рассматривая опять ориентируемое двулистное накрытие компактного M и применяя теорему Грина к divX = const находим divX = 0. В заключение доказательства сошлемся на теорему 2.3 из [2], согласно которой последнее условие вместе с уравнением (4) характеризуют X, как инфинитезимальную изометрию (см. [2], стр. 63).
3. Доказательство следствий. Заметим, что первое из сформулированных следствий не нуждается в доказательстве.
При выполнении условий, сформулированных во втором следствии, векторное поле X солитона Риччи становится инфинитезимальной изометрией. С другой стороны, каждый солитон Риччи (д, X, X) на компактном многообразии M является градиентным (см. [10]), т.е. X = gradf. На этом основании условие Lxд = 0 принимает вид VVf = 0, откуда Af = 0, что на основании теоремы Хопфа приводит к равенству f = const. В результате чего X = gradf = 0 и солитон Риччи становится тривиальным.
В статье [9] доказано, что при Lxs < 0 солитон Риччи на компактном M становится эйнштейновым. В этом случае с учетом градиентности солитона Риччи его уравнение (3) предстанет в виде VVf = — (ПП + Х)д, где s = const. Откуда Af = (s + nX) = const. Применяя теорему Грина, находим что s + nX = 0. Теорема Хопфа в случае Af = 0 приводит к равенству f = const. В результате чего X = gradf = 0 и солитон Риччи становится тривиальным.
ференцирования ¿*. При этом в левой части (3) получим ¿*(Аш) = А(с1*ш), где = —¿ъуХ (см. [2], стр.
203).
системе координат х1,... ,хп многообразия (М,д) тензор и оператор Риччи их локальными компонентами Кіц и Щ, векторное поле X как X = Xкд/дхк, 1-форму ш как ш = ¿хц, метрический тензор д его
ДdivX = traceg (Lx Ric).
(5)
Применяя теорему Грина (см. [3], стр. 30) находим
(6)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. S.E. Stepanov, I.G. Shandra, "Geometry of infinitesimal harmonic transformations Annals of Global Analysis and Geometry, 24 (2003), 291-299.
2. Ш. Кобояси, Группы преобразований в дифференциальной геометрии, Наука, М., 1986.
3. K. Яно, C. Бохнер, Кривизна и числа Бетти, ИЛ, М., 1957.
4. W.R. Davis, D.R. Oliver, "Matter field space times admitting symmetry mapping satisfying vanishing contraction of the Lie deformation of the Ricci tensor Ann. Inst. Henri Poincare, XXVII: 2 (1978), 197206.
5. L.H. Green, L.K. Norris, D.R. Oliver, W.R. Davis, "The Robertson-Walker metric and the symmetries belong to the family of contracted Ricci collineations General Relativity and Gravitation, 9:8 (1977), 731-736.
6. B. Chow, D. Knopf, The Ricci flow: An introduction, Mathematical surveys and monographs, Vol. 110, American Mathematical Society, 2004.
7. M. Eminenti, G. La Nave, C. Mantegazza, "Ricci solitons - the equation point of view Manuscripta Math., 127 (2008), 345-367.
8. H.-D. Cao, "Geometry of Ricci solitons Chin. Ann. Math. Series B, 27 (2006), 121-142.
9. С.Е. Степанов, В.Н. Шелепова, "Заметка о солитонах Риччи Математические заметки. 86: 3 (2009), 474-477.
10. G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, arXiv:math.DG/0211159v1 [math.DG] 11 Nov 2002.
