Нестационарные осесимметричные волны в электромагнитоупругом пространстве со сферической полостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестяк В.А., Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В. Нестационарные осесимметричные волны в электромагнитоупругом пространстве со сферической полостью // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 3. - С. 28-46. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.02

Vestyak V.A., Kuznetsova E.L., Tarlakovski D.V. Non-stationary axisymmetric waves in electromagnetoelastic space with a spherical cavity. PNRPU Mechanics Bulletin. 2016. No. 3. Рр. 28-46. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.02

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА

№ 3,2016 PNRPU MECHANICS BULLETIN

http ://vestnik.pstu. ru/mechanics/about/inf/

Э01 10.15593/регш.шесЬ/2016.3.02 УДК 539.3

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ СО СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ

В.А. Вестяк1, Е.Л. Кузнецова1, Д.В. Тарлаковский1' 2

Московским авиационным институт (национальный исследовательский университет), Москва, Россия 2Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия

О СТАТЬЕ

АННОТАЦИЯ

Получена: 3 июня 2016 г. Принята: 10 сентября 2016 г. Опубликована: 30 сентября 2016 г.

Ключевые слова:

нестационарная связанная электромагнитоупругость, пространство, сферическая полость, ряды, преобразование Лапласа, функции Грина

Рассматривается связанная нестационарная задача о распространении осе-симметричных возмущений от сферической полости в электромагнитоупругом пространстве. Предполагается, что среда является однородным изотропным проводником. Используются линейные уравнения движения упругой среды с учетом линеаризованных сил Лоренца, а также уравнения Максвелла совместно с линеаризованным обобщенным законом. Начальные условия нулевые, на границе полости заданы перемещения и тангенциальная компонента напряженности электрического поля.

Для решения искомые функции раскладываются в ряды по полиномам Лежан-дра и Гегенбауэра, а также в ряды по малому параметру, характеризующему связь механических и электромагнитных полей. Кроме того, применяется преобразование Лапласа по времени. В результате получается рекуррентная по малому параметру последовательность краевых задач, решение которых представляется в интегральной форме с ядрами в виде объемных и поверхностных функций Грина.

Изображения функций Грина найдены в явном виде. Их «упругая» часть с помощью связи модифицированных функций Бесселя с элементарными функциями приводится к сумме произведений рациональных функций параметра преобразования Лапласа на экспоненты, что позволяет находить их оригиналы точно с помощью соответствующих теорем операционного исчисления. «Электромагнитная» часть функций Грина строится в квазистатическом приближении.

В результате в пространстве оригиналов построена разрешающая система рекуррентных уравнений, позволяющая находить перемещения и все компоненты электромагнитного поля. При вычислении входящих в нее интегралов используются квадратурные формулы. Даны примеры расчетов. Приведено численное исследование сходимости рядов по малому параметру.

© ПНИПУ

© Вестяк Владимир Анатольевич - кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: v.a.vestyak@mail.ru Кузнецова Елена Львовна - кандидат физико-математичкских наук, доцент кафедры, e-mail: vida_ku@mail.ru Тарлаковский Дмитрий Валентинович - доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: tdvhome@mail.ru

Vladimir A. Vestyak - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, e-mail: v.a.vestyak@mail.ru Elena L. Kuznetsova - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, e-mail: vida_ku@mail.ru Dmitriy V. Tarlakovskiy - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, e-mail: tdvhome@mail.ru

NON-STATIONARY AXISYMMETRIC WAVES IN ELECTROMAGNETOELASTIC SPACE WITH A SPHERICAL CAVITY

V.A. Vestyak1, E.L. Kuznetsova1, D.V. Tarlakovski2

Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russian Federation Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russian Federation

ARTICLE INFO ABSTRACT

We consider the associated non-stationary problem of propagation of axisymmetric disturbances from a spherical cavity in electromagnetoelastic space. It is assumed that the medium is a homogeneous isotropic conductor. Linear equations of motion of an elastic medium are used taking into account the linearized Lorentz forces, as well as Maxwell's equations, together with the linearized generalized law. The initial conditions are zero, at the boundary of the cavity defined displacement and the tangential component of the electric field.

The desired functions are arranged in series of Legendre and Gegenbauer polynomials, as well as in series according to a small parameter characterizing the connection of mechanical and electromagnetic fields. Apart from that the applicable Laplace transform in time is used. The result is a recurrence of the small parameter sequence of boundary value problems, the solution of which is represented in the integral form with kernels in the form of volume and surface Green's functions.

Images of Green's functions are found in an explicit manner. Their "elastic" part due to the relation between the modified Bessel functions and elementary functions is reduced to the sum of products of rational functions of the parameter of the Laplace transform to the exponent that lets you find exactly the originals using the corresponding theorems of operational calculus. The "Electromagnetic" part of the Green's function is being constructed in a quasi-static approximation. As a result, in the space of the original resolution of the system is became possible to build recurrence equations which allows finding and moving all the components of the electromagnetic field. In calculating its constituent integrals quadrature formulas are used. The examples of computations are provided. The numerical study of the convergence of series in the small parameter is presented.

© PNRPU

Введение

В настоящее время при проектировании различных объектов новой техники актуальными являются вопросы взаимодействия полей различной физической природы. Во многих случаях, особенно для изделий аэрокосмической отрасли, возникает необходимость учета взаимовлияния электромагнитных и механических полей. Основные результаты в этом направлении получены для стационарных процессов (см., например, [1-4]). Численно-аналитические подходы к решению стационарных задач размерностью больше единицы, в том числе для тел со сферическими границами приведены, например, в [5]. Точное решение задачи о статическом воздействии магнитного поля на тело со сферической полостью получено в работе [6].

Соответствующие нестационарные задачи исследованы в основном в одномерном случае при частичном учете влияния электромагнитного поля. Нахождение точных решений нестационарных задач приобретает особую ценность в связи с тем, что численное обращение преобразования Лапласа по времени, к которому часто прибегают при решении, является некорректной задачей. В связи с этим, как показано, например, в [7], представление решения в виде ряда Лорана по параметру преобразования Лапласа в окрестности бесконечно удаленной точки позволяет получить фундаментальное решение для пространства на начальном

Received: 3 June 2016 Accepted: 10 September 2016 Published: 30 September 2016

Keywords:

non-stationary associated electromagnetoelasticity, space, spherical cavity, the ranks of the Laplace transform, the Green's function

промежутке времени. Основные принципы построения таких решений применительно к задачам нестационарной линейной электроупругости изложены в работе [8]. Ими можно эффективно воспользоваться, например, при использовании метода граничных элементов. В [9] приведено решение одномерной, но уже связанной задачи для толстостенной сферы в случае воздействия температуры на поверхности. Явные решения для пространства со сферической полостью для случая задания магнитного поля на границе сферы, причём в случае зависимости свойств материала от температуры, приводятся в работе [10]. Вопросы нахождения аналитических решений нестационарных задач для тел сферической формы, взаимодействующих с различными средами, в том числе с учётом связанности полей и наличием пьезоэф-фектов, исследованы в работах [11-15]. В работах [16-18] получено решение связанной нестационарной задачи электромагнитоупругости о распространении радиальных возмущений в толстостенной сферической оболочке и пространстве со сферической полостью.

Таким образом, двумерные нестационарные задачи, в которых бы учитывалась связь электромагнитных и механических полей, в настоящее время изучены недостаточно, не говоря уже о получении точных решений подобного рода проблем. Количество публикаций, посвященных исследованию подобных двумерных задач, сравнительно мало. Например, в статье [19] дано решение лишь одной составляющей этой проблемы - определение нестационарного электромагнитного поля по заданному полю перемещений в пространстве со сферической полостью. А в работе [20] построено решение второй части этого вопроса - определение напряженно-деформированного состояния той же области, заполненной упругой средой и находящейся под действием объемных сил, под которыми можно понимать возмущения, создаваемые внешним электромагнитным полем.

В данной статье для этого геометрического объекта предлагается решение полной связанной нестационарной двумерной задачи электромагнитоупругости. В настоящее время авторам не известны работы, посвящённые решению двумерных связанных задач электромаг-нитоупругости в нестационарной постановке применительно к пространству со сферической полостью. Предложенный метод позволяет находить точные решения подобного рода задач для любого момента времени, а не только на начальном этапе и в одномерном случае, как это предлагается некоторыми авторами в предложенном выше обзоре.

1. Постановка задачи

В сферической системе координат r, 0, (r >0, 0 <0<л, - л:<-&<л:) рассматривается заполненное изотропным проводником пространство со сферической полостью радиусом r0. Осесимметричное движение среды описывается линеаризованной моделью [21]. Она включает в себя уравнения движения

u =

v sin

0)+

u

-+F

2---г-

50 sin2 0

r 2 -5-1 + 1

5r lr 5r J sin 0 50150

5Г5 . 0 — sin 0

+ F0.

5u 1 ( 5v

I = ^ + 2u + vctg0 J;

5r r l 50 )

уравнения Максвелла

dr de

= -H, -1 ^^ = ( + Ee), r dr

(2)

1

d(Hsine)= 2 ( . ) 1 d(r2Er) 1 d(sineEe)

. e de (( + Er) 'd ' + • e 4 de " =Pe

r sin e de r dr r sin e de

и линеаризованные относительно начального состояния (его компоненты обозначаются дополнительным нижним индексом «0») формулы для радиальной и тангенциальной координат силы Лоренца и обобщенный закон Ома [22]:

F =а[р e0 Er + Р eE0r + у( joeH + JeH о)], Fe = а[ре0Ee + PeE0e - У( jrH + jrH0 )];

jr = Er + H0v + Pe0и/У, Je = Ee — H0u + Pe0 v/У • (4)

Здесь и и v, Er и Ee, jr и je - радиальные и тангенциальные координаты векторов перемещения, напряженности электрического поля, плотности электрического тока; H -ненулевая координата напряженности магнитного поля; ре - плотность поверхностных зарядов; точками обозначены производные по времени.

В формулах (1)-(4) и далее использованы следующие безразмерные параметры (при одинаковом начертании их размерные аналоги обозначены штрихом):

r' К Cit v' H H V eCl

r = —, r0 = —, i = —, v = —, H =-—, pe =-—,

Z Z Z Z cE, sE„

E = -i- E = EL i' = jr .' = F' = FrZ F' =. FeZ

-^r ~ ^ ■> ^e _ ^ м Jr ~ ■> Je ~ -r ^ r a „ м 1 e _

Е„ Е„ г оЕ„ оЕ„ г Х + 2ц Х + 2ц

с. с1Л/цёе еЕ„2 4 лоЬ 2 Х + 2ц 2 ц

Л = —, Ле = —51-, « = 4 ч, У =-, с1 =-, С2 = —

с2 с 4л:(А + 2ц) ес. - -

где I - размерное время; Ь и Е„ - некоторые характерные линейный размер и напряженность электрического поля; - и X, ц - плотность и упругие постоянные Ламе среды; с. и с2 - скорости распространения волн расширения-сжатия и сдвига; о, е и це - коэффициенты электропроводимости, диэлектрической и магнитной проницаемости; с - скорость света.

В начальный момент времени среда является невозмущенной:

и = и\ = VI = VI = Е I = Е I = Ее| = Ее| = И = И = 0. (5)

1х=0 1х=0 1х=0 1х=0 Г |х=0 Г |х=0 е|х=0 е|х=0 |х=0 |х=0 V !

Искомые функции предполагаются ограниченными. Поскольку методы решения задач при всех возможных граничных условиях на поверхности полости идентичны, то далее ограничимся вариантом задания кинематических возмущений и напряженности электрического поля:

4= Г0 = ^0 (^ е) Нг= Г0 = ^0 е) , Ее IГ=Г0 = е00 е) . (6)

Отметим, что из уравнений электромагнитодинамики (2) и (4) вытекают следующие соотношения для компонент векторов напряженностей магнитного и электрического полей, а также для плотности зарядов:

л;

(( + yH ) = AH

H

Л e

r2 sin2 9 r

5( rPeÜV') 5 (Pe 0U )

dr

59

УЛ e

5( ruH o) 5(VH o)

5r

л2 (Er + yEr) = N„ (Er) + N,2(E9) - л2(PeoU + yHoV), Nn

1

59

5(5,9 sin 9

л;

(E9 + yE9) = N21 (Er ) + N22 (E9) + л2 (yHoU - PeoV), N21

r2 sin2 9 59 ^59

1 52

r 5r59

N12 =-

1 5

r sin 9 59

5 1 Va

— + - I sin 9

5r rJ

, N222 = i- 4 r 2 -5.

22 r2 5r l 5r

Pe + yPe =

1 5

[r2 (PeoU +yHoV))

1 5

[(PeoV -yHoU)sin 9] •

(7)

(8)

(9)

r2 5r [ v eu ' /] r sin9 59 Далее будем полагать, что начальное электромагнитное поле является стационарным радиальным и удовлетворяет условиям

1 5(r2Eor)

Eor = Eo (r) Eo9= Ho = ° Peo = 2 5

r2 5r

(1o)

2. Представление решения в виде рядов

Решение начально-краевой задачи (1)-(6) представляем в виде рядов по полиномам Лежандра Рп (х) и Гегенбауэра СЩ2 (х) [23]:

( u > ( un ' ( V ^ ( V > n

Er W E rn E9 W E9n

Pe =z Pn Pn (cos 9), H =z Hn

Fr n=o F rn F9 n=1 F 1 9n

V Jr J V Jrn J V J9 J V J9n J

Cn3/2 (cos9).

(11)

Тогда с учетом (10) соотношения (1), (3), (4) и (7)-(9) переходят в следующие равенства для коэффициентов этих рядов:

ип = 1цп К ) + 112п ( V, ) + Рт (п ^ 0), = 121п (ип ) + 122п () + Е6п (П ^ 1) ,

^ (") = Шг2 |1-|>~2п(п +1) + 2 1

l22n (V)= -2

-2 5 ( 2 5v ^ , ч Л —I r — I-n(n +1)v 5r l 5r J V }

(12)

l21n (U) = -~

(1 -л-2 ))(u)+(1 + Л-2>

l12n (V) = -n (n + 1)

l21n (v) + (з +Л-2 ))

Frn = « (PeoErn + PnEo ) > F9n = « (PeoE9n - yEoHn ) ;

(1з)

Jm = Ern + Р>„/У, Jen = E0n + Pe0VJУ ¿

л2 (Hn + УН) = AnHn + 42JH (ün, Vn) (n > 1),

5(rPeüv )

1 5 f 2 n (n +1) 1

An = ——1 r2T- l-^-^, lH (uv) = -

r 5r l 5r) r r

5r

+ PeüU

(15)

Л2 (( + yEen ) = "1 " Л.2Р.üVn (n > 1),

v / r 5r

w . \ n(n +1) 2

Л2 (( + yErn) = Hn - л^х;

• г (- • ) г ( ) 1 5(r2peüu) n(n +1)

Pn + УРя = -lnp (Un , Vn ) lnp (( V) = —^^-1 +—- PeüV .

r2 5r r

Соответствующие начальные условия вытекают из (5):

Un L=ü = Un L=ü = Enr| t=ü = Enr|t=0 = ü (n > ü) ,

vn L=ü = Vn L=ü = EneL=ü = Ene |_=ü = Hn L=ü = Hn l=ü = ü (n > 1).

(16)

(17)

(18)

При этом граничные условия (6) с учетом разложений

ад ад ад

Uü = lU рп (cos e), Vü = sin e£ v d] (cos e), ^ (т, e)=sin e£ ^ яСЯ-1 (cos e)

n=ü я=1 Я=1

и первого соотношения в (16) переходят в следующие равенства:

1 5(rHn)

Vn|r=rü = Vün (т),

r 5r

= Uün (т) (n > ü) hü (V> e) = P> + e + Уе-

Л.Ч [Vün (т),eüü (т)] r=r (n >1)

(19)

К ним добавляются условия ограниченности искомых функций.

Для решения начально-краевых задач (12)-(19) используем преобразование Лапласа по времени (я - его параметр, верхний индекс «Ь» соответствует изображению) [24]. При этом разрешающие уравнения (12) и (15) с учетом (13) трансформируются так:

(2ü)

*X = l11n (uL ) + l12n (L ) + «gu (ELn, pL ) (n > ü), gu (E, p) = PeüE + EüP,

*2vL = l21n (uL) + l22n (vLn ) + agv (EeLn,HL) (n > 1), gv (E,H) = pe0E - y^H;

*2л2hL = AnHLn + л2*lH (uLn,vL) (n > 1), * = yl*(* + y). (21)

Изображения коэффициентов других компонент электромагнитного поля и граничные условия согласно (16), (17) и (19) определяются следующим образом:

1 5( rHL)

л2 (* + y)E¿ = -- Л2*PeüvL (я > 1),

5r

л2 (*+y)EL =

я (я +1)

HL -л2 *PeüUL;

( + У)- Ь = - <-( иПь, V1;);

= ^ (5),.

д(гНЬ)

= -л;

г дг

= и0п (5) (п > 0), к (v,е) = 5-еoV + (5 + у)е.

Ч [}£ (5),еЬп М] = (п > 1),

(24)

К ним опять же добавляются условия ограниченности изображений. Как показано в [16], аналитически найти оригиналы решения краевых задач (20)-(24) даже при п = 0 невозможно. Поэтому будем использовать разложения искомых функций в степенные ряды по малому параметру а :

и.

(г,т) = £ипт (г,т)ат, Vn (г,т) = £^пт (г,т)ат, Ип (г,т) = £Ипт (г,т)ат,

т=0

т=0

т=0

(25)

-п (Г, т) = £-пт (Г, т)а т , Ет (Г, т) = £ Етт (Г, т)ат , Ееп (г , т) = £ Еепт (Г, т)ат.

т=0 т=0 т=0

Подставляя изображения по Лапласу этих рядов в (20)-(24), приходим к следующим соотношениям:

при п = 0

5 2иЬ =

00

■ 1110 (и00 );

5 2и0Ьт = 1110 (и0т )+ ёи (ЕгЬ0,т-^ -Ь,т-1 ) (т > 0 ;

5ЕЬ0т = -'-е0и0Ьт (т > 0);

5 д(Г2-ерКт ) ,

(5 + У) -0т =-

дг

при п > 1

5 2и;0 = 111п (и;0 ) + 112п (VЬo ), 5Ч0 = 121п (^0 ) + 122п (VLno );

5 ипт = 111п (ипт ) + 112п (Vnm ) + ёи (Егп,т-1, -п,т-1 ) , 52^пт = 121п (ипт ) + 122п ((т ) + ё (Е^п,т-1, И!Ь,т-1 ) (т > 1) ;

^ИЬт = АпИЬт + Л2*1И (^т , VLnm ) ;

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

Л2 (5 + у)ЕеЬпт = -1 д( ГНПП1 ) - Л^^т , Л2 ( + у) Е1 = ^ - Л^^т ; (33)

дг

( +У)-Ьпт =-Чп-(^т , ^пт ) .

Соответствующие граничные условия вытекают из (24) и разложений (25): «Ь>|г=г = иЬп (5) (п > 0), г=г = К (5) (п >1);

и„

= V„

= 0 (п > 0, т > 1), vL\_ = 0 (п > 1, т > 1);

(34)

(35)

(36)

дт

= -лХ [VL (s), eL (s)] (n > 1); 1 д(тИьпт )

дт

= 0 (п > 1, m > 1) .

(38)

Соотношения (26)-(38) являются рекуррентной по индексу m последовательностью краевых задач относительно ограниченных функций.

3. Интегральные представления решения

Задача (26), (30), (35) является чисто упругой. Поскольку эти вопросы подробно исследованы в работе [25], далее в граничных условиях (6) положим, что

Uo (0, т) = 0, Vo (0, т) = 0.

При этом эта задача становится однородной. Следовательно, ее решение тривиальное:

Un0 (т,т) = 0, Vn0 (т,т) = 0 (и > 0). (39)

Решение же задачи (27), (31), (36) записываем в интегральном виде (m > 1):

ад

uLm (Т, S) = J GLUU0 (Т, 5, Sfm(5, S)<Ъ \ (40)

т0

ад ад

<m (т, S) = JGUUu„ (r, 5, S)fuL„m-1 (5, S)d5 +JGL (т, 5, S)fvtmm-1 (5, S)d5,

т0 т0 ад ад

Vnm (т, S ) = J GVUun (т, 5, S )fuL„mm-1 (5, S )d5 +J GUn (, 5, S (5, S )d 5 (n > 1),

т0 т0

fun, m-1 (5, S ) = gu [ Em,m-1 (5, S ), Pn, m-1 (5, S )] , fvn, m-1 (5, S ) = Sv [ E0n, m-1 (5, S ), Ип , m-1 (5, S )].

(41)

где

Ядра этих представлений - функции Грина краевых задач, соответствующих уравнениям (27), (31) и граничным условиям (36), а именно ограниченные решения следующих задач ( 8( х) - дельта-функция Дирака):

uu 0

= 0;

sG0 = /„0 (GUU0) + 8(т -5), GU

S2GUUn = l11n (GUUn ) + l12n (GVun ) + 5 (т - 5) , S2GL = l21n (GUun ) + l22n (GVun )

Gl\ = Gl\ = 0 (n > 1);

UUnL= т VUn L = т V /'

1т-т0 1т - т0

s2GLvn = /Пп (GUvn) + /12n (GVVn), s2GVVn = /21„ (GUvn) + /22n (GVVn) + 5(т - 5), GL\ = GL\ = 0 (n > 1).

UVn I = т vvn I = т V /

1

Эти функции найдены в [20] и имеют следующий вид ( Н (х) - функция Хевисайда):

(г, 5, * ) = 52 [(5 ^ (г, 5, *) н (5-г ) + ( ^ (5, г, *) н (г-5)], оьтп (г, 5, * ) = 52 [(5и, (г, 5, * )н (5-г ) + о 1п (5, г, * )н (г-5)]; о'юп (г, 5, * ) = 52 п (п +1)[(5 1п (г, 5, *) н (5-г) + (5и, (5, г, * )н (г-5) оь„п (г, 5, * ) = 52 [(ип (г, 5, * )н (5-г) + (V (5, г, * )н (г-5)].

Здесь

Р(0 )(э ) ~ Р (0)( *) ~ Р(0 )

(и, (г, 5, *) = -у(-), (^п (г, 5, *) = , (Г, 5, *) = , (г, 5, * ) = ^^, ¿п (*) = 2л2 п+1гп+25п+Уп+Ч (V, ^ ).

¿п )

где

е л5?

)е-л55

)е-л5*

е-л5

е-у -

|е-лу +

|е-у -

(42)

(43)

(44)

Р0 (* ) = ел+Г0* [л2 п+Я (5* К„ (г*, г * ) е-5* - п ( п +1) Яп0 (л5* К12 (г*, г0 * ) Р0 ( ) = ел+^ [л2 п+Х (5* К21 (г*, Г * )е-5* - ^ (л5* )Ьп22 (г*, Г0

(*) = ел+^ [л2п+Яю (5*К„ (г*,Г0*)е-5* - Я* (л5*К12 (г*,Г0*) Рп ( ) = ел+^ [п (п + 1)л2п+Я 0 (5* К 21 (г*, Г * )е-5* - ЯпЪ (л5* К 22 (г*, Г0

Еш (х,У) = (-1)п [ЯпЪ (лу)Е„п (х,У)-п(п + 1)п0 (луЖп (х,У] + +2п(п + 1)у2п+1Яп0 (лх)е-лх,

ип12 (( У) = (-1)п [кл (у) Е30п (лy, лх) + п(п + 1) Яп0 (у) Е00п ( лx, лу))

-2л2п+>2^Ящ (х)е-х,

Еп21 ( у) = (- 1)п+1 [Яп3 ( лу) Е10п (у, х) + п (п + 1) Яп0 ( лу ) Е00п (х у )]

+2у2п+%3 (лх)е-лх,

Еп22 (х у) = (-1)п [п (п + 1)Яп0 (у) Е30п (лx, лу)- Яп1 (у) Е33п (ЛX, лу)]

-2п (п + 1)л2п+:у 2п+1яп0 (х )е-х; А, (х,у) = Я, (х)Яп3 (лу) - п(п +1)Я0 (х)Я0 (лу), Яп3 (z) = Я, () - Яп{) (),

Яп1 (z) = яп+1,0 (z) - пЯ„0 (z), Яп0 (z) = £ ЛnkZn ", Ал = 2k ( ^ ");" , .

Отметим, что числитель и знаменатель дробей в (44) являются экспоненциальным многочленом и просто многочленом аргумента * соответственно. Подробный анализ

этих формул показывает, что степени числителей Р^п (, (и рп (*), Еш1(

меньше степени знаменателя соответственно на единицу и на двойку, что позволяет точно находить их оригиналы с помощью методов компьютерной алгебры и теорем операционного исчисления.

Также в интегральном виде при п > 1 и т > 0 записывается решение задачи (32), (38):

си

(г, * ) = -п2 * | о1Нп (г, 5, * )1В [пПт (5, *), ^Пт (5, * )] й 5

(45)

Здесь ОьНп - соответствующая объемная функция Грина, а именно ограниченное решение следующей краевой задачи:

1 ^(гОНп)

Ап^Нп -*Х0Ня = 8(г-5),

г дг

= 0.

Решение задачи (21) при т = 0, (37) с учетом (39) имеет следующий вид:

Но (г,*) = -л2 (* + у)ОьНп0 (г,*)е0п (*), (46)

где ОНп0 - поверхностная функция Грина, т.е. ограниченное решение следующей краевой

задачи:

а поН„0 - *2л2^Нп0 = 0,-

1 д( гОНп0)

дг

= 1.

Функции 0Нп и &н„0 , а также их оригиналы в квазистатическом приближении при це = 0 найдены в [19] и имеют следующий вид:

0Нп (г, 5, * ) = 0сНп (г, 5) = 52 [осНп (г, 5) н (5-г) + он„ (5, г )н (г-5)], (г,5) = - п(2Рп(5гп^+1, Рп (х,У) = (п + 1)х2п+1 + пу2п+1;

(47)

(2п +1)5

СНп0 (г, *) = ОсНп0 (г) = -

п + 2

пг

п+1

Формулы для коэффициентов рядов изображений координат напряженности электрического поля следуют из (22), (45) и (46):

Е^ (г, *) = -

п (п + 1)

осНП0 (г Кп (*); Е1вп 0 (г, *) = гНп0 (г )е00п (*);

Е

'(г, * ) = - ^ (г, 5)н (5, * ), ^ (5, * )] й 5,

(48)

(49)

где

Е^пт (г, * )= — |Г Нп (г, 5)н [<т (5, * ), ^пт (5, * )] й5 (т, п > 1),

* + у

' г0

ГНп (г, 5) = ГНнп (г, 5)Н (5-г ) + Г 2 НП (г, 5) Н ( г-5), а п ( х, у ) = х2 п+1 - у

ГН (г5) (п + 1)ап (г, г0) ГН (г5) рп (г0,5) ГН (г)= г0

1Нп V ' /0 , 1\еп-1 п+ 2' 1 2Нп\' /о , 1\еп-1 п+ 2 ' 1 Нп0\')

г

2 п+1

(2п +1)5

(2п +1)5

п-1 п + 2 '

г

п + 2 '

0

Соответствующие коэффициенты для изображения плотности зарядов при т > 1 определяются равенствами (34), а при т = 0 в силу (39) имеет место равенство

рПю = 0.

4. Разрешающая рекуррентная система уравнений

Как следует из п. 3, коэффициенты рядов (25) при каждом п определяются независимыми рекуррентными системами интегральных соотношений. При п = 0 эта система включает в себя соотношения (34), (40) и первое равенство в (49) с начальными условиями (39). Она является однородной и имеет тривиальное решение:

и

, (Г> Т) = р0т (Г, Т) = Ег0т (Г, Т) = 0 (т > 0) .

При каждом п > 1 рекуррентные системы образовываются соотношениями (41), (45), (49) и (34) при т > 1, которые в пространстве оригиналов с учетом свойств преобразования Лапласа записываются так:

(50)

од од

ипт (Г, Т) = \ Оии„ (Г, £ Т) * /ип, т-1 (£ Т) й £ + \ Guvn (Г, £ Т) * Хп,т-1 (£ Т) Л£

г0 г0

од од

^пт (г, Т) = \ОиП (г, £, т)* /ищп-1 (£, т) й£ + \(г, £, т)* /п,т-1 (£, Т) й£ (п > 1) ,

Г0 Г0 од

Нпт (г, Т) = - Л.2 / 0СНп (г, £) ^ \йПт (£, т) , Vnm (£, т)] й£ ; (51)

г0

Егпт (Г, Т) = - п (п + ^ | ^Нп (Г, £)1Н [ипт^ (£ Т) ^т (£ Т)] й£

Г г0

од

Е0пт (Г, Т) = |ГНп (Г, £)1Н [ипт^ (£, Т) , ^ (£, Т)] й£;

(52)

Рпт (Г, Т) = -1пр [ипт (Г, Т) , (Г, Т)] . (53)

Здесь и далее звездочка обозначает свертку по времени, а дополнительный нижний индекс « ^ » у функции /(т) соответствует результату применения к ней следующего оператора:

/ (т) = /(т)-уе-ут * /(т) . Начальные условия к системе (50) - (53) следуют из (39), (46), (48) и (53):

ип0 ( Т) = 0 Vn0 (Г, Т) = 0 Нп0 (Г Т) = -Л^Нп0 (Г)[Уе00п (Т) + е00п (Т)] ,

, ч п (п +1) / ч / ч / ч / ч / ч / ч (54)

Егп0 ( Т) =--1-- ^Нп0 (Г)е00п (Т) Е6п0 (Г, Т) = ГНп0 (Г )e0k0 (Т) Рп0 (Г,Т) = 0

Г

В соотношения (50)-(53) входят производные по времени, а также, как следует из (15) и (17), производные по радиусу. Для того чтобы избежать численного дифференцирования, необходимо их модифицировать. Прежде всего, с помощью интегрирования по

частям преобразовываем формулы (51) и (52). При этом полагаем, что начальная плотность поверхностных зарядов удовлетворяет условию

limP,o ( r ) = ^

r 1ад

а также учитываем вытекающие из формул (47) и (49) равенства

,• Gc ( с) ,• С 2G с ( с) Pn (r0, r) Г1 при n = 1, Jlm GHn (Г, = JlITl^ GHn (Г, ^ =--Л n+1 10 > i

11<ю n (2n +1) rn+1 [0 при n > 1;

, ^ / ч (n + 1)a (r, r0) Í1 при n = 1,

limrHn(r,l) = limrHHn(r,l) =-I—l-)^ 0 P > 2

(2n +1) rn 2 [0 при n > 2.

В результате приходим к следующим равенствам:

ад

H nm (r, т) = -л2 ÍP.0 (D[GcHun (r, l)ñnm (l, т) + GHvn (r, l)^ (l, т)] ; (55)

r0

Ernm (r, T) = - " (n + ^ jp«0 (^^Hun (r, V)UnmS (^ T) + GHvn (r, fynms (^ T)]]

r r0 (56)

ад 4 '

eqnm (r, т) i Pe0 (1)[г Hun (r, C)Unms (^ Т)+Г Hvnr

(r, l)Vnms (l, т)] d l +

He^ ) nms V ' )'

r0

Здесь

GHun (r, l) = Hn (r, l)H (l - r) + (GHn (l, r)H (r -1)],

GHv„ (r, l) = l[GHvn: (r, l)H (l-r ) + GcHvn2 (r, l)H (r-l)], Г Hunr (r, l) = Г Hun: (r, l)H (l - r ) + rHun 2 (r, l)H (r -1) rHvnr (r, l) = ГHvn1 (r, l)H (l - r) + rHvn2 (r, l)H (r - l),

где

Гс (rl)= (n + 1)a n (r, r0 ) Гс (rl)= Pn (r0,

Hun(2n + 1)nrn+2 ' Hun2^ (2n + 1)lnrn+2'

G (rl)= pn (r0,r) Gc (rl)= (n + 1)an (r0,

Hvn1^ 'W (2n + 1)rn+1ln+^ ^Hvn2V 'W (2n + 1)^+1^+1'

Гс (rl)= n (n + 1)an (r, r0 ) Гс (rl)= n (n + 1)a n (r0,

Hvn1{ (2n + 1)rn+2ln ' Hvn2{ (2n + 1)rn+2ln "

Для устранения производной в формуле (53) замечаем, что согласно (17) имеет место следующее равенство:

1 S( r 2u) n (п +1)

lnp (u v) = P> + Pe0Xn («> v) Xn («> v) = —+ —-- v .

r or r

Веденная здесь функция xn (u, v) имеет смысл коэффициента разложения в ряды по

полиномам Лежандра, коэффициента объемного расширения для поля перемещений с компонентами u и v .

При этом равенство (53) можно преобразовать так:

Рпт (г, х) = Ре0 (Г^)ип№ (Г, х) - РеоХптх (Г, х) , Хпт = Хп (ипт , Vnm ) •

Тогда необходимо дополнительно построить интегральное представление для %пт. Его получаем из (50):

Х пт = |Хип (Г, Р Х) * /ип, т-1 ( Р + |Х vn (Г, Р Х) * Лп, т-1 ( ^Р

(58)

где

Х„п ( Г, Р Х) = Х п (Оиип , 0Шп ) , Xvn (r, р х) = Х п (Стп , ^п ) •

Используя результаты работы [20] и формулы (42)-(44) для ядер в (58), получаем следующий результат:

X^ (г, Р, *) = X^ (г, р, *)Н (р - Г) + X^ (Г, Р, *) Н (г - у, X ^ (г, р, * ) = X ^ (г, р, * )Н (-г ) + X ^ (г, Р, * )Н (г-р).

Здесь

X1Л (г, р, *) = -

(, Г0^ ) ел+ Го* X£ (г Р „)= (^ Г0^ )

(* )

5, X^ (Г, р, *) = -

(* )

еП+Г0* ( = 1,2),

где

2й (*) = 2гп+1рп*2п+1^п (г,Г0*),

N01 (х,у,z) = 2п(п + 1)у2п+1Яп0 (хЯ ()е-х+ (-1)п Я„1 (z)М,ай (х,у)

Мип1 (х У ) = п (п + 1)Яп0 (ПУ)Е00п ^ х) - Яп3 (ПУ)Е10п (у, х),

-ПУ - z

,-ПУ

N02 (х,у, z) = Япо (х)е-х [2п(п + 1)у2п+1 Яп0 (тlz)е-П + (-1)^2 (у, z)

Мип2 (у, Z ) = Яп3 (Пу )Е11п ( у ) - п (п + 1)Яп 0 (Пу )Е10п (, у ),

N2 (х,у, z) = п(п + 1)[2Лп+2у2п+1 Япо (х)Япз ()е-х-тz + (-1)п Яп0 ()Ыт (у, х)

-Пу - z

,-пу

N02 (х, у, z ) = п (п + 1)Яп о (х )е-х [ 2 у2 -1 ^ ( )е^ + (-1)Хп (у, z )

^ ^^) = п (п + 1) Яп0 (Пу) Е00п (^ z) - Яп3 (Пу )Е10п ^ ^^) •

Эти формулы аналогичны (42)-(44). Отличие состоит в том, что, как показывает подробный анализ, у функций XIunk (г, р, *) степени числителя и знаменателя совпадают. Поэтому необходимо учитывать, что их оригиналы могут содержать слагаемые

^}(г,Р)

2гп+%п

5[X-X0ak (Г, Р)] ,

(59)

которые находятся методами компьютерной алгебры и должны быть в свертках в (58) в соответствии со свойствами дельта-функции.

Далее, дифференцируя равенства (50), получаем следующие интегральные представления для производных по времени:

ипт (Г, X) = {Пиип (Г, р X) * /п,т-1 х) ^р + {Птп (Г, ^ х) * т-1 х) ^

Го Го

ОД ОД

Vnm (Г, Х) = {Пvun (r, р Х) * /ип,т-1 х)Р + {П»п (Г, р Х) * /vn,m-1 Х) ^р

где

Пиип (Г, Р х) = «иип (Г, Р х) , Птп (Г, Р х) = 0шп (Г, Р х) , Пvun (Г, Р х) = (ип (Г, Р х) , П™ (Г, Р х) = ^п (Г, Р х) .

Явный вид этих ядер следует из (42)-(44):

П иип (Г, Р, х) = Р2 [П иип (г , Р, х)Н (р-г ) + П иип (Р, Г, х) Н ( г-р)], Пvun (Г, Р, х) = Р2 [ПШп (Г, р, х)Н (р - г) + П(р, Г, х)Н (г - р)], П (г , Р, х) = п (п +1)2 [П uvn (г , Р, х)Н (Р-г ) + П _ (Р, г , х)Н (г-£)], П_ (г, Р, х) = Р2 [П_ (г, Р, х)Н (Р - г) + П_ (Р, г, х)Н (г - р)],

где

Г!иип (Г, р х) = 0иип (Г, р х) , Птп (Г, р х) = (Г, р х) ,

Г!vun (Г, р х) = Gvun (Г, р х) П„п (Г, р х) = ^п (Г, р х).

Изображения последних функций

П1 (г, Р, *) = 301 (Г, р, х), П1 (Г, р, х) = ив 1п (Г, р, х), П^ (г, р, х) = 101п (г, Р, х), Пи (г, Р, х) = *(} 1п (г, Р, х)

имеют структуру (44). При этом в знаменателе степень аргумента * уменьшается на единицу. Поэтому функции Пиип (г, р, х) и П(г, р, х) могут содержать аналогичные (59)

слагаемые, которые также должны быть учтены при вычислении сверток в (60).

Таким образом, разрешающая рекуррентная система уравнений состоит из соотношений (50), (55), (56), (57), (58), (60) при т > 1 и начальных условий (54). Она позволяет находить коэффициенты рядов (11) и (25) для перемещений, напряженностей магнитного и электрического полей, а также плотности зарядов. Соответствующие коэффициенты для плотности тока могут быть найдены по формулам (14).

5. Пример расчета

Полагаем, что материал пространства - алюминий, что соответствует следующим параметрам [26] (характерная напряженность электрического поля Е* = 100 в/м ):

П = 2,04; Пе = 0,111 • 10-4; у = 5,06; а = 0,0806 .

Радиус полости единичный: г0 = 1, начальные параметры электрического поля следующие: Е0 = 1, р0е = 2/г , а на границе полости напряженность электрического поля

имеет вид e00 = f (r)sin0, где f (т) = [H (т)-H (т-1)]sin лт , что соответствует таким коэффициентам: e001 = [H (т) - H (т -1)] sin лт, e00n = 0 (n > 2) .

Интегралы в рекуррентных соотношениях находились численно. Распределение по радиусу нетривиальных коэффициентов рядов (11) при n = 1 для перемещений и компонентов электромагнитного поля представлены на рис. 1-8: сплошные кривые соответствуют т = 1, пунктирные - т = 3, а штрихпунктирные т = 5. Расчеты проводились с учетом первых трех членов рядов (25). Учет последующего члена практически не приводит к изменению результатов. На рис. 1-8 видно характерное убывание механических характеристик и характеристик электромагнитного поля с ростом времени, при этом для тангенциальных перемещений этот процесс менее выражен. Для тангенциальной составляющей вектора напряжённости электрического поля характерно «опрокидывание» в отрицательную область. Для плотности электрических зарядов характерна концентрация вблизи границы полости.

10

Рис. 1. Радиальные перемещения Fig. 1. Radial displacements

-6

-12

- ~~ v . ■—

K} . \ 1 \ / X / /

]\ / \ / • / \ / j / J

1 1 \ i \ i j

1 2 3 4 5

Рис. 2. Тангенциальные перемещения Fig. 2. Tangential displacements

Ел- 10"

Рис. 3. Напряженность магнитного поля Fig. 3. Magnetic field strength

-ю-

-20

4" s 1 4 у ■** —. ✓ / "

J

J

1 2 3 4 5 '"

Рис. 4. Радиальная координата напряженности электрического поля Fig. 4. Radial coordinate of electric field strength

Рис. 5. Тангенциальная координата напряженности электрического поля Fig. 5. Tangential coordinate of electric field strength

Jr,

10

-1

-2

Ч"' N / ✓ у х V. / У

/

У

Pi

0

-0,4 -0,8

к

Г /■ / / 1

Рис. 6. Плотность зарядов Fig. 6. Density of charges

1 2 3 4 5 '"

Рис. 7. Радиальная координата плотности тока Fig. 7. Radial coordinate of current density

2 3

Рис. 8. Тангенциальная координата плотности тока Fig. 8. Tangential coordinate of current density

Таким образом, в отличие от публикаций других исследователей, предложенный в работе метод связи механических и электромагнитных полей и впервые полученная с помощью этого подхода реккурентная система уравнений позволяют находить перемещения и компоненты электромагнитного поля новой нестационарной осесимметричной связанной задачи электромагнитоупругости для проводящего пространства со сферической полостью.

Работа выполнена при поддержке РНФ в рамках конкурса «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований международными научными группами», номер проекта 14-49-00091.

Библиографический список

1. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость; отв. ред. А.Н. Гузь. - Киев: Наукова думка, 1989. - 280 с.

2. Gupta Mange Ram. Symmetric vibrations of an elastic semiconductor in the form of a spherical shell under mechanical, thermal and electric fields // Indian J. Pure and Appl. Math. - 1990. - Vol. 21. -No. 6. - P. 582-596.

3. Xiao Yu, Bhattacharya Kaushik. A continuum theory of deformable, semiconducting ferroelec-trics // Arch. Ration. Mech. and Anal. - 2008. - Vol. 189. - No. 1. - P. 59-95.

4. Партон В.З., Кудрявцев Б.А., Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. - М.: Наука,1988. - 470 с.

5. Гачкевич О.Р., Мусш Р.С. Несущая способность электропроводящих элементов конониче-ской формы при действии электромагнитных импульсов. Несуча здатшсть електропровщних елеменпв канонiчноi форми за ди електромагнетних iмпульсiв // Фiз.-хiм. мех. матер. - 2010. -№ 4. - С. 92-97.

6. Дашко О.Г. Несвязанная задача магнитоупругости для ферромагнитного тела со сферической полостью // Прикл. мех. - 2007. - Т. 43, № 10. - С. 42-48.

7. Aouadi M. Electromagneto-thermoelastic fundamental solutions in a two-dimensional problem for short time // Acta mech. - 2005. - Vol. 174. - No. 3-4. - P. 223-240.

8. Ватульян А.О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости // Прикл. мат. и мех. - 1996. - Т. 60, № 2. - С. 309-312.

9. Ding H.J., Wang H.M., Chen W.Q. Dynamic response of a pyroelectric hollow sphere under radial deformation // Eur. J. Mech. A. - 2004. - Vol. 22. - No. 4. - С. 617-631.

10. Allam Mohmed N., Elsibai Khaled A., Abouelregal Ahmed E. Magneto-thermoelasticity for an infinite body with a spherical cavity and variable material properties without energy dissipation // Int. J. Solids and Struct. - 2010. - Vol. 47. - No. 20. - P. 2631-2638.

11. Бабаев А.Э., Савин В.Г. Излучение нестационарных акустических волн толстостенной электроупругой сферой // Прикл. мех. - 1995. - Т. 31, № 11. - С. 25-32.

12. Бабаев А.Э., Савин В.Г., Джулинский А.В. Аналитический метод решения задачи излучения нестационарных волн сферическим пьезопреобразователем // Теор. и прикл. мех. - 2003. -№ 37.- С. 195-199, 213.

13. Бабаев А.Э., Савин В.Г., Стадник А.И. Излучение звука системой пьезокерамических сферических оболочек при электрическом импульсном возбуждении // Прикл. мех. - 1988. - Т. 24, № 10. - С. 34-40.

14. Бабаев А.Э., Рябуха Ю.Н., Савин В.Г. Возбуждение толстостенной пьезокерамической сферы нестационарными электрическими импульсами // Изв. АН. Мех. тверд. тела. - 1995. -№ 5.- С. 94-101.

15. Савин В. Г., Моргун И. О. Преобразование электрических импульсов в акустические экранированной сферической пьезокерамической оболочкой // Прикл. мех. - 2007. - Т. 43, № 2. -С. 133-142.

16. Vestyak V.A., Lemeshev V.A., Tarlakovskii D.V. The Propagation of Time-Dependent Radial Perturbations from a Spherical Cavity in an Electromagnetoelastic space // Doklady Physics. - 2010. -Vol. 55. - Iss. 9. - P. 468-470.

17. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Одномерные нестационарные волны в толстостенной электромагнитоупругой сфере // Эколог. вестн. науч. центров ЧЭС. - 2011. - № 4. - С. 16-21.

18. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Исследование нестационарных радиальных колебаний электромагнитоупругой толстостенной сферы с помощью численного обращения преобразования Лапласа // Вестн. Твер. гос. ун-та. Серия: Прикладная математика. - 2014. - № 1. - Вып. 9. - С. 51-64.

19. Vestyak V.A., Igumnov L.A., Tarlakovsky D.V. Electromagnetic filds in movings space with spherical enclosure // Materials physics and mechanics (MPM). - 2015. - Vol. 23. - No. 1. - P. 31-35.

20. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Нестационарные осесимметричные объемные возмущения в пространстве со сферической полостью // Методи розв'язування прикладних задач мехашки деформiвного твердого тша: збiрник наукових праць Дшпропетр. нацiон. ун-та. -Днiпропетровськ: Наука i освiта, 2010. - Вип. 11. - С. 49-56.

21. Tarlakovskii D.V., Vestyak V.A., Zemskov A.V. Dynamic processes in thermo-ectro-magneto-elastic and thermo-elasto-diffusive media // Encyclopedia of Thermal Stresses. Vol. 2. - Dordrecht, Heidelberg, New York, London: Springer, 2014. - P. 1064-1071.

22. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. - 287 с.

23. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами: пер. с англ. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

24. Лаврентьев М.А, Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 736 c.

25. Gorshkov A.G., Tarlakovskiy D.V. Transient Aerohydroelasticity of Spherical Bodies. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 2001. - 289 p.

26. Григорьев И.С., Мейлихов Е.З. Физические величины: справочник. - М.: Энергоатомиз-дат, 1991. - 1232 с.

References

1. Grichenko V.T., Ulitko А.P., Shulga NA. Mekhanika sviazannykh polei v elementakh konstruktsii. Vol. 5. Elektrouprugost' [The mechanics of coupled fields in elements of designs. Vol.5. Electroelastic]. Ans. Ed. А.Н. Gus. Kiev: Naukova dumka. 1989, 280 p.

2. Gupta Mange Ram Symmetric vibrations of an elastic semiconductor in the form of a spherical shell under mechanical, thermal and electric fields. Indian J. Pure and Appl. Math., 1990, vol. 21, no. 6, pp. 582-596.

3. Xiao Yu, Bhattacharya Kaushik. A continuum theory of deformable, semiconducting ferroelectrics. Arch. Ration. Mech. and Anal., 2008, vol. 189, no. 1, pp. 59-95. D0I:10.1007/s00205-007-0096-y

4. Parton V.Z., Kudryavtsev B.A., Electromagnetoelastic of piezoelectric and electrowire bodies [Electromagnetoelastic piezoelectric and conductive bodies.]. Moscow: Nauka, 1988, 470 p.

5. Hachkevich O.R., Musyi R.S. Nesushchaia sposobnost' elektroprovodiashchikh elementov kononicheskoi formy pri deistvii elektromagnitnykh impul'sov. Nesucha zdatnist' elektroprovidnikh elementiv kanonichnoi formi za dii elektromagnetnikh impul'si [The bearing ability of electroconductive elements of an initial form at action of electromagnetic impulses]. Fiziko-khimicheskaia mekhanika materialov, 2010, no. 4, pp. 92-97.

6. Dashko O.G. Nesviazannaia zadacha magnitouprugosti dlia ferromagnitnogo tela so sfericheskoi polost'iu [Unrelated to the task magnetoelasticity ferromagnetic body with a spherical cavity]. Prikladnaia mekhanika, 2007, vol. 43, no. 10, pp. 42-48.

7. Aouadi M. Electromagneto-thermoelastic fundamental solutions in a two-dimensional problem for short time. Acta mech., 2005, vol. 174, no. 3-4, pp. 223-240. D0I:10.1007/s00707-004-0201-3

8. Vatulian A.O. Fundamental''nye resheniia v nestatsionarnykh zadachakh elektrouprugosti [Fundamental solutions of non-stationary problems of electrodynamics]. Prikladna matematika i mekhanika, 1996, vol. 60, no. 2, pp. 309-312.

9. Ding H.J., Wang H.M., Chen W.Q. Dynamic response of a pyroelectric hollow sphere under radial deformation. Eur. J. Mech. A., 2004, vol. 22, no. 4, pp. 617-631.

10. Allam Mohmed N., Elsibai Khaled A., Abouelregal Ahmed E. Magneto-thermoelasticity for an infinite body with a spherical cavity and variable material properties without energy dissipation. Int. J. Solids and Struct., 2010, vol. 47, no. 20, pр. 2631-2638.

11. Babaev A.E., Savin V.G. Izluchenie nestatsionarnykh akusticheskikh voln tolstostennoi elektrouprugoi sferoi [Radiation of transient electro acoustic waves of thick-walled elastic sphere]. Kiev: Prikladnaia mekhanika, 1995, vol. 31, no. 11, pp. 25-32.

12. Babaev A.E., Savin V.G., Dzhulinskiy А.V. Analiticheskii metod resheniia zadachi izlucheniia nestatsionarnykh voln sfericheskim p'ezopreobrazovatelem [Analytical method for solving the problem of non-stationary wave radiation spherical piezoelectric transducer]. Kiev: Prikladnaia i teoriticheskaia mekhanika, 2003, no. 37, pp. 195-199, 213.

13. Babaev A.E., Babaev A.E., Stadnik А.I. Izluchenie zvuka sistemoi p'ezokeramicheskikh sfericheskikh obolochek pri elektricheskom impul'snom vozbuzhdenii [Sound radiation system piezoceramic spherical shells under electrical impulse excitation], J. Kiev: Prikladnaia mekhanika, 1988, vol. 24, no. 10, pp. 34-40.

14. Babaev A.E., Ryabucha Y.N., Savin V.G. Vozbuzhdenie tolstostennoi p'ezokeramicheskoi sfery nestatsionarnymi elektricheskimi impul'sami [Excitation of a thick-walled piezoceramic medium stationary electrical pulses], Moskwa: Izvestiia akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela, 1995, no. 5, pp. 94-101.

15. Savin V.G., Morgun I.O. Preobrazovanie elektricheskikh impul'sov v akusticheskie ekranirovannoi sfericheskoi p'ezokeramicheskoi obolochkoi [Transformation of electric impulses in acoustic a screened spherical pyezokeramichesky cover]. Kiev: Prikladnaia mekhanika, 2007, vol. 43, no. 2, pp.133-142.

16. Vestyak V.A., Lemeshev V.A., Tarlakovskii D.V. The Propagation of Time-Dependent Radial Perturbations from a Spherical Cavity in an Electromagnetoelastic space. Doklady Physics, 2010, vol. 55, is. 9, pp. 468-470. D0I:10.1134/S1028335810090119

17. Vestyak V.A., Tarlakovskii D.V. Odnomernye nestatsionarnye volny v tolstostennoi elektromagnitouprugoi sfere [One-dimensional non-stationary waves in a thick-walled solenoid elastic medium]. Ekologicheskii vestnik nauchnykh tsentrov ChES, 2011, no. 4, pp. 16-21.

18. Vestyak V.A., Tarlakovskii D.V. Issledovanie nestatsionarnykh radial'nykh kolebanii elektromagnitouprugoi tolstostennoi sfery s pomoshch'iu chislennogo obrashcheniia preobrazovaniia Laplasa [Study of non-stationary radial oscillations of the electromagnetic elastic thick-walled sphere by numerical Laplace transform inversion]. Vestnik Tverskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia: Prikladnaia matematika, 2014, no. 1, is. 9, pp. 51-64.

19. Vestyak V.A., Igumnov L.A., Tarlakovsky D.V. Electromagnetic filds in movings space with spherical enclosure. Materials physics and mechanics (MPM), 2015, vol. 23, no 1, pp. 31-35.

20. Vestyak V.A., Tarlakovskii D.V Nestatsionarnye osesimmetrichnye ob"emnye vozmushcheniia v prostranstve so sfericheskoi polost'iu [Non-stationary symmetric three-dimensional perturbations in space with a spherical cavity]. Metodi rozv'iazuvannia prikladnikh zadach mekhaniki deformivnogo tverdogo tila: Zbirnik naukovikh prats' Dnipropetr. natsion. un-ta. - Dnipropetrovs'k: Nauka i osvita, 2010, is. 11, pp. 49-56.

21. Tarlakovskii D.V., Vestyak V.A., Zemskov A.V. Dynamic processes in thermo-ectro-magneto-elastic and thermo-elasto-diffusive media. In: Encyclopedia of Thermal Stresses Dordrecht, Heidelberg, New York, London: Springer, 2014, vol. 2, pp. 1064-1071.

22. Ilushin A.A. Continuum Mechanics. Мoscow.: State Moscow. Univ, 1978, 287 p.

23. Handbook of Mathematical Fanunction with Formulas, Graphs and Mathematical Tables / Ed. by M. Abramowitz and I.A. Stegun Мoscow: Nauka, 1979, 832 p.

24. Lavrentyev M.A., Shabat B.V. Methods of the theory of functions complex variable. Moscow, Nauka, 1973, 736 p.

25. Gorshkov A.G., Tarlakovskiy D.V. Transient Aerohydroelasticity of Spherical Bodies. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 2001, 289 p.

26. Grigoriev I.S Meilichov E.Z. Physical quantities. Directory. Moscow: Energoatomisdat, 1991, 1232 p.