CC BY
133
УДК 519.21
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 3
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ
ОБ АКСИОМАТИКЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
С. С. Валландер
С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, crazymath@yandex.ru
К написанию этой заметки меня побудило то обстоятельство, что после опубликования в 1933 году знаменитой монографии А. Н. Колмогорова «Основные понятия теории верорятностей» [1] задача аксиоматизации теории вероятностей считается решенной. Так, в предисловии к третьему русскому изданию книги Колмогорова (Москва, Издательство «Фазис», 1998) Ю.В.Прохоров и А.Н.Ширяев справедливо указывают, что «Предложенная в этой монографии схема логического обоснования («аксиоматика»), поразительная своей концептуальной простотой и естественностью, превратила теорию вероятностей в самостоятельный раздел чистой математики». Достаточно полный обзор оснований теории вероятностей, содержащий и описание альтернативных подходов к ее обоснованию, включен в виде приложения в упомянутое выше третье издание книги Колмогорова [2].
Возвращаясь к объяснению появления настоящей заметки, хочу подчеркнуть, что Колмогоров весьма сжато описывает происхождение аксиом (см. [1], раздел «Эмпирическая дедукция аксиом» в 1.2 и краткие замечания в 11.1). Завораживающая красота получающейся аксиоматической системы была очевидна как самому А. Н. Колмогорову, так, видимо, и последующим авторам. Частотный подход Р. фон Мизеса [3] и другие направления аксиоматизации теории вероятностей надолго стали достоянием историков математики. Сам Колмогоров прямо указывает, тем не менее, что «В изложении необходимых предпосылок для приложимости теории вероятностей к миру действительных событий» он «в значительной мере следует выводам Мизеса» [1, раздел 1.2].
Автор этих строк уже в течение многих лет рассказывает студентам о тех возможностях, которые в скрытой форме присутствуют в колмогоровской аксиоматике и в частотном подходе Мизеса, однако в силу каких-то непонятных причин практически игнорируются в литературе. Отдавая себе отчет в том, что излагаемые ниже соображения в значительной степени, если не полностью, могут показаться тривиальными, решаюсь их опубликовать в достаточно связном виде, рассчитывая на доброжелательность читателей. Изложение отталкивается от колмогоровской аксиоматики, однако акцентирует внимание на некоторых специфических аспектах эмпирической дедукции аксиом (именно поэтому без упоминания фон Мизеса не обойтись).
Итак, в основе обсуждения оснований теории вероятностей лежит пространство элементарных событий (исходов опыта) П, снабженное системой Т его подмножеств (событий), которым сопоставлены числа, именуемые вероятностями:
А ^ Р(А), А еТ.
Колмогоров ограничивается указанием, что «Обычно можно предполагать, что система Т рассматриваемых событий образует алгебру множеств ... »и больше к этому
© С. С. Валландер, 2013
вопросу не возвращается. Обсудим, в какой степени это предположение можно «объяснить» эмпирически. Для этого сформулируем общий тезис, описывающий наши представления о событиях и их вероятностях (ср. п. 4а из раздела 1.2 книги Колмогорова [1]):
Вероятность события А представляет собой число Р(А), которое в нашей математической модели по своему смыслу и свойствам аналогично относительной частоте т(А)/п появления этого события при п-кратной реализации явления («комплекса условий», как пишет Колмогоров).
Использованный термин «аналогично» подчеркивает различие между эмпирической частотой и ее модельным отражением — вероятностью. Расшифруем эту аналогию, отталкиваясь от существенных свойств частоты. Главным подразумеваемым неформальным свойством эмпирической частоты является ее «устойчивость» при больших п — именно это обстоятельство и позволяет предположить, что в математической модели частота «превратится» в число, а не в более сложный математический объект. Такая устойчивость (если она обнаруживается) и является побудительным доводом объявить рассматриваемое подмножество пространства исходов О событием. Других эмпирических доводов объявлять такие подмножества событиями у исследователя нет.
Для пустого множества 0 и всего пространства элементарных исходов О «устойчивость» частоты, как бы ее ни толковать, представляется самоочевидной: в первом случае частота тождественно равна нулю, а во втором — единице. Тем самым, множества 0 и О несомненно следует включить в систему Т. На математическом языке — по определению потребовать 0 ё Т и О ё Т. По отношению к другим подмножествам пространства О такая устойчивость частоты априори не может предполагаться. Однако если мы обнаруживаем такое множество А С О, для которого соответствующая частота по нашим представлениям устойчива, то, во-первых, объявляем это множество событием (т. е. по определению включаем в Т), и, во-вторых, отмечаем, что точно такая же «устойчивость» должна быть признана и за частотой, соответствующей дополнительному множеству: А = О — А.
Немного сложнее обстоит дело с частотами, отвечающими двум непересекающимся подмножествам А и В пространства О. Действительно, по очевидным причинам
т(Аи В) _ т(А) ^ т(В) п п п
Это соотношение позволяет утверждать, что если какие-либо две из трех частот, фигурирующих в (1), «устойчивы», то третья (как сумма или разность) тоже окажется «устойчивой», хотя и, не исключено, в некотором ослабленном смысле. Рискну предположить, что идеи Колмогорова об определении вероятностей на языке «алгоритмической сложности» и «аппроксимативной случайности» (см. [2]), возможно, появились, в том числе, при обдумывании подобных вопросов. В настоящей заметке мы не будем их касаться.
Подводя итог предыдущим обсуждениям, мы можем сказать, что неформальное понятие устойчивости позволяет выделить некоторые естественные свойства системы множеств Т:
• если А, В ё Т и А П В = 0, то А и В ёТ;
• если А, А и В ёТ и А П В = 0, то В ёТ.
Разумеется, предыдущее рассуждение, касающееся дополнительного множества, получается теперь как частный случай.
К сожалению, система множеств F, удовлетворяющая перечисленным свойствам, может не быть алгеброй множеств. Легко сконструировать такие примеры, скажем, для Q = {0,1}n. Тем не менее, несложное теоретико-множественное рассуждение показывает, что в общем случае F представляется в виде объединения своих максимальных подалгебр.
В частности, в точности так обстоит дело в квантовой механике, где согласно Гейзенбергу совместное точное измерение двух величин может оказаться невозможным. На теоретико-множественном языке это означает, что в квантово-механической модели вероятностей система F не замкнута относительно операции пересечения множеств. Разумеется, в квантовой механике имеется дополнительная структура, описываемая на языке ортогональных проекторов в гильбертовом пространстве (см., например, [4], в особенности раздел 2.2, некоторые части которого слегка перекликаются с нашими обсуждениями).
Было бы интересно определить квантовые испытания Бернулли. Возможно, для этого окажется достаточным рассмотреть подходящую систему F в конечном пространстве {0,1}n.
И. А. Ибрагимов подсказал мне, что сходное с квантовой механикой положение дел имеется в вероятностной теории чисел. Так, Кубилюс (см. [5], стр.45) прямо отмечает, что в рассматриваемом им контексте события не образуют алгебры множеств, и приводит соответствующий пример.
Возвращаясь к изложению аксиоматики теории вероятностей Колмогоровым [1], отметим, что аксиома непрерывности вероятностей, вводимая им в разделе II. 1, сопровождается констатацией того, что она принимается всего лишь из соображений целесообразности, и не имеет эмпирической мотивации. При нашем подходе аналогично понимаемая целесообразность, по-видимому, выражается в том, что система событий F предполагается объединением своих максимальных а-подалгебр, а вероятность предполагается непрерывной на каждой из них.
Мне очень приятно отметить, что интересом к теории вероятностей я прежде всего обязан своему учителю И. А. Ибрагимову. Выражаю ему благодарность за внимание к данной заметке и ценное обсуждение.
Литература
1. Kolmogoroff A. Grundbegriffe der Wahrscheinlichskeitsrechnung. Berlin: Springer, 1933. (Русский перевод: Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.; Л.: ОНТИ, 1936).
2. Ширяев А. Н. Математическая теория вероятностей. Очерк истории становления // Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Фазис, 1998. С. 101-129.
3. Mises R., von. Mathematical theory of probability and statistics. New York; London: Academic Press, 1964.
4. Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. М.: Мир, 1965. (Mackey J. W. The mathematical foundations of quantum mechanics. New York; Amsterdam: Benjamin, 1963).
5. Кубилюс И. П. Вероятностные методы в теории чисел. Второе изд. Вильнюс: ГИПНЛ Лит. ССР, 1962.
Статья поступила в редакцию 28 марта 2013 г.
