CC BY
13МАТЕМАТИКА
Вестник Сыктывкарского университета.
Серия 1: Математика. Механика. Информатика.
Выпуск 3 (24). 2017
УДК 517.981
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О ПРОБЛЕМЕ НОРМИРУЕМОСТИ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР
Ю. Н. Ловягин
Исследуется связь между свойством нормируемости булевой алгебры и существованием на ней полуаддитивной (о)-непрерывной существенно положительной функции. Приводятся критерии, при соблюдении которых полунормируемая булева алгебра не имеет меры.
Ключевые слова: булева алгебра, мера, проблема Д. Магарам.
1. Введение
Теория меры и интеграла является одной из важнейших как в «чистом», так и в прикладном анализе и теории вероятностей. Основам теории меры и интеграла посвящено много монографий, например [1-3] и другие. Однако вопрос существования (построения) меры в них ограничивается построением меры Лебега на ячейках и различных её модификациях, а также примерами тривиальных и экзотических мер. С другой стороны, возможен подход к понятию меры как интегралу (аддитивному, возможно со свойствами непрерывности, функционалу на некотором классе функций). Такой подход осуществляется Н. Бурбаки. Есть наброски теории интегрирования и в [4]. И если при классическом подходе к мере как функции множества интеграл выступает как некоторый строимый функционал, то при принятии понятия интеграла как исходного мера появляется как интеграл от характеристических функций множества. Но и при таком подходе вопрос существования меры остается весьма слабо освещенным.
Абстракцией от понятия алгебры множеств, алгебры событий является понятие булевой алгебры. Теория булевых алгебр систематически
© Ловягин Ю. Н., 2017.
изложена в монографиях [5-7]. Причем в первых двух существенное место занимает именно метрическая теория булевых алгебр: теория нормируемых (нормированных) булевых алгебр. Под нормированной булевой алгеброй (алгеброй с мерой) понимается полная булева алгебра с фиксированной на ней положительной функцией специального вида. Главным свойством меры является свойство аддитивности, которое можно условно охарактеризовать как «мера суммы равна сумме мер». В процессе же построения продолжения меры на некоторый более широкий класс множеств применяется схема, восходящая к Каратеодори и использующая понятие внешней меры. Внешняя мера отличается от меры заменой аддитивности на полуаддитивность: «мера суммы меньше суммы мер». В 1947 году Д. Магарам в [8] поставила вопрос, будет ли алгебра с внешней мерой нормируемой, то есть существует ли на ней некоторая мера. Поставленный вопрос известен сейчас как гипотеза или проблема Магарам.
Проблеме Магарам и связанным с ней вопросам посвящено много работ: [9,10], обзор результатов в направлении решения проблемы Магарам имеется в [2]. В настоящей заметке на основании результатов, полученных автором [11-15], приводится ответ на вопрос, поставленный Магарам.
2. Основные понятия теории булевых алгебр
Определение 2.1. Пусть X — некоторое непустое множество, ord — рефлексивное, транзитивное антисимметричное отношение на X. Такое отношение называется отношением порядка, а пара X = (X, ord) — (частично) упорядоченным множеством.
В дальнейшем отождествляется частично упорядоченное множество X и его множество-носитель X, то есть говорим о частично упорядоченном множестве X. Вместо (a, b) £ ord пишут а ^ b.
Определение 2.2. В частично упорядоченном множестве множество E С X называется ограниченным сверху (снизу), если множество Es = {x £ X : Ve (e £ E D e ^ x)} (множество Eг = {x £ X : Ve (e £ E D x ^ e)}) непусто.
Легко понять, что пересечения Esi П Es и Eis П Eг в любом частично упорядоченном множестве содержат не более одного элемента.
Определение 2.3. Супремумом (инфимумом) множества E С X в частично упорядоченном множестве X называется единственный элемент (если существует) пересечения Esi П Es (Eis П Eг).
Супремум (инфимум) множества E С X обозначается sup E (inf E).
Определение 2.4. Решеткой называется частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное множество имеет супремум и инфимум. Для E = {x, y} пишут sup E = x V y, inf E = x Л y. Если в решетке каждое множество имеет супремум и инфимум, то решетка называется полной. Если же всякое счетное множество решетки имеет супремум и инфимум, то решетка называется а-полной.
Определение 2.5. Нулем или наименьшим элементом частично упорядоченного множества X называется элемент 0, такой, что Vx (x £ X D 0 ^ ^ x). Двойственно определяется единица или наибольший элемент 1: Vx (x £ X D x ^ 1).
Отметим, что в полном частично упорядоченном множестве X единицей является inf 0 = sup X, а нулем — sup 0 = inf X.
Определение 2.6. Решетка L называется дистрибутивной, если для любых элементов x, y, z £ L имеют место равенства
x V (y Л z) = (x V y) Л (x V z) ,
x Л (y V z) = (x Л y) V (x Л z).
Определение 2.7. В решетке с нулем и единицей дополнением элемента x называется элемент x' со свойствами: x V x' = 1, x Л x' = 0.
Определение 2.8. Булевой алгеброй (булевой решеткой) называется дистрибутивная решетка с нулем и единицей, в которой каждый элемент имеет дополнение.
Легко видеть, что в дистрибутивной решетке любой элемент может иметь не более одного дополнения. Поэтому булеву алгебру B можно рассматривать как алгебраическую структуру с двумя бинарными операциями \/, Д : B х B —^ B и унарной операцией инволлюции ' : B —^ B, обладающими свойствами теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения (свойствами операций над событиями, свойствами логических операций дизъюнкции, конъюнкции, отрицания).
Таким образом, булеву алгебру можно рассматривать как абстракцию от соответствующих конкретных понятий.
Пусть ~ — конгруэнция на булевой алгебре B. Тогда можно рассмотреть факторалгебру, состоящую из классов эквивалентности с естественно определенными операциями. Отметим, что порядок на фактор-алгебре определяется по очевидному свойству, имеющему место в любой решетке: x ^ y тогда и только тогда, когда x V y = y (x Л y = x).
Определение 2.9. Элементы x,y G B называются дизъюнктными, если x Л y = 0. Дизъюнктным дополнением множества E С B называется множество Ed = {x G B : Ve (e G E D e Л x = 0)}.
Определение 2.10. Множество K С B называется компонентой, если Kdd = K.
Известно [5], что компонента полной булевой алгебры является самостоятельной булевой алгеброй Bu = [0, u] = {x G B : 0 ^ x ^ u} для некоторого u G B, играющего роль единицы.
Если (B^)AeA — класс полных булевых алгебр, то декартово произведение B = П Bл с покоординатными операциями и порядком является леЛ
полной булевой алгеброй. При этом каждая булева алгебра Bл изоморфна компоненте BUA, где ил — проекция единицы B на соответствующий сомножитель.
Определение 2.11. В описанном случае говорят, что булева алгебра B является полным соединением компонент Bл и обозначает B = SЛелBл. Элементы полного соединения обозначаются x — лелxл. Подалгебра полного соединения, состоящая из элементов вида лелxл, у которых не более чем счетное множество координат отлично от нуля, называется счетным соединением компонент и обозначается а — SЛелBл.
Определение 2.12. Булева алгебра, в которой любое множество, состоящее из попарно дизъюнктных элементов не более чем счетно, называется булевой алгеброй счетного типа.
В дальнейшем нас интересуют только алгебры а-полные счетного типа.
Определение 2.13. Пусть xn G B — последовательность элементов бу-
__тете тете
левой алгебры B. Обозначим limxn = Д V xk, limxn = V Л xk.
n=0 k=n n=0k=n
Эти элементы, существующие для любой последовательности (в силу а-полноты алгебры), называются верхним и нижним пределами последовательности (xn)neN. Если limxn = limxn, то последовательность называется (o)CT-сходящейся, а общее значение верхнего и нижнего пределов называют ее (o)CT-пределом: (o)CT — lim xn = limxn = limxn.
В дальнейшем, поскольку других понятий предела в булевых алгебрах мы не рассматриваем, будем пользоваться более простым обозначением: x = limxn, xn —> x для выражения факта (o)CT-сходимости последовательности (xn)neN к элементу x.
Определение 2.14. Принципом диагонали в а-полной булевой алгебре счетного типа называется утверждение:
для каждой «двойной» последовательности (xnk), такой, что из xnk —> xk (для каждого k) и xk —> x, следует, что существует строго возрастающая последовательность Пк, такая, что xnkk —> x.
Булева алгебра счетного типа, в которой выполнен принцип диагонали, называется регулярной.
3. Функции на булевых алгебрах
Следуя работе автора [11] и монографии [5], опишем классы функций на булевых алгебрах.
Определение 3.15. Пусть B — булева алгебра (необязательно полная, необязательно счетного типа), p : B —у R — некоторая функция. Функция p называется:
• аддитивной, если VxVy (x Л y = 0 D p (x V y) = p (x) + p (y));
• положительной, если Vxp (x) ^ 0;
• квазимерой (далее — КМ), если она положительна и аддитивна;
• существенно положительной (далее — СП), если она положительна и Vx (p (x) = 0 D x = 0);
• непрерывной, если из условия lim xn = x следует lim p (xn) = p (x);
• мерой, если она является непрерывной СПКМ;
• монотонной, если VxVy (x ^ y D p (x) ^ p (y));
• полуаддитивной (субаддитивной — [2]), если VxVyp (x V y) ^
^ p(x) + p (y);
• внешней квазимерой (далее — ВКМ), если она положительна, монотонна и полуаддитивна;
• внешней мерой (полумерой), если она является непрерывной СПВКМ.
Известно [5], что всякая булева алгебра с СПКМ или СПВКМ является алгеброй счетного типа, а если на алгебре есть мера или полумера, то такая алгебра регулярна. С другой стороны, Гайфман в [16] привел пример булевой алгебры счетного типа, на которой нет ни одной СПКМ.
Определение 3.16. Булеву алгебру, на которой нет СПКМ, будем называть гайфмановой.
Ясно, что если булева алгебра содержит гайфманову подалгебру, то она сама является гайфмановой.
Определение 3.17. Булева алгебра В называется нормированной (полунормированной), если на ней задана некоторая мера (полумера). Нормируемой (полунормируемой) называется булева алгебра, на которой можно задать меру (полумеру).
Основная задача, которая поставлена Д. Магарам, звучит так: является ли полунормируемая булева алгебра нормируемой. В настоящей работе приведен пример гайфмановой полунормируемой алгебры, следовательно, на такой алгебре нельзя задать меру.
Доказательства нижеприведенных теорем имеется в [5].
Теорема 3.1. Пусть В — булева алгебра с СПКМ р. Тогда существует полная булева алгебра В с мерой ? такая, что
Ух (х € В Э р (х) = ? (х)) ,
и для любого Ж € В существует последовательность хп € В, такая, что
^ Ж?.
Теорема 3.2. Пусть В — произвольная булева алгебра. Для любого х € В существует КМ рх, такая, что рх (х) > 0.
Эту теорему называют теоремой о достаточном числе КМ на булевой алгебре. Мы воспользуемся приведенными фактами для доказательства основных результатов.
4. Погружение регулярной алгебры в соединение нормируемых
Теорема 4.3. Для любой булевой алгебры В существует семейство полных булевых алгебр (Ал)ЛеЛ, таких, что:
• Булева алгебра Ад нормируема для каждого Л € Л.
• Существует подалгебра А полного соединения ^делАд, изоморфная В.
Доказательство. Пусть Ф — некоторое достаточное множество КМ на В, то есть для любого элемента х € В существует р € Ф так, что р (х) > 0. Перенумеруем Ф посредством некоторого ординала Л:
Ф = {Рд}дел.
Для каждой КМ рд определим Вд как факторалгебру алгебры В по конгруэнтности: х ~ у тогда и только тогда, когда р (х +2 у) = 0,
где х +2 у = (х Л у') V (ж' Л у) — симметрическая разность элементов булевой алгебры. Легко проверяется, как и в классической теории меры, что получившееся отношение является отношением эквивалентности, устойчивым относительно булевых операций, а соответствующая факторфункция рд, определенная правилом рд (х) = р (х) для класса эквивалентности ж элемента х € В, является СПКМ на булевой алгебре Вд. Обозначим Ад — нормированную булеву алгебру, построенную по алгебре Вд применением теоремы 3.1.
Определим теперь вложение В в ^ДедАд как «диагональной» подалгебры: Ь € В м- а = (ад) , ад = Ь. Легко понять, что это изоморфное вложение. Теорема доказана.
Отметим, что среди алгебр Вд уже могут оказаться нормируемые. Так, например, будет, если соответствующая КМ рд является непрерывной. В этом случае процесс «пополнения» по теореме 3.1 не даст нового, то есть Ад = Вд. С другой стороны, возможен случай, когда Вд = {0,1} — тривиальная булева алгебра. В этом случае очевидно, что Ад = Вд, и соответствующий сомножитель можно не учитывать.
Ясно, что единицы компонент Ад являются попарно дизъюнктными элементами. Следовательно, их проекции на диагональ А также образуют множество, состоящее из попарно дизъюнктных элементов. Отсюда получается, что в случае если исходная алгебра счетного типа, то каждый ее элемент в образе соединения имеет не более, чем счетное множество ненулевых координат. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 4.4. Всякая булева алгебра счетного типа изоморфна подалгебре счетного соединения нормированных булевых алгебр.
Отметим, что построенное в доказательстве теоремы 4.3 соединение нормируемых булевых алгебр ^делАд представляет собой булеву алгебру с достаточным числом непрерывных квазимер. Точнее, каждая мера ^д на алгебре Ад является непрерывной КМ на всем соединении. С другой стороны, для каждого элемента х € ^делАд существует КМ, отличная от нуля на этом элементе. В противном случае функция ^д не была бы СП.
Определение 4.18. Пусть Вх — подалгебра В2. Говорят, что подалгебра В! является правильной подалгеброй В2, если для любого множества Е С Вх вирв Е = вирВ2 Е и т£В1 Е = т£В2 Е.
Теорема 4.5. Если В — регулярная булева алгебра, то существует правильная подалгебра счетного соединения нормированных алгебр, изоморфная В.
Доказательство. Докажем следующее утверждение: Пусть A — регулярная булева алгебра, являющаяся подалгеброй счетного соединения нормированных алгебр (ВшТогда подалгебра A правильная.
Действительно, покажем сначала, что счетное соединение регулярных алгебр регулярно. Счетность типа очевидна. Докажем принцип диагонали. Пусть xnk —> xn, xn —> x, xnk, xn,x G A. В силу того, что каждый элемент счетного соединения имеет не более чем счетное множество ненулевых координат, можно считать, что соотношения x^fc —^ , —> жш выполнены для некоторого не более чем счетного множества индексов ш G П. Так как x^fc, x^, хш G Вш, в силу регулярности алгебр Вш существует строго возрастающая последовательность индексов так, что x^fck —> хш. Теперь легко видеть, что последовательность (xnkk) имеет предел x в алгебре о — S^gQ
Для завершения доказательства нужно проверить замкнутость алгебры A в B = о — SweQBw. Пусть E С A и а = supA E, b = supB E. Ясно, что а ^ b. Предположим, что а > b. По свойствам супремума [5] существуют последовательность ап G A, такая, что ап —а, и последовательность bm G B, такая, что bm —b (в соответствующих алгебрах). Положим xnm = bm V ап. Тогда limxnm = bm V а, bm V а —> b V а = а. Следовательно, существует строго возрастающая последовательность индексов mn, такая, что xmnn —^ а.
С другой стороны, xmnn G A и, следовательно, xmnn ^ b, но тогда lim xmnn ^ b < а. Полученное противоречие и доказывает требуемое. Теперь заключение теоремы очевидно.
5. Существование полумеры на регулярной алгебре
Теорема 5.6. Пусть A = а — , (ш G П) — полная булева
алгебра с мерой . Положим v : v (хш) = sup (х) : ш G П}. Тогда v — СП монотонная полуаддитивная функция на A.
Доказательство. Имеем v (x V y) = sup (хш V уш) ^
шеп
^ sup (хш) + ^ш (Уш)} ^ sup (хш) + sup ^ (Уш) = v (х) + v (y). шеп шеп шеп
Существенная положительность и монотонность очевидны. Теорема
доказана.
Определим теперь в условиях теоремы 5.6 функцию в : A —у R правилом в (a) = inf {v (х) : a ^ х}.
Теорема 5.7. Функция в является полумерой на булевой алгебре A.
Доказательство.
Ясно, что в монотонна и для всех а € А в (а) ^ V (а).
Пусть с = а V Ь и е > 0. Тогда найдутся такие х,у € А, что а ^ х, Ь ^ у и
V (х) <в (а) + е, V (у) <в (Ь) + е.
Тогда в (а V Ь) ^ V (х V у) ^ V (х) + V (у) < в (а) + в (Ь) + 2е.
Отсюда в силу произвольности е получается полуаддитивность функции в.
Предположим теперь, что в (а) = 0, но а > 0. Тогда существует такая последовательность хп ^ а, что V (хп) —> 0.
По определению V (хп) = йирШп (хп). При этом, не умаляя общности, можно считать, что рассматривается не более чем счетное множество индексов, для которых координаты а отличны от нуля. Тогда получается, что некоторая двойная последовательность хгак = хгаШпк ^ а^
обладает свойством
хпк —> 0, хпк ^ р при ненулевом р € А^ при некотором вВ силу регулярности алгебры существует «диагональная» последовательность хгакп —> 0, что противоречит условию р > 0. Таким образом, функция в является СП.
Пусть последовательность хп € А такая, что хп —> х € А. Тогда для каждого ш € П х^ —> хш. В силу непрерывности меры отсюда следует, что (х£) —» (хш).
Далее, учитывая, что сходимость последовательности (хп) к х в булевой алгебре равносильна тому, что хп +2 х —> 0, получаем
|в (хга) +2 в (х)| ^ IV (хга) +2 V (х)| ^ йиршеП (х£) +2 (хШ)| -► 0,
что и доказывает непрерывность в.
Таким образом теорема полностью доказана.
В качестве следствия получается следующая теорема.
Теорема 5.8. Пусть А — регулярная полная булева алгебра. Тогда на А существует полумера
Доказательство. Погрузим алгебру А как правильную подалгебру в счетное соединение нормированных алгебр. Тогда сужение полумеры, существующей на счетном соединении согласно теореме 5.7, является полумерой на А.
С другой стороны, поскольку всякую булеву алгебру счетного типа можно изоморфно (как подалгебру) погрузить в счетное соединение нормируемых, на всякой булевой алгебре счетного типа (необязательно
полной) существует СПВКМ. Однако, на гайфмановой булевой алгебре нет ни одной СПКМ.
Рассматривая теперь произвольную гайфманову булеву алгебру, погружаем её в качестве подалгебры в некоторую регулярную булеву алгебру A с полумерой v. Ясно, что A не может быть нормируемой, ибо содержит гайфманову подалгебру. Что и дает отрицательный ответ на вопрос Д. Магарам.
Список литературы
1. Порошкин А. Г. Теория меры и интеграла. М.: КомКнига, 2006. 184 с.
2. Порошкин А. Г. Упорядоченные множества. Булевы алгебры. Сыктывкар: СыктГУ, 1987. 85 с.
3. Halmos P. Measure theory. Berlin-Haidelberg-New York: Springer, 1950. 304 p.
4. Kelley J. General topology. Toronto-London-New York: D van Nostard company, 1957. 432 p.
5. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969. 318 с.
6. Владимиров Д. А. Теория булевых алгебр. СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 2000. 616 с.
7. Halmos P. Lectures on Boolean algebras. Prinston, New-Jersey. D. van Nostard company, 1963. 96 p.
8. Mayaram D. An algebraic characterization of measure algebras // Ann. Math., 1947. V. 48, № 1. Pp. 154-167.
9. Попов В. А. Аддитивные и полуаддитивные функции на булевых алгебрах // Сиб. мат. ж. 1976. Т. 17. № 2. С. 331-339.
10. Алексюк В. Н. Теорема о миноранте. Счетность проблемы Магарам// Матзаметки. 1977. Т. 21. № 5. С. 597-604.
11. Ловягин Ю. Н. Булевы алгебры с достаточным числом непрерывных квазимер. Деп. в ВИНИТИ, № 3111-В97. 1997. 24 с.
12. Ловягин Ю. Н. О некоторых свойствах булевых алгебр // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования : материалы научной конференции «Гер-ценовские чтения — 2009». СПб.: РГПУ им. А. И. Герцена, 2009. С. 131-135.
13. Ловягин Ю. Н. Регулярные и полунормированные булевы алгебры // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования : материалы научной конференции «Герценовские чтения — 2011». СПб.: РГПУ им. А. И. Герцена, 2011. С. 146-148.
14. Ловягин Ю. Н. Пример регулярной, но ненормированной булевы алгебры // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования : материалы научной конференции «Герценовские чтения — 2012». СПб.: РГПУ им. А. И. Герцена, 2012. С. 129-130.
15. Ловягин Ю. Н. О проблеме нормируемости булевых алгебр // Известия российского педагогического университета им. А. И. Герцена. 2013. № 154. С. 23-33.
16. Gaifman H. Cjncerning measure on Boolean algebras // Pacif. J. Math. 1964. V. 14, № 1. Pp. 61-73.
Summary
Lovyagin Yu. N. Some remarks on the problem of the normability of Boolean algebras
We study the connection between the property of normability of a Boolean algebra and the existence on it of a semi-additive (o) -continuous essentially positive function. Criteria are given, under which the semi-normalized Boolean algebra has no measure. Keywords: Boolean algebra, measure, problem D. Magaram.
References
1. Poroshkin A. G. Teoriya mery i integrala (Theory of measure and integral), Moscow: KomKniga, 2006, 184 p.
2. Poroshkin A. G. Uporyadochennye mnozhestva. Bulevy algebry (Ordered sets. Boolean algebras), Syktyvkar: Syktu State University, 1987, 85 p.
54
^OBarHH №. H.
3. Halmos P. Measure theory, Berlin-Haidelberg-New York: Springer, 1950, 304 p.
4. Kelley J. General topology, Toronto-London-New York: D van Nostard company, 1957, 432 p.
5. Vladimirov D. A. Bulevy algebry (Boolean algebras), Moscow: Nauka, 1969, 318 p.
6. Vladimirov D. A. Teoriya bulevyh algebr (The theory of Boolean algebras), St. Petersburg: Publishing house of the St. Petersburg University, 2000, 616 p.
7. Halmos P. Lectures on Boolean algebras, Prinston, New-Jersey. D. van Nostard company, 1963, 96 p.
8. Mayaram D. An algebraic characterization of measure algebras, Ann. Math., 1947, v. 48, № 1, pp. 154-167.
9. Popov V. A. Additivnye i poluadditivnye funkcii na bulevyh algebrah (Additive and semiadditive functions on Boolean algebras), Sibirsk. mat., 1976, vol. 17, No 2, pp. 331-339.
10. Alexyuk V. N. Teorema o minorante. Schetnost' problemy Magaram (The Minorant Theorem. The countability of the problem of Magaramz), Mathematics, 1977, t. 21, No. 5, pp. 597-604.
11. Lovyagin Yu. N. Bulevy algebry s dostatochnym chislom nepreryvnyh kvazimer (Boolean algebras with a sufficient number of continuous quasimers), Syktyvkar: Dep. in VINITI, № 3111-B97, 1997, 24 p.
12. Lovyagin Yu. N. O nekotoryh svojstvah bulevyh algebr (On some properties of Boolean algebras), Some actual problems of modern mathematics and mathematical education: Proceedings of the scientific conference «Herzen readings — 2009», SPb: RSPU them. A. I. Herzen, 2009, pp. 131-135.
13. Lovyagin Yu. N. Regulyarnye i polunormirovannye bulevy algebry (Regular and semi-normalized Boolean algebras), Some actual problems of modern mathematics and mathematical education: Proceedings of the scientific conference «Herzen readings — 2011», SPb: RSPU them. A. I. Herzen, 2011, pp. 146-148.
14. Lovyagin Yu. N. Primer regulyarnoj, no nenormirovannoj bulevy algebry (An example of a regular but not normalized Boolean algebra), Some actual problems of modern mathematics and mathematical education: Proceedings of the scientific conference «Herzen Readings — 2012», SPb: RSPU them. A. I. Herzen, 2012,pp. 129-130.
15. Lovyagin Yu. N. O probleme normiruemosti bulevyh algebr (On the problem of normability of Boolean algebras), Proceedings of the Russian Pedagogical University. A. I. Herzen, 2013, № 154, pp. 23-33.
16. Gaifman H. Cjncerning measure on Boolean algebras, Pacif. J. Math., 1964, v. 14, № 1, pp. 61-73.
Для цитирования: Ловягин Ю. Н. Несколько замечаний о проблеме нормируемости булевых алгебр // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 3 (24). C. 43-55.
For citation: Lovyagin Yu. N. Some remarks on the problem of the normability of Boolean algebras, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, №3 (24), pp. 43-55.
Санкт-Петербургский государственный университет
Поступила 01.09.2017
