Необходимые и достаточные условия принадлежности классам Бесова-Потапова и коэффициенты Фурье по мультипликативным системам Текст научной статьи по специальности «Математика»

An introduction to spectral invariance and its applications // Applied and Numerical Harmonic Analysis. Boston : Birkhauser, 2010. P. 60-63.

7. Калужина Н. С. Медленно меняющиеся функции, периодические на бесконечности функции и их свойства // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2010. № 2. С. 97-102.

8. Баскаков А. Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов // Современная математика. Фундаментальные направления. 2004. Т. 9. С. 3-151.

9. Баскаков А. Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц // Мат. заметки. 1992. Т. 52, № 2. С. 17-26.

УДК 517.518

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССАМ БЕСОВА-ПОТАПОВА И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

Р. Н. Фадеев

Саратовский государственный университет E-mail: belal_templier@mail.ru

В данной статье мы получаем необходимые и достаточные условия принадлежности функции классам Бесова-Потапова. Используя функции с коэффициентами Фурье по мультипликативным системам класса GM, мы показываем точность некоторых из этих результатов.

Ключевые слова: мультипликативная система, классы Бесо-ва-Потапова, обобщенная монотонность, теорема Харди-Литтл-вуда-Пэли.

Necessary and Sufficient Conditions of Belonging to the Besov--Potapov Classes and Fourier Coefficients with Respect to Multiplicative Systems

R. N. Fadeev

In this paper we obtain necessary and sufficient conditions for a function to belong to the Besov-Potapov classes. Using functions with Fourier coefficients with respect to multiplicative systems from the class GM, we show the sharpness of some these results.

Keywords: multiplicative system, Besov-Potapov classes, generalized monotonicity, Hardy-Littlewood-Paley theorem.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Р = {pj }°=1 — последовательность натуральных чисел такая, что 2 < р^ < N для всех ] е N и Zj = {0,1,... ,pj — 1}. Если т0 = 1,mj = mj-1 pj при ] е М, то каждое х е [0,1) имеет разложение

x = ^^ xj m j=i

-i

xn e Zj.

(1)

Это разложение определено однозначно, если при х = к/тп, 0 < к < тп, к,п е Z+, брать разложение с конечным числом Xj = 0. Если х,у е [0,1) записать в виде (1), то по определению

x Ф y = zjmi , zj = Xj + yj (mod pj), Zj e Zj. Аналогично определяется x Q y. j=i

Каждое к e Z+ однозначно представимо в виде

к = kjmj-1, kj e Z+. j=i

(2)

Для чисел x e [0,1) вида (1) и к e Z+ вида (2) положим по определению

Xk(x) = exp 2ni^xjkj/pj\ .

j=1

Система {хк(х)}^=0 называется мультипликативной системой, или системой Виленкина. Система {Хк(х)}^=0 ортонормированна и полна в Ь[0,1) (см. [1, §1.5]). Поэтому можно определить коэффициенты Фурье и частичную сумму Фурье формулами

л 1 _ П-1 л

I (п) = I(х)Хп(х) йх, п е Z+; ЗД )(х) = V /(¿)хг(х), п е N.

]о г=0

эо

По теореме Харди-Литтлвуда-Пэли (см. [2, гл. 6, теорема 6.3.2]) для / е Рр[0,1), 1 < р < го, имеем

|/ (n)|pnp-2 < C||/lip, 1 < p < 2, J] |f (n)|pnp-2 + If (0)|p > CII/lip, p > 2, (3)

n=1 n=1

1/p

/(k) = 0, k > n} и En(/)p = inf{|/ — tn||p : tn е Pn }• Определим модуль непрерывности ш* (/, t)

при 1 < p < го равенством ш*(/, t)p = sup ||/(■ © h) — /(-)||p• Далее будем обозначать ш* (/, 1/mn)

0<h<t

через шп(/)p• Имеет место важное неравенство А. В. Ефимова [1,§10.5] для / е Lp[0,1), 1 < p < го

/1 \ 1/р

где ||/||p = (/0 |/(t)|pdt) — норма в пространстве Lp[0,1), 1 < p < го. Пусть Pn = {/ е L1 [0,1) :

П(/)p = inf{||/ — tn||p : tn е Pn}. Определим модуль непрерывности ш*(/, t)p

при 1 < p < го равенством ш*(/, t)p = sup ||/(■ © h) — /(-)||p. Далее будем обозначать ш* (/, 1/mn)p

0<h<t p

ят„(/)р < II/ - (/)Цр < (/)р < 2£т„(/)р, п е . (4)

Пусть ф(£) — измеримая положительная функция на [0,1) такая, что ф(£) е £[<5,1) при всех 0 < <5 < 1. Введем две последовательности: {в(п)}^=0 и (а(п)}^=1 формулами в(п) = /1дп+1) ф(£) ^ при п е М,

в(0) = 1, и а(п) = /1дП+1) ф(£) при п е N. Будем рассматривать также д(п) = ///т1"-1 ф(£) Для р, 9 е [1, го) определим пространство

в (9,р, ф) = |/ е £[0,1) : II/||в>р>ф = II/Цр + (0 Ф(^) (/, ' ^ < го|.

Далее считаем, что ф(£) удовлетворяет <52-условию

Г 8 Г 28 Г1

/ ф(*)сй < С ф(£)^ < С ф(£)^, 5 е (0,1/2), С > 0. (5)

8/2 8 8

Если рп < Р < 2а, п е М, то из <52-условия вытекает неравенство

г 1/тп Н + 1 .2/ш,

Мп +1) </ ф(0 ^ < СМ ф(£) ^ < А(С)д(п). (6)

•/2-а/т„ ^ = 1 Л/т„

Для 2п-периодических функций аналогичные В (9,р, ф) классы функций изучались М. К. Потаповым [3,4]. При ф(£) = £-61г-1 они соответствуют классическим пространствам Бесова В^. Изучаемые здесь классы введены С.С.Волосивцом [5]. Необходимые и достаточные условия принадлежности функции пространствам В^ в терминах коэффициентов Фурье были найдены М. К. Потаповым и М. Беришей [6]. Эти результаты были перенесены на обобщенные пространства Бесова-Потапова М. Беришей [7-9]. Целью нашей работы является изучение условий принадлежности функций пространствам В (9,р, ф) и В (9, Н, ф) в терминах коэффициентов Фурье по системе }^=0. При этом для рядов Фурье с коэффициентами класса СМ, введенного С. Ю. Тихоновым [10], получаются более точные оценки, позволяющие установить неулучшаемость ряда общих результатов.

2п —1

По определению {ап}^=1 е СМ, если для всех п е N верно неравенство ^ |ак — ак+11 < Сап.

к=п

Как показано в [10], класс СМ содердит в себе класс РВУ$ последовательностей, удовлетворяющих

те

условию — а^+11 < Сап, и класс квазимонотонных последовательностей ^М, удовлетворяющих

к=п

условию апп-т | при некотором т > 0.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Лемма 1 принадлежит Ь. ЬетШег [11] и является обобщением неравенства Харди-Литтлвуда [12, теорема 346].

Лемма 1. Пусть ап > 0 и Ап > 0 при п е N. 1) при р > 1 имеем

те / n

n

n=1 k=n n=1 k=1

5> £ «О < p^E а1-р £

те

те

p

p

«n

2) при 0 < р < 1 справедливо неравенство

те /те \ р те ( п \р

£Ц£ аА >ап-р ^ лн <■

п=1 к=п п=1 к=1

Будем говорить, что {ап}те=1 ,ап > 0, квазиубывает, если Сап > аг при п < % < 2п. Как показал С. Ю. Тихонов [10], последовательности класса ОМ удовлетворяют этому условию. Поэтому если {/(%)}те=0 е ОМ, то {(/(%))ргр-2}те=0 является квазиубывающей.

Будем называть последовательность {Ап}те=1 почти возрастающей степени 7, если при всех п > т верно неравенство Сп1 Ап > т7Ат. В [13] установлена

Лемма 2. 1. Пусть {ап}те=1 квазиубывает, Ап > 0. Тогда при 0 < р < 1 справедливо неравенство

п-1

к

Х>п(]Г аЛ < С]ТаРппр-1( пХп + ^ А

п=1 к=п п=1 к=1

2. Пусть {ап}сте=1 квазиубывает, {А^те^ — почти возрастающая последовательность степени 7 е (0,1) и одновременно {А^^^ квазиубывает. Тогда при р > 1

п п=1

/те \ р те / п \ Р

а

п=1 к=п п=1 к=1

5>п ^ аЛ > С^Ап-'^ АН ап.

Лемма 3. Пусть / е Ьр [0,1), 1 < р < ж, п е N. Тогда

(те л р \1/р

1) при 2 < р < ж имеем Еп (/)р < С I ^ /(г) %р-2 \ , п е М;

г=п

те

2) при 1 <р < 2 имеем Еп(/)р < Еп(/)2 = I Е /(%)

г=п

/те л

3) при 2 < р < ж имеем Еп(/)р > Еп(/)2 = ( £ /(%)

г=п

1/2

, если ряд справа сходится; 1/2

/те л р \1/р

р-2

4) при 1 < р < 2 имеем Еп (/)р > С ( ^ /(г) г

г=п

Доказательство. Все утверждения леммы 3 вытекают либо из теоремы Харди-Литтлвуда-Пэли

те

либо из формулы Еп(/)2 = |/(к)|2, верных для произвольной ортонормированной системы.

к=п

Лемма 4. Пусть 1 < р,в < ж, / е Ьр[0,1). Тогда

С1 £ а(%)Ег(/)вр < ф{Ь){ш* (/, Д) ¿1 < С2^ а(%)Ег((7)

г=ш1 0 г=1

Доказательство. Результат леммы 4 легко следует из следствия 2 работы [5].

п-1

Лемма 5. ([14, гл. 4, §4.3]) Пусть Бп = £ хк, п е N. Тогда |^п(х)| < min(n,N/x), х е (0,1),

к=0

и, как следствие, \\Бп ||р < Сп1-1/р при 1 < р < ж.

Лемма 6. Пусть {ап}тете=1 е ОМ. Тогда при п < % < 2п справедливо неравенство ап > Саг. Как следствие, для п е [тк ,тк-1) имеем С1 атк > ап > С2атк+1.

Доказательство. Первое утверждение леммы доказано С. Ю. Тихоновым [10]. Для доказательства второго утверждения отметим, что если [^2 N = Ь, то п/тк < 2Ь+1 и атк > С6+1 ап. Аналогично,

а

> СЬ+1аШ, . Лемма доказана.

п ^ «Шь

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

тете

Теорема 1. Пусть 1 < р < ж, {ап}те=1 е ОМ и ряд ^ ар%р-2 сходится. Тогда ряд ^ агхг(х)

г=1 г=г

является рядом Фурье функции / е Ьр[0,1) и имеют место оценки

1/р>

Еп(/)р < С ( п1-1/рап + арг %р-2 ) 1 , п е N, (8)

р

2

1/р

п1—1/рап + Еп (/)р > С гр—2 , п е N.

(9)

При р > 2 можно убрать п1—1/рап б правой части (8), а при 1 < р < 2 это выражение можно убрать из левой части (9).

Для доказательства используется лемма 6 и аналог теоремы Литтлвуда-Пэли для системы {хк}те=0, доказанный С. ^Ыап [15] (ср. с доказательством теоремы 1 в [16]).

Сформулируем достаточные условия принадлежности функции классу Бесова-Потапова В (9,р, ф). Теорема 2. 1. Пусть 2 < р < го, / е £р[0,1), 9 > 1.

те в

а) если 9/р > 1 и £ а(^)1—в/рв(&)в/р /(&) &в—2в/р < го, то / е В (9,р, ф);

к=1

те в

б) если 9/р < 1 и сходится ряд ^ в(&) /(&) &в—2в/р, то / е В (9,р, ф);

к=1

2. пусть 1 < р < 2, / е £р[0,1), 9 > 1;

те в

а) если 9 > 2 и сходится ряд £ а(^)1—в/2в(&)в/2 /(&) , то / е В (9,р, ф);

к=1

те в

б) если 9 < 2 и сходится ряд ^ в(&) /(&) , то / е В (9,р, ф).

к = 1

Доказательство. 1. Пусть р > 2. Используя пункт 1) леммы 3 и лемму 1, получаем при 9/р > 1,

что

(/)Р < С^ а(Ы^|/(г)

те \ в/Р

1 р Р-Л <

к = 1 / к

к=1 \г=к

г

в/р

< С2 £ (а(^))1-в/р XI />) ^в-2в/Р = С^ (а(^))1-в/р (в(^))в/р / (*0 2в/Р.

к=1 \г=1 / к=1

При 9/р < 1 применяем неравенство Йенсена и меняем порядок суммирования. Имеем:

\ в/р

(/)Р < С^ а(*) £|/(г)

р

Р-2

<

к=1

< С а

к=1 \г=к /

те те в те г в те

< С^ а(*0£|/ (г)| гв-2в/р = С^ £ а(*) |/(г)| гв-2в/р = С^ в (г) |/ (г)

к=1 г=к г=1 к=1 г=1

С помощью леммы 4 получаем в обоих случаях / е В (9,р, ф).

2. Используя пункт 2) леммы 3 и лемму 1 при 9/2 > 1, находим, что

•в —2в/р

в/2

<

5>(ВДк(/)Р «(Ы^/г)

к=1 к=1 г=к

те к в/2 | | в те

к=1 г=1 к=1

При 9/2 < 1 применяем неравенство Йенсена и меняем порядок суммирования. Тогда

те те те | |в те |

5>(ВДк (/)Р <££ а(*0 / (г) = £ в (г) / (г)

к=1

к=1 г=к

г=1

С помощью леммы 4 получаем / е В (9,р, ф). Теорема доказана.

Для ф(£) = £ в, в > 1 имеем а(&)

-2

а в(&) ~ 1. Поэтому ^ а(&) = О(па(п)) и

к=1

па(п) = О ^ а(&) ). Будем использовать далее оба этих условия. к=1

те

те

те

те

в

те

те

те

в

п

п

Следствие 1. Пусть 1 < р < ж, / е Ьр [0,1), 9 > 1 и ф(1) такова, что в (к) < Ска(к), к е N. Тогда для / е В (9,р,ф) достаточными являются следующие условия:

те в

а) Е а (к) /(к) кв-в/р < ж при р > 2 и 9/р > 1; к=1

те в

б) Е а(к) /(к) кв-2в/р+1 < ж при р > 2 и 0 < 9/р < 1; к=1

те в

в) Е а(к) /(к) кв/2 < ж при 1 <р < 2 и 9 > 2; к=1

те в

г) Е а(к) / (к) к< ж при 1 <р < 2 и 1 < 9 < 2.

к=1

Следствие 2. Пусть 1 <р< ж, / е Ьр[0,1), 9 > 1 и ф(Ь) = 1-вг-1 ,г > 0. Тогда для / е В(9,р, ф) достаточными являются следующие условия:

те в

а) Е кв(1+г-1/р)-1 /(к) при р > 2 и 9/р > 1; к=1

те в

б) Е кв(г+1-2/р) /(к) при р > 2 и 0 < 9/р < 1; к=1

те в

в) Е кв(1/2+г)-1 /(к) при 1 < р < 2 и 9 > 2; к=1

те в

г) Е квг /(к) при 1 < р < 2 и 1 < 9 < 2. к=1

Теперь получим необходимые условия принадлежности пространству В(9,р, ф) Теорема 3. Пусть 1 < р < ж, 9 > 1, / е В(9,р, ф). Тогда

те в

а) при 1 < р < 2 и 9/р > 1 сходится ряд Е в(к) /(к) кв-2в/р;

к=1 те

б) при 1 <р < 2 и 9/р < 1 сходится ряд Е а(к)1-в/рв(к)в/р/(к)|вкв-2в/р;

к=1

те

в) при р > 2 и 9 > 2 сходится ряд Е в (к) | / (к)|в;

к=1 те

г) при р > 2 и 9 < 2 сходится ряд Е а(к)1-в/2в(к)в/2/(к)|в.

к=1

Доказательство. а. Применим пункт 4) леммы 3 и неравенство Йенсена. Получаем

к=1

|ргр-2

в/р те те

> С^ а(к)£ |/(г)

5>(к)Ек(/)р > С^а(к) £ |/(%

к=1 г=к

тег

= С^Е а^Ц^ гв-2в/р = ^в (%)|/(%)|в %в-2в/р

^ %в-2в/р =

к=1 г=к

в в-2

г=1

г=1 к=1

б. Используя пункт 4) леммы 3 и пункт 2) леммы 1, имеем

к=1

в/р

^ %р-2

5>(к)Ек(/)р > С^ а(к) £ /(г)

к=1 г=к

те

> 9-1 С а(к)1-в/рв(к)в/р|/(к)|вкв-2в/р.

>

к=1

в. Применим пункт 3) леммы 3 и неравенство Йенсена. Тогда

те те / те „\ в/2 те

к=1

5>(к)Ек(/)р >Еа(к) £|/(г)

к=1 г=к

те г | |в

= ЕЕ а(к) /(г) = £ в (г)/ (г)

>Е а(к)£|/ (г)

к=1 г=к

г=1 к=1

г=1

те

те

те

те

те

в

в

г. Используя пункт 3) леммы 3 и пункт 2) леммы 1, находим, что

те те те | | 2 в/2 те | | в

(/)Р а(к) £|/(«)| > 9—^а(к)1—в/2в(^)в/2 |/

к=1 к=1 г=к к=1

С помощью леммы 4 завершаем доказательство теоремы.

Следствие 3. Пусть 1 < р < го, 9 > 1, ф(£) такова, что в(к) > Ска(к), к е N и / е В(9,р, Тогда

те

а) при 1 < р < 2 и 9/р > 1 сходится ряд ^ кв—2в/р+1 а(к)|/(к)|в;

к=1

те

б) при 1 <р < 2 и 0 < 9/р < 1 сходится ряд £ кв—в/ра(к)|/(к)|в;

к=1

те

в) при р > 2 и 9/2 > 1 сходится ряд ^ ка(к)|/(к)|в;

к=1

те

в

г) при р > 2 и 0 <9/2 < 1 сходится ряд £ кв/2а(к)|/(к)|в.

к=1

Следствие 4. Пусть 1 < р < го, 9 < 1, ф(£) = вг—1, г > 0, / е В(9,р, ф). Тогда

те

а) при 1 < р < 2 и 9/р > 1 сходится ряд £ кв(г+1—2/р)|/(к)|в;

к=1

те

б) при 1 < р < 2 и 0 < 9/р < 1 сходится ряд £ кв(г+1—1/р)—11/(к)|в;

к=1

те

в) при р > 2 и 9/2 > 1 сходится ряд ^ квг |/(к)|в;

к=1

те

г) при р > 2 и 0 <9/2 < 1 сходится ряд £ кв(1/2+г) |/(к)|в.

к=1

Теперь получим аналогичные теореме 2 оценки для функций с коэффициентами Фурье по системе {Хк}те=о класса СМ.

Теорема 4. Пусть 1 < р < го, 9 > 1, / е £р[0,1), {/ (к)}^=1 е СМ. Для включения / е В(9,р, ф) достаточными являются следующие условия: а) р > 2, 9/р > 1 и сходится ряд

5>(к))1—'в/р(в(к))в/р (/(к))в кв—2в/р; (10) к=1

б) р > 2, 0 < 9/р < 1 и сходится ряд

те

£(/(к))в кв—в/р—1(ка(к) + в (к)); (11)

к=1

в) 1 < р < 2, 9/р > 1 и сходятся ряды (10) и

те

5>(к)(/ (к))в кв—в/р; (12) к=1

г) 1 < р < 2, 0 < 9/р < 1 и сходятся ряды (11) и (12).

Доказательство. а. В этом случае применим результат пункта а) теоремы 2. б. Пользуясь леммой 2 и оценкой 1) леммы 3, получаем

те /те \ в/Р

\в < С /(,-ЛР гр—2

5>(к)Як(/)Р < С^ а(к) £ (/ (г)) гр—2 <

к=1 к=1 г=к

те в те в

< С2£ (/(к)) кв—2в/ркв/р—1 (ка(к) + в(к)) < С^ (/(к)) кв—в/р—1 (ка(к) + в(к)).

к=1 к=1 С помощью леммы 4 заключаем, что / е В (9,р, ф).

те

те

P. H. Фадеев. Необходимые и достаточные условия принадлежности массам Бесова-Потапова в. В силу неравенства (8) имеем:

те те / те

0/p

£ а(к)Ек(/)р < С^ а(к) £(/ (г))ргр-2 + С^ а(к)кв-в/р(/ (к))в = /1 + /2. (13)

к=1 к=1 г=к к=1

Сходимость /2 следует из условия. Ряд /1 аналогично пункту а) теоремы 2 оценивается через (10). Поэтому левая часть (13) сходится.

г. Снова рассмотрим неравенство (13). К /1 применяем лемму 2 аналогично пункту б), а сходимость ряда /2 вытекает из условия. Осталось применить лемму 4. Теорема доказана.

Следствие 5. Пусть 1 < р < ж, 9 > 1, / е Ьр[0,1), {/(к)}те=0 е ОМ, ф(Ь) такова, что

те

в (к) < Ска(к). Если сходится ряд £ а(к)кв-в/р (/(к))в, то / е В (9,р,ф).

к=1

Доказательство. Ряды (10) и (11) с помощью неравенства в (к) < Ска(к) мажорируются рядом (12).

Следствие 6. Пусть 1 <р< ж, 9 > 1, / е Ьр[0,1), {/(к)}^=1 е ОМ, ф(Ь) = 1-вг-1, г > 0. Тогда

те

из сходимости ряда Е кв(г+1-1/р)-1 (/(к))в следует, что / е В(9,р,ф). к=1

Теорема 5. Пусть 1 <р< ж, 9 > 1, / е В(9,р, ф), {/(к)}^ е ОМ. Тогда а) если 1 < р < 2, 0 < 9/р < 1, то сходится ряд

£ a(k)1-0/p ß(k)0/p( f (k))0 kO-2O/p ; (14)

k = 1

б) если 1 < p < 2, 0/p > 1, а {a(k)}%=0 является почти возрастающей степени y £ (0,1) и квазиубывающей, то сходится ряд (14);

в) если p > 2, 0 < 0/p < 1, а {a(k)}%=0 квазиубывает, то сходится ряд (14);

г) если p > 2, 0/p > 1, а {a(k)}%=0 является почти возрастающей степени y £ (0,1) и квазиубывающей, то сходится ряд (14).

Доказательство. а. Используем результат пункта б) теоремы 6. б. Используя пункт 2) леммы 7 и пункт 2) леммы 3, имеем:

те те /те \0/p те / k \0/p

£ a(k)Ek (f )P > CiY, a(k) £(/(i))P гр-2\ > C^ (a(k))1-0/p £ a(i) x k=1 k = 1 \i=k J k=1 \i=1 J

Й / ^^ Й I

X ((/(k))pkp-2) P = C^(a(k))1-0/p(ß(k))0/p ((/(k))pkp-2) P .

k=1

В случаях в) или г) применяем неравенство

те / те \ 0/p /те те q\

f iP-2) < Cslj: a(k)Ek (f )P + £ a(k)k0-0/p f (k)) , (15) k=1 i=k k=1 k=1

вытекающее из неравенства (9). Если \\f — tn\\p = En(f)p, то из ортогональности системы {xk}те=0> неравенства Гельдера и леммы 9 получаем

2n-1 1

£ f (k) = J (f (x) — tn (x))(D2n(x) — Dn(x)) dx < \\f — tn\\p\\D2n — Dn\\p>' < C4 n1/pEn(f )p,

k=n 0

2n-1

где 1/p + 1/p' = 1. Но для {f (k)}^ré=1 £ GM имеем nf (2n),nf (2n — 1) = O I E f (k) I, откуда легко

k=n

те

те

вывести оценку f(n) = O (n1/p 1 E[n/2](f )p) • Поэтому в силу квазиубывания {a(k)}^=0 находим

те тете те

J>(k)kf-f/p(f(k))f < C^ a(fe)Effc/2] (f )p < C^ a([fe/2j)Effc/2] (f )p = 2C6 £ a(k)Ef(f)p

k=2

k=2

k=2

k=1

Поскольку / (1) < Е (/)р, то в правой части (15) можно опустить вторую сумму. Дальнейшее доказывается аналогично пунктам а) и б). Теорема доказана.

Следствие 7. Пусть 1 < р < го, 0 > 1, / е В(0,р,ф), {/(к)}^=0 е СЫ и ф(Ь) такова, что

те Л

в (к) > Ска(к), к е N. Тогда ряд ^ а(к)кв-в/р(/(к))в сходится при выполнении одного из следу-

к=1

ющих условий:

а) 1 < р < 2, 0 < 0/р < 1;

б) 1 < р < 2, 0/р > 1, {а(к)}те является почти возрастающей степени 7 е (0,1) и квазиубы-вает;

в) р > 2, 0 < 0/р < 1, {а(к)}те квазиубывает;

г) р > 2, 0/р > 1, {а(к)}те является почти возрастающей степени 7 е (0,1) и квазиубывает. Следствие 8. Пусть 1 < р < го, 0 > 1, {/(к)}те=1 е СЫ и ф(£) такова, что в (к) х ка(к). Если,

кроме того, {а(к)}те=1 является почти возрастающей степени 7 е (0,1) и почти убывает, то

те

условия / е В(0,р, ф) и а(к)кв-в/р(/(к))в < го равносильны. В частности, для ф(£) = £-6>г-1,

к=1

те

и £ ке(г+1-1/р)-1(/(к))е < го равносильны. к=1

Замечание. Помимо критериев следствия 8 можно установить некоторые результаты о неулучша-

г > 0, условия / е В(0,р,

Замечание. Помимо к емости результатов теорем 2 и 3 при более слабых условиях.

Автор выражает признательность С.С.Волосивцу за постановку задачи и ценные обсуждения.

Библиографический список

1. Голубов Б. И. Ефимов А. В. Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. М. : Наука, 1987. 344 с.

2. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М. : Физматгиз, 1958.

3. Потапов М. К. О взаимосвязи некоторых классов функций // Мат. заметки. 1967. Т. 2, № 4. С. 361-372.

4. Потапов М. К. О вложении и совпадении некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1969. Т. 33, № 4. С. 840-860.

5. Volosivets S. S. Fourier-Vilenkin series and analogs of Besov and Sobolev classes // Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 2010. Vol. 33. P. 343-363.

6. Potapov M. K, Berisha M. Modules of smoothness and Fourier coefficients of periodic functions of one variable // Publ. Inst. Math. (Beograd). 1979. Vol. 26(40). P. 215228.

7. Бериша М. О коэффициентах Фурье некоторых классов функций // Glasnik Mat. Ser. II. 1981. Vol. 16(36). P. 75-90.

8. Бериша М. Необходимые условия коэффициентов Фурье периодических функций, принадлежащих B(p, в, k, а)-классам типа Бесова // Publ. Inst. Math. (Beograd). 1984. Vol. 35(49). P. 87-92.

9. Бериша М. Оценка коэффициентов Фурье функций, принадлежащих классам Бесова // Publ. Inst. Math. (Beograd). 1985. Vol. 38(52). P. 153-157.

10. Tikhonov S. Trigonometric series with general monotone coefficients // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 326, № 1. P. 721-735.

11. Leindler L. Generalization of inequlities of Hardy and Littlewood // Acta Sci. Math. (Szeged). 1970. Vol. 31, № 3-4. P. 279-285.

12. Харди Г., Литтлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М. : Изд-во иностр. лит., 1948. 456 с.

13. Leindler L. Inequalities of Hardy-Littlewood type // Analysis Math. 1976. Vol. 2, № 2. P. 117-123.

14. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М, Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку : Элм, 1981. 180 c.

15. Watari C. On generalized Walsh-Fourier series // Tohoku Math. J. 1958. Vol. 16, № 3. P. 211-241.

16. Агафонова Н. Ю. О наилучших приближениях функций по мультипликативным системам и свойствах их коэффициентов Фурье // Analysis Math. 2007. Vol. 33, № 4. P. 247-262.