CC BY
30
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 514.75
Гулбадан Матиева
доктор ф.-м.н., профессор (ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан) e-mail: gulbadan_57@mail.ru
Чолпон Абдуллаева канд.ф.-м.н., доцент (К-УУ, г.Ош, Кыргызстан) e-mail: achh_osh@mail.ru
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ ВЫРОЖДЕННОСТИ ОДНОГО ЧАСТИЧНОГО
ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА Е5
Аннотация
В области £ ^ Е5 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку проходит
одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер Ш = (х,ёг, ) (i,j,k = 1,5) в области £ выбран так, чтобы он был репером Френе для линии со1 заданного семейства. Интегральные
линии С векторных полей e t образуют сеть Френе 1 5. На касательной к линии С сети I
5
инвариантным образом определяется точка ^ е {X, е1). Когда точка X смещается в области О ,точка описывает свою область О5 в Е5 Получается частичное отображение //: О ^ О5 такое, что
¡¡(X) = .
Найдены необходимое и достаточное условия вырожденности частичного отображения :0 ^ О5
Ключевые слова:
частичное отображение, репер Френе. Циклическая сеть Френе. Псевдофокус.
В области О евклидова пространства Е5, задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X еО проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер к = {х, е,) {1 , у, к = 1,2,3,4,5) в области О выбран так, чтобы он был репером Френе [1], [2] для
линии ю1 заданного семейства. Деривационные формулы репера ^ имеют вид:
йх = °'е1, йег =°\ек . (1)
Формы О, ОСО удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:
Б О = юк лОк, Оюк = О А 0, О +О у = 0 . (2)
Интегральные линии векторных полей е у образуют сеть Френе для линии О заданного
V к
семейства. Поскольку репер ^ построен на касательных к линиям сети , формы О становятся главными, т.е.
О=4ю. (3)
В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
4=-4. (4)
Дифференцируя внешним образом равенство (3) получим:
^к л лк . ^ / . лк
Dœk = dAk л У + AkDa].
1 Ч 1j
Применяя формул (2) отсюда имеем:
Л
CDJ Л CD = dA Л CDJ + А Л СО Л со!
' J У У t
В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:
или
Отсюда найдем:
или
О) А Ак,еое = dA. А (О - . 1 (О Л (О
1 J t IJ {J t
AktœJt a со = dA a со' — A a col Л a •
dA. A co] - AW: a co] - A,coj л m = 0
y J J1- 1
(dA -А!:аУ/-4/а/)лаУ =0.
Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:
dA - А cd - А б? = Л о?
У i( J к} I У™
dA ij= (a iJm+ A knA lJm+ A yA 1m У . (5)
или
лл _1А ^ А А ^ А
V \ Чт '1 }т I Система величин | А^. , } образуют геометрический объект второго порядка.
Формулы Френе для линии СО1 заданного семейства имеют вид:
е1 _ А11 е2, 2 _ А21 е1 + А21 е3, d1 е3 _ А31 е2 + Ап е4,
^1е4 _А41е5 +А41е5'
dle5 _ А 51 е4 ,
и А3п _ -А 1 1_ 0, А 4 _-А1_ 0, А 5 _-А}_ 0 (6)
А521 _-А2и_ 0, А421 _-А21_ 0,Л531 _ -А П_ 0 . (7)
Здесь к1 _ А11, к1 _ А , к1 _ Ап , к4 _ А 51_ - А 51 - первая, вторая, третья и четвертая
кривизны линии С соответственно (где d^ - символ дифференцирования вдоль линии С ).
Псевдофокус [4] ^ 1' ^ 1) касательной к линии С1 сети Е5 определяется следующим радиус-вектором:
Р'=Х-—ё=Х + —ё (8)
■ ¿1 ■ лу и
На каждой касательной {X) существуют по четыре псевдофокуса. На прямой (Х,в1) существуют псевдофокусы ,¥}4 ,¥}5, на прямой {X,e2 ) - , на прямой (х,е3) -
Г3,¥32,¥ 3,Г 3, на прямой ) - ¥4*,¥42,¥43,¥54, на прямой {^е,) - Е¥,¥53,¥?.
Сеть ^5 в ОСЕ5 называется циклической сетью Френе [5], если реперы
Ж1={х,e1 ,е2,е3,е4,е5), Ж2={X,e2,е3,е4,е5,е1), ={X, е3,е4,е5,е1,е2),
^ = {X,е4,е5,е1,е2,е3), ^ = {X,е5,е1,е2,е3,е4) являются соответственно реперами Френе для линий
1 2 3 4 5 Г"1
ю , ю , ю , ю сети одновременно.
Пусть сеть Е5 является циклической сетью Френе. Ее обозначим через Е 5. Псевдофокус ¥15 е{X,e1) определяется радиус-вектором:
F5 = X--t—e, = X + 1
Л
5
15
Л
51 15
(9)
Когда точка X смещается в области О с Е3 , псевдофокус описывает свою область О} с Е5
Определяется частичное отображение //: О ^ О5 такое, что (X) = ¥1
■5 1 '
Продифференцируем обычным образом (9) и учитываем деривационные формулы:
dF5 =
X-■
1
Л
■ej
= dX + d
15
( 1 V 1 ^ - л51 -
~ТТ e1 -~TTde1 = ae1 -~ТГе1 + ~7Tm1e'
ЧЛ55 y Л 15 Л 15 Л 15
Учитывая равенство (9) отсюда имеем:
dF) = С e + ■
Введем обозначение:
Bim = л 'ц„,+ Л 1Л 5„ +ЛЛ
Л 5,+Л 5Л 5m +Л55Л \„ yz 1
Л'., )
e1 -■
Л
a , e .
5 ш 15
Тогда имеем:
_► Т)5 „т А 1 г.
Л 775 1 , В15тю А 1тю
а¥, = ю е, + / е1--т—е,.
" Л^ )
Л
5 i 15
или
d1Fi =
e1 +
B151 ЛП~ 1,1 _ p--LL- p
e1 л 5 ei 15
(Л5 )
Л
a +
e2 +
B
152
(Л5, )2
Л\
e1 -
Л
2
a2 +
+
e3 +-
B
153
Лii y1
e, -■
Л
13
Л
15
Введем обозначения:
3
a3 +
e4 +
D 5 _„ A i ,
B 154 Л 14
154 - p--14 p
e5 a 5 ei
15
Л'» )
Л
4
a4 +
e5 +
B
155
Л'„ )21
e-
Л
15
Л
15
с
b1 = e1 +
B
151
Л\
Л], )2
e1
Л
11
5 i
15
b2 = e2 +
B
152
Л
(л'„ )2
e1 -■
12
Л
5 i 15
5
5
15
5
5
e
e
5i
5i
5
5
Тогда имеем:
Ь3 = е3 +
Ь4 = е4 +
Ьз = е 5 +
B
5
153
A1,
(A 5 5 У
е1
13
A
5 1 15
B
154
A
(A 55 У
ei -■
14
A
5 1 15
B
155
A
(A 55 У
e1 -■
15
A
5 1 15
dF) =œ b + у b2 + У b b + у b5
Так как заданная сеть Е5 является циклической сетью Френе, векторы Ьг имеют вид:
Ь 1 =
1 + ■ B 551
A J
A
A
11 5 е2
е?:>
15
5
Ь = _BJ52
Ь2 i 5
15
A У1
2 е1 + е2 -
A
A
12
5 е5
е5;
(10)
15
ь =
_ B 153 5
15 J
A
A
A J
A
Не + е--— е •
5 е2 ' ез . ч е5;
15
A
55 15
, 5
_„ D
Ь =■B154
Ь4
A
A
(A!, J
е1 -
A
14е + е--—е •
5 е2 ~ е4 .ч е5 •
15
A
55 15
5
Ь5 = B 155
A
(a 15J
е1 -
15
A
5 2 15
В общем случае эти векторы линейно независимы.
Пусть матрица перехода от базиса (ег) к базису ) 1,},к _ 1,5) является вырожденной, т.е.
det
ЬЧ
= 0, где Ь! - j -
тая координата вектора
b.
Ь1 Ь] 0 0 0
Ь1 1 0 0 Ь5
Ь1 Ь] 0 0 Ь5 ь1 Ь] 0 1 Ь5
Ь1 Ь] 00 0
= 0.
Учитывая (10), отсюда имеем:
A]1B 555 AU=
0.
Верно и обратное, т.е. если имеет место равенство (10), то частичное отображение /}5 является вырожденной.
Таким образом доказана
5
5
2
е
1
5
2
е
1
2
2
Теорема 1. Частичное отображение ¡5 : О ^ О^ является вырожденной тогда и только тогда, когда имеет место одного из условий: а) А 2}1= 0, б) А 14= 0, в) В}55 = 0, где А 2— первая
1*5 4
кривизна линии (О , А ^ — третья кривизна линии СО циклической сети Френе;
В 555= —е1 а5ки, к15 = А 55е1 — первая кривизна линии ю сети 5 Френе; — символ
дифференцирования вдоль направление е1 .
Список использованной литературы:
1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский// Москва. Наука.1967.-С.481-482.
2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст]/ И.А.Схоутен,Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ.1948.Т.П-348.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // МЛ.: Госттехиздат,.1948.- 432.
4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т Базылев // Литовский математический сборник,1966^Г№4.-С.475-491.
5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/ Г.Матиева // Монография. Ош,2003.-С.212-219.
© Матиева Г., Ч.Х. Абдуллаева 2016
Костенко Наталья Александровна
канд. пс. наук, доцент БГАУ Мельник Любовь Юрьевна
канд. физ.-мат. наук, доцент БГАУ E-mail: lubaleb@mail.ru
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К ПСИХОЛОГИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ
Аннотация
В исследовании изучались нейродинамические свойства, индуцированные по амплитудно-частотным характеристикам и спектру электроэнцефалограмм. Проведен корреляционно-факторный и регрессионный анализ. На этом основании установлены два основных нейрофизиологических параметра для построения прогнозной модели личностной тревожности (по Ч. Спилбергу). Самостоятельным индикатором тревожности по результатам факторной оптимизации оказалась шкала «профессиональной тревожности» теста И.В. Дубровиной (адаптированного к взрослой выборке).
Ключевые слова:
нейродинамические свойства, личностная тревожность, профессиональная тревожность, факторная
оптимизация
В литературе, как правило, приводятся данные, описывающие антропометрические и морфофункциональные изменения, происходящие в организме исследуемых - перестройку деятельности сердечно-сосудистой системы, стабилизацию функций нейрогуморальной регуляции, активизацию копулятивной функции. Работы, посвященные электроэнцефалографическим аспектам обеспечения стрессорных реакций и тревожных состояний единичны, и выполнены, как правило, в русле
