Нелинейные продольные и сдвиговые стационарные волны деформации в градиентно-упругой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

В.И. Ерофеев, О.А. Шешенина

Нижегородский филиал Института машиноведения РАН

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ И СДВИГОВЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ В ГРАДИЕНТНО-УПРУГОЙ СРЕДЕ

Abstract

The influence of geometrical nonlinearity on propagation of longitudinal and shear waves in gradient-elastic medium is being studied. It was shown that accounting of surface energy causes the breakdown of plane stationary waves.

Исследуемая градиентная теория упругости с поверхностной энергией, предложенная Вардолакисом и Георгиадисом [1], основывается на линейной теории упругости с микроструктурой Миндлина. Данная статья является продолжением ряда работ, направленных на изучение свойств волн [2-6], распространяющихся в градиентноупругой среде.

В отличие от теории упругости Миндлина [7] здесь используется следующий постулат для функции плотности энергии деформации:

W = — Xs s + us s +uc(д s )д s ) + ub д (s s ), (1)

2 qq rr г* qr rq ^ \ m qrj\ m rqj m m \ qr rq} ? \ /

где X и д - стандартные постоянные Ламе, c, b - модули упругости градиентной среды, bm = b$m, 3m-&m = 1, дm означает дифференци-

рование по координате xm, s qr - компоненты тензора деформации,

Ur - компоненты вектора перемещений U, индексы q, r, m пробегают значения от 1 до 3.

Последний член в правой части равенства (1) относится к поверхностной энергии, поскольку в силу теоремы Гаусса-Остроград-ского он может быть записан в виде

fd (b s s )dQ = b f(s s )(S n )dS,

J m \ m qr rq ) J \ qr rq J \ m m J ’

Q S

где пт - компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности £, ограничивающей объем О.

Согласно [8] поверхностная энергия - это избыток энергии поверхностного слоя на границе раздела фаз, обусловленная различием межмолекулярного взаимодействия в обеих фазах. Если поверхность является свободной, то роль второй фазы играет вакуум [9].

Математические модели структурированных сред с поверхностной энергией могут оказаться полезными при изучении акустических свойств материалов и элементов конструкций, у которых при эксплуатации образовались новые участки поверхности (например, при развитии трещин), или произошло сокращение поверхности при слипании (адгезии) различных тел. Указанные процессы приводят к изменению взаимного расположения атомов, влекущего за собой изменение поверхностной энергии и напряженно-деформированного состояния [9, 10].

Предполагается, что градиентный коэффициент с зависит от размеров структурных элементов:

Для исследования влияния геометрической нелинейности на распространение волн используется точное выражение для компонент тензора деформации

Возникающие в среде симметричные напряжения и двойные напряжения определяются соответственно как:

Нелинейное уравнение движения в перемещениях в общем виде получить не удается, поэтому в каждом частном случае его приходится находить отдельно.

Сначала исследуются продольные волновые движения, при которых частицы среды перемещаются в направлении движения самого возмущения. Выбирается направлением движения ось х1. Вектор перемещения исследуемого типа движений будет иметь вид и = (и( (,1 ),0,0).

с =

(И /4)2.

(2)

(г, д, т = 1,з). (3)

т = Х5 в + 2ив + 2иЬ (5е ),

дг дг тт ^ дг г* т\ т дг)^

и = 2и Ь 8 + С8 +и в + С8 ))

г^тдг т дг дг,т \ т дп дп,т / г,п

(4)

Нелинейные продольные движения описываются следующим уравнением:

(Х + 2д)^1Л1 -2^cUllul +1 І),,, -pU, -_ Х + 2ц ¡тт

2

(U,2,), + 2цо (U,2,) + 2ц*, (и;, ),,.

(5)

Слагаемые с кубической нелинейностью в (5) отброшены, поскольку вносят меньший вклад в нелинейность, чем слагаемые с квадратичной нелинейностью. Предполагается также, что поверхностная энергия отсутствует, т.е. параметр, отвечающий за поверхностную энергию, равен нулю. Далее, вводя безразмерные переменные [6], можно показать, что в уравнении (5) первое нелинейное слагаемое более значимо, чем остальные нелинейные слагаемые. В результате достаточно исследовать сокращенное уравнение

2

c?Ui,ii -1 h2c^Uїї,,, +1 h2UUi -U, =-^(¿і),,.

8

3

2

(6)

На распространение продольных волн, описываемых уравнением (6), будут влиять два фактора: дисперсия и нелинейность. При их взаимодействии могут формироваться стационарные волны, которые распространяются с постоянной скоростью и не меняют своего профиля. Решения будем искать в классе стационарных волн деформации

ди

и(£) =-1, где £ = х - Уі - бегущая координата, V- скорость ста-

ционарной волны, V = const. Продольная деформация в силу (6) будет удовлетворять следующему уравнению:

(cl -V2К+ 3h2(v2 -3c2 j

2 I 2

■ |и^ + Сі ии^ - 0 .

(7)

Интегрируя последнее уравнение, можно получить первый ин-

теграл

, 2 а 2 в 3

-и2 -E--------и2 --и3,

(8)

где

а -

3(С2 - V2)

h2(V2 -3cl) 8

в-

3c2

2h2(V2 - 3 cx2) 8

2

2

3

п

Полученное уравнение описывает колебания ангармонического осциллятора с квадратичной нелинейностью. Анализ данного дифференциального уравнения приведен в [11]. Здесь Е - константа интегрирования, имеющая смысл начальной энергии системы. Уравнение (8) имеет ограниченные решения при условии, что все три корня и1,и2,и3 кубического полинома Е-/(и) являются вещественными. Предположим, что и3 < и2 < ц . Исследование (8) зависит от знаков коэффициентов а и в, поэтому возможны три случая.

1. Пусть а > 0, в > 0. Скорость стационарной волны в данном

( ГГ > ~з

3

С , С1

. Если 0 < Е < -а— 6в 2

случае будет находиться в интервале

V ' ~ J

то стационарные волны являются периодическими кноидальными волнами. В данном случае решение уравнения (8) будет выглядеть следующим образом:

и(^) _ 3?1+5 2-^1 - 5 2 + ^)- А8п2(кт ^ ^, (9)

2

А _ 3а 5 к2 _ а „2 _и1 -и2

А — I----------, к о — ,----------, 5 — ,

2в л/1 - 52 + 54 л/1 - 52 + 54 и1 -и3

где А - амплитуда колебаний, 5 - модуль эллиптической функции, определяющий степень искажения формы колебаний и(^) по сравнению с синусоидальной, к0 - аналог волнового числа. Длина волны

. 4К(5) , ) „

Л _-----—, где К(5) означает здесь и далее полный эллиптический

к о

интеграл первого рода.

Зависимости амплитуды и «волнового числа» периодической волны от ее скорости и коэффициента нелинейных искажений приведены на рис. 1, а, б соответственно. Как видно из графиков, при фиксированном значении 5 амплитуда стационарной волны и «волновое число» уменьшаются с увеличением ее скорости. При стремлении скорости стационарной волны к с1 сама волна пропадает.

¡3

Если V — ст, то «волновое число» стремится к бесконечности. При фиксированной скорости стационарной волны ее амплитуда

возрастает при увеличении коэффициента нелинейных искажений, причем чем меньше скорость, тем нарастание происходит быстрее. В зависимости от ^ изменение «волнового числа» незначительно.

А

|ст

а

сI б

Рис. 1. Зависимости амплитуды (а) и «волнового числа» (б) периодической волны от ее скорости и коэффициента нелинейных искажений

2. При а < 0, в > 0 скорость стационарной волны удовлетворяет следующему неравенству: V > с1. В данном случае возможно лишь солитонное решение, соответствующее нулевому значению начальной энергии системы. Оно существует в интервале и3 = и2 <и<и1 и выглядит следующим образом:

Л*

^ = и 2,Р/АЧ

еЬ (Е,/ А)

(10)

А*

Л = и1 - и2 = -

3а

2в

А=

6

2

Р(«1 -и 2) л/-а

где Л* - амплитуда локализованного движения, А - его ширина.

Из соотношений (10) получаем, что амплитуда солитона однозначно определяется его скоростью при фиксированных X, д, р. В свою очередь скорость уединенной волны зависит от А и к .

На рис. 2, а отображена зависимость амплитуды от ширины солитона при фиксированном размере зерна:

Л =

3к2(8сг2 - 3ст2) с2 (к2 - 6А2

Г

Ниже записана зависимость ширины локализованного движения от его скорости и размера зерна, которая приведена на рис. 2, б.

,2 4к2(У2 -3/8ст2)

А2 =

а

б

Рис. 2. Зависимости: амплитуды от ширины солитона при фиксированном размере зерна (а), ширины локализованного движения от его скорости

и размера зерна (б)

Поведение солитона является классическим, поскольку волна большей амплитуды имеет меньшую ширину и распространяется

с большей скоростью. Минимальное значение А = достигается

при неограниченном росте скорости солитона.

Из последнего соотношения можно отметить линейную зависимость ширины солитона от к. При стремлении скорости уединенной волны к скорости продольной волны без учета микроструктуры амплитуда солитона стремится к нулю, а его ширина - к бесконечности.

3. Пусть а < 0, в < 0 . В этом случае стационарная волна рас-

13

пространяется со скоростью V <^ — ст. Как и в предыдущем случае,

рассматривается только солитон, который появляется при максимальном значении начальной энергии системы, Е = Етах = 0 . Два наибольших корня полинома Е - /(и) совпадают, поэтому и нахо-

дится в интервале (^ц). В данном случае решение уравнения (8) выглядит следующим образом:

где

А

и® = — Ж)

л *

А = —=

3а

2Р:

А =

ри з

¡ — а

(11)

ЗТ

1-

3 с:

X.

‘ХК

/г сх л/2 с,

8Ст

00

б

Рис. 3. Зависимости: амплитуды от ширины солитона при фиксированном размере зерна (а); ширины локализованного движения от его скорости и размера зерна для аномального поведения солитона (б)

Качественный вид (11) представлен на рис. 3.

Аналогично предыдущему случаю зависимость амплитуды уединенной волны от ее ширины определяется через скорость солитона,

* = 3(С2 — Г2)

А =~с2~

2 4И 2 (3 / 8с 2 — V 2)

А2 =

3(2 — V2)

На рис. 3, а, б представлены те же зависимости, что и для предыдущего случая. В данном случае поведение солитона является аномальным, поскольку при уменьшении амплитуды происходит

3

уменьшение ширины локализованного движения. При V ~ст

ширина солитона уменьшается до нуля.

6

2

а

При продольной деформации со стационарной скоростью, ко-

торая находится в интервале

может распространяться

V * У

аномальный солитон. Кноидальные волны двигаются со стационар-

ной скоростью V е

:cx, ci

. Для классического солитона выпол-

У

няется V > cl.

Построение фазовых портретов возможно для уравнения (5) с учетом всех нелинейных слагаемых. Учет слагаемых с коэффициентом b вносит неконсервативность в систему. Особые точки типа «центр» преобразуются в «фокусы», причем чем больше коэффициент, отвечающий за поверхностную энергию, тем быстрее фазовые траектории попадают в особую точку. Сепаратрисы «седел» также

видоизменяются, что приводит к разрушению солитонов. Можно

сказать, что если коэффициент b равен нулю и не влияет на среду, то в ней возможны стационарные волны деформации. В противном случае их нет.

Далее рассмотрим влияние геометрической нелинейности на поперечные движения. Вектор перемещения для вертикально поляризованных движений имеет вид U = (, U2 (xj, t),0). Было получено следующее уравнение, описывающее нелинейные плоские поперечные движения:

M*U 2,11 — №U 2,1111 + 1 U 2,11 — pU 2 =

= 3 МС(23, L + ЙЬ, (231 ). (12)

Дисперсия и нелинейность уравнения (12) (как и в предыдущем случае) могут привести к образованию стационарных волн. Дальнейшее исследование направлено на поиск волновых движений, распространяющихся с постоянной скоростью и не меняющих своего профиля. Допустим, что искомые волны существуют. Тогда вертикально поляризованная компонента вектора перемещения есть функция, зависящая только от бегущей координаты £ = x - Vt, где

V = const - скорость стационарной волны U2 (x1, t) = U2 (). Подставляя последнее выражение в (12), интегрируя по переменной £ и обо-

(Л ди2

значая у(с,) =-, получим уравнение, описывающее стационарные

д£

волны деформации:

(IV2 -цс - 2цсу2)у^^+(|д-рК2 )у - 4|дсуу2 - 3цЪ^2= 0. (13)

Полученное уравнение в общем виде решить не удается. Однако возможно его разрешение при Ъ1 = 0, т.е. когда поверхностная

энергия не учитывается. В этом случае (13) разделим на IV2 -цс и запишем в виде

(1 -£у2 )у^+ау - 2Руу2 = 0, (14)

где

13 = 4^, а = -!ЦР^.

IV2 -цс IV2 -цс

Выражая градиентный коэффициент с через к и деля на р числитель и знаменатель у коэффициентов а, в, получим

в = , Зс'------а = 3(с2 -1'2). . (15)

8(К 2 -16 с2 ] * 2 -16 с? ]

Разделив (14) на коэффициент 1 -0у2 перед старшей производной, уравнение, описывающее стационарные волны деформации, запишем в виде

а 2в 2 Л

+------- V-------- = 0. (16)

1 о^1Г)2 ъ у '

1 - ру 1 -ру

Предполагаем, что нелинейность оказывает слабое влияние на скорость стационарной волны, поэтому считаем V и ст одного порядка. Следовательно, коэффициент р имеет порядок единицы, а а по-

11 рядок —. Деформация V - величина малая, поэтому ——^ можно

разложить в ряд Тейлора:

—Ц- = 1 + ру2 + о(у2 ) ру2 < 1. (17)

1 -ру 2

Подставляя (17) в (16) и опуская нелинейное слагаемое пятого порядка, получим

у^+ау + ару3 - 2руу^ = 0. (18)

Обращая внимание на порядок коэффициентов а и р, заключаем, что последнее нелинейное слагаемое в (18) имеет наименьшее

значение, поэтому его также опускаем. В результате получаем, что

сдвиговые стационарные волны деформации описываются уравнением Дуффинга

у^ъ+ау + ару3 = 0, (19)

исследование которого приведено, например, в [11]. Уравнение (19) имеет первый интеграл

2

а 2 ар

= Е -- у2 -^ у4. (20)

2 4

Константа интегрирования Е имеет смысл начальной энергии,

а функция /(у) = а у2 +ар у 4 - потенциальной энергии. Последнее

уравнение имеет ограниченные решения в области между любыми действительными корнями полинома Е -/(у), где Е -/(у) > 0. Вид решения зависит от знаков коэффициентов а и р и начальной энергии Е.

1. Пусть а > 0, р > 0. Значения коэффициентов а и р будут положительными, если скорость стационарной волны удовлетворяет

л/э

неравенству ~^сх < V < ст. Ограниченные решения уравнения (20)

существуют при 0 < Е < да . Необходимо также учитывать ограничения на у(Ъ) (17). Решение, описывающее нелинейные периодические колебания, имеет вид

у(ъ)= АСП(к0^ 5X (21)

где

А = 'Га + ^р+ 4арЕ • к0 =(2 + 4аРЕ)

-а + ^/а2 + 4арЕ 2д/а2 + 4арЕ

Здесь А - амплитуда колебаний, к0 - аналог волнового числа, ^ - модуль эллиптической функции, имеющий смысл коэффициента нелинейных искажений формы колебаний у(£), который находится

2 4К ( 5 )

в интервале 0 < 5 < 1/ 2 . Длина волны Л =

к0

а б

Рис. 4. Качественные зависимости амплитуды (а) и «волнового числа» (б) нелинейных периодических движений от их скорости и коэффициента нелинейных искажений

Качественные зависимости амплитуды и «волнового числа» нелинейных периодических движений от их скорости и коэффициента нелинейных искажений представлены на рис. 4, а, б соответственно. При постоянном значении 5 амплитуда стационарных волн увеличивается с ростом скорости, а аналог волнового числа уменьшается. При фиксированной скорости стационарных волн как амплитуда, так и «волновое число» увеличиваются с ростом коэффициента нелинейных искажений, причем стремятся к бесконечности при 52 ^ 0,5 .

2. Пусть а < 0, р< 0. В этом случае скорость стационарной волны должна быть меньше ст. Но предполагаемые ограниченные решения отвергает ограничение М < 1 . Поэтому в исследуемом диапазоне скоростей стационарных волн нет.

3. При а < 0, в > 0 уравнение Дуффинга не имеет ограниченных периодических движений. Поэтому в случае V > ст также стационарных волн нет.

Итак, при нулевом значении параметра bd стационарные ква-зипериодические движения могут распространяться со скоростью

^-3 ст < V < ст. В этом случае построение фазовых портретов возможно и тогда, когда параметр, отвечающий за поверхностную энергию, не равен нулю. Наличие bd приводит к превращению особой точки типа

«центр» в особую точку типа «фокус», что приводит к разрушению стационарной волны. В градиентно-упругой среде с поверхностной энергией в случае bd Ф 0 стационарных сдвиговых волн нет.

Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-02-17158, № 06-08-00520).

Библиографический список

1. Vardoulakis I.G. SH Surfase Waves In a Homogeneous Gradient-Elastic Half-Space with Surfase Energy / I.G. Vardoulakis, H.G. Geor-giadis // J. Elasticity. - 1997. - Vol. 47. - P. 147-165.

2. Ерофеев В.И. Поверхностные сдвиговые волны в однородном градиентно-упругом полупространстве с поверхностной энергией / В.И. Ерофеев, О.А. Шешенина, X. Георгеадис // Вестник ННГУ. Серия «Механика». - 2002. - Вып. 1 (4). - С. 58-71.

3. Ерофеев В.И. Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией / В.И. Ерофеев, О.А. Шешенина // Математическое моделирование систем и процессов: сборник научных трудов / Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2002. - № 10. - С. 32-41.

4. Ерофеев В.И. Сдвиговые горизонтальные волны в слое градиентно-упругого материала с поверхностной энергией / В.И. Ерофеев, О.А. Шешенина // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. - Вып. 65. - С. 29-35.

5. Ерофеев В. И. Отражение сдвиговых горизонтальных движений от свободной границы однородного градиентно-упругого полупространства с поверхностной энергией / В.И. Ерофеев, О.А. Шеше-

нина // Механика композиционных материалов и конструкций. -2004. - Т. 10. - № 2. - С. 173-187.

6. Ерофеев В.И. Дисперсионные характеристики волн, распространяющихся в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией / В.И. Ерофеев, О.А. Шешенина // Прикладная математика и механика. - 2005. - Т. 69. - № 1. - С. 61-74.

7. Миндлин Р.Д. Микроструктура в линейной теории упругости / Р.Д. Миндлин // Механика: сб. пер. - 1964. - № 4 (86). - С. 129-160.

8. Физический энциклопедический словарь. Т. 4. / гл. ред.: Б. А. Введенский, Б.М. Вил. - М.: Советская энциклопедия, 1965. -592 с.

9. Шоркин В.С. Вариант описания адгезии с помощью теории упругости материалов второго порядка / В. С. Шоркин // Прикладная механика и технологии машиностроения: сб. научн. тр. - Н. Новгород: Интелсервис, 2005. - Вып. 1 (8). - С. 31-37.

10. Основы теории межфазного слоя / И.Ф. Образцов [и др.] // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2004. -Т. 10. - № 4. - С. 596-612.

11. Ерофеев В.И. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность / В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, Н.П. Семерикова. - М.: Наука, Физматлит, 2002. - 208 с.

Получено 30.06.07