Нелинейные колебания многослойных пластин с сосредоточенными массами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.073:539.3

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ

Ю.В. Кулешов

Кафедра "Теоретическая механика", ТГТУ Представлена членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым

Ключевые слова и фразы: амплитудно-частотные уравнения; метод Бубнова-Г алеркина; многослойная прямоугольная пластина; свободные и вынужденные нелинейные колебания.

Аннотация: Рассмотрены свободные и вынужденные нелинейные колебания многослойной прямоугольной пластины, составленной из трансверсально изотропных слоев. На пластине жестко закреплена сосредоточенная масса, другая сосредоточенная масса соединена с первой призматическим стержнем, ось которого нормальна к поверхности пластины. Методом Бубнова-Г алеркина получены амплитудно-частотные уравнения колебаний. Выполнены различные предельные переходы в амплитудно-частотных уравнениях по параметрам присоединяемой к пластине системы. Указаны случаи, когда присоединенная система является инерционным гасителем колебаний пластины.

В технике и строительстве часто на несущие тонкостенные конструкции в форме пластин устанавливают накладки, крепят приборы, агрегаты, аппаратуру [1]. Если размеры площади контакта малы по сравнению с размерами всей поверхности пластины, то крепление можно считать точечным, а присоединенные массы сосредоточенными. Присоединенные массы могут закрепляться на пластине жестко или через посредство некоторых элементов, например амортизаторов, обладающих распределенными инерционными и упругими свойствами. Эти элементы могут моделироваться, в частности, прямолинейными стержнями.

Здесь исследуются свободные и вынужденные колебания прямоугольной, многослойной, трансверсально изотропной пластины с сосредоточенными массами ті и Мі, соединенными призматическим стержнем, ось которого перпендикулярна поверхности пластины. Масса Мі жестко закреплена на пластине в точке с координатами х0, Уо .

Нелинейные колебания пластины с сосредоточенными массами и стержнем описываются системой дифференциальных уравнений:

DDF = -1EhL (W,W) ; (1)

(2)

W =

b

c; (3)

s' = U, s = U(4) L (. ) Э2 (-)g2 (-),Э2 (-)g2 (") 2 Э2 (-)g2 (") ■

’ Эx2 dy2 Эу2 Эx2 Эxdy dxdy ’

д = _Э2_ + Э2

= dx2 + Эу2 '

Здесь 0 и b безразмерные параметры многослойной пластины [3]; s - продольное напряжение в стержне, отнесенное к модулю упругости материала стержня; U - скорость сечения стержня вдоль его оси, отнесенная к скорости звука в материале стержня. Точкой обозначено дифференцирование по времени, отнесенному ко времени пробега t акустической волны вдоль стержня. Штрих означает производную по координате сечения стержня, отнесенной к длине стержня 1с [2]. Другие обозначения соответствуют [3, 4]. Уравнения (1) - (3) записаны на основе уточненной теории многослойных пластин [3]. Инерцию массы mi учитываем граничным условием для стержня

s(0, t) = rFh- U(01), (5)

1 c Fc pc

где Fc и pc - площадь поперечного сечения стержня и плотность его материала.

Зададим интенсивность распределения нормальной нагрузки на пластину в следующем виде

. mpx . npy .„о/ \о/ \

q = q0 sin-sin——coswt + Po(x-x0)o(y-y0), (6)

a b

где q0 = const; 0 - функция Дирака; P - сила воздействия стержня и массы Mi на пластину

, , d2W(x0, y0, t)

P = s(i, t) Ec Fc - Mi-V °2 . (7)

Эt2

Выберем решение системы (i) - (4) в форме:

... .... mpx . npy

W = hz sin-----sin——; (8)

a b

Z = ai cos wt + bi sin wt; (9)

... . mpx . npy

% = %0(t)sin---sin (10)

ab

s = s01cos wt + s02sin wt; (11)

U = U 01cos wt + U 02sin wt. (12)

Подставляя (8) и (9) в (1) и интегрируя его методом, изложенным в [4], [5], получаем силовую функцию:

3s-2

F = EhZ

32

an Ÿ 2mpx ( bm V 2npy

1 cos---------+1 — I cos

bm J a I an J b

P hy2 Pyhx2

+ Pxh^ + ^------. (13)

22

Для точки контакта стержня, массы M1 и пластины запишем условие совместности скоростей

U(1, ,) = А-Z5ш ПЗ>. (14)

1С a Ь

Интегрируя систему уравнений (4) с учетом условий (5) и (14), определяем закон изменения напряжений в стержне и по выражению (7) находим силу Р. Затем можно выполнить интегрирование уравнения (2) с учетом решения (13) методом Бубнова-Галеркина аналогично [4]. В результате получаем следующее дифференциальное уравнение относительно Z

^+2e ^ + w2 тп (1 + kZ2 к + A(w)Z = qocos wt. (15)

Ж2 ^ >

Здесь Wo „¡п - собственные частоты колебаний многослойной пластины при малых прогибах; k - коэффициент нелинейности пластины [4]; A(w) - функция частоты возбуждения, характеризующая влияние на колебания пластины присоединенных масс ml, Ml и стержня и имеющая следующий вид

A(w) = -ю2а(ю)8ш2 mpXosin2 ПРУ0 , (16)

a Ь

где

m2 (twim cos (tw) + sin (tw) )

a(w) = —^--------1 \ ;-----M^T + m3 (17)

tw (m2 cos(tw)-m1twsin(tw))

содержит безразмерные параметры масс:

.. = 4ml . .. = 4Гс^cFc . .. = 4Mi

.1 =-----ГГ. .2 =-----------—— ’ .3 =

pabh pabh pabh

Интегрируя уравнение (15) методом Ритца [6], получаем амплитудно-частотное и амплитудно-фазочастотное уравнения:

3 I2 q2

+ Л(а) + -ш^п^2-ю2 I + 4е2ю2 = ^2г; (18)

4 ) C12

2ею

1ИУ =------------------------------------------------------~-. (19)

2 3 2 2 2

Ю0, ^~п

+A(w)+^ wo,mnkCl -Ю

al + Ь1 - максимальная безразмерная амплитуда прогиба пластины

и tg у = Ь1 / a1.

Амплитудо-частотное уравнение вынужденных нелинейных недемпфированных колебаний (при е = 0) пластины с присоединенными массами следует из (18)

^ ^W2,mn + Ж®) + 4 w0,mnkC1 - ю2 | - % = 0 (20)

и является кубическим уравнением.

Соответствующее амплитудно-частотное уравнение свободных колебаний системы имеет вид

О 3 2 2 2

Юо^п + A(w) + 4 w0,mnkCl-w= 0. (21)

При малых прогибах пластины из (00) и (01) получаем амплитуду колебаний и уравнение частот:

%

Ю0,mn + А(Ю) -Ю2

ci = 2 2; (22)

W0mn + A(w) -ю2 = 0. (23)

Формула (17) и, соответственно, уравнения (18) - (23) допускают различные предельные переходы.

1. Масса Mi отсутствует (Mi = 0)

m2 (хюш cos (хю) + sin (хю))

“(“) = i---V V------------.

хю (m2 cos(xw)-m1xwsin(хю))

На парциальных частотах системы, определяемых уравнением [7]

tg (хю) =

m2

m-іхю

амплитуда колебаний Сі, определяемая уравнением (22), равна нулю, то есть присоединенная масса ті со стержнем является многочастотным инерционным гасителем колебаний пластины.

2. Масса ті отсутствует (ті = 0 )

tg (хю) а(ю) = —-—- + •

хю

Динамическое гашение колебаний пластины происходит на собственных частотах жестко закрепленного одним концом стержня [7]

2i - і

хю,- =-p (i = і, 2, 3, „ .)•

i 2

3. Пластина установлена на опору, состоящую из массы Мі и закрепленного на неподвижном основании стержня (ті = ¥)

m2 ctg (хю) a(w) = m3 - 2 —-■

хю

Эффект динамического гашения колебаний пластины проявляется на собственных частотах стержня, закрепленного по концам

хю, = ip (i = і, 2,3,...).

4. Массы ті и Мі отсутствуют (ті = Мі = 0)

. . tg (хю) а(ю) = —-—-. хю

Динамическое гашение происходит на собственных частотах консольного стержня, приведенных в случае 2.

5. К пластине присоединен один стержень, играющий роль опоры (ті = ¥, Мі = 0)

^2 ctg (хю)

а(ю) = —

хю

Динамическое гашение колебаний пластины происходит на частотах, приведенных в случае 3.

6. Масса ті присоединена к пластине безынерционным упругим элементом жесткости Со = ЕС ЕС/ 1С (Ре = 0)

и О 2

а(—) = -и—02 + из, — 2 = Со/ті.

—0 - —

Анализ уравнения (00) показывает, что при — = —о амплитудно-частотная характеристика пластины без трения с присоединенными массами двузначна (Сі = 0, Сі =¥). Таким образом линейный осциллятор может наделять нелинейную пластину свойством линейных систем (вертикальная асимптота амплитудночастотной характеристики) и выполнять роль одночастотного гасителя нелинейных колебаний пластины при выбеге и при разгоне (в случае срыва).

7. Пластина с присоединенным осциллятором (Мі = 0, рС = 0)

/ ч иі—0

а(—)=-?2.

—0 - —

Гашение колебаний пластины также происходит на частоте — = —0 .

8. К пластине присоединены безынерционная упругая опора и масса Мі

(Ре = 0, ті =¥)

4С0

а(ю) = т3 -

pabhw2

9. К пластине присоединена безынерционная упругая опора (рС = 0, ті = ¥, Мі = 0 )

а(—) =----4С°у.

раЪк—

10. Стержень абсолютно твердый (ЕС = ¥ )

а(—) = иі +ио +из.

11. Пластина без присоединенных масс (ті = Мі = рСЕС£С = 0 ). В этом случае а(—) = 0 . Имеем результаты, полученные в статье [4].

Предельным переходом 5® 0, ^з ® і в —0 тп и к, аналогично [4], получаем рассмотренные выше случаи нелинейных колебаний для однородных пластин с присоединенными массами.

Предметом дальнейших исследований рассматриваемой системы может быть учет внутреннего частотно-независимого рассеяния энергии в материале стержня с привлечением модели, предложенной в [0]. Тогда второе из уравнений системы (4) для стержня должно быть заменено на нелинейное уравнение

0 = (і-Рі|0-0т Г1 )и', (04)

в котором аі и Рі - экспериментально определяемые константы материалов и конструкций, а от - напряжение в момент смены направления нагрузки. При этом возможно применение различных методов линеаризации уравнения (04) в сочетании с изложенным в статье методом.

1. Андреев, Л.В. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами / Л.В. Андреев, А. Л. Дышко, И. Д. Павленко. - М. : Машиностроение, 1988. -195 с.

0. Малышев, А.П. Дифференциальная модель частотно-независимого рассеяния энергии при колебаниях / А.П. Малышев // ПММ. - 0000. - Т. 66, вып. 1. - С. 107-133.

3. Григолюк, Э.И. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов. - М. : Машиностроение, 1988. -288 с.

4. Куликов, Г.М. Нелинейные колебания многослойных пластин / Г.М. Куликов, Ю.В. Кулешов // Вестник Тамб. гос. ун-та. - 0004. - Т. 9, вып. 0. - С. 064067.

5. Вольмир, А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Воль-мир. - М. : Наука, 1970. - 430 с.

6. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко, Д.Х. Янг, У. Уивер. - М. : Машиностроение, 1985. - 470 с.

7. Бидерман, В.Л. Прикладная теория механических колебаний / В.Л. Би-дерман. - М.: Высшая школа, 1970. - 416 с.

Non-Linear Oscillations of Multi-Layer Plates with Localized Masses

Yu.V. Kuleshov

Department “Theoretical Mechanics ”, TSTU

Key words and phrases: amplitude frequency equation; Bubnov-Galerkin’s method; free and forced non-linear oscillations; localized masses; multi-layer rectangular plate.

Abstract: Free and forced non-linear oscillations of multi-layer rectangular plate composed of transversally isotropic layers are considered. The localized mass is fixed rigidly on the plate; the other localized mass is connected to the first one by prism rod, the axis of which is normal to the plate surface. Using Bubnov-Galerkin’s method amplitude frequency equations of oscillations are produced. Different passages to the limit in amplitude frequency equations according to the parameters of the system connected to the plate are made. There some cases when the connected system is inertial damper of plate oscillations.

Nichtlineare Schwingungen der vielschichtigen Platten mit den konzentrierten Massen

Zusammenfassung: Es sind die freien und erzwungenen nichtlinearen Schwingungen der vielschichtigen rechteckigen Platte, die aus der transversalisotropischen Schichten gebildet ist, untersucht. Auf der Platte ist die konzentrierte Masse hart fixiert, andere konzentrierte Masse ist mit erster Prismastange verbunden, deren Achse zur Oberfläche der Platte normal ist. Mit der Methode von Bubnow-Galerkin sind die Amplitudfrequenzgleichungen der Schwingungen erhalten. Es sind verschiedene Höchstübergänge in den Amplitudfrequenzgleichungen nach den Parametern des zur Platte verbundenen Systems erfüllt. Es sind die Fälle erwähnt, wann das verbundene System ein Trägheitslöscher der Schwingungen der Platte ist.

Oscillations non linéaires des plaques avec des masses concentrées

Résumé: Sont examinées les oscillations libres et forcées non linéaires d’une plaique rectangulaire multicouche composée des couches transversales isotopes. Sur la plaque est effectuée la fixation rigide de la masse concentrée; une autre masse concentrée est liée à la première par une tige prismatique, dont l’axe est normale à la surface de la plaque. Par la méthode de Boubnov - Galerkin sont obtenues les équations d’amplitude et de fréquence des oscillations. Sont effectués de différents passages de limite dans les équations d’amplitude et de fréquence d’après les paramètres du système liés à la plaque. Sont indiqués les cas lorsque le système lié est amortisseur inertial de vivrations de la plaque.