CC BY
9
УДК : 533.17
М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН
Нелинейное описание движения фронта реакции
Полная система гидродинамических уравнений, описывающих развитие гидродинамической неустойчивости фронта реакции, сведена к замкнутой системе поверхностных уравнений с использованием переменных Лагранжа, специальных интегралов движения и их аналогов. Показано, что завихренность играет ключевую роль в характере движения гидродинамических разрывов, придавая их уравнениям дифференциальный вид. В изоэнтропи-ческом приближении демонстрируется, как учесть вызванные этим движением звуковые колебания плотности жидкости.
Ключевые слова: фронт реакции, дефлаграция, гидродинамический разрыв, гидродинамическая неустойчивость, интегро-дифференциальные уравнения, гидродинамическое течение.
I. Введение
Большой научный интерес представляет поиск уравнения, описывающего химическое равновесие и движение фронта химической реакции [1]. Особое внимание уделяется присущей фронту реакции (например, пламени) гидродинамической неустойчивости Дарье-Ландау (ДЛ-неустойчиво-сти), вызванной тепловым расширением газа при экзотермическом процессе [1-8]. Действительно, газообразное топливо быстро натекает и сгорает в тонком слое газа, превращаясь вследствие сильного энерговыделения в газ с существенно большей температурой (и меньшей плотностью). Для типичных углеводородных пламен скачок плотности на фронте весьма велик: в = ри/рь = 5 —10 [1]. В результате дополнительный объём газа, порожденный тепловым расширением, толкает топливо по нормали к каждой локальной точке поверхности фронта реакции, способствуя его распространению. Понимание динамики распространения реакций позволило бы глубже понять механизм их развития и обнаружить новые эффекты и явления. Уравнение фронта экзотермической реакции (горения) получено лишь в приближении слабо искривленного фронта и / или малого теплового расширения в процессе реакции [8-11]. Прямое численное моделирование подобных процессов сильно затруднено вследствие разнообразия характерных химических и гидродинамических размеров, (10-2-10-3) мм и (0,1 -1) м соответственно [6, 12].
В данной работе, вытекающей из нашей предыдущей работы [13], полная система гидродинамических уравнений, описывающих развитие гидродинамической неустойчивости фронта реакции в двумерном / трёхмерном потоке, сведена к замкнутой системе поверхностных уравнений. Данная процедура проведена с использованием переменных Лагранжа, специальных интегралов движения и их аналогов. При этом показано, что завихренность играет ключевую роль в динами-
ке гидродинамических разрывов, придавая уравнениям дифференциальный вид. В изоэнтропиче-ском приближении демонстрируется, как учесть вызванные этим движением колебания плотности жидкости, позволяющие учесть влияние звука на развитие (или затухание) ДЛ-неустойчивости. Полученная система уравнений согласуется с ранее известными аналитическими решениями, полученными в частных случаях.
II. Неустойчивость Дарье—Ландау в 3Ю-потоке
II.1. Бесконечно тонкий фронт
Рассмотрим распространение бесконечно тонкого, слабо искривленного фронта реакции в трёхмерном (3D) потенциальном внешнем потоке (рис. 1). При этом u = Vf и = 0. Обозначим все величины впереди и позади фронта индексами «—» и «+» соответственно. Предположим, что газодинамика горения характеризуется пространственным масштабом R (это может быть радиус трубы, ширина двумерного канала, радиус сферической камеры сгорания и т.д.). Для удобства, аналогично работе [11], введём безразмерные величины: скорость u = v/Uf, координаты r = x/R и давление P = (П — nf )/pf Uf, где pf и nf — соответственно плотность и давление в топливе бесконечно далеко от фронта, а Uf — скорость пламени с плоским фронтом. Время t обезразмерим величиной R/Uf. Течение газа предполагается несжимаемым и невязким. Тогда гидродинамические уравнения принимают вид
du „ / „ u2
— - « х w + V i ÖP + —
0,
du
~m
= Vx [u x u], div u = 0,
(1)
(2) (3)
где © = 1 в топливе и © = в = р_/р+ в сгоревшем газе. Граничные условия на поверхности фронта,
следующие из законов сохранения, будут выглядеть следующим образом [11]:
и+ — и_ = (в — 1)п,
Р+ — р_ = 1 — в, V = 1 - ип-,
(4)
(5)
(6)
где в — скачок плотности, п — внутренняя нормаль и V — проекция скорости фронта на отрицательное направление вектора п. Скорости ип_ = дф/дп = 1 — V и ит = дф/дт связаны между собой формулой Грина [14]:
2пф(т)
=
_}■_д(р(г8)
_|гд-г| дп3
+ ф(Гд )п8
К — т\3 _
СБ Г).
(7)
Рис. 1. Распространение фронта реакции в ЗЮ-случае
Тогда из уравнений гидродинамики (1)--(3) и условий сшивки (4)-(6) следует, что для любой точки на фронте
Сф ~~Л
+ ип-+ - и;г_) + Р = 0,
2Ч т в1
[п х УР ],
(8) (9)
где ш — завихренность сразу за фронтом реакции, и для простоты в данном разделе полная производная определена по формуле [15-17]:
с1 _ д д
Л дЬ дп
Пусть для определённости выполняются общие уравнения гидродинамики и химической кинетики. Пламя будет тонкой областью, где физические величины претерпевают значительные изменения. Перейдём взаимно однозначно к лагранжевым переменным (то,Ь) (то есть к разметке):
ст
~л
= и(т,Ь), т = т(то ,Ь), то = то(т,Ь), то\4=о = т.
(10)
Тогда согласно формуле (6) на границе области сгоревшего газа «+»:
Лг0 _ дгр удг0
Л дЬ дп
дгр дт
дгр дт
в
—(и
дгр дп
(11)
Рассмотрим также общее уравнение неразрывности:
др
——Ь и • Vр + р • с11у и = 0. дЬ ' '
(12)
Переходя в нём к переменным Лагранжа, находим [18]:
Ср Ль
то есть
(д(их,у,г) д(х,иу,г) д(х,у,иг)
V д(х,у,г) Ср
д(х,у,г) д(х,у,г)
Ль + А
&А
Ль
дт
Р-А = р-—Грр(гр).
= 0,
(13)
(14)
(15)
Якобиан преобразования переменных (10) Д ~ в внутри фронта ограничен. Следовательно, в пределе 5 ^ 0, где 5 — толщина фронта, область пламени становится бесконечно тонкой и превращается в поверхность разрыва как в пространстве (т,Ь), так и пространстве переменных Лагранжа (то,Ь).
Завихренность (9), образующаяся за фронтом, зависит от кривизны фронта пламени и происходящих в нём внутренних процессов [2, 19]. Поэтому найти ее, не решая общих уравнений теории горения, крайне затруднительно. Однако можно в некотором смысле обойти эту проблему, направив время в обратную сторону. Мы знаем, что в 3D-случае уравнения Эйлера (1)-(3) допускают интегралы движения ш • У то = шо(то), см. приложение А. Тогда в системе координат (п,т\,т2), на границе области сгоревшего газа «+» должно выполняться соотношение
дто дто
--1- = ио(Гр),
дт\ дт2
(16)
так как из формулы (9) следует, что на фронте шп+ = 0, см. [13]. Исключая дхо/дп, дуо/дп и дхо/дп из уравнений (11) и (15), получаем
'/.г, Лу о (¡г о
<и М М
дхп оуо дгр
>)Т\ дт! дт\
дхр оу 0 дгр
дт2 дт2 дт2
+ в = 0.
(17)
Выразив из уравнения (16) то через ш\, ш2, которые в свою очередь зависят от давления на фронте согласно формуле (9), и подставив результат в (17), чтобы найти Р, получим в итоге замкнутую систему уравнений на поверхности фронта для определения потенциала ф и скорости пламени V (уравнения (8), (9), (16) и (17)).
и
т
и
т
т3 — т
ш = —
Физический смысл этой системы состоит в следующем. Пусть реакция (пламя) распространяется из некоторой точки зажигания. В некий момент времени «фотографируется» распределение завихренности за фронтом. Тогда с помощью уравнений (8), (9), (16), (17) можно описать всю эволюцию фронта реакции: от момента зажигания до момента фотографирования. В противном случае неизвестна была бы функция ^о(го) на поверхности фронта, поскольку он, захватывая все новые и новые частицы, удалялся бы от области, где она определена. Если в некоторый момент времени мы имеем ^о(го) = 0 во всей области сгоревшего газа, то из уравнения (16) следует, что ш(г,Ь) = 0 во все предыдущие моменты времени. Тогда скорость пламени V должна была бы определяться одновременно двумя разными условиями: с одной стороны, формулой Франкеля [10]:
V = 1 -
J-1)
2тг
(n ■V)
1
|г£ — т\
dS¡
Í,
(18)
а с другой стороны, системой уравнений (8), (9). Это невыполнимо, и, следовательно, завихренность всегда должна образовываться за фронтом, за исключением тривиального случая в =1, что подтверждается прямыми численными экспериментами [6, 7, 20]. Этот простой пример показывает, что не все решения гидродинамических уравнений спереди и сзади фронта можно согласовать с условиями на границе, то есть не всякую задачу Коши можно здесь поставить.
Вместо перехода к переменным Лагранжа (го,£) (10), можно использовать более общее преобразование (А.5). Если же = 0, то принципиально ничего не изменится. Изменятся только формулы (11), где добавится слагаемое Л • .
11.2. Фронт конечной толщины
Происходящие внутри пламени процессы можно учесть, вводя малые поправки в граничные условия на поверхности фронта [19]:
и+ — и_ = (в — 1)п + ¿А, (19)
Р+ — Р_ = 1 — в + 5Б, (20)
V = в — ип+ + ¿С, (21)
где А, Б, С зависят от в, и_, Р_, кривизны фронта и внутренних параметров газа. В отличие от предыдущего случая здесь шп+ = ¿[V х А]п = 0 и порядка ¿.
Рассмотрим точку М(г,Ь) на поверхности пламени, движущуюся со скоростью —пУ + ит + Лит (рис. 1). Перейдём взаимно однозначно в области сгоревшего газа к переменным начального положения частиц газа и времени (го,£) по формуле
dr ~~dt
= u(r,t) + A(r,t) ■ u(r,t),
(22)
где r = r(ro,t) и ro = r0(r,t), ro|í=o = r, а A(r,t) выбрано следующим образом:
u(r,t) ■ VA(r,t) = 0 в области сгоревшего газа и
A(r,t) ■ ш.
n+
-в-SC
(23)
(24)
на границе сгоревшего газа. Из теории дифференциальных уравнений известно, что система (23), (24) имеет единственное решение. Из уравнения (24) всегда можно выразить Л(г,£) на поверхности фронта реакции. В системе координат (го,£) граница прореагировавшего газа не движется. Действительно, пусть до(го^) =0 — уравнение движения фронта реакции. Тогда скорость фронта равна
Vo+ = —
ffot IVoffol |Vg| IVoffol
gt + ((u + Au) ■Vg)
|Vo go|
(V + un+ + Au,
,Jn+)
0.
(25)
Аналогично уравнению (11), для точки М(г,Ь) на границе прореагировавшего газа имеем
¿го дго т^дго , / , Л ^ дго
~д7
- _ у—
dt dt dn
+ + 0, (26)
где
d д т д д . Jt = dt-v7b + ^ + x^-lTr (27)
— полная производная по времени для движущейся точки M(r,t) [15-17]. В приложении A показано, что и в этих переменных интегралы ш■Vio и Д, где i = x, y, z, не зависят явно от времени, то есть Д = 1, ш ■ Vio = uo¿(ro), где uo(ro) — распределение завихренности в начальный момент времени. Исключая dxo/dn, dyo/dn, dzo/dn из формул
дг0 дт
d(x0,y0,z0)
d(Ti,T2,n)
1,
(28)
дг° , дг° , дг° ( \ (оа\ --hwi---|-W2—= w0(r0), (29)
дт\ дт2
dn
получаем выражение
дг0 дт\
дгр дт2
uo(ro)
(30)
К уравнениям (8), (9) в этом случае добавляются поправки порядка S/R:
dp
~dt
+ (1+SC—SAn)i
-~\(u2T+u2n-)+P-=0, (31)
0 - 1
ш+
[n x VP-] + S^(A,B,C),
(32)
где Шп+ = ¿[V х А]п.
Таким образом, система уравнений (26), (30)-(32) должна определять эволюцию фронта реакции. Ее преимущество состоит в том, что она реально описывает движение поверхности в терминах самой поверхности, а недостаток — что Л ~ 1/¿, то есть сильно зависит от конкретных свойств газовой смеси.
n
Предположим, что перед фронтом и за ним выполняется условие изоэнтропичности течения, а характерная скорость потока много меньше скорости звука. Тогда можно учесть сжимаемость газа, перейдя к новым переменным, при этом заменив уравнение (23) на
Хш ■ Vp + рш ■ VX = 0.
(33)
В этом случае вместо интегралов движения ш ■ Vio и Д следует использовать интегралы ш ■ Vio/p и рД (см. приложение A) и однозначную связь на поверхности фронта между давлением и плотностью P = Ps (р), определяемую уравнением состояния. Если перед фронтом s = const, то эта зависимость сразу следует из уравнения состояния топлива. За искривленным фронтом происходит неравномерное нагревание продуктов горения, но выполняется соотношение s = P(1 — I/O) + const (это следует из второго начала термодинамики и закона Гесса). Если данное выражение для энтропии подставить в уравнение состояния прореагировавшего газа P = P+ (p,s), то мы также получим однозначную связь между давлением и плотностью на границе пламени: P = P+(p), что и позволяет учесть образующиеся звуковые колебания. Выпишем уравнения для этого случая. C учётом изменения плотности формулы (28) и (29) примут вид
dro dro dro
UJn^T- + Wl—- + LV2~—
дт1 дт2
p
dn
po(ro)
д (xo,yo,zo)
p
шo(ro), (34)
(35)
д(т\,т2,п) ро(то)'
Интересно отметить, что, исключая дхо/дп, дуо/дп и дго/дп из формул (34) и (35), также получим уравнение (30). При этом отношение плотностей р/ро(то) исчезнет. С условиями сшивки на фронте (19)--(21) надо теперь учитывать зависимость от температуры и плотности. Уравнения же движения фронта пламени остаются прежними: (26), (30)-(32). При этом незначительные звуковые изменения плотностей газа перед и за фронтом определяются по формулам Р = Р_з (р) и
Р = Р+(Р).
11.3. Влияние внешнего потока
Рассмотрим распространение бесконечно тонкого, слабо искривленного фронта реакции во внешнем вихревом течении газа (рис. 1). При этом рассмотрим точку М(х,у,г) на поверхности пламени, движущуюся со скоростью —пУ + ит. Из уравнений Эйлера (1)-(3) в областях «—» и «+» и условий сшивки (4)-(6) для этой точки следует
du\
~dT
d(u ■ ti)
dt
9 í
(36)
du2 d(u ■ т2)
dt
O1
(Ш1- —
dV
-(1-1/) — , (37) дт2
diú\_ du)2-
дт1
дт2
dujn dt
dui du2 дт1 дт2
в [duJí+ duJ2+
дт1 дт2 d( ш n)
dt
O
дт1
dT2
(38)
. (39)
Формула (9) для давления на фронте при этом обобщается следующим образом:
0ш+ — ш- = —(O — 1)[n x VP].
(40)
Предположим, что течение газа таково, что шп = 0. Чтобы замкнуть данную систему, необходимо ещё как минимум четыре независимых уравнения. Для этого перейдем взаимно однозначно в областях «—» и «+» соответственно к переменным начального положения частиц газа и времени (то,Ь) по формулам
dr ~dt
= u(r,t) + \±(r,t) ■ ш(r,t),
(41)
где r = r(ro,t) и ro = ro(r,t), ro|í=o = r, а X±(r,t) выбрано следующим образом:
ш(r,t) ■ VX± (r,t) = 0 в областях «—» и «+» соответственно,
X-(r,t) ■ Шп
на границе топлива и
А+ (r,t)
1
=O
(42)
(43)
(44)
на границе сгоревшего газа. Из теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка известно, что система уравнений (41)--(44) имеет единственное решение. Из уравнений (42)-(44) можно определить Х±(т,Ь) и дХ±(т,Ь)/дп на поверхности фронта реакции. Аналогично уравнению (25), в системе координат (41) границы исходного и прореагировавшего веществ неподвижны. Точке М(т,Ь) будут соответствовать две различные точки М_(то_ ,Ь) и М+(то+ ,Ь), движущиеся по внешней и внутренней стороне поверхности и совпадающие в начальный момент. Тогда из уравнений (41)-(44) их координаты описываются формулами
dr0± dt
dro± dr o±
--V —--h uT
dt
dn
dr0± дт
~ ( A±-T± • ^ J •
(45)
Полную производную в уравнении (45) определим для простоты по формуле
С д д д
л = т-уЖг + и^1Гт (46)
O
= — ш
n
ш
n
Кроме того,
— ( дго± \ dt \ dn J
+и . — ( дго± ^ т дт I дп )
д_ (дг0± \ _ уд2г0± |
dt I dn ) dn2
dui du2 дХ±
т;--Н т;--1—Ö—<un —
dTi дт2 dn
-Х±
дХ± dn
du;i± ^ да>2=|Л A ¿b'o± í _ dun± дт-i дто J J dn \ " 9ri
ui± - Х±
dr0± dn J дт\
+
dun± ,
--^--h
dT2
дХ± dw2± \ dr0±
H—-—+ А±-
dn
_ (Х±Шт± • .
дп J дто у т дтдп)
(47)
Аналогично предыдущему пункту, в переменных (41) интегралы ш ■ Vio и Д не зависят явно от времени, то есть Д = 1 и ш ■ Vio = шoi(ro). В системе координат (n,Ti,т2) на границе пламени имеем
d(x0±,y0±,z0±) д(п,Т2,п)
1, (48)
^о±(го±). (49)
Oro+ dro+ dro±
--h --h —
dn от\ дт2
В результате получим замкнутую систему (36)-(39), (45), (47)-(49) для определения V. Требование un = 0 здесь существенно. Последнее замечание предыдущего пункта относительно учёта влияния температуры и плотности остаётся в силе и здесь.
III. Неустойчивость Дарье—Ландау в 2Ю-потоке. Адиабатическое приближение
В этом разделе, не ограничивая общности, мы рассмотрим распространение двумерного (2D) бесконечно тонкого, слабо искривленного фронта экзотермической реакции (пламени) в потенциальном внешнем потоке (рис. 2). При этом течение газа вне фронта снова предполагается несжимаемым и невязким, но допускается неравномерное адиабатическое нагревание прореагировавшего вещества. Тогда гидродинамические уравнения принимают вид [2]
ди „ / „ u2
ди г ,
— = V х [и х ujJ,
0,
div u = 0,
ös dt
+ u ■ Vs = 0,
(50)
(51)
(52)
(53)
где и — поле скоростей, ш — завихренность, © — безразмерная температура, причём в = 1 в топливе и © = в = р_/р+ в сгоревшем газе, а я — энтропия газа.
Рис. 2. Фронт реакции в 2Ю-случае
Граничные условия на поверхности фронта, следующие из законов сохранения, имеют вид (4)-(6) [11]. Скорости ип_ = др/дп =1 — V и ит = др/дт связаны между собой 2D-формулой Грина [14]:
dy(rs,t)
dn*
nV(r,t) = ln |rs - r\ -p(rs,t)n
|rs-r|2_
¿1(га). (54)
Тогда из уравнений гидродинамики (50)--(53) и условий на фронте (4)--(6) следует, что для любой точки на поверхности фронта реакции
^+Un- + \{ul-ul_) + P = 0,
(55)
Q _ 1
U) =--— [n x VP]
в - 1 dP
— 'к- (56)
Для простоты здесь, как и в разделе I.1, полная производная определена по формуле [15-17]
d _ д д dt dt dn Предположим, что перед фронтом энтропия = const. Из второго начала термодинамики и закона Гесса для любой точки на фронте также находим [2]
1Q
■ P + const.
(57)
Перейдём взаимно однозначно к лагранжевым переменным начального положения частиц газа и времени (го^) (то есть к разметке) (10). Аналогично разделу 1.1, в пределе бесконечно тонкого фронта область реакции является поверхностью разрыва как в пространстве (г^), так и пространстве переменных Лагранжа (го^).
Рассмотрим уравнения Эйлера (50)-(53) в области сгоревшего газа. Из уравнений (51) и (53) имеем в области за фронтом в пределе бесконечно тонкого фронта
ди ди ди du dt x дх y ду dt L
= 0 ^ u = ио(хо,уо), (58)
s
+
= 0 ^ в = во(жо,уо),
дв дв дв ¿в
дЬ х дх у ду Аь
(59)
где ш0(х0,у0) и в0(х0,у0) — начальное распределение завихренности и энтропии в области сгоревшего газа, а ¿/¿Ьь — производная по времени в переменных Лагранжа (10).
Из уравнений (10), (15), (58) и (59) для любой точки М(х0(х,у,Ь),у0(х,у,Ь)) на задней поверхности фронта, движущейся со скоростью -иУ (рис. 2), имеем
¿ш ~А ¿в ~А
дш0 ¿х0 дш0 ¿у0 дх0 А дв0 ¿х0 дх0 А
+
ду0 А
дв0 ¿уо ду0 А
(60) (61)
с1х о дха 0
А д1 дп т дт п дп
дхо_ _ ддх0 т дт ди1 ду0
<1уа _ дуо _ у^Уо _ _и дуо _ , у\дУ°
А д1 дп т дт п дп
-и _ ддуо
т дт ди
д (х0,у0)
дх0 ду0 дт ди
дх0 ду0 ди дт
1.
(62)
) _
(63)
(64)
д(т,и)
Мы видим, что система (60)-(64) линейна относительно величин ¿х0/А, ¿у0/А, дх0/ди и ду0/ди. Исключая их из (60)-(64), находим
дшо дшо
дхо дуо
дзр дьо
дхо дуо
1 0
0 1
0 0
0 0 в 0
дуо ' дт
0 0 0
в
дхп дт
с1ш сИ (/б сИ
~итТ 1
0. (65)
Фактически условие (65) представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка для определения ¿Р/А вдоль фронта, которое может быть решено аналитически. Приведём вид и решение этого уравнения. После подстановки (56) и (57) в выражение (65) находим уравнение для ¿Р /А:
(¿Р) V м )
дшо дшо
дхо дуо
дво дзр
дхо дуо
1 0
0 1
0 0
0 0 (0-1) д в дт
0 0 (е-1 в
в 0 —ит-
0 в —и,т-
дуо дхо 1
дт дт
йг
'¿М
дт
которое может быть представлено в виде
д (¿Р\ А, ,с1Р , д-тЫ )+Мт)-+В{т)=0,
(66)
(67)
где А и В определяются из (66). Аналитическое решение уравнения (67) имеет вид
дР
-А{Т)
ехр -
А(т')в,т' х
х С-
В(т') ехр(
А(т")ат")ат'
(68)
где постоянная С определяется из условия
(69)
где Ь — длина фронта реакции в некоторый момент времени. Производные ¿х0/А и ¿у0/А тогда уже могут определяться, например, по формулам
¿х0 ~~А
Д. Д '
Луо А
Д,
д
(70)
где
д =
дшо дш
_о
дуо дво
дхо
дэо _
дхп дуп
1 0
0 1
0 0
0 0
в 0
0 в
дх
<а
с1в (И
дшо дуо
дво
дуо 0 1
0 0
0 0
в 0
0 в
Ду
дшо дхо
дво
дхо 1 0
с1ш М (/б сИ
дхо
-V ^¿о п
«т 9т "
0 0 0 0 в0 в
(71)
Таким образом, зная Ш0(х0,у0) и в0(х0,у0), из уравнения (65) можно определить давление Р, а значит, пользуясь потенциальностью потока газа перед пламенем, из уравнений (54)-(56) можно также вычислить скорость фронта У во все предыдущие моменты времени.
Однако заметим, что о помощью данной системы уравнений возможно моделирование движения фронта пламени и в прямом направлении времени. Действительно, пусть в лагранжевых координатах на двух последовательных, близко расположенных слоях нам известны величины Ш0(х0,у0) и в0(х0,у0) (рис. 3). Тогда по формулам (66), (70) и (71) мы находим положение фронта реакции в следующий момент времени и распределение давления Р на нем. Зная давление, мы получим завихренность и энтропию по формулам (56) и (57) в этот момент на новом слое. На предыдущих слоях эти величины в переменных Лагранжа остаются неизменными, то есть мы тогда будем знать Ш0(х0,у0) и в0(х0,у0) на двух последовательных слоях и в следующий момент времени, и т.д.
т
т
0
0
т
Рис. 3. Распространение пламени в переменных Лагранжа
В пункте I.1 показывается, что не все решения гидродинамических уравнений спереди и сзади фронта пламени можно согласовать с условиями на границе, то есть не всякую задачу Коши можно здесь поставить. Это означает, что функции ^о(жо,уо) и so(xo,yo) не могут быть произвольными, в частности, нулевыми для сильно искривленного фронта. Предположительно, в них зашифрована информация о процессах, происходивших внутри и вне пламени до момента их фиксации. Если в этом смысле функции wo(xo,yo) и so(xo,yo) заданы корректно, то мы можем однозначно обратить во времени пламя вплоть до момента их зажигания.
Пусть в некоторый момент времени фронт пламени, распространяющийся в потенциальном внешнем потоке, приобрел цилиндрическую форму. При этом на его поверхности скорости un- = const, uT = др/дт = 0, а внутри фронта в момент фотографирования шo(xo,yo) = 0, но из-за особенности тепловыделения при химической реакции горения so(xo,yo) = const (рис. 4). Раскладывая определитель (66) по первой строке, находим, что вдоль фронта dP/dt = const. Если в момент фотографирования на поверхности фронта было P = Po = const, то P = const будет и во все предыдущие моменты времени. Тогда из уравнения (55) с учётом начальных данных у скорости u± вытекает, что также вдоль фронта будет dp/dt = const и р = const и в обратном направлении времени на поверхности пламени всегда будет un- = 1 — V = const, uT = др/дт = 0, то есть он будет двигаться цилиндрически. В формулах (70) в этом случае возникает особенность, то есть проследить проникновение частиц газа через фронт горения от момента зажигания до момента фотографирования мы не сможем. Как мы видим, это и не требуется. Если учесть конечную толщину фронта реакции с помощью поправок в условия сшивки (4)-(6), то мы можем наблюдать неустойчивость и этого цилиндрического фронта, например, благодаря тангенциальной теплопроводности внутри пламени.
Рис. 4. Цилиндрическое пламя в 2Ю-потоке
Отметим, что формально полученная система уравнений не сводится к ранее полученным в предположении потенциальности потоков перед и за фронтом реакции уравнениям Сивашинского [9] и Франкеля [10]. В случае, если wo(xo,yo) = 0, из уравнений (65) и (66) следует, что вдоль фронта dP /dt = const и P = const. Тогда движение фронта будет описываться системой (54), (55) c постоянным давлением, отличной от упомянутых выше уравнений. Это связано с тем, что за искривленной поверхностью фронта всегда образуется завихренность, но оба подхода в данном предельном случае её не учитывают.
IV. Заключение
В данной работе с помощью специального преобразования переменных в 3D-потоке мы свели полную систему гидродинамических уравнений по объёму к системе уравнений на поверхности. Эти уравнения могут значительно упростить численное моделирование фронта горения. Во-первых, они уменьшают размерность задачи на единицу. Во-вторых, самый малый масштаб, который можно разрешить при их моделировании, много больше толщины этого разрыва. Особенно это важно для неустойчивости Дарье-Ландау, где процессы, происходящие внутри пламени, крайне сложно моделировать на больших временных и пространственных масштабах [6, 8, 12]. В-третьих, они выведены в виде, независимом от выбора системы координат и могут быть применены в любых пространственных геометриях. В-четвертых, помимо скорости поверхности они позволяют определить, как меняются на разрыве все остальные параметры, характеризующие течение (такие, как u, P, ш, р, s и т.д.).
В данной работе мы выводим в гидродинамическом приближении соответствующие уравнения фронта реакции (пламени) и в 2D-потоке с минимальными ограничениями. Смысл исследования состоит в следующем: если в некоторый момент времени известно распределение завихренности в области за фронтом, то можно полностью проследить эволюцию этого фронта от момента зажига-
ния до произвольного момента времени. Это не означает, что мы определим законы образования этих величин в процессе эволюции, например, пламени. Однако отсюда можно получить важную информацию, касающуюся реальных процессов, происходящих внутри фронта реакции.
V. Приложение А. Интегралы движения
Рассмотрим уравнения идеальной несжимаемой жидкости в 3D-случае
ди г ,
—- = V х \и х lo , dt L J
div u = 0.
(А.1) (А.2)
Рассмотрим также лагранжевы переменные (то есть разметку) (10). Умножим обе части уравнения (А.1) на Ух0. Тогда
дш
Уж0 • = Ужо • V х [г/, х ш] =
= — ё1у(Ух0 х [и х ш]) = — ё1у(и(ш • Ух0))+ + ё1у(ш(и •Ух0)) = —и Ух0) + ш • У(и•Ух0) =
= -и ■ • Уж0) - ш • V ^^^ .
При этом использовано свойство переменных Лагранжа:
дхо
~дГ
дхо дх
дхо
дхо дх
0.
Следовательно,
д d
— (и! ■ Vxn) + и ■ V(u> ■ Vxn) = — {íO ■ Vxn) =0 =4> дt dt
=>
и • Vxo = иох(хо,уо,хо),
где ¿/¿Ь — производная по времени в лагранже-вых переменных, и>0(х0,у0,20) — начальное распределение завихренности ш. Аналогично,
ш • Уу0 = ш0у(х0,у0^0), ш • Ух0 = ш0г(х0,у0,^).
Из уравнения неразрывности (А.2) следует [18]: и = 0
=>
± dA Д ' dt
f д(их,у,х) д(х,иу ,х) д(х,у,их)
+
+
V д(х,у,х) д(х,у,х) д(х,у,х)
= 0, то есть
d(x,y,z) д(хо,уо,хо)
1.
0,
(A3)
Выражая и с помощью уравнения (A.3), получим также их(хо,уо,хо,Ь) = ио • Vox, иу(хо,уоХо,Ь) = иоУоу, uz(хо,уо,хо^) = ио • Vox [2]. Рассмотрим ещё общее уравнение неразрывности:
др
дЬ
+ и • Vр + р • div и = 0.
(A.4)
Переходя в нём к переменным Лагранжа, находим [18]:
(д (и
dp
dt д(х,у,х)
y,z) d{x,Uy,z) д(х,у,и~)
д(х,у,х) д(х,у,х)
0,
dp р dt А
dA
IF
р• Д = р•
d(x,y,z) д(хо ,уо,хо)
ро(хо ,уо,хо)
— интеграл движения. В случае, если р = const, но s = const (то есть существует однозначная связь между давлением и плотностью P = Ps (р)), соответствующими интегралами будут
ш • Ухо ш • Ууо ш • VZq
р
р
р
Такие же результаты можно получить, если вместо лагранжевых переменных использовать более общее преобразование переменных
dr
~dt
= и(г,Ь) + A(t) •и(г,Ь), r = г(го,t),
го = го(г,ь), го|(=о = r,
(A.5)
где A(t) — некоторая функция от t. Аналогичными рассуждениями можно установить, что в идеальной жидкости в этих переменных величины и • Vxo, и • Vyo, и • Vxo и якобиан этого преобразования Д не зависят явно от времени. Вместо A(t) можно взять А(х,у,х,Ь), так что и(х,у,х,Ъ) • VA^^x^) = 0, дабы выполнялось условие div^ + Аи) = 0. Выражая также и, получим: их(хо,уо,хо,Ь) = ио • Vox, иу(хо,уо,хо,Ь) = ио • VoУ, uz(хо,уо,хо,Ь) = ио • Vox. Аналогично, если р = const, но s = const (то есть опять же существует однозначная связь между давлением и плотностью P = Ps(р)), можно в формулах (A.5) взять А(х,у,х,Ь) так, что Аи • Vр + ри • VA = 0. Тогда для данной замены переменных соответствующими интегралами будут
• Vxo и • Vyo
р
р
■ Vzq
Р
рД.
Фактически здесь требуется пренебречь в формуле (А.1) только слагаемым VрXV Р/р2, которое учитывает сжимаемость жидкости. При сильно дозвуковом движении фронта реакции, типичном для дефлаграции, сжимаемость вещества обычно можно пренебречь, что делает вышеизложенный анализ строгим.
Литература
1. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либро-вич В.Б., др. Математическая теория горения и взрыва. — М.: Наука, 1980.
2. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Гидродинамика. Т. VI. — М.: Наука, 1986.
то есть
и
и
3. Williams F.A. Combustion Theory. — Benjamin, CA, 1985.
4. Law C.K. Combustion Physics. — Cambridge University press, NY, 2006.
5. Pelce P., Clavin P. Influence of hydrodynamics and diffusion upon the stability limits of laminar premixed flames // J. Fluid Mech. — 1982. — V. 124. — P. 219-242.
6. Bychkov V.V, Golberg S.M., Liberman M.A. [et al.]. Propagation of curved stationary flames in tubes // Phys. Rev. E. — 1996. — V. 54. -P. 3713-3726.
7. Kadowaki S. The influence of hydrodynamic instability on the structure of cellular flames // Phys. Fluids. — 1999. — V. 11. — P. 3426-3441.
8. Bychkov V.V. Nonlinear equation for a curved stationary flame and the flame velocity // Phys. Fluids. — 1998. — V. 10. — P. 2091-2114.
9. Sivashinsky G.I. Nonlinear analysis of hydrodynamics instability in laminar flames. Derivation of basic equations // Acta Astronaut. — 1977. — V. 4. — P. 1177-1215.
10. Frankel M. An equation of surface dynamics modeling flame fronts as density discontinuities in potential flows // Phys. Fluids. A. — 1990. — V. 2. — P. 1879-1886.
11. Bychkov V., Zaytsev M. and Akkerman V. Coordinate-Free Description of Corrugated Flames with Realistic Gas Expansion // Phys. Rev. E. — 2003. — V. 68.— P. 026312-026324.
12. Zaytsev M, Bychkov V. Effect of the Darrieus-Landau instability on turbulent flame velocity // Phys. Rev. E. — 2002. — V. 66. -P. 026310-026321.
13. Зайцев М.Л., Аккерман В.Б. К нелинейной теории движения поверхностей гидродинамических разрывов // ЖЭТФ. — 2009. — Т. 135, №4. — С. 800-819.
14. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — M.: Наука, 1966.
15. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.
16. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. — М.: МФТИ, 1996.
17. О'хоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. — М.: Наука, 1965.
18. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука, 1980.
19. Matalon M, Matkowsky B.J. Flames in fluids: their interaction and stability // Combust. Sci. Technol. — 1983. — V. 34, N. 2. — P. 295-316.
20. Travnikov O. Yu, Bychkov V. V., Liberman M.A. Influence of compressibility on propagation of curved flames // Phys. Fluids. — 1999. — V. 11, N. 9. — P. 2657-2666.
Поступила в редакцию 17.01.2010.
