CC BY
22
Для решения задачи, приведенной в начале статьи, потребуется количество операций N = 6-2 - 3 = 9.
В результате для нахождения вероятности нестандартным методом нам понадобится 9 операций, что значительно меньше количества операций стандартным методом - 16а + 28.
Список литературы:
1. Бернштейн С.Н. Теория вероятностей. - М.; Л.: ОНТИ, 1934. - 412 с.
2. Орлик Л.К., Маркина М.С. Опыт формирования приемов решения нестандартных задач при изучении курса высшей математики // Математическое моделирование социальных процессов и современные образовательные технологии: VII Международный социальный конгресс: Москва, РГСУ 23-24 ноября 2007 г. - М.: АПК и ППРО, 2007. - 296 с.
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ОДНОЙ РАБОТЕ Л.К. ОРЛИК И М.А. РУТМАНА
© Володин Ю.В.*, Карягина Т.В.*, Лаптева Н.А.*
Российский государственный социальный университет, г. Москва
В статье обсуждаются детали доказательств, предложенные в статье Л.К. Орлик и М.А. Рутмана. В частности, получены оценки экспоненциального роста решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения и-го порядка с периодическими коэффициентами на полуоси.
Ключевые слова: экспоненциальный рост, дифференциальные уравнения, периодические коэффициенты на оси.
В настоящей заметке обращается внимание на детали доказательства, изложенные в статье Л.К. Орлик и М.А. Рутмана [1], требующие уточнения. В обсуждаемой статье получены оценки экспоненциального роста решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения и-го порядка
У(п) + А ^) у{"-{)+...рп (/) у = Г (0 (1)
с периодическими коэффициентами рк (/ + а>) = рк (/), (к = 1, п), заданными на полуоси 0 < t < ж.
Построена экспоненциальная характеристика ж (а) - зависимость между порядком а экспоненциального класса, из которого берутся правые части,
* Доцент кафедры Прикладной математики,
* Доцент кафедры Прикладной математики, " Доцент кафедры Прикладной математики,
кандидат физико-математических наук, доцент. кандидат технических наук, доцент. кандидат физико-математических наук, доцент.
и нижней гранью в порядков экспоненциальных классов, содержащих соответствующую совокупность решений. Экспоненциальная характеристика оказалась канонической. А именно, если ао - старший ляпуновский показатель уравнения (1), то ш(а) = тах(а,а0).
Аналогичный результат получен для линейного дифференциального уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве [2], линейного дифференциально-разностного уравнения в банаховом пространстве [3], линейного дифференциального уравнения с несколькими запаздываниями аргумента [4], линейного дифференциального уравнения в частных производных [5] и интегрального оператора Вольтерра [6]. Дальнейшие исследования показали, что при отказе от периодичности коэффициентов линейных дифференциальных уравнений при определенных условиях приходим к квазиканонической экспоненциальной характеристике: существуют (-да <)а0 < (< +да),
такие что ж(а) = Д при а< ао; ж(а) = а при а> /о. (В промежутке (ао, /о) ж (а) - неубывающая функция).
В случае периодических коэффициентов и ядер интегральных операторов ао = Д = /о. Здесь ао - старший ляпуновский показатель решений эволюционного уравнения, /о - генеральный показатель (Боля) соответствующего однородного уравнения.
Пусть ДО - вещественная или комплексная непрерывная функция экспоненциального типа, заданная на полуоси о < t < да. Это функция, для которой существуют А и а такие, что |Д0| < Аеа.
Показателем экспоненциального роста этой функции авторы называют число
Если показатель а функции_Д0 конечен, то при любом е > о функция К0е(-а4е| не ограниченна, а функция |Д0е(~а+е^| ^ о при t ^ да. Наоборот, если найдено число а, обладающее этими свойствами при любом е > о, то оно является показателем.
Множество функций, показатель которых не превосходита, обозначен через Еа. Это линейное пространство (однако, ненормируемое).
Рассматривается множество функций из Еа, удовлетворяющих условию
а = 11т(/Чп|I (I )|).
Нт|I(Г)|<да.
Это множество обозначено через Ва.
Легко видеть, что Ва - банахово пространство с нормой
В работе [1] ошибочно утверждается, что сходимость последовательности /„(() непрерывных функций, показатель которых не превосходит а по норме (2) равносильна равномерной сходимости на всяком ограниченном множестве, принадлежащем полуоси [0, ж).
Из сходимости по норме (2) следует равномерная сходимость на любом конечном интервале, но не наоборот.
Пример. Пусть
/(') = г'1 (0 < ' <ж). (3)
Рассмотрим последовательность непрерывных и ограниченных функций
Г в'\ (0 < ' < п), /п (') = \ / ( (4)
[вп , (п < ' <ж).
Так как/„(() = _Д0 (0 < t < и), то последовательность непрерывных и ограниченных функций (4) равномерно сходится к функции (3) на любом конечном интервале [0, 7].
Однако последовательность /„(() не сходится по норме (2) в силу того,
что ни при каком а не выполняется в' < Сва' (С > 0) для всех t е [0; ж), то
в'1
есть Бир —— = ж У а.
0<'<ж в
Поэтому следует писать, что сходимость по данной норме влечет равномерную сходимость на всяком ограниченном множестве, принадлежащем полуоси.
Давно опубликованная статья [1] заинтересовала автора, поскольку результаты этой работы, обобщенные в [2, 3. 1], были использованы при изучении приоритетов в иерархии ценностей в молодежной среде [8], и исследовании актуальности идей латвийского математика Пирса Боля [10-11].
Список литературы:
1. Orlik L.K., Rutman M.A. Exponential indices of solutions of ordinary linear differential equations with periodic coefficients // Soviet Mathematics. Izve-stiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. - 1982. - 26:6. - 104-106.
2. Орлик Л.К. Об экспоненциальной характеристике линейного дифференциального уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве // Украинский математический журнал. - 1989. - Т. 41, № 9. - С. 1288-1289.
3. Мудракова О.А., Орлик Л.К. Экспоненциальная характеристика линейного дифференциально-разностного уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве // Ученые записки Российского государственного социального университета. - 2009. - № 7-1. - С. 229-232.
4. Кармишин А.М., Мудракова О.А., Орлик Л.К. Экспоненциальная характеристика одного линейного дифференциального уравнения с несколькими запаздываниями аргумента // депонированная рукопись № 1798-В2003 14.10.2003.
5. Кармишин А.М., Мудракова О.А., Орлик Л.К. Экспоненциальная характеристика одного линейного дифференциального уравнения в частных производных // депонированная рукопись № 1983-В2003 18.11.2003.
6. Кармишин А.М., Мудракова О.А., Орлик Л.К. Об экспоненциальной характеристике интегрального оператора Вольтерра с ядром, имеющим различный порядок роста по двум переменным // депонированная рукопись № 1356-В2003 11.07.2003.
7. Orlik L.K. Exponential characteristic of a linear differential equation of first order in Banach space // Ukrainian Mathematical Journal. - 1990. - Т. 41, № 9. - С. 1111-1112.
8. Крамер Я.С., Семеновых Д.Н., Лаптева Н.А. Приоритеты в ценностной иерархии среди молодежи // В сборнике: Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования. Тезисы и тексты докладов Международной конференции. - 2014. - С. 246-247.
9. Орлик Л.К., Лаптева Н.А. Индекс Боля, квазипериодические функции и рижский вариант испанской партии // В сборнике: Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования. Тезисы и тексты докладов Международной конференции. - 2014. - С. 431-433.
10. Орлик Л.К. Латвийский математик Пира Боль: актуальность идей и современные приложения // Ученые записки Российского государственного социального университета. - 2013. - Т. 1, № 5. - С. 20-29.
11. Лаптев Г.И. Возрастающие монотонные операторы в банаховом пространстве // Математические заметки. - 2002. - Т. 71, № 2. - С. 214.
12. Лаптев Г.И., Лаптева Н.А., Володин Ю.В. Условия монотонности нелинейных операторов в двумерном пространстве // Ученые записки Российского государственного социального университета. - 2008. - № 6. - С. 59-65.
13. Лаптев Г.И., Лаптева Н.А. Критические степени для уравнения теплопроводности с нелокальным нелинейным возмущением // Ученые записки Российского государственного социального университета. - 2009. -№ 13. - С. 232-239.
14. Лаптев Г.И., Лаптева Н.А. Почти равномерно монотонные операторы в банаховом пространстве // Ученые записки Российского государственного социального университета. - 2009. - № 7-2. - С. 214-219.
15. Лаптев Г.И., Лаптева Н.А. Условия монотонности операторов Не-мыцкого со степенными нелинейностями // Ученые записки Российского государственного социального университета. - 2009. - № 7-1. - С. 223-228.
16. Володин Ю.В. Об отсутствии глобальных решений полулинейных эволюционных краевых задач высокого порядка // Учёные записки Российского государственного социального университета. - 2011. - № 9. - С. 9-16.
11. Карягина Т.В. Обработка кривых распределения интегральной интенсивности с помощью преобразования Фурье // Ученые записки Российского государственного социального университета. - 2010. - № 8 (84). - С. 10-11.
18. Челышов С.Ю., Карягина Т.В. Преобразование Фурье и вейвлет-анализ как формы математического моделирования // Ученые записки Российского государственного социального университета. - 2011. - № 9 (91), Часть I. - С. 43-49.
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА М.А. РУТМАНА ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
© Володин Ю.В.*, Лаптева Н.А.*
Российский государственный социальный университет, г. Москва
В статье описан метод оценки роста решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными сведением к исследованию решений операторных уравнений специального вида в пространствах, полуупорядоченных при помощи некоторого конуса.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных, операторные уравнения, экспоненциальная характеристика эволюционных уравнений.
В 1948 году М.Г. Крейн выступил на заседании Московского математического общества с докладом «Об одном круге идей А.М. Ляпунова», в котором заложил основы теории устойчивости дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Крейном М.Г. было показано, что методы функционального анализа позволяют более просто, а в некоторых случаях в более законченном виде, получить теоремы устойчивости решений дифференциальных уравнений даже в классическом конечномерном случае. В своё время для систем с одной степенью свободы А.М. Ляпунов получил основные результаты о существовании Я-зон устойчивости, правило определения концов последовательных зон устойчивости как характеристических чисел периодической и косопериодической краевой задачи, а также различные оценки для первой зоны устойчивости.
* Доцент кафедры Прикладной математики, кандидат физико-математических наук, доцент.
* Доцент кафедры Прикладной математики, кандидат физико-математических наук, доцент.
