CC BY
11
Секция: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1
НЕКОТОРЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ МАКСИМАЛЬНО ВЫРОЖДЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АЛГЕБРЫ ЛИ ГРУППЫ БЦп, К)
© Н.Б. Болотова
Ранее, см. [1], мы сообщили о построении полиномиального квантования на пара-эрмитовом пространстве <3/Я, где С = БЦп, К), Я = СЬ(п — 1,К). Сейчас мы хотели бы остановиться на полезной конструкции, используемой в доказательстве различных теорем в квантовании, а именно, на реализации максимально вырожденных представлений 7Г* алгебры Ли д группы <7 в пространствах многочленов и обобщенных функций, сосредоточенных в точке.
Напомним определение представлений 7г*, ц 6 С, е = 0,1, группы С в некомпактной картине. Они действуют в некоторых пространствах функций / на К"-1 по следующим формулам:
К'Ш)(0 = № + *Г’Ч№ + б)-1(1;* + 'г)), 9= ( “ % ) (1)
ОйеЫ/) (ч) = (»?).
где матрица д из БЦп, К) записана в блочном виде согласно разбиению п = (п - 1) + 1, д = 1д'~х1, I = с!1аё{ — 1,..., -1,1}, мы используем обозначение Ь'1'с = |*|#хб§п£Гй.
Эти представления группы С порождают представления алгебры Ли д - причем не только в упомянутых выше пространствах, но и других пространствах, например, в пространстве Ро1(К"-1) многочленов на К'1-1 ив пространстве Х>о(Е”-1) обобщенных функций на К"-1, сосредоточенных в начале координат. Операторы, отвечающие элементам X алгебры Ли д, — это некоторые дифференциальные операторы, они не зависят от е. Например, для матричных единиц имеем:
пц(Еч) = & щ* Фь г<п, 1 < п,
^(Еы) = * < п>
*Ц(Е*г) = Щ’ .?<п> для диагональной матрицы X = diag{^'l,...,^/n} из д имеем
(*) = + И”п-
Пусть - оператор, действующий в обобщенных функциях на К”-1, заданный формулой
(лм,е/)(0 = I {1-(й*П + ... + €п-ИЬ-» )Гт1Шп,
где с1т] = <1г}\. ,.(1т)п-1. Он сплетает представления 7г± и 7г?р_„. Пусть 5(х) - дельта-функция на К"-1, сосредоточенная в нуле. Далее мы используем обозначения: = ж“! ... ,
‘При поддержке грантов РФФИ 01-01-0100-а, Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России"УР.04.01.037, NWO 047-008-009.
<м«-(яг)',-(кЬГ”<(')-
Теорема. Оператор А^^ переводит базис хи шРо1(Е"-1) вбазисб^ eX>Q(Kn_1) с множителями:
А„,є хи =и>г{ц,е)8(и\
где г = ui + ■ • • + ип-1, и
и>г{ц,є) = 2"-1 7ГП~2 Г(-/Х - п -1- 1) Г(/1 + 1 - г) • |cOS 7Г - cos (є + 7г] ,
и обратно, оператор переводит базис 6^(х) в базис хи с множителями:
А б^Нх) — + Л_хи
— Г(/* — г +1)
ЛИТЕРАТУРА
1. Болотова Н.Б. Полиномиальное квантование на пространстве БЦп, Е)/СЦп - 1,К) // Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 1, 141-142.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПУАССОНА И ФУРЬЕ, СВЯЗАННЫЕ С КАНОНИЧЕСКИМИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ НА КОМПЛЕКСНОМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
© Л.И.Грошева
Настоящая работа распространяет нашу работу [1], где была рассмотрена плоскость Лобачевского, на произвольное комплексное гиперболическое пространство й/К, где С = БЩп - 1,1), К = 11(п - 1). Это пространство можно реализовать как комплексный шар £> : гг' < 1 в С"-1, где г - вектор-строка (г\,..., гп-\), штрих означает транспонирование. Группа С? действует на Б дробно-линейно:
га + 7 ( а Р \
2^г'9=1фТ8' 9=\1 & )’
здесь матрица д € С записана в блочном виде соответственно разбиению п = (п — 1) +1. Пусть 5 - граница шара она есть сфера гг' = 1 размерности 2п — 3. Группа й действует на 5 транзитивно. Подгруппа К состоит из блочно-диагональных матриц.
Инвариантная относительно С мера на И есть ф(г) = р~п6,г, где р = 1 — гг', (1г - евклидова мера на £>. Пусть (Г, /)о - скалярное произведение в Ь2(Б,(1ц(г)).
Представления Та группы (7, связанные с конусом, действуют (мы используем компактную картину) в Р(5) по формуле
(Т„(д)</>)(з) = ф ■ д)\г/3 + 5\2а.
Скалярное произведение {■ф,^р)з в Ь2(5, йя), где ёз - евклидова мера, инвариантно относительно пары ('Т„,Т\-п-а). Представления Т„ неприводимы для всех а € С, за исключением а € N = {0,1,2,...} и а 6 1 — п — N.
Оператор Аа на 1>(5), задаваемый формулой
(Аа<р)(з) = ^\1-з1'\2-2п-2^№,
сплетает Та и Т\-п-а. Он умножает константы на множитель
]{а) = 27гп-1(1 - п - 2ег)/Г2(-сг).
