CC BY
48
УДК 65.012.122
Абрамов О.В.
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА
Задача оптимального параметрического синтеза технических устройств и систем с учетом стохастических закономерностей изменения их параметров и требований надежности состоит в поиске таких начальных (номинальных) значений параметров элементов системы (внутренних параметров), при которых обеспечивается максимальная вероятность выполнения условий работоспособности в течение заданного времени эксплуатации. При этом предполагается, что структура (топология) проектируемой системы и ее математическая модель известны [1].
Функции, описывающие проектируемую систему, обычно имеют сложный нелинейный характер, что не позволяет получать оптимальное решение в аналитической форме с помощью классических методов дифференциального и вариационного исчисления. Для решения задачи оптимального параметрического синтеза (ОПС) приходится использовать поисковые методы. Эффективность стратегии решения задачи ОПС во многом будет зависеть от полноты учета специфики решаемой оптимизационной задачи. Остановимся на некоторых особенностях, возникающих в процессе ОПС оптимизационных задач.
Общая постановка задачи оптимального параметрического синтеза имеет следующий вид [1,2]. Найти номинальные значения внутренних параметров
исследуемой системы х0ном =(х0нОМ ,•••, х0п ном), обеспечивающие максимум
вероятности ее безотказной работы в течение заданного времени
Ком = argmaxр{X(хШм, t) є Dx, "t є [0,Т]^ (1)
где X (хном, t) - случайный процесс изменения параметров; Dx - область работоспособности; Т - заданное время эксплуатации системы.
Область допустимых вариаций внутренних параметров Dx, как правило,
неизвестна, поэтому условия работоспособности обычно задаются системой неравенств:
< У (х) j < bj,..., j = 1, m, (2)
где y = {yj }m=1 - вектор выходных параметров системы, причем
yj = Fj (xx,...,xn), а Fj ( ) - известный оператор, зависящий от топологии исследуемой системы.
В качестве количественного показателя надежности принимается вероятность:
Р ( У(0є Dy ,"t є[0, Т ]) = Р (У1 є[a1, b1] ^ У2 є [a2 , b2] ПкП Ут є[ат , bm ]), (3)
где y(t) - случайный процесс изменения выходных параметров системы, а Dy -
область допустимых изменений выходных параметров, которая чаще всего задается системой неравенств (2), а значит, имеет форму т-мерного гиперпараллелепипеда.
Таким образом, как вероятность, целевая функция
P(xном,T) = P{X(хном, t) є Dx, "t є [0,T]} является непрерывной и
ограниченной, P(xном,Т) є [0,1]. То же можно сказать и критерии вида (3).
Задачу ОПС в виде (1) можно рассматривать как стандартную задачу математического программирования с ограничениями. Ее особенностями являются многомерность, стохастичность, нелинейность и в общем случае невыпуклость (многоэкстремальность).
Часто задача параметрического синтеза состоит не в поиске номиналов параметров, при которых достигается максимум вероятности безотказной работы (ВБР), а в обеспечении ВБР не ниже требуемой:
P(x
ном ’
Т) ^ Pmp .
В этом случае, прежде всего, возникает вопрос о достижимости необходимого уровня ВБР. Расчет предельных возможностей целесообразно производить, если при этом трудоемкость вычислительного процесса будет существенно меньше трудоемкости решения задачи (1).
Необходимо отметить, что требуемый уровень ВБР обычно достаточно высок (по крайней мере, больше 0.5), а также тот факт, что
P(xном, Т) £ ^, (4)
где P0 = P(xном ,0) - вероятность выполнения условий работоспособности в момент времени t=0, которую называют обычно серийнопригодностью или выходом годных.
Соотношение (4) следует из того факта, что случайное событие, состоящее в выполнении условий работоспособности в течение интервала времени [0,7], является произведением двух событий, первое из которых -нахождение системы в работоспособном состоянии момент времени t=0, а второе - выполнение условий работоспособности непрерывно в течение времени T.
С учетом этого в качестве первого этапа процесса поиска экстремума ВБР целесообразно искать максимум вероятности выполнения условий
работоспособности в момент времени t=0. Очевидно, что это существенно проще, чем решение задачи (1). Действительно, для расчета
серийнопригодности приходится оперировать со случайными величинами, а не случайными процессами, и, кроме того, при этом часто удается заменить исходную задачу со стохастическим критерием оптимальности эквивалентной ей задачей с детерминированным критерием. Так, например, для выпуклых областей работоспособности задача сводится к поиску центра тяжести области Dx [3].
Переходить ко второму этапу следует лишь в том случае, если достижимый уровень серийнопригодности будет больше требуемого значения ВБР.
Стохастический характер критерия оптимальности, многомерность пространства поиска, необходимость решения задачи глобальной оптимизации заставляют искать пути создания эффективных численных методов решения задач ОПС. Одним из наиболее радикальных путей решения задач высокой вычислительной сложности является распараллеливание процесса поиска решения.
Можно предложить несколько вариантов стратегии ОПС с использованием технологии параллельных вычислений.
В основе первой из стратегий лежит идея создания параллельных методов расчета целевой функции и методов оптимизации.
Создание и реализация параллельного аналога метода статистических испытаний (Монте-Карло) не вызывает принципиальных затруднений. Использование параллельных вычислений в этом методе является вполне логичным, поскольку идея параллелизма - повторения некоторого типового процесса с различными наборами данных - заложена в самой структуре метода. Интуитивно понятно, что использование к независимых процессоров и распределение между ними независимых испытаний, уменьшит трудоемкость статистического моделирования почти в к раз, поскольку затраты на заключительное суммирование и осреднение результатов практически несущественны.
Дальнейшее уменьшение времени решения задачи ОПС может быть достигнуто за счет распараллеливания алгоритма поиска экстремума.
Простейшим из прямых методов поиска, обладающих свойством потенциального параллелелизма, является метод сканирования.
Сущность метода заключается в том, что область поиска разбивается на элементарные ячейки, в каждой из которых по определенному алгоритму выбирается точка: в центре ячейки, на ребрах или в вершинах. В каждой ячейке осуществляется последовательный просмотр значений целевой функции и нахождение среди них экстремального значения. Точность метода, естественно, определяется тем, насколько плотно располагаются выбранные точки в области поиска.
Основным достоинством метода сканирования является то, что при его использовании с достаточно густым расположением точек всегда гарантируется отыскание глобального экстремума. Однако для этого в данном методе требуется значительный объем вычислений, снизить который можно путем распараллеливания алгоритма.
В задачах ОПС выборочное множество номиналов в большинстве случаев является само по себе дискретным. Это связано с тем, что номиналы параметров большинства типовых электро-радиоэлементов (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, операционных усилителей и др.) регламентированы техническими условиями или стандартами. Для активных элементов разработчик на основе опыта и интуиции обычно может задать возможные варианты используемых элементов, а следовательно, и номинальные значения их параметров. В тех же довольно редких случаях, когда
имеется возможность выбирать номинальные значения параметров из непрерывного диапазона, можно использовать процедуру дискретизации. Таким образом, выборочное множество номиналов при решении задач ОПС является дискретным.
В простейшем случае поиск решения сводится к полному перебору элементов множества возможных значений номиналов внутренних параметров
DeHH, в каждой точке xHH которого необходимо найти значение целевой функции.
Учитывая цикличность процедуры вычисления целевой функции, несложно применить параллелизм по данным.
Пусть процесс решения можно осуществить с использованием к
процессоров. Множество DeHH разбивается на непересекающиеся подмножества
к
DeHH = U (D^}, при этом каждому 7-му процессору назначается своё
i=1
подмножество DHj исходных данных. Таким образом, каждый j-ый процессор
осуществляет расчет целевой функции для всех элементов множества DHj и
находит оптимальный вектор номиналов параметров для своей подобласти. Результаты передаются главному процессору, который производит выбор оптимального вектора номиналов по всей области DH. Такое разбиение всего множества поиска на непересекающиеся подмножества составляют суть блока диспетчеризации параллельного распределенного процесса.
Для симметричного вычислительного кластера, состоящего из к равных по мощности вычислительных узлов, общее число точек разбивается на равные количества для каждого из подчиненных процессов. В случае несимметричного кластера необходимо провести предварительную процедуру оценки трудоемкости типовой процедуры метода оптимизации, в качестве которой выступает однократное моделирование работы системы, проверка условий работоспособности и вычисление значений критерия оптимальности. При этом вычислительная нагрузка делится между компонентами комплекса пропорционально их производительности.
По окончании работы программы диспетчеризации вычислительного процесса каждому вычислительному компоненту комплекса рассылаются границы его подмножества DeHHj исходных данных. По окончании счета
главный процессор получает результаты от подчиненных и проводит формирование окончательных результатов дискретной оптимизации на всем
множестве DH H .
Другая возможная стратегия ОПС основана на построении области допустимых значений внутренних параметров (области работоспособности) Dx.
Привлекательность этой стратегии в определенной мере связана с возможностью декомпозиции общей задачи ОПС на две подзадачи.
Первая из них состоит в построении, анализе и аппроксимации области Dx. Это задача высокой вычислительной трудоемкости, поскольку ее решение связано с необходимостью многократного вычисления значений выходных
параметров системы (обращения к модулю детерминированного анализа).
Вторая подзадача включает вычисление целевой функции и нахождение оптимальных значений номиналов параметров. Получение решений в этом случае не связано с необходимостью обращения к модулю детерминированного анализа, что значительно уменьшает трудоемкость параметрического синтеза.
Таким образом, стратегия ОПС в этом случае будет состоять из двух этапов, первый из которых связан с построением области допустимых вариаций параметров Dx. К наиболее известным методам ее построения относится метод матричных испытаний [3,4].
Уменьшение трудоемкости нахождения области работоспособности можно обеспечить путем распараллеливания процесса матричных испытаний. Параллельные алгоритмы построения области работоспособности приведены в работах [5,6].
На втором этапе осуществляется поиск оптимальных решений. При известной области работоспособности трудоемкость вычисления значений целевой функции и поиска экстремума существенно уменьшается. Теперь при проведении испытаний нет необходимости вычислять значения выходных параметров системы (обращаться к модулю детерминированного анализа).
Кроме того, существенное сокращение вычислительных затрат может быть достигнуто путем использования области Dx для параллельных аналогов методов поисковой оптимизации. Таким образом, при использовании стратегии ОПС, основанной на построении областей работоспособности, решение поставленной задачи осуществляется в два этапа, первый из которых можно считать подготовительным (построение области Dx), а второй - основным.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ДВО РАН 09-І-П2-03 в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 14 «Интеллектуальные информационные технологии, математическое
моделирование, системный анализ и автоматизация».
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. - М.: Наука. 1992.
2. Абрамов О.В. Методы и алгоритмы параметрического синтеза стохастических систем. //Проблемы управления, № 4, 2006. С. 3-8.
3. Васильев Б.В., Козлов Б.А., Ткаченко Л.Г. Надежность и эффективность радиоэлектронных устройств. - М.: Советское радио, 1964.
4. Смагин Ю.Е. Матричные испытания радиоэлектронных устройств с помощью ЭВМ. - М.: Энергия, 1979.
5. Абрамов О.В., Диго Г.Б., Диго Н.Б., Катуева Я.В. Параллельные алгоритмы построения области работоспособности. //Информатика и системы управления, № 2, 2004. С. 121-133.
6. Назаров Д.А. Использование распределенных вычислений при построении области работоспособности. //Информатика и системы управления, № 1, 2008. С. 142-151.
УДК 65.012.122
Абрамов О.В.
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА
Рассмотрены некоторые особенности оптимизационных задач,
возникающих в процессе параметрического синтеза технических устройств и систем. Полученные результаты могут быть полезны при разработке алгоритмов параметрического синтеза, основанных на технологии
параллельных вычислений.
Ключевые слова: синтез, параллельный алгоритм, параметр, надежность, оптимизация.
Abramov O. V.
SOME FEATURES OF THE OPTIMAL PARAMETRIC SYNTHESIS PROBLEM
Some features of the optimizing problems arising in the course of parametrical synthesis of engineering devices and systems are considered. The received results can be useful by design of algorithms of the parametrical synthesis based on technology of parallel computations.
Keywords: synthesis, parallel algorithm, parameter, reliability, optimization.
