CC BY
25НЕИЗВЕСТНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И БЕСКОНЕЧНОСТЬ НЕДОКАЗАННЫХ ТЕОРЕМ
(Продолжение. Начало см. в № 1 (24) 2013)
Треугольники Чевы
Джованни Чева (1648 - 1734 гг.) - итальянский математик и инженер. В 2014 г. исполнилось 280 лет со дня его смерти. В главном своем труде «О прямых линиях» (1678) он использовал свойства центра тяжести системы точек [1]. Предварительно приведем формулировку взаимодополняющих теорем Менелая и Чевы, на которые нам неоднократно придется ссылаться в этой и последующих заметках.
Теорема Менелая. Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки А1, В^ не совпадающие с его вершинами, причем AC1 = рОДВД; = qA1C,CB1 = rB^A . Тогда, если точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой, то pqr = -1. И обратно, если pqr = -1, то точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой.
Теорема Чевы. Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, Аи, В 1и не совиадиющии с его вершинами, причем AC1 = pClB,BÂ; = qA1C,CB1 = rB^A . Тогда если прямые АА1, ВВ1, СС1 пресекаются в одной точке или попарно параллельны, то pqr = 1. И обратно, если pqr = 1, то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны.
Заметим, что приведенные теоремы Менелая Александрийского (жившего в 1 веке н.э.) и Чевы внесены в учебник по геометрии для общеобразовательных школ [2]. Из теоремы Чевы получаются как следствия ряд известных теорем.
Определение. Назовем производным треугольником Чевы треугольник А1В1С1, вершинами которого служат основания прямых треугольника АВС при условии их пересечения во внутренней точке треугольника (рис. 1).
Цепи производных треугольников Чевы в исходном треугольнике АВС
Мы назвали треугольник А1В1С1 треугольником Чевы. Естественно, такие треугольники в разных треугольниках АВС, даже при пересечении прямых Чевы в одной и той же характерной точке треугольника АВС, будут разными по углам или сторонам (рис. 2). Во всем разнообразии форм треугольников АВС при одной и той же характерной точке пересечения прямых Чевы (точка пересечения медиан) формы треугольников Чевы А1В1С1 также будут разнообразны.
С. А. Батугин
С каждой внутренней точкой треугольника АВС можно связать бесконечную (или конечную) цепь последовательных треугольников Чевы, но нам такие попытки неизвестны. Однако известно много теорем и следствий, в которых рассматриваются характерные, примечательные точки треугольника АВС, и доказывается о свойствах или особенностях соответствующего первого или некоторых последующих треугольников в такой цепи.
Отметим известные в геометрии треугольника примечательные (или характерные) точки, многие из которых названы именами тех, кто открыл эти точки. Назовем некоторые из них: точки пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника АВС, точка Жергона (точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника АВС с точками касания вписанного круга), две точки Брокара, точка Торричелли, точки Эйлера и др. [3].
Зададим теперь такой вопрос: сколько характерных точек может быть в исходном треугольнике АВС? Для ответа на этот вопрос рассмотрим один треугольник АВС из классификации, представленной на рис. 2. Удобно взять разносторонний треугольник как более общий. В нем, как и во всех остальных исходных треугольниках АВС этой классификации, нанесена только
А
Рис. 1. Пример треугольника А1В1С1 исходного равностороннего треугольника АВС. Прямые Чевы АА1, ВВ1, СС1
112
Наука и техника в Якутии № 2 (27) 2014
Разносторонний
Равносторонний
Рис. 2. Классификация треугольников а - по углам, б - по сторонам
одна характерная точка - точка пересечения медиан. В равностороннем треугольнике эта точка совпадает с точкой пересечения и биссектрис, и высот исходного треугольника АВС. Именно поэтому мы и выбрали разносторонний исходный треугольник АВС.
Допустим, что в этом треугольнике построен какой-либо производный треугольник Чевы А1В1С1. Нанесем в нем его характерные точки. Получим некоторую плеяду
характерных точек в треугольнике Чевы А1В1С1. Теперь, если спроектировать эту плеяду точек на площадь исходного треугольника АВС, то получим некоторое множество дополнительных характерных точек треугольника АВС, вероятно, частью не совпадающих с исконно характерными его точками. Такие точки можно бы назвать производными характерными точками исходного треугольника АВС.
Список литературы
1. Боголюбов, А. Н. Математики, механики : биографический справочник / А. Н. Боголюбов. - Киев : Наукова думка, 1983. - 639 с.
2. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян,
B. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 22-е изд. - М. : Просвещение, 2013. - 255 с.
3. Зегель С. И. Новая геометрия треугольника /
C. И. Зегель. - М. : Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1962. - 152 с.
Равнобедренный АВС:
тъж кэшж
К.А. Борисов, В.Р. Дарбасов
Борисов, Константин Афанасьевич. Агропоселок на Севере / К. А. Борисов, В. Р Дарбасов ; [отв. ред. д.э.н. А. А. Пахомов]. - Якутск : Бичик, 2014. -200 с.
АГРОПОСЕЛОК НА СЕВЕРЕ
В монографии представлена инновационная идея «Агропоселок на Севере», основанная на отделении скотного двора от жилого сектора и размещении его за пределами населенного пункта как решение проблемы благоустройства, улучшения санитарно-гигиенических и экологических условий агропоселений, сокращения затрат на строительство ЛЭП, газо- и водопроводов, других инженерных сетей. Рассмотрено внедрение инновационных процессов в строительство индивидуального жилья, производственных объектов, ЖКХ на селе, с применением новых технологий (биогазовых установок, современных утеплителей и др.) и с учетом архитектурной среды и дизайна агропоселков. Определены роль и место молодого поколения в современном обществе. Путем научного анализа показана система управления кадровой молодежной политикой, приведены макроэкономические и социально-демографические данные, характеризующие социально-экономическое положение молодежи Республики Саха (Якутия).
Книга рассчитана на руководителей и специалистов МО улусов (районов) и наслегов, политологов и социологов, она также представляет интерес для массового читателя. Монография может быть использована как учебно-методическое пособие для студентов средних специальных и высших учебных заведений, аспирантов сельскохозяйственных и экономических вузов.
Наука и техника в Якутии № 2 (27) 2014
I
113
