CC BY
21
УД К 330.3+332.012
А. В. Павлов 1, В. Н. Павлов 2
Институт экономики и организации промышленного производства СО РАН пр. Акад. Лаврентьева, 17, Новосибирск, 630090, Россия
Новосибирский государственный университет ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия E-mail: 1 antpav@ieie.nsc.ru; 2 pvn@nsu.ru
НЕЧЕТКОЕ СОГЛАСОВАНИЕ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ *
В статье содержится описание и научное обоснование процедур согласования макроэкономических показателей в системе KAMIN-FUZZY. Для оценки степени согласованности показателей применяется функция правдоподобности совпадения нечетких множеств. Исследуются вопросы сходимости функций правдоподобности в нечеткой топологии.
Ключевые слова: согласования макроэкономических показателей, нечеткие множества, система KAMIN-FUZZY.
Введение
В ходе выполнения проекта № РНП.2.1.3.2428 «Исследование макроэкономических процессов в России с использованием межотраслевых моделей с нечеткими параметрами» разработана система макроэкономических моделей с нечеткими параметрами KAMГN-FUZZY, в которую включены:
1) межотраслевая динамическая модель нечеткого прогнозирования использования общественного продукта с распределенным строительным лагом (в модели дифференцированно представлены первое и второе подразделения общественного производства, фондосоздаю-щие и нефондосоздающие отрасли);
2) модель нечеткого прогнозирования экологических процессов;
3) межотраслевая модель нечеткого прогнозирования отраслевых индексов цен;
4) модель нечеткого прогнозирования финансовых потоков между субъектами финансовой деятельности;
5) модель нечеткого прогнозирования денежной массы;
6) модель нечеткого прогнозирования доходов и расходов федерального и консолидированного бюджетов.
Нечеткие расчеты по всему комплексу моделей проводятся на основе единой информационной базы. Единая исходная информация является основой для выполнения комплексного исследования. В то же время встает проблема согласования отдельных параметров информационной базы между собой. Целью корректировки параметров является согласованность расчетных показателей, полученных по разным моделям. Наличие нечетких параметров в информационной базе и нечетких расчетных показателей приводит к проблеме их нечеткого согласования.
В данной статье предлагается математическое обоснование алгоритмов нечеткого согласования параметров информационной базы и расчетных показателей, полученных по разным моделям системы KAMГN-FUZZY. С этой целью, вводится понятие открытых и замкнутых
* Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки РФ (проект № РНП.2.1.3.2428).
ISSN 1818-7862. Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки. 2008. Том 8, выпуск 2 © А. В. Павлов, В. Н. Павлов, 2008
нечетких множеств. Оказывается, что всякое топологическое пространство содержит всего два четких и много нечетких множеств, которые являются одновременно открытыми и замкнутыми. Предлагаемая схема построения нечеткой экспоненциальной топологии является новой и основана на идеях К. Куратовского (см. [1]) по построению (четкой) экспоненциальной топологии. Частично результаты, содержащиеся в данной статье, были опубликованы в работах [2; 3. С. 119-130.].
Взаимодействие моделей в системе KAMIN-FUZZY
Схематически взаимодействие моделей в системе КЛМ1К-Ри22У и структура этой системы представлены ниже:
Процедуры нечеткой корректировки параметров и нечеткого согласования расчетных показателей являются центральным связующим звеном между всеми моделями системы. Для их описания используется понятие нечеткого множества.
Пусть Iх - пространство всех отображений х : X ^ [0,1]. Следуя [4], всякое отображение
Хе Iх будем называть функцией принадлежности нечеткого множества Ах, содержащегося в Х. Для всякого х е X значение х(х) интерпретируется как правдоподобность того, что х е А. Если дано нечеткое множество А, то его функцию принадлежности будем обозначать XА . Напомним, что операции над нечеткими множествами определяются через операции над их функциями принадлежности. Функция принадлежности дополнения х(х) = 1 — х(х) , так что Ах = X — Ах, п (х) = min{х(х),х)} - функция принадлежности пересечения, так что Ац = А. п А, п (х) = max {х(х), х)} - функция принадлежности объединения, так что
Л = А.
Если обозначить через ё = (ё^..., ёп ) е В набор параметров информационной базы, часть из которых являются нечеткими, то результат применения 7-й модели, включенной в КЛМ1К-Ри22У, к вектору ё представляет собой набор нечетких показателей ^ (ё) . Степень
согласованности показателей между собой определяется через функцию правдоподобности совпадения двух нечетких множеств
Т (А; В ) = Шп { Р1 (А; В); Р1 (В; А)}, предложенную в работе [3]. Здесь
Р1 (А; В) =
||Х Апв||
|х АёП
|х в|
< ^. X
П - некоторая мера в X.
Пусть А, В еЗ(X). Так как для всякого х е X справедливо неравенство
XАпВ (Х) = Ш1П {XА (Х), XВ (Х)} < XВ (Х) , то имеем ||Х АпВ || < ||Хв ||. Очевидно, справедливо равенство Т (А; В) = Т (В; А) .
В работе [5] исследованы свойства функции Т (А;В) . Применение этой функции для
оценки степени согласованности расчетных показателей основано на решении следующей задачи.
Обозначим через х (ё) и у (ё) нечеткие множества, полученные по разным моделям системы КЛМ1К-Ри22У и описывающие один и тот же расчетный показатель. Теперь задача согласования формулируется как задача максимизации:
Т ( х ( ё ); у ( ё )) ^ шах, ё е В . (1)
Для эффективного решения задачи (1) необходимо знать топологические свойства отображений х(ё) и у(ё). В данной статье рассматриваются топологические конструкции на множестве 3(Х), позволяющие изучать топологические свойства нечетких отображений 1г (ё).
Открытые и замкнутые четкие множества
Пусть Х - сепарабельное топологическое пространство, I = [0,1] - отрезок вещественной оси с индуцированной топологией вещественной прямой. Пространство X х I наделено топологией Декартова произведения, т. е. слабейшей топологией, в которой проекции пX (х, а) = х и п1 (х, а) = а непрерывны.
, ч Г1, х е А
Пусть А с X . Обозначим через XА (х) = \ функцию принадлежности (четкого)
I 0, х ^ А
множества А, через у(А) = {(х, а)е X х I |а<xА (х)} - подграфик множества А, через у* (А) = {(х, а) е X х I|а > XА (х)} - надграфик множества А.
Лемма 1. Множество А замкнуто в топологии Х тогда и только тогда, когда у(А) замкнуто в топологии X х I.
Доказательство. Необходимость. Пусть А замкнуто. Возьмем последовательность (хп, ап) е у(А) такую, что (хп, ап) ^ (х, а) . Так как хп е А при любом п и хп ^ х, то из замкнутости А следует, что х е А . Далее, при любом п справедливы неравенства 0 <ап < 1.
Следовательно, 0 < а< 1. Поскольку хA (х) = 1, отсюда получаем (х, а) е у (A) и замкнутость у(A) доказана.
Достаточность. Пусть у(A) замкнуто. Рассмотрим последовательность хп е A такую, что хп — х . Заметим, что для всякого 0 < а < 1 точка (хп, а)еу( A) . Следовательно, в силу замкнутости у (A) , получаем (х, а) е у (A) . Откуда вытекает включение х е A . Лемма доказана.
Лемма 2. Множество А открыто в топологии Х тогда и только тогда, когда у*(A) замкнуто в топологии X X I .
Доказательство. Необходимость. Пусть А открыто. Тогда X - A - замкнуто. Возьмем последовательность (хп, ап)еу*(A) такую, что (хп, ап) —(х, а) . Если а = 1, то очевидно,
что (х, а) е у* (A) . Если а < 1, то найдется такое N, что при п > N будет справедливо включение хп е X - A . Так как X - A замкнуто, имеем х = lim хп е X - A и хA (х) = 0. Следовательно, и в этом случае (х, а) е у* (A) . Итак, замкнутость у* (A) доказана.
Достаточность. Пусть у* (A) замкнуто. Рассмотрим последовательность хп — х причем хп е X - A . Заметим, что для всякого 0 < а < 1 точка (хп, а) е у* (A) . Следовательно, в силу замкнутости у* (A), получаем (х, а) е у* (A) . Откуда вытекает включение х е X - A . Лемма доказана.
Подграфик и надграфик нечетких множеств
Рассмотрим нечеткое множество А с функцией принадлежности хA (х) . Отображения у и у* естественным образом продолжаются на нечеткие множества, при этом для всякого нечеткого А множества у(A) и у*^) являются четкими.
Далее, если считать различающимися нечеткие множества, функции принадлежности которых не совпадают, то отображения у и у* инъективны. Таким образом, можно считать, что всякое нечеткое множество А порождается четкими множествами у(A) или у* (A) .
Примечание. Пусть е есть четкое множество из X х I. Обозначим еа = {х е X | (х, а) е е}. Для того, чтобы нашлось нечеткое множество А в Хтакое, что е = у(A) , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия е0 = X и еа ^ ер при а <ß . В этом случае функция принадлежности множества А определяется формулой хA (х) = sup а . Для того чтобы нашлось
хееа
нечеткое множество А в Х такое, что е = у* (A), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия е1 = X и еа ^ eß при а >ß . В этом случае функция принадлежности множества А определяется формулой хA (х) = sup а .
х«еа
Открытые и замкнутые нечеткие множества
Доказанные леммы 1 и 2 показывают, как можно распространить понятия замкнутости и открытости на нечеткие множества.
Определение 1. Нечеткое множество А будем называть замкнутым, если у(A) замкнуто.
Нечеткое множество А будем называть открытым, если у*(A) замкнуто.
Определение 2. Функция х: X — [0;1] называется полунепрерывной сверху в точке х0, если справедливо неравенство limх(х)<х(х0) . Функция х: X —> [0; 1] называется полуне-
прерывной снизу в точке x0, если справедливо неравенство lim х(x) > х(x0) . Функция х на-
Х^ x0
зывается полунепрерывной сверху (снизу), если она полунепрерывна сверху (снизу) в каждой точке x е X .
Лемма 3. Нечеткое множество А замкнуто тогда и только тогда, когда Ха полунепрерывна сверху.
Доказательство. Необходимость. Пусть у(A) замкнуто. Фиксируем точку x0 и обозначим C = limхA (x). По определению верхнего предела найдется последовательность xn ^ x0
x0
такая, что lim хA (xn ) = C. Поскольку для всякого n справедливо включение
( xn, х A
(xn ))ет(А) и y(A) замкнУто, то (x0, C) е y( a) . СлеДовательно, Ха (x0 )> C .
Достаточность. Пусть ха полунепрерывна сверху. Рассмотрим последовательность (xn, an) е y(A) такую, что (xn, аn) ^ (x,а) . Поскольку хA (xn) > an , то это неравенство останется справедливым для верхнего предела C = limxA (xn ) > а . В то же время из полунепрерывности сверху хA имеем хA (x) > C . Лемма доказана.
Лемма 4. Нечеткое множество А открыто тогда и только тогда, когда хA полунепрерывна снизу.
Доказательство. Необходимость. Пусть у*(A) замкнуто. Фиксируем точку x0 и обозначим C = lim хA (x) . По определению нижнего предела найдется последовательность xn ^ x0
x0
такая, что lim хA (xn ) = C. Поскольку для всякого n справедливо включение
(xn, хA (xn )) е у* (A) и у*(A) замкнуто, то (x0, C)еу*(A) . Следовательно, хA (x0 )< C .
Достаточность. Пусть xA полунепрерывна снизу. Рассмотрим последовательность (xn, аn ) е у* (A) такую, что (xn, аn ) ^ (x,а) . Поскольку хA (xn) < an , то это неравенство останется справедливым для нижнего предела C = lim хA (xn ) < а . В то же время из полунепрерывности снизу хA имеем хA (x) < C . Лемма доказана.
Следствие 1. Если функция принадлежности хA нечеткого множества А непрерывна, то множество А является одновременно открытым и замкнутым.
Следствие 2. Если нечеткое множество А замкнуто, то X — A открыто. Если нечеткое множество А открыто, то X — A замкнуто.
Обозначим через 3(X) множество всех нечетких замкнутых подмножеств Х, а через
F (X) множество всех четких замкнутых подмножеств Х. Ясно, что F (X)с 3(X) . Через H (X) обозначим множество нечетких подмножеств Х, функции принадлежности которых непрерывны. Ясно, что H(X)сЗ(X) и F(X)nH(X) = {0,X} .
На нечеткие множества переносятся многие свойства открытых и замкнутых четких множеств.
Определение 3. Пространство Х называется вполне регулярным, если для всякого x е X и для всякой (четкой) окрестности U с X точки х существует непрерывная функция f такая, что f(x) = 1, (VyеX) 0<f(y)< 1 и (VyiU) f(y) = 0.
Лемма 5 (Лемма Эдвардса). Пусть Х - вполне регулярное топологическое пространство. Е - система подмножеств из Х, содержащая базу окрестностей каждой точки из Х. Всякая положительная полунепрерывная снизу на Х функция f в каждой точке x е X удовлетворяет равенству
f (х) = sup{g (х)} ,
geG
где
G = {g e H(X)|(Vx e X)g(х) < f (х)л(ЗА e E)supp(g) с A}, supp(g) = {хe X|g(х) > о}. Доказательство содержится в [6. С. 28].
Из леммы Эдвардса применительно к нечетким множествам вытекает несколько важных результатов. Обозначим через cl (Z) замыкание множества Z, Cy(A) = X х I — у (A) и
I y(A ) = X х I — cl ( С y(A)) . Ясно, что в топологии X х I множество С у (A) открыто для любого A e 3(X) , а множество Iу(A) открыто для любого нечеткого множества А. Далее, для всякого F e3(X ) справедливо включение I у( F )су( F ).
Лемма 6. Пусть А - открытое нечеткое множество вполне регулярного пространства Х. Тогда:
1) для всякого 8 > 0 и для всякого х e X существует h e H (X) такая, что y(h) с Iу( A) и
X A (х) — 8<Х h (х )<х A (х);
2) справедливо равенство A = U F, где Ha = {f e H(X)y(F) с Iy(A)}.
FeH A
Доказательство. Утверждения являются очевидным следствием леммы 4 и леммы 5. Лемма 7. Пусть А - замкнутое нечеткое множество вполне регулярного пространства Х. Тогда:
1) для всякого 8 > 0 и для всякого х e X существует h e H (X) такая, что у(A) с Iу(h) и
х a (х )<х h (х )<х a (х )+8;
2) справедливо равенство A = Q G, где HA = {g e H(X| Iy(G) з y(A)}.
GeHA
Доказательство. Утверждение является следствием леммы 3 и леммы 5, так как если хA полунепрерывно сверху, то 1 — хА полунепрерывна снизу.
Нечеткие топологии
Определение 4. Пусть Х- некоторая совокупность. Топологией в Хназывается семейство т подмножеств А с X, обладающее следующими свойствами:
1) 0, X eT; 2) A, B eT^ A n B eT; 3) AaeT^ Ц| Aa ex.
a
Множества A ex называются открытыми множествами топологии т или т-открытыми. Говорят, что топология т' сильнее топологии т, и пишут т' > т, если всякое множество G, принадлежащее т, также принадлежит и т'. В этом случае также говорят, что т слабее т'. Пусть {Ga} - некоторое семейство множеств из Х. Обозначим через т^а} слабейшую топологию в Х, в которой все множества семейства {Ga} открыты. Семейство {Ga} с т будем называть открытой предбазой топологии т, если т {Ga } = т .
Определение 5. Пусть в пространстве F(X х I) задана топология т. Обозначим через f т и назовем нечеткой топологией, порожденной т, слабейшую топологию в 3(X), в которой у непрерывно.
Лемма 8. Пусть {Ga} - открытая предбаза топологии т в F(X х I). Тогда открытой предбазой топологии f т будут множества {eg }, где EG = у-1 [у(^(X))n GJ .
Доказательство. Для непрерывности у необходимо {eg }с f т. Следовательно т {eg } с f т . Но поскольку f т - слабейшая топология с этим свойством, то т {eg } = f т .
Примеры нечетких топологий
Пусть A с X х I. Обозначим 2A = {{ е F(X х I) F с Л].
Определение 6. Назовем, по аналогии с [1], топологией полунепрерывности сверху или к-топологией на множестве F(X х I) топологию, открытой предбазой которой являются множества вида 2О для открытых О с X х I. Назовем топологией полунепрерывности снизу или Я-топологией на множестве F(X х I) топологию, открытой предбазой которой являются множества вида F (X х I)- 2F для замкнутых F с X х I. Экспоненциальной или ц-топологией назовем объединение к- и Я-топологий.
Топологиями к, Я и ц на F(X х I) порождаются, в соответствии с определением 5, нечеткие топологии /к, /Я , /ц в ), которые будем называть: нечеткой топологией полунепрерывности сверху, нечеткой топологией полунепрерывности снизу и нечеткой экспоненциальной топологией соответственно.
Некоторые свойства нечетких топологий
Легко видеть, что если Х - вполне регулярно, то /ц -топология является Т1 -топологией,
что непосредственно следует из лемм 6 и 7.
Лемма 9. Справедливы следующие утверждения. 1) Открытой предбазой топологии /к
являются множества иО =у-1 [у(3^))п> 2° ] для открытых О с X х 1. 2) Множества Е (И ) = {/ еЗ^ )| у( / )с ^(к )] для всякого И е Н (X) открыты в топологии / к .
Доказательство. 1) Утверждение следует из непрерывности у. 2) Достаточно заметить, что множество Iу(И) открыто в топологии X х I .
Лемма 10. Справедливы следующие утверждения. 1) Открытой предбазой топологии /Я
являются множества VF = у-1 ^(З^F(X хI)-2F )] для замкнутых F с X х I.
2) Множества Ь(И) = {/ е 3^)| у(/)п> Су(И) ф 0] для всякого И е Н(X) открыты в топологии /Я . 3) Если Хвполне регулярно, то т{Ь (И), И е Н ^)] = /Я .
Доказательство. 1) Утверждение следует из непрерывности у. 2) Достаточно заметить, что множество у (И) замкнуто в топологии X х I и у( / )е F (X х I)-2у(И), если / е Ь (И).
3) Пусть О с X х I - открытое множество и (х, а) е О . По свойству Декартова произведения найдется открытая окрестность V точки х такая, что V х {а] с О . Так как Х - вполне регулярно, то найдется И е Н (X) такая, что И (х) = а , И (у ) = 1 при у gV и И (х)< И (у )< 1 при у е V и у ф х. Для завершения доказательства теперь достаточно заметить, что
Ь(И)су-1 [((XхI)-2--О^у^))] .
/ к
Лемма 11. Пусть Х - вполне регулярное пространство. Тогда если Лп ^Л , то Ух е X Ит Xлп (х)^Хл(х).
Доказательство. Фиксируем точку х0. Если хЛ (х0) = 1, то доказывать нечего. В противном случае фиксируем 8 > 0 и открытое нечеткое множество О е Н (X), удовлетворяющее условиям у (Л) с Iу (О) и хО (х0) < XЛ (х0) + 8 . По лемме 7 такое О существует. Из сходимо-
/к
сти Лп ^ Л по лемме 9 следует существование натурального N такого, что для всех п > N выполняется включение у(Лп )с Iу(О) . Отсюда при п > N, вытекает неравенство
XA (х0)<хA (х0) + в . Следовательно, lim ха(хо)-Хл (хо) + s- Так как число в и точка х0 были выбраны произвольно, то лемма доказана. Нечеткие отображения
Определение 7. Графиком нечеткого отображения (х0)<хA (х0) + в будем называть множество r(f) = {(х,y) е X хЗ(Г)| y = f (х)} .
График нечеткого отображения представляет собой нечеткое множество в X х Y , функция принадлежности которого определяется равенством хГ( f)(х, У ) = X f (х )(y ). Пусть
e еЗ(Х xY). Множеством е порождается нечеткое отображение f: X ^3(Y) такое, что
функция принадлежности хf(х)(У) определяется формулой хдх)(У) = Xe (х,У). На нечеткие
отображения переносятся многие свойства четких точечно-множественных отображений. В частности, справедливо утверждение.
Лемма 12. Если Y вполне регулярно, то всякое f к -непрерывное отображение
f: X ) имеет замкнутый график.
Доказательство. Пусть (хп,yn,ап)еу[г(/)] и (хп,yn,ап)^(х,y,а). Если предположить, что (х, y, а ) £ у[г(/)], то будет выполнено неравенство хf(х) (у) < а . Тогда по лемме Эдвардса найдется h е H (Y) такая, что у[ f (х)]с Iy( h) и одновременно (y, а)ёу( h) . С другой стороны, из f к -непрерывности f по лемме 9 следует, что найдется такой номер N, что для всех n > N будет выполнено включение у| f (хп )J с Iу(h) . Следовательно, для этих n (yn, а,)е у(h) . Поскольку y(h) замкнуто, то (у, а) е у(h) . Получено противоречие, которое доказывает лемму.
Приложение нечетких топологий к исследованию функции правдоподобности T (A; B) Предположим, что мера п на X определена на а -алгебре, порожденной открытыми подмножествами X . Обозначим через l меру Лебега на I = [0; 1], а через пх l - декартово произведение мер п и l.
Определение 8. Точку (х, а) е X х I будем называть граничной для нечеткого множества A , если для произвольной окрестности этой точки U(х,а) множества U(х,а)ny(A) и U(х, а)п(X х I — у (A)) не пустые. Обозначим через 5(A) множество граничных точек нечеткого множества A .
Лемма 13. Пусть дано замкнутое нечеткое множество A такое, что пхl(ö(A)) = 0 и последовательность замкнутых нечетких множеств An е X с условием
fK
X A = X A = Я > 0 . Тогда если An ^ A , то справедливо равенство lim T (An; A) = 1.
n 11 11 п^<ю
Доказательство. Обозначим Bn = {х е X|хA (х) < ха (х)}, Cn = {х е X|хA (х) > ха (х)}. Фиксируем число в > 0, и выберем открытое множество V з 5(A), удовлетворяющее неравенству пх1 (V)<s . Это сделать можно, так как пхl(ö(A)) = 0 и а -алгебра ц-измеримых
множеств порождена открытыми подмножествами X . 1) Заметим, что справедливо равенство:
||хAnA„| =|хAdп+|хA„dп . (2)
lim
Далее, имеем J хAdП = J XAdП - J |хA -XA \dП , откуда с учетом (2) получаем
Bn Bn Bn
||х An aJ| = Jx And П - J |х A - X An\d n = ||х A„||- J |x A - X An Id П . (3)
X
f к
Очевидно, множество G = y(A)uK открыто в X x I и содержит y(A) . Так как An ^A , то существует номер n0, начиная с которого An с G. Выберем номер n1 так, чтобы при n > n1 выполнялось неравенство
||хAn || >||х A II -s . (4)
Обозначим En = {(x,а) е X x I|хa (x) < а < хa (x)} . Ясно, что при n > n0 имеем включение En с V . Далее, по определению множеств Bn и En имеем
J|x A X An Id n = nxl (En )< J d (nxl ) = nxl (V )<e.
B„ V
С учетом этих неравенств и соотношений (2), (3) при n > n0 получаем неравенство
||х An aJ| >||x AJI -s , (5)
откуда вытекает неравенство Pl (A; An )> 1 — s/q при n > n0. Так как s> 0 было выбрано произвольным, то доказано равенство lim Pl (A; An ) = 1.
Далее, из (4) и (5) следует ||хAnA || >||хA|| - 2s при n > max(n0, n1) , что эквивалентно неравенству Pl (An; A) > 1 - 2s/q . Из произвольности s> 0 теперь вытекает равенство lim Pl (An; A) = 1. Полученные два предела lim Pl (A; An ) = 1 и lim Pl (An; A) = 1 эквивалентны равенству lim T (An; A) = 1. Лемма доказана.
Следствие. Если в условиях леммы 13 вместо сходимости An ^ A рассмотреть сходи-
fa
мость An ^ A, то, очевидно, заключение леммы останется справедливым, так как из fa -сходимости следует fk -сходимость нечетких множеств.
Процедура согласования
Полученные топологические свойства нечетких отображений являются основой для построения процедур согласования расчетных показателей в системе KAMIN-FUZZY. Алгоритм случайного поиска решения задачи (1) заключается в следующем.
1) Фиксируется бесконечно малое число s > 0 .
2) Случайным образом строится новое d е D .
3) Вычисляются показатели х(dl) , y (dl) . Шаги 2-3 повторяются N раз. В результате получается набор d1,...,dN .
4) Если maxT (х (d); y (d )) = T(x(d0); y (d0 ))< T (x(d); y (d )) + s, то процесс заканчивается, и
значение d объявляется искомым. Если maxT(x(d);y(d))= T(x(d^);y(d0))>T(x(d);y(d)) + s,
то в качестве d берется значение dt , и процесс продолжается начиная с шага 2.
Поскольку, для любого d е D справедливы неравенства 0 < T(x(d); y(d)) < 1, то при
s > 0 через конечное число шагов алгоритм решения задачи (1) заканчивает работу.
Если предположить, что вероятностная мера определена на а -алгебре, порожденной открытыми подмножествами X , то при выборе достаточно большого N и достаточно малого
в> 0 вероятность попадания найденного значения с1{ е ) в заданную /к -окрестность оптимального решения задачи (1) будет близка к 1. Из леммы 13 теперь следует, что последовательность {Ип }, построенная по предложенному алгоритму случайного поиска, сходится по вероятности к решению задачи (1).
Асимптотические свойства функции правдоподобности Т (А; В)
В данном разделе функция правдоподобности Т (А; В) используется для оценки влияния
ошибок прогноза, порожденных ошибками в исходной информации. Пусть й е Я" есть набор экзогенных параметров некоторой макроэкономической модели и X - прогнозируемый макроэкономический показатель. Будем считать, что процедура вычисления прогнозируемого показателя X по этой модели имеет вид
X = ¥ (й). (6)
Если экзогенные параметры содержат ошибки измерения й'- = й- ± г-, то прогнозируемый
показатель также содержит ошибку X = X ±Дх . Если функция ¥ из (6) непрерывно дифференцируема по каждой переменной, то для ошибки прогнозируемого параметра справедливо равенство
*=1 • г- +»(И)
где через о (||г||) обозначена бесконечно малая по сравнению с величиной ошибки.
Рассмотрим теперь макроэкономическую модель с нечеткими параметрами (см. [7]), и для вычисления прогнозируемого показателя применим стохастический алгоритм (см. [5]). Если все или часть экзогенных параметров й- будут заданы нечетко, то прогнозируемый показатель X также будет нечетким множеством. В терминах нечетких множеств мы можем оценить надежность совпадения Т x2) двух значений прогнозируемого показателя x1 и x2. Очевидно, если функции принадлежности нечетких множеств x1 и x2 совпадают, то Т (X!; x2 ) = 1, в противном случае 0 < Т (x1; x2 )< 1. Используя функцию Т x2), можно оценить, насколько согласуются (нечеткие) значения экзогенных параметров й и заданное (нечеткое) значение прогнозируемого показателя X.
Определение 9. Степенью согласованности нечетких значений экзогенных параметров й и
нечеткого значения прогнозируемого показателя X будем считать величину Т (X; ¥ (й)) .
В данном разделе выполнено статистическое исследование асимптотических свойств функции Т(X; ¥(й)) и вывод асимптотической формулы для ее вычисления.
Формирование статистической базы
В качестве статистической базы взяты результаты прогнозных расчетов по динамической межотраслевой модели с нечеткими параметрами, разработанной авторами в ходе выполнения инновационного проекта «Исследование макроэкономических процессов в России...» (см. [7]). Нечетким прогнозируемым показателем был выбран темп роста валового выпуска в целом за период 2007-2012 гг. Проведена серия экспериментальных прогнозных расчетов, в которой нечетко задавались экзогенные вводы основных фондов.
В расчетах базовые значения параметров й- заменялись симметричными треугольными
числами ))-, в которых носитель составлял заданную долю г от базового значения й-этого параметра. Таким образом, для каждого параметра й-, который заменялся треугольным числом, было выполнено равенство = г • й- . В качестве эталонного расчетного темпа выбиралось симметричное треугольное число xs с носителем 5 , центром которого является
наиболее правдоподобное значение темпа. После прогнозного расчета для темпа роста валового выпуска вычислялась величина
Т (г, *) Т (х,, ¥(б)) .
Здесь через б обозначен набор экзогенных параметров й межотраслевой модели х = ¥ (й) , в котором некоторые компоненты задаются в виде треугольных чисел. В расчетах задавались разные значения г и * (табл. 1).
Таблица 1
Значения Т (г, *) правдоподобности согласования нечеткого темпа роста валового выпуска с нечетким заданием прогнозируемых вводов основных фондов, % *
* = 0,0065 * = 0,00423 * = 0,00275 * = 0,00179 * = 0,00116 * = 0,00075 * = 0,00049
г = 0,06 69,28 51,97 38,12 29,62 23,59 17,53 11,22
г = 0,07 55,73 40,43 29,20 21,28 15,25 11,05 8,66
г = 0,08 55,25 38,76 27,68 18,32 12,20 8,11 5,82
г = 0,09 48,46 34,04 23,37 14,69 9,26 6,40 4,09
г = 0,10 44,54 31,11 20,61 12,97 8,30 5,12 3,80
г = 0,11 42,95 32,20 21,67 13,98 8,26 5,42 3,99
г = 0,12 37,85 24,31 16,73 13,20 9,58 5,97 3,96
г = 0,13 33,93 24,30 18,45 12,79 8,03 5,14 3,38
г = 0,14 36,07 25,24 16,88 11,66 8,79 7,07 5,40
г = 0,15 30,05 19,91 12,67 8,03 4,90 2,36 1,39
г = 0,16 28,71 21,03 14,56 9,37 6,76 4,54 3,05
г = 0,17 28,80 20,46 13,40 8,02 4,56 3,18 2,23
г = 0,18 28,29 19,06 12,32 8,66 5,43 3,30 2,38
г = 0,19 25,40 16,35 11,22 7,85 4,81 3,47 2,30
* Здесь в левом столбце указаны значения параметра г , определяющего нечеткость в задании вводов ОФ, а в верхней строке - значение параметра * , определяющего нечеткость в задании темпа роста валового выпуска, при которых проводились расчеты. На пересечении соответствующих строки и столбца стоит правдоподобность согласования Т (г,*) в процентах
Методика построения функции Т (г, *)
Методика исследования заключалась в следующем. На первом этапе проверялась гипотеза постоянства эластичности надежности Т (г, *) по параметру * . В результате вычисления
ДТ • *
статистики Н1 =- по табл. 1 были получены следующие значения (табл. 2).
Т •Д*
Таблица 2
Значения статистики Н1
* = 0,0065 * = 0,00423 * = 0,00275 * = 0,00179 * = 0,00116 * = 0,00075
г = 0,06 0,713703 0,761808 0,636659 0,581554 0,733713 1,029275
г = 0,07 0,784403 0,793571 0,775048 0,809348 0,787738 0,618024
г = 0,08 0,852589 0,816747 0,965825 0,954513 0,958393 0,807053
г = 0,09 0,850450 0,895484 1,060785 1,056992 0,881976 1,033307
г = 0,10 0,861470 0,964273 1,059720 1,027348 1,094003 0,739099
г = 0,11 0,715269 0,934368 1,013510 1,169272 0,982360 0,752372
г = 0,12 1,021713 0,891552 0,602847 0,782779 1,075396 0,962119
г = 0,13 0,810558 0,688627 0,875928 1,063691 1,027064 0,978123
г = 0,14 0,857668 0,946204 0,883102 0,704169 0,559826 0,673057
г = 0,15 0,964103 1,039348 1,046638 1,113781 1,482644 1,166482
г = 0,16 0,764645 0,879305 1,018216 0,794274 0,937707 0,938106
г = 0,17 0,827133 0,985639 1,147122 1,234548 0,861621 0,856281
г = 0,18 0,931775 1,009721 0,850398 1,063393 1,122872 0,792226
г = 0,19 1,017873 0,897341 0,858086 1,104324 0,795519 0,967741
Статистика Н имеет следующие характеристики:
Н1 И = 0,908873, = 0,02573.
Проверка на стационарность. По критерию Дики - Фуллера ^ -статистика и г -статистика подтверждают стационарность на 99-процентном уровне значимости. Нормальность распределения подтверждается по критерию Колмогорова-Смирнова на 95-процентном уровне значимости. Результаты расчетов, содержащиеся в табл. 3, подтверждают отсутствие автокорреляции в выборке Н1.
Таблица 3
Значения автокорреляционной функции статистики Н1
Величина лага Ь = 1 Ь = 2 Ь = 3 Ь II 4 Ь = 5
Значение автокорре- -0,107832 0,053672 -0,110874 -0,121636 -0,02745
ляционной функции
Значение 8.Б. стати- 0,1091089 0,1103703 0,1106806 0,1119951 0,113557
стики [0,3230] [0,6268] [0,3165] [0,2774] [0,8090]
Значение статистики 0,976736 1,218717 2,251343 3,494154 3,557437
Бокса - Пирса [0,3230] [0,5437] [0,5219] [0,4788] [0,6147]
Итоговым выводом из проведенного статистического исследования является утверждение, что выборка статистики Н1 из табл. 2 представляет собой Гауссовский белый шум. Это обосновывает справедливость равенства
д 1п Т (г, s )
д 1п 5
= 0,908873,
(7)
где через Т (г, 5 ) обозначено математическое ожидание случайной величины Т (г, 5 ) . Решив уравнение в частных производных (7), найдем
Т (г, 5)= Т0 (г)• 5°'908873.
Из табл. с учетом формулы (8) теперь определяем значения функции Т0 (г) . Аналогичная проверка функции Т0 (г) показывает, что справедливо равенство
Т0 (г) = Н • г-0'8741.
Для статистики Н в этом случае имеем выборку со средним значением Н = 9,783 (табл. 5).
(8)
Таблица 4 Значения функции Т0 (г)
Таблица 5
Значения Н
Максимальная ошибка Тс (г) Максимальная ошибка Н
г = 0,06 131,6954 г = 0,06 11,26048
г = 0,07 114,1469 г = 0,07 11,16782
г = 0,08 98,81548 г = 0,08 10,86475
г = 0,09 81,19599 г = 0,09 9,895588
г = 0,10 72,56045 г = 0,10 9,696242
г = 0,11 68,75442 г = 0,11 9,985856
г = 0,12 61,73261 г = 0,12 9,674536
г = 0,13 57,32197 г = 0,13 9,634342
г = 0,14 50,5824 г = 0,14 9,070535
г = 0,15 46,98074 г = 0,15 8,948373
г = 0,16 43,00124 г = 0,16 8,665727
г = 0,17 42,66088 г = 0,17 9,065002
г = 0,18 41,43087 г = 0,18 9,254657
г = 0,19 40,68991
Таким образом, окончательно получаем зависимость ожидаемой надежности согласования T (r, 5) от параметров r и s в следующем виде:
T (r, s) = 9,783 • r-0'8741 • s0'908873. (9)
Выведенная формула (9) характеризует надежность согласования наиболее правдоподобного темпа роста валового выпуска, описанного треугольным симметричным числом с носителем s, и максимальной ошибки прогнозируемых вводов r % от абсолютной величины в предположении, что ошибка описывается треугольным числом с носителем r из интервала 0,06 < r < 0,18, а размер носителя s удовлетворяет условию 0 < s < 0,0065 .
Список литературы
1. Куратовский К. Топология: Пер. с англ. М.: Мир, 1968. Т. 1-2.
2. Павлов В. Н. Об одной схеме построения нечетких топологий // Методы анализа динамики экономических процессов. Новосибирск: Изд-во ИЭОПП СО РАН, 2001. С. 114-124.
3. Павлов А. В., Павлов В. Н. Некоторые свойства нечетких отображений. Новосибирск: Изд-во ИЭОПП СО РАН, 2004.
4. Zadeh L. A. Fuzzy Sets // Inf. and Control. 1965. Vol. 8. P. 338-353.
5. Павлов А. В., Павлов В. Н. Применение интегральных преобразований в исследовании экономической неопределенности // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Серия: Социально-экономические науки. 2007. Т. 7, вып. 2. С. 21-30.
6. Эдвардс Р. Функциональный анализ: Пер. с англ. М.: Мир, 1969.
7. Павлов А. В., Павлов В. Н. Математическое обоснование расчетов по оптимизационной межотраслевой модели с нечеткими параметрами // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Серия: Социально-экономические науки. 2006. Т. 6, вып. 1. С. 19-32.
Материал поступил в редколлегию 09.04.2008
A. V. Pavlov, V. N. Pavlov
Fuzzy Coordination of Macroeconomic Indices
In clause the description and a scientific substantiation of procedures of the coordination of macro-economic indices in system KAMIN-FUZZY contains. Function of plausibility of coincidence of fuzzy sets is applied to an estimation of a degree of a coordination of indices. Questions of convergence of functions of plausibility in fuzzy topology are investigated.
Keywords: coordination of macro-economic indices, fuzzy sets, system KAMIN-FUZZY.
