Неавтономные двоичные регистры сдвига, сохраняющие значковые статистические свойства входной последовательности Текст научной статьи по специальности «Математика»

86

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 004.052

С.Ю. Мельников

Неавтономные двоичные регистры сдвига, сохраняющие значковые статистические свойства входной последовательности

Рассматриваются классы двоичных регистров сдвига, обеспечивающих равенство относительных частот встречаемости единиц во входной и выходной последовательностях длины N с точностью до O(1 /N). Построен критерий принадлежности регистра к этому классу, доказан ряд утверждений о свойствах функций выходов. Доказано, что мощность этого класса растет как двойная экспоненциальная функция от длины регистра.

Ключевые слова: генератор случайных последовательностей; регистр сдвига; граф де Брейна.

При построении генераторов случайных последовательностей часто используется каскадный метод, который заключается в выработке результирующих последовательностей из исходных с помощью автоматных преобразований, реализуемых в так называемых узлах усложнения. К таким узлам можно предъявить требование увеличения линейной сложности и другие требования. Естественным требованием является и то, чтобы равновероятная (по знакам) входная последовательность преобразовывалась бы в равновероятную. Случай, когда в качестве вероятностной модели входной последовательности автомата принимается модель независимых случайных величин, равномерно распределенных на входном алфавите автомата, хорошо изучен (см., например, [1, 2]). Однако последовательности, с которыми обычно приходится иметь дело при построении генераторов случайных последовательностей, «псевдослучайны», и говорить о независимости или об определенном виде зависимости (и вообще пользоваться вероятностными моделями) для их членов можно лишь с определенной степенью условности. С другой стороны, в ряде случаев можно иметь надежные границы для частот встречаемости знаков или n-грамм в этих последовательностях [3].

В статье рассматриваются автоматы, которые гарантируют, что частоты знаков во входной и выходной последовательностях будут не сильно различаться между собой. Пусть A = (X,Y,Q,h,f) -

конечный автомат Мили с двоичными входным и выходным алфавитами X = Y = {0,1}, множеством состояний Q, функцией переходов h: QхX ^ Q , функцией выходов f: QхX ^ Y . Начальное со-

стояние, входную и выходную последовательности автомата обозначим q(0) е Q.

() (2)

(У(),У(2),...). Значение предела lim -£ x(j , в случае его существования, можно интерпретировать V / Г^ю t j=1

[4] как среднюю частоту единиц в последовательности (xv ’, x

(x(1), x(2),...).

Назовем A автоматом, сохраняющим значковые статистические свойства входной последовательности, если равенство

lim 1 £ x(j = lim 1 £y(j)

t^ro t j=1 tt j=1

(1)

выполняется для всех q(0) е Q и всех бесконечных двоичных периодических (возможно, с подходом) последовательностей |x(1), x(2),

Примером автомата, сохраняющего значковые статистические свойства входной последовательности, может служить произвольный конечный автомат Мили с функцией выходов f (q, x) = x.

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

С.Ю. Мельников. Неавтономные двоичные регистры сдвига

87

Выходная последовательность такого автомата совпадает с входной, что обеспечивает справедливость равенства (1).

Статья является развитием работ [5, 6], в которых изучалось совместное поведение величин lim - ^ x(j) и lim - ^ y(j) для различных автоматов. Статья содержит три параграфа. В первом

tt j _1 tt j _1

параграфе рассматриваются основные свойства функций выходов регистров сдвига, сохраняющих значковые статистические свойства входной последовательности, во втором доказывается критерий принадлежности регистра исследуемому классу, в третьем даются оценки мощности класса таких регистров.

1. Основные свойства регистров сдвига, сохраняющих значковые статистические свойства входной последовательности. Пусть Vn - пространство n -мерных двоичных векторов, Fn -множество всех булевых функций от n аргументов, n = 1,2,.... Для булевой функции f(x1,Х2,...,xn)eFn через Af =(X = {0,1},Vn,Y = {0,1},h,f) обозначим автомат Мура, являющийся двоичным проходным регистром сдвига с накопителем размера n > 1, множеством состояний Vn, функцией переходов h, определяемой по правилу h((oj,...,an),x) = (a2,...,an,x), где

x,aj e{0,1} , i = 1,2,...,n, функцией выходов f (x1,x2,...,xn) .

Пример. n = 9, f(x1,x2,...,x9) = x1 ®x1 x2...xg®x2x3...x9. Ниже (Утверждение 9) показано, что Af сохраняет значковые статистические свойства входной последовательности. Проводился

следующий компьютерный эксперимент. Генерировался случайный двоичный вектор размера 9, который служил начальным состоянием автомата Af . На вход автомата подавалась случайная

(1) (2) (50) ,п

двоичная последовательность x ',x ',...,x ' длины 50, генерировалась выходная последователь-

(1) (2) (50) R 50 (i) 50 (i)

ность y ',y ',...,y '. Вычислялись значения ^x' и ^сумм единиц во входной и выходной

i=1 i=1

последовательностях. Эксперимент проводился 48 000 000 раз. Результаты эксперимента приведены

50 () 50 ()

на рис. 1. По горизонтальным осям откладывались значения ^х' и ^у ' , по вертикальной оси

i=1 i=1

откладывалась частота встречаемости этой пары значений в серии экспериментов. Для генерирования случайных данных использовалась функция Randomlnteger пакета Mathematica ver. 10.0.

Рис. 1. Результаты эксперимента для функции x1 © xpx2...x8 © x2 x3...x9

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

88

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

50 /л 50 ,)

На рисунке наглядно видно, что значения V Уг> и V Ег)

i=1

и V у близки друг к другу, и более того, i=1

выполняется неравенство

50 /л 50 /л

V x() - V JO

i=1

■V У

i =1

< const.

Множество функций f (xi,X2,...,xn)eFn, для которых автомат Af сохраняет значковые статистические свойства входной последовательности, обозначим Mn . В работе [5] показано, что

геометрическое место точек

(lim 1V x(j, lim 1

t^Х t j =1 t^X t j=1

в квадрате [0,1]x[0,1] является выпуклым

многоугольником. Многоугольники регистров Af с функциями из этого класса являются в определенном смысле минимальными. Они в точности совпадают с диагональю квадрата, т.е. отрезком [(0,0),(1,1)] .

Замечание 1. На первый взгляд может показаться, что рассматриваемый класс должен состоять из всех равновероятных булевых функций (т.е. тех функций, вес которых равен 2n 1). Однако, как показывает следующий простой пример для функции X1 © X2 © X3, это не так. Предположим, что на вход AX1©X2 ©Хз поступает периодическая последовательность с периодом (10010011) длины 8. Очевидно, относительная частота встречаемости единиц в ней равна 1/2, и даже частоты встречаемости биграмм 00, 01, 10, 11 равны 1/4 . Но выходная последовательность имеет период (11111010), и потому предел относительной частоты встречаемости единиц в выходной последовательности автомата Ax1©x2 ©x3 равен 3/4. ■

Замечание 2. Координатные функции X1,X2,...,xn не изменяют статистических свойств входной последовательности и поэтому принадлежат Mn .

Замечание 3. Рассмотрим последовательное соединение двух проходных регистров сдвига (рис. 2). Очевидным образом можно определить операцию композиции функций, которая функциям f е Mi и g е Mk ставит в соответствие функцию f ° g е Mi +k , однако далеко не все функции из Mi+k представимы в таком виде, т. е. допускают декомпозицию.

Замечание 4. В [6] показано, что все точки графика вероятностной функции ([1]) автомата Af при-

f ° g eMi+k

Рис. 2. Композиция двух функций

надлежат его многоугольнику. Отсюда вытекает, что у любой функции из Mn вероятностная функция является линейной, т. е. полиномом первой степени. Однако не все булевы функции с линейным вероятностным полиномом принадлежат Mn .

Назовем двоичную бесконечную последовательность Х = ( x(1), x(2),

чае, когда существует предел lim 1V x(j) и

t^X t j=1

1-равновероятной в слу-

lim1 Vx(j)= У

t^x tj=1 2

Оказывается, «почти все» двоичные бесконечные последовательности являются 1-равновероятными.

Утверждение 1. [7, гл. 2]. Пусть (wq,И1,...) - представление действительного числа Хе (0Д) в виде двоичной бесконечной дроби. (В случае неоднозначного представления выбираем последова-

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

С.Ю. Мельников. Неавтономные двоичные регистры сдвига

89

тельность с бесконечным количеством нулей). Мера Лебега множества тех ^е(0,1), для которых последовательность (w0,wj,...) является 1-равновероятной, равна 1.

К регистрам сдвига Af, которые могут использоваться в качестве узлов генераторов псевдослучайных чисел для преобразования двоичных последовательностей, логично предъявить требование, чтобы 1-равновероятные последовательности перерабатывались бы в 1-равновероятные. Такое требование представляется вполне естественным и особенно важным в тех случаях, когда имеются определенные сомнения в независимости (в вероятностном смысле) членов входной последовательности.

Ниже показано, что класс Mn - единственный (с точностью до инверсии) класс, удовлетво-

ряющий сформулированному выше требованию, в следующем смысле. Пусть f (0,0,...,0) = 0. Если

f £Mn, то существует такая 1-равновероятная последовательность %

(х«, x(2)

, для которой

lim 1 X= -1, но lim 1 X f(x(j),...,x(j+n 1)]^-1. Иными словами, либо автомат Af сохраняет

t^-ю t j=1 2 t j=1 V /2

(инвертирует) значковые свойства входа для любой последовательности % , либо для некоторой 1-равновероятной входной последовательности он их не сохраняет.

Утверждение 2. Пусть f £Mn, f (0,0,...,0) = 0, n = 2,3,... Существует 1-равновероятная после-

довательность (x(1), x(2),...), для которой определен предел lim

t

im1 X f (x( ),...,

t , _1 '

(+n-1)

и

lim1 X f (,..., X(+n 1))-1 > —4 t-**> tj=1 I /22

Доказательство. Согласно результатам [6] для Af определен выпуклый многоугольник Rf,

все вершины которого имеют вид I—,— I, где 1 < i < M < 2n , 1< j< N < 2n . Отсюда вытекает, что

' N M)

если f £ Mn, то в Rf найдется точка

±_ — N ’ M

i j N * M

Заметим, что

min

1<i,j, N ,M <2n

_L-—

N M

1

2n (2n -1)

-> 1/4n, n > 2.

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

90

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

В силу геометрических соображений (см. рис. 3) в Rf существует точка с абсциссой 1/2 , ор-

дината которой отличается от 1/2 больше чем на 1/2*4 n. Согласно [8] это и означает существование требуемой последовательности.

Графом переходов автомата Af является двоичный граф Gn де Брейна степени п, т.е. ориентированный граф с множеством вершин Vn, содержащий дугу, выходящую из вершины (ai,a2,...,an) и заходящую в вершину (bi,b2,...,bn) в том и только в том случае, когда (а2,аз,...,ап)-(bi,b2,...,bn_i). Будем считать, что такая дуга помечена «входным» символом bn и «выходным» символом f(ai,a2,...,an). Через C(Gn) обозначим множество всех простых циклов в Gn . Следующее утверждение вытекает из теоремы i работы [5].

Утверждение 3. Регистр Af сохраняет значковые свойства входной последовательности тогда

и только тогда, когда f сохраняет вес каждого цикла c графа Gn де Брейна на 2n вершинах, т.е.

\\f / 4 = S f(xb -^v.-xn) = Z xi = И, c e C (Gn),

( хьх2,...хп )ec ( хьх2,...хп )ec

где суммирование производится по всем двоичным векторам - вершинам цикла c .

(0) /Л ' (

Утверждение 4. Пусть f е Mn, на вход регистра Af с начальным состоянием a ’ eVn тупает двоичная последов y(i,y(2),...,y(N), N>i. Тогда

(i) (2) (N)

поступает двоичная последовательность xv ’,xv ',...,xv ’, снимается выходная последовательность

N (л N /л Nx()_£r(l)

< n.

i=i i=i

Доказательство. Через a(N) обозначим состояние, в которое перешел автомат Af после обработки последовательности x(i) ,x(2) ,...,x(N), a(N) EVn . Пусть s(i) ,s(2) ,...,s(k), k > 0 - кратчайшая входная двоичная последовательность, переводящая автомат Af из состояния a(N) в состояние

а(0). Соответствующую выходную последовательность обозначим S(i) ,S(2) ,...,S(k). Тогда входная последовательность x(i),x(2),...,x(N) ,s(i) ,s(2) ,...,s(k) переводит Af из состояния a(0) в a(0). Поэтому она может быть представлена в виде последовательности циклов в графе переходов автомата. Поэтому согласно предыдущему утверждению

х*(0+х .M-sAi e«

i=i i-i i-i i-i

Тогда i x()_i y() =SS()_Ss() . Заметим, что k не превосходит диаметра графа автомата

i=i i-i i-i i-i

Af , поэтому k < n , и тогда 0 <Ss(i), ss(i) < n. Отсюда вытекает доказываемое неравенство.

i-i i-i

Утверждение 5. Если f еMn, то:

1) f (0,0,...,0)- 0, f (i,i,...,i)-1.

2) f (0,i,0,i...) + f (i,0,i,0,...)- i.

3) f - равновероятна.

Доказательство. Эти свойства вытекают из того, что функции из класса Mn сохраняют вес произвольного цикла графа Gn . Для доказательства первого пункта достаточно рассмотреть два цикла, образованные петлями в нулевой и единичной вершинах, для второго - цикл (0i), для третьего - полный цикл в графе.

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

С.Ю. Мельников. Неавтономные двоичные регистры сдвига

91

Утверждение 6. Функции f (хьХ2,...,xn) , f (xn,xi) и f (xi,X2,...,xn

принадлежат или не

принадлежат Mn одновременно.

Доказательство. Обозначим перечисленные функции f, g, h. Функции f и h обладают центрально-симметричными относительно центра квадрата многоугольниками ([6]), и поэтому принадлежат или не принадлежат Mn одновременно. Пусть теперь f еMn. Покажем, что и g еMn . Пусть c — произвольный цикл в Gn и (si,S2,...,s/) - его двоичная запись. Тогда

\\f 14 = Z f (x1,x2,...xn ) = H = Zsi ■

/=1

Через 4 обозначим «обратный» к c цикл с двоичной записью (s/,s/-i,...,si). Очевидно,

lg 1 c1l=llf 14=Zs=1 HI=1 и.

i=i

Поскольку соответствие между циклами и «обратными» к ним взаимно однозначно, в качестве c может выступать произвольный цикл графа Gn . Это означает, что g е Mn . Аналогично можно показать, что из того, что g е Mn , вытекает f еMn.

Утверждение 7. Пусть f е Mn и f отлична от координатных функций. Тогда f является нелинейной по всем аргументам, от которых она существенно зависит.

Доказательство. Предположим противное: пусть f = g© xi, где функция g не зависит от xi.

Поскольку f е Mn, для произвольного цикла c графа Gn должно выполняться равенство

g © xiA = 1 c

Множество векторов, составляющих цикл c, представим в виде объединения двух множеств

c = c0 и ci, где c0 - векторы из c , i -я координата которых равна нулю, ci - векторы из c , i -я координата которых равна i. Преобразуем последнее равенство:

Z (g(а) © xi) + Z (g(а) © xi) = И,

asc0 аеc1

Z g(а)+1c - Z g(a)=14,

aеc0 ае^

Z g(a) = Z g(a).

ае^0 aеc1

Покажем, что отсюда вытекает, что функция g тождественно равна нулю. Взяв в качестве c

петлю графа Gn в нулевой вершине, получим g(0,0,...,0) = 0. Рассмотрим цикл веса i длины n. Имеем:

2 g (0,...,0,i,0,...,0) = g (i,0,...,0) + g (0,i,0,...,0) + _ + g (0,0,...,i)

(здесь единица в аргументах функции в левой части равенства стоит на i -м месте). Поскольку g не

зависит от xi, левая часть равна нулю. Отсюда следует, что функция g равна нулю на векторах веса 0 и i. Доказательство того, что g тождественно равна нулю, завершим индукцией по весу вектора-аргумента функции g . Пусть g(а) = 0 для всех а таких, что ||а||< к . Для произвольного вектора в

веса к рассмотрим цикл cp в Gn , порожденный всеми сдвигами в . Имеем:

g1CP

g /Ci

Пра-

вая часть последнего равенства совпадает с весом функции f на некотором множестве векторов веса к — i и по предположению индукции равна нулю. Следовательно, g(в) = 0.

2. Критерий принадлежности функции классу Mn . Под матрицей инцидентности орграфа (V,E) с множеством вершин V и множеством дуг E мы будем понимать матрицу размера [ё] х |V|, общий элемент которой имеет вид

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

92

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

[1, если i-я дуга выходит из j-й вершины, bj =< -1, если i -я дуга заходит в j -ю вершину,

[0, если i-я дуга не инцидентнаj-й вершине,

кроме того, для определенности положим, что строка, соответствующая петле графа, является нулевой.

Пусть Bn - 2n+1 х 2n - матрица инцидентности графа де Брейна Gn .

Пусть Gn - граф, получаемый из графа Gn переориентацией всех его дуг, помеченных векторами (l,a2,ct3,,...,an), а Bn - его матрица инцидентности. Матрицы Bn и Bn связаны соотношением

"1

B n

1

-1

-1

B n

■>n+l ^n +1

ВгцГ1~Т1 лЛ

, n имеет размер 2 х 2 Пусть ©n обозначает количество различных циклов в графе Gn . Через Cn обозначим (0,1) -

матрицу размера 0n х 2n+1, (i, j) -й элемент которой имеет вид:

= /1, если i -lJ ( 0 в п]

Лемма. Справедливы соотношения:

-й цикл проходит через j -ю дугу, противном случае.

1) rank Cn = 2n +1;

(2)bP) B(2“)

2) rankBn = 2 -1. Столбцы Bn ,Bn',...,B n линейно независимы;

3) CnBn = 0.

Доказательство леммы можно провести аналогично доказательствам известных [9] теоретикографовых результатов об ортогональности цикломатической матрицы.

Через f будем обозначать вектор-столбец табличного задания функции f (х1,Х2,...,xn):

f = ( f (0,0,...,0), f (0,0,...,1),..., f (1,1,...,1))T.

Основным результатом параграфа является

Утверждение 8. Пусть f еMn . Для каждой функции f еMn существует единственный 2n 1мерный вектор d с условием d(0,0,...,0) = 0 такой, что

f = Bn-1d + fQ. (2)

Доказательство. Из утверждения 3 следует, что f еMn тогда и только тогда, когда

Cn-1f = c, (3)

T

где c = (,C2,.. ,c©n-1) , ci - вес i -го цикла, i = 1,2,...,©n . Соотношение (3) можно рассматривать как

систему линейных уравнений относительно вектора неизвестных f . Теперь, если f е Mn , то f0 -частное решение этой системы. В силу леммы общее решение (3) имеет вид

f = B(2), d2 + B(3), d3 +... + B(2 , dn-1 + f0,

n-1 2 n-1 3 n-1 2 05

где действительные коэффициенты di определен^1 однозначно. Отсюда следует (2).

С другой стороны, если d удовлетворяет условию (2), то, применяя последнее утверждение леммы, получаем

Cn-1f = Cn-1 (Bn-1d+f0 ) = Cn-1f0 = c, т.е. f удовлетворяет равенству (3).

Однозначно определенный в утверждении 8 вектор d назовем базисным вектором функции f еMn относительно f . Вектор, базисный относительно функции Х1 е Fn , назовем базисным век-

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

С.Ю. Мельников. Неавтономные двоичные регистры сдвига 93

тором. Нетрудно видеть, что базисными для координатных функций x\,Х2,...,xn еFn являются векторы 0,yi,yi + y 2,...,yi +... + y n-2 + У n-1 соответственно. Здесь у, - вектор-столбец табличного задания координатной функции x, е Fn-i.

Утверждение 9. Базисный для функции f еMn вектор является целочисленным, его координаты удовлетворяют неравенствам

n-1

0<d(ai,a2,...,«n-l)^ Z ai.

i=1

Доказательство. Целочисленность координат вектора d следует из того, что квадратная размера 2n -1 подматрица матрицы Bn-i с множеством строк {(0,a2,...,an),(a2,...,an)^(0,0,...,0)} и столбцов {(b1,b2,...,bn-i),{b1,b2,...,bn-i)^(0,0,...,0)} является целочисленной нижнетреугольной матрицей с единичными элементами на главной диагонали (и, следовательно, обратимой над кольцом целых чисел). Такой вид (0,1) -матрицы Bn-1, как нетрудно видеть, обеспечивает и неотрицательность координат вектора d .

Для доказательства правой части неравенства (4) введем в рассмотрение подстановочную матрицу Sn размера 2n х 2n , соответствующую преобразованию по закону

Sn • (a1 , ^v.^ an ) ^ (an , an-1 v.^ a1) .

Несложно убедиться в справедливости матричного равенства

Sn Bn-1 = -Bn-1S n-1 .

Пусть g(x1,X2,...,xn) = f (xn,xn-1,...,X1)eMn . Через df и dg обозначим базисные векторы функций f и g соответственно. Пусть, кроме того, у = У1 + у2 +... + уn-1. Из цепочки равенств f = Sn g = Sn (Bn-1dg + X1) = xn - Bn-1Sn-1dg = Bn-1 (y - Sn-1dg) + X1 следует, что

d f = y - Sn-1dg ■

Теперь, поскольку dg > 0 , получаем df < y , что завершает доказательство.

Утверждение 10. Функции f (x1,x2,...,xn) = x ® x1 x2...xn-1 ® x2...xn-pxn и

g(x1,x2,...,xn) = xn ©x1 x2...xn-1 ©x2...xn-pxn принадлежат классу Mn .

Доказательство. Базисный вектор для функции f(x1,x2,...,xn) = x1 ©x^2...xn-1 ©x2...xn-pxn имеет вид (0,0,...,0,1) , в чем легко убедиться, проверив равенство (2). Для доказательства того, что g еMn , можно воспользоваться утверждением 6.

3. Оценки мощности класса Mn . Приведем таблицу мощностей классов Mn при начальных n (табл. 1).

Таблица 1

Мощности классов Мп для нескольких первых п

n 1 2 3 4 5 6

Мn 1 2 5 22 428 184256

Верхняя граница.

Утверждение 11. Справедливо неравенство

Mn\<22n-1-1, n = 1,2,... . (5)

Доказательство. Заметим, что существует взаимно-однозначное соответствие между векторами табличного задания функций из Mn и булевыми векторами, представимыми в виде l = Bn-1d,

2 n-1

d е R2 . Это соответствие задается формулой

f = l © x1.

Воспользовавшись леммой предыдущего параграфа, нетрудно доказать, что подпространство

над полем действительных чисел (l), натянутое на векторы-столбцы матрицы Bn-1, имеет ранг

1 2n—1 1

2n -1. Следовательно, число (0,1) -векторов в этом подпространстве не превосходит 22 .

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

94

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

Нижняя граница (I).

Множество базисных векторов функций из Mn имеет сложную структуру. В этом пункте мы выделим достаточно простое подмножество базисных векторов и получим рекуррентную формулу для его мощности.

Утверждение 12. Количество rn ненулевых базисных векторов вида

(0,0,...,0,sbS2,...,s2n-2), ) = 0,1, i = 1,2,...,2n_2

подчиняется рекуррентному соотношению

rn = Г2_1 +1, n = 2,3,..., где ri = 0.

Доказательство. Среди векторов рассматриваемого вида будем выделять множество тех, для которых вектор l = Bn_1d является булевым. Заметим, что при a^2 = 0 структура матрицы Bn гарантирует булевость (a1,a2,...,an) -й координаты вектора l. Поэтому условие булевости вектора l в

рассматриваемом случае равносильно условию булевости вектора Dn_2£n_2, где an_2 е Vn_2, а Dn_2 - подматрица матрицы Bn_1 с множеством строк {(1,1,aj,a2,...,an_2),ai = 0,1} и столбцов {(1,*1,*2,.-,*w_1),*i = 0,1} . Матрица Dn _2 , очевидно, является матрицей инцидентности графа полного двоичного дерева на 2n 2 вершинах с петлей в корне.

Можно считать, что вершина и данного графа помечена числом s(u) . Возникающую при этом разметку вершин графа назовем допустимой, если существование дуги из вершины и в вершину v приводит к соотношению s(u)_s(v)e{0,1}. Как нетрудно видеть, разметка является допустимой тогда и только тогда, когда Dn_2£n_2 - булев вектор. Обозначим число допустимых разметок rn . Разбивая класс допустимых разметок на два подкласса в зависимости от значения е(1,1,...,1,0), приходим к доказываемой формуле rn = r^- +1.

Следствие. Mn|- rn, n = 2,3,....

Нижняя граница (II).

В этом пункте рассматривается подмножество базисных векторов более сложного вида и выводятся рекуррентные соотношения для его мощности.

Пусть G = (V,E) - орграф. Для J с V через G(J) обозначим подмножество вершин графа, смежных хотя бы с одной вершиной из J, т.е. множество концов дуг, имеющих своим началом вершины из J. Пусть щ - количество таких подмножеств J с V, для которых |G(J)| = k, к = 0,1,.... Рас-

V к

смотрим производящую функцию Ug (z) = ^ ukzk, которую мы назовем производящей функцией

к=0

числа прообразов графового отображения. Для графа Gn такую функцию будем обозначать Un (z). Утверждение 13. Число sn двоичных базисных векторов вида

(0,0,...,0,s(0,0,...,0),s(0,0,...,0,1),...,s(1,1,...,1),1,1,...,1),

где первые 2n 3 координат вектора равны 0, а последние 2n 3 координат равны 1, вычисляется по формуле

~и_3 f 1 Л

(6)

sn = 2 Un_31 ^ I, n = 3,4,....

Доказательство. Нетрудно видеть, что sn равно количеству допустимых (в указанном выше смысле) разметок графа Г на 2n 2 вершинах, который является ограничением Gn_1 на множестве вершин VMV", где V' = {(0,1,S1,S2,...,Sn_3),ег- = 0,1}, V" = {(1,0,sbS2,...,Sn_3),ег- = 0,1}. Очевидно, граф Г является двудольным, все дуги направлены из множества V" в множество V". Для J с V" через

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

С.Ю. Мельников. Неавтономные двоичные регистры сдвига

95

r(J) обозначим множество вершин из V", инцидентных J. Пусть I - множество вершин из V", которые помечены единицей. Если разметка графа допустима, то все вершины из Г(1) должны быть

помечены единицей, а остальные вершины V" могут быть помечены произвольно нулем или единицей. Таким образом,

= X 2^Г(1) = 22”-3 X f« = 3,4,....

I cV"

I cV"

A 2

= {{ 0,l,8(k ),8(f ),...,8(k 0,k =

= 1,2,...,

графа Г через I обозначим со-

Для множества вершин!- ^ ^ ^ 5°и_з

ответствующее I множество вершин в графе Gn_3 :

1 •=j[f Ц'' 1..Д-3 }k=1,2.... и}•

Нетрудно убедиться, что |Г(I) = Gn- (i ) .

Для получения рекуррентных соотношений для функции Un (z) нам потребуется ввести ряд

обозначений. Занумеруем вершины графа Gn числами от 0 до 2n _1 стандартным способом: вер-

n

шине (ai,a2,...,an) припишем номер Xai2n _ , что соответствует лексикографическому порядку на

i=1

множестве Vn . Символами [0], [l], [01] , [10] будем обозначать номера n -мерных двоичных век-

торов (0,0,...,0), (1,1,...,1), (0,1,0,1,...) и (1,0,1,0,...) соответственно. Запись a,b (a<b) будет означать множество всех вершин графа Gn с номерами i, a < i < b . Рассмотрим матрицу смежности графа Gn . Ее структура различна при четных и нечетных n .

Далее обозначим:

?jf°n - количество подмножеств J множества 0,[01]-2 при четном n, и множества 0,[01]-1 при нечетном n, для которых |Gn (j) = k .

^kn - при четном n: количество подмножеств J множества 0,[0l]-1 c условием [01]-1е J,

для которых |Gn (j) = k , при нечетном n : количество подмножеств J множества 0,[01]-1 c условием [10] -1 £ Gn (J), для которых |Gn (j) = k .

qkn - количество подмножеств J множества [01]+ 1,1 при четном n и множества [01]+ 2,1 при нечетном n, для которых |Gn (j) = k .

q'kn - при четном n: количество подмножеств J множества [01]+ 1,1 c условием [10] +1 £ Gn (J), для которых |Gn (j)= k , при нечетном n : количество подмножеств J множества [01] +1,1 c условием [01] +1 £ J, для которых |Gn (j) = k .

uk,n - количество подмножеств J множества [0],[1] , для которых |Gn (j) = k .

Пусть T( (z) = Xt(nzk , Q()(z) = Xq(knzk, i = 0,1, n = 3,4,... - производящие функции введен-

k k

ных выше последовательностей. Тогда Un (z) = Xuk,nzk . Для подсчета величины щ n при четном n

рассмотрим четыре возможных случая взаимного расположения точек [01] , [01]-1 и множества J.

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

96

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

1- й случай. [01]g J , [01]-1g J. Имеем: щ,п =£tjlqfljn .

j

2- й случай. [01] g J , [01]-1е J. Имеем: ukп =1 + Е?()<°П•

J

3- й случай. [01]£ J , [01]-1 g J. Имеем: uk,п =1 + Ъ*У,^к\п ■

j

4- й случай. [01]£ J , [01]-1 £ J. Имеем: ukп ^E^qf-^.

j

Слагаемое 1 в последних трех случаях соответствует элементу [10] £ Gп (J), который не перечисляется в tk п и qk п . Следовательно, для четного п имеем

ип (z) _ + z + T^Q^ + tM! •

(7)

Для подсчета величины uk п при нечетном п отнесем J к одному из четырех возможных классов в зависимости от принадлежности точек [01] , [01] + 1 к множеству J. Так же, как и при четном п, получается соотношение (7).

Получим рекуррентные соотношения для введенных производящих функций. При четном п величина t^ определяется как число подмножеств, для которых |Gn (J)| = к . В Gn (J) могут присутствовать или не присутствовать элементы [10]-1 и [10]- 2 . Пусть W^1 - множество всех таких а£°1°1]-2, для которых [10]-1£(5п ({а}), а W^2 -

множество всех таких

рых [10] - 2 £ Gn ({а}). Пусть далее W( _ G- [ Gп [ W^- ] ], к _ 2,3,...,п , W= U W^ . Через

к=1

ДО

а£ 0,[01]-2, для

ДД _ lU w(

кото-

Gn 1 (A) здесь обозначено максимальное подмножество I с[0],[1] со свойством Gn (I)_ A . Очевид-

но, W(1) j W(2) _ [0],[1], W1 n W^ _ 0 . Осталось заметить, что количество подмножеств J с Wi!, для которых |Gn (j) _ k , равно ЕП- , i _ 1,2. Отсюда для п _ 2m имеем

Д1) n W(2) _

(i)

Аналогичными рассуждениями можно получить формулы:

T(0) T2m+1

+ 2 zQ2m_1 (z)QLm-1 (z) + z f 022|-1

Q2m(z)_z f qS-1 (z)+Q2m-1

Q(0)

Q2m+1

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

С.Ю. Мельников. Неавтономные двоичные регистры сдвига

97

б2.+1 (z) = {Qlm(z)\ .

Соотношения (8)—(15) справедливы при следующих начальных условиях: г/0) (z) — 1, т/1 (z) = z, Qi(0) (z) = 1, Qi(1) (z) = 1.

(15)

(16)

Таблица 2

Структура рекуррентных соотношений

n - четно n - нечетно

т (0) 1n+1 f (At!1)) g (т!0))

T (1) 1n+1 H !Tn(0),Tn(1)) G (Tn(l))

q(0) Уп+1 G Qn0)) f (оП0),оП1})

Q(l) У-n+l G 0()) h (оП0),оП1})

Введем следующие функции: F(x,y) = x2 + 2zxy + zy2, G(x) = x2, H(x,y) = z(x + y)2, которые по-

зволяют свести в табл. 2 рекуррентные соотношения для Tn , Tn , Qn , Qn .

Сформулируем полученный результат в виде утверждения.

Утверждение 14. Производящая функция Un (z) числа прообразов графового отображения для

графа Gn подчиняется соотношению

Un (z)=тПРОПР+z ($0°+тМ+тМ1

где рекуррентные соотношения для Т0 , Тр1 , Qn0, оП1) описываются табл. 2, а начальные условия - формулами (16).

Выпишем первые три члена Un (z):

U (z) = 1 + z + 2 z2 ;

U2 (z ) = 1 + 3z + 4 z2 + z3 + 7 z4;

U3 (z) = 1+6 z +10 z2 + 24z3 + 39z4 + 31z5 + 89z6 + 15z7 + 41z8.

Воспользовавшись формулой (6), получаем: 54 = 8, S5 — 65 , S6 = 3251.

Таким образом, нами получены две нижние границы мощности множества Mn : |Mn| > rn и Mn\ > sn . Однако обе эти оценки неудобны для вычислений. Выясним скорости роста rn и sn и сравним их между собой.

Асимптотический рост оценок мощности. Как показано выше, последовательность rn под-

2 - n I 2n 2n

чиняется соотношению: rn — г^2_р +1, r — 0. Пусть pn = Гп . Тогда pn =Р/7_р +1, откуда

Pn pn_1 — 1 1 . (17)

(pn +pn_1)(pn +pn_1)...(pn +pn_1 )

Очевидно, pn > pn_i и последовательность pn ограничена: 0 < pn < 2 . Следовательно, существует lim pn — p . Последовательность pn сходится с дважды экспоненциальной скоростью: из (17)

n^<x>

при n > 5 следует оценка

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

98

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

Р-Ри <---------------•

2"-1<%>2"

Пользуясь этой оценкой, можно вычислить р с любой степенью точности, например, уже рц дает 87 верных десятичных знака р. Вычисления показывают, что р = 1,1072048....

Таким образом, 2^ГИ —>р = 1,107....

Перейдем теперь к последовательности sn . Воспользуемся соотношениями (8)—(16). Для i = 0,1, n = 1,2,... обозначим:

T? = Щ1),еП1= 2^i). Un = 2^„(i).

Нетрудно видеть, что 4° >*$, Тг0 >тП-^1' Теперь с учетом (8-11) можно получить неравенство

т(1)

l2m+1

т(0)

T2m+1

■>2m+1

i0)

'2m-1

•\2m

+ 1 T

c0)

2m-1

■>2m

2

i0)

'2m-1

+ 1 T

c(1)

2m-1

2 2’

откуда

t()

t(0)

<1. n = 1,2,... •

Из последнего неравенства следует

T(0)-T(0)

Для оценки

Tn T i n n-1

0 <t(°) T» < 4 4

0< Tn Tn ^ n n •

2n 2n

воспользуемся вытекающим из (8)—(16) соотношением

(18)

т(0)

x2m+1

22

(T(0) )22m+ + (T(1) )22m (T(1) )22m + 1(t(1) )

^c2m-1) +^c2m-1) (c2m-1) ^^m-K

2m-1

т(0) ' Lx 2m-1J (T(0) (x2m

(0) (1) n >W , то г „ i2n

1<

t(0)

и, следовательно,

t(°)2

T(0)

2

1 <2T^_ < 32-n. T(0) 2

T

n-2

Теперь легко устанавливаются существование предела т последовательности т^ и оценка

(0)

(1)

0<t-t|j0) <6x2n . С помощью (18) получаем т-т

(1)

довательность тп также имеет своим пределом т.

Аналогичным образом можно показать существование общего для последовательностей 0n' и

<10 х2” что, в частности, означает, что после-

(0)

0() предела 0 и получить оценку

0-0

(i)

<10x2n , i = 0,1, n = 2,3,... .

1

n

<

5

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015

99

С.Ю. Мельников. Неавтономные двоичные регистры сдвига

Полученные оценки с учетом (7) путем несложных вычислений приводят к неравенству

r9-20x2-n <и„ <т9 + 82х2-и, n = 2,3,... .

Воспользовавшись (6), с помощью непосредственного подсчета получаем:

2njsn = 22”-3 un-3 ^^2Т9 = 1,132... .

Переформулируем полученные оценки для повторного логарифма рассматриваемых величин:

п-log2 log2Гп ^2,767..., п-log2log2Sn ^2,485... .

Таким образом, неравенство |Mn| > sn является более сильным, чем |Mn| > rn. Поскольку неравенство (5) приводит к неравенству n - log2 log2 |Mn| > 1, мы получаем

Утверждение 15. Справедливы неравенства:

1 <n-log2log2Mn <CT(1 + Sn) , где sn ^ 0 при n ^<», ct= lim (n-log2log2 sn ) = 2.485...

n^<x>

В качестве следствия получаем

Утверждение 16.

lim log2 log2 Mn\ = 1 nn

Литература

1. Кудрявцев В.Б. Введение в теорию автоматов / В.Б. Кудрявцев, С.В. Алешин, А.С. Подкол-зин. - М.: Наука, 1985. - 320 с.

2. Мельников С.Ю. О задаче определения функции выходов автомата со случайным входом по статистике встречаемости слова в выходной последовательности // Доклады ТУСУРа. - 2011. -№ 1 (23). - С. 101-117.

3. Камловский О.В. Оценки частот появления элементов в линейных рекуррентных последовательностях над кольцами Галуа / О.В. Камловский, А.С. Кузьмин // Фундамент. и прикл. матем. -2000. - Т. 6, вып. 4. - С. 1083-1094.

4. Allouche J.-P. Automatic sequences. Theory, Applications, Generalizations / J.-P. Allouche,

J. Shallit. - Cambridge Univ. Press, 2003. -571 p.

5. Мельников С.Ю. Многогранники, характеризующие статистические свойства конечных автоматов // Труды по дискр. мат. - 2003. - Т. 7. - С. 126-137.

6. Мельников С.Ю. Многоугольники, характеризующие статистические свойства булевых функций в схеме регистра сдвига // Вестник РГГУ. - 2010. - № 12. - С. 137-159.

7. Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. - М.: Изд-во иностр. лит., 1962. -156 с.

8. Мельников С. Ю. О переработке конечными автоматами чезаровских последовательностей // Вестн. Моск. гос. ун-та леса. Лесной вестник. - 2004. - №1 (32). - С. 169-174.

9. Свами М. Графы, сети и алгоритмы / М. Свами, К. Тхуласираман. - М.: Мир, 1984. - 455 с.

Мельников Сергей Юрьевич

Канд. физ.-мат. наук, зам. ген. директора ООО «Лингвистические и информационные технологии», г. Москва

Тел.: 8 (495) 249-90-53

Эл. почта: melnikov@linfotech.ru

Melnikov S.Yu.

Non-autonomous binary shift registers without changing the relative frequencies of characters in the input sequence

The article deals with the class of binary shift registers, providing the equality of the relative frequencies of characters in the input and output sequences. Some properties of output functions of this class are formulated. It is proved that the power of this class increases as double exponent of the register length.

Keywords: pseudo-random sequence; shift register, de Bruijn graph.

Доклады ТУСУРа, № 2 (36), июнь 2015