CC BY
19
Rasskazov Yaroslav Vladmirovich, software designer, yaroslav. rasskazov@rsce. т, Russia, Korolev, PJSC «RSC«Energia»
УДК 539.3
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ «ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ» В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ
НАГРУЖЕНИИ
В.В. Фирсанов
В рамках уточненной теории рассматривается осесимметричная цилиндрическая оболочка для двух вариантов аппроксимации перемещений полиномами по нормальной координате. Степень полиномов на один-два порядка выше по сравнению с принятыми в классической теории Кирхгофа-Лява. Уравнения состояния оболочки представляются в виде трехмерных уравнений упругости. Приводятся основные уравнения в перемещениях и краевые условия, полученные в результате минимизации энергетического функционала Лагранжа. Даны аналитические решения краевых задач для вариантов уточненной теории. Установлено существенное влияние краевых эффектов типа «погранслой» на напряженное состояние оболочки. Дается сравнение результатов расчета напряженного состояния оболочки по классической и уточненной теориям.
Ключевые слова: замкнутая цилиндрическая оболочка, два варианта уточненной теории расчета, аппроксимирующие полиномы, вариационный принцип Лагранжа, краевые условия, преобразование Лапласа, напряженно-деформированное состояние «погранслой», локальная нагрузка, характеристическое уравнение, поперечные нормальные напряжения.
Построение уточненных теорий и методов определения НДС пластинок и оболочек позволит решить проблему расчета на прочность таких авиационных конструкций, как силовые корпуса летательных аппаратов, различные переходные зоны и соединения, а также элементов конструкций в различных отраслях машиностроения и в строительном деле.
Учет трёхмерности НДС в элементах конструкций в сочетании с методами механики разрушения дает возможность оценить трещиностой-кость в наиболее нагруженных зонах, более обоснованно выбрать тип конструкционного материала и рациональным образом распределить его вблизи концентраторов напряжений. Результаты расчета общего, местного НДС пластинок и оболочек могут быть использованы при обосновании режимов лабораторных испытаний на действие статических нагрузок, вибраций и ударов.
Один из возможных путей построения математически обоснованной теории пластинок и оболочек состоит в применении метода прямого асимптотического разложения компонентов НДС в ряды по малому параметру - относительной толщине трехмерного тела и последующем интегрировании уравнений трехмерной теории упругости.
Сформулированные краевые задачи в силу сложности соответствующих им дифференциальных уравнений и различного типа граничных условий напрямую решить затруднительно. В связи с этим в работах [1, 2] указанные краевые задачи с помощью вариационного метода Власова-Канторовича решены и доведены до численных результатов для прямоугольных пластинок и цилиндрических оболочек переменной толщины.
Другой подход к построению уточненной теории, называемый энергетически согласованным, заключается в разложении перемещений в полиномиальные ряды по нормальной координате и последующем применении вариационного принципа Лагранжа. Особенность этого подхода при построении уточненной теории оболочек состоит в том, что деформации оболочки находятся с помощью геометрических соотношений, тангенциальные напряжения определяются из соотношений закона Гука и поперечные напряжения получаются интегрированием уравнений равновесия трехмерной теории упругости.
Следует отметить, что построенные в рамках энергетически согласованного подхода краевые задачи для цилиндрических оболочек [3,4] были обобщены на случай произвольных ортотропных оболочек [5], а также оболочек переменной толщины [6].
В данной работе на основе энергетически согласованного подхода представлены два варианта уточненной теории расчета, условно обозначаемые «К=2» и «К=3». Эти варианты отличаются степенью полиномов, аппроксимирующих искомые перемещения по толщине оболочки. Указанные полиномы имеют степень на одну или две выше по сравнению с аналогичными функциями классической теории типа Кирхгофа-Лява.
Приводится сравнение результатов расчетов по двум вариантам уточненной теории между собой и по классической теории. Оценивается влияние напряженного состояния «пограничный слой» на прочность оболочки.
Напряженное состояние «пограничный слой». Рассматривается замкнутая круговая цилиндрическая оболочка постоянной толщины И из изотропного материала, отнесенная к ортогональной системе координат % , в, ъ (рис. 1).
Считаем, что на лицевых 2 = ±И поверхностях оболочки заданы следующие граничные условия:
^33 (±И )= 4 ',
где д3±3 обозначают осесимметричные нагрузки, действующие на верхней и нижней поверхностях оболочки в направлении координаты г.
Рис. 1. Цилиндрическая оболочка: X - относительное (измеренное в долях я) расстояние по образующей; в - центральный угол, ось г направлена по внешней нормали к срединной поверхности радиуса Я
Будем предполагать в дальнейшем, что искомые упругие перемещения Ц Ц2 допускают асимптотические представления вида
г 2 г 3
г / с\г
Ц\(Х, г) = и0 (X) + «1 (Х)г + и 2 (£)— + и3 (£)—,
2!
3!
(1)
ц 2(Х г) = ^о(Х) + (х)г + ^2(Х) ^,
где индексы 1,2 соответствуют осям £ и г соответственно.
Аппроксимирующие полиномы (1) соответствуют варианту теории К=3. Для варианта теории К=2 в формулах (1) отбрасываются последние слагаемые, для классической теории типа Кирхгофа-Лява - по два последних слагаемых.
Используя вариационный принцип Лагранжа, с учетом разложения (1) получим систему дифференциальных уравнений в перемещениях, которая для рассматриваемого случая принимает вид
2 Л
К1ио + К1ио
ио +
К1и +
+
КГ3 + К1
а
У V 2
с1Х2
и1 +
КГ,2 +
ах2
2+
11 ах2
и3 + КПо + КГ1 —ы + КГ'—ы, = 0,
3 1 ах ах ах
I = 1,2,3,4,
Л х о +
л + кл
а
ах'
+К]«2-7 «2 +
Л + Л
а2 ^
ах2У
2 а2 \
ах2 У
а
ыо + кл1— и +
ах а_ ах
Л + Л
а
2
ах2
+ КЛ3— «3 = Л д+3 - Л3 д-3,
Л = ±1,2,3.
128
и
с граничными условиями на жестко защемленных краях оболочки следующего вида: щ = 0,(/ = 1,4); м>к = 0, (к = 1,3) при ^=0, %=Ь/Я.
В уравнениях (2) коэффициенты К1, Щ с буквенными и числовыми индексами представляют собой постоянные величины, зависящие от геометрических параметров и упругих постоянных материала оболочки. Формулы для указанных коэффициентов в более общем случае нагружения приведены в [3] для варианта К=2 и в (7) - для варианта К=3. Следует отметить, что система (2) соответствует варианту теории К=3. Для варианта К=2 в уравнениях (2) следует отбросить члены, содержащие и3, w2.
В матричном виде однородные уравнения, соответствующие (2), записываются как
Б[и0, и1, и2, и3, w0, w1, w2 ] = 0. (3)
Здесь Б - квадратная матрица размером 7x7 коэффициентов уравнений (2); 0 - нулевой вектор.
Пусть ^ (X) есть решение уравнения (3), т.е.
ае! (Б) ^ (Х) = 0, где ае! (Б) - определитель матрицы Б.
Тогда и, wk, определяемые формулами
и0 = ¿ае!(Б)^, и1 = ¿ае! (Б^, и = ¿ае!(Б^, и = ¿ае! (Б^,
т=1 т=1 т=1 т=1
w0=¿аа(wl = ¿а*(Б)6т^ w2=¿а*(^т^
т=1 т=1 т=1
дают решение однородного уравнения (3). Здесь ае! (Б) - минор определителя ае! (Б), соответствующий элементу (ш,б) матрицы Б (я™ = 1,7).
Дифференциальному уравнению (3) соответствует характеристическое уравнение, которое можно представить как
р2 ¿ Н0р2п = р2Д1 = 0, п=1_6, (4)
п=0
где Н°,- постоянные коэффициенты, зависящие от величины £о = к/К и коэффициента Пуассона ^ .
Кроме нулевых корней, уравнение (4) имеет следующие корни:
±Р1 ± iq1, ±Р2 ± iq2, ±pз, ±р4.
Эти корни отличаются по величине на один-два порядка, что позволяет представить Д в виде
X
А1 = Н |_(Р - Рх ) + 4 _||_(Р + Р1 ) + 4 _||_(Р " Р2 ) + 4 ] Х
(Р + Р2 )2 + 4 (Р2 - Р32 )(Р2 - Р2 )• где Н0 = 2е10 (1 - ¡и)4 (5 - 3е02)(35 - 3Ое02 + 3е04).
Для тонких оболочек выполняются строгие неравенства
Р1 << Р2 < Ръ < Р'' 41 << 42' и значения рр 4 с малой погрешностью находятся как
Pi = Ч1
1
V2V
3 (1 -m2)
Таким образом, общее решение уравнения (3) получается в виде
U
= C13 + CX+Xdet (D)^, u = ^det (D^F u = £det (D^F
m=1 m=1 m=1
U3 = ¿det(D^Fj, w0 = -Qm + ¿det(D^F, (5)
m=1
w
3 Z-i V /4m 1' 0
m=1
IJ 7 — 7 —
1 = C14 mm + X det ( D )6mF„ w2 = ^ det ( D)7mF, ,
m=1
m=1
где
F1 (X) = (Ci sinqxX + C2 cosq^)e P1x + (C3 sin+ C4 cosq\X)eF+ + (C5 sin q2X + C6 cos q 2 " P x + (C7 sin q2X + C8 cos q2 X)eP2 X +
+ C9 e - P3X + C10 eP X + C11e - P X + C12eP X.
Анализ результатов показывает, что при расчете оболочек корни характеристического уравнения разделяются на три следующие группы: асимптотически малые ±p1 ± iq1, большие ±p2 ± iq2 и сверхбольшие ±p3, ± p4 корни. Асимптотически малым корням соответствуют основные НДС, которые приближенно определяются по классической теории оболочек[8]. Асимптотически большим ±p2 ± iq2 и сверхбольшим ±p3, ±p4 корням соответствуют дополнительные краевыенапряженные состояния типа «по-гранслой», затухающие от края оболочки с различной скоростью.
Кроме того, установлено, что малые корни ± p1 ± iq1, полученные по
вариантам к = 2 , к = 3 и по классической теории, имеют близкие значения и, следовательно, основные составляющие НДС оболочки можно определять по классической теории.
Расхождение между значениями p 2, q2, соответствующими вариантам к = 2 и к = 3, составляет около 0,025 %, откуда следует, что результаты краевых эффектов, соответствующие корням ±p2 ± iq2, определяе-
130
2
мым в вариантах теории к = 2 и К=3, практически совпадают. Размер зоны действия краевых эффектов, соответствующих корням ±р2 ± /д2, равен
полутолщине от края оболочки (зоны искажения напряженного состояния).
Скорость затухания (размер зоны действия) НДС «погранслой», определяемых корнями ±р3, ±р4, в два раза больше (меньше) значений, соответствующих корням ± р2 ± /д2.
Для нахождения частного решения уравнений (2) используется преобразование Лапласа. Не приводя этого решения из-за значительного объема соответствующих формул, отсылаем к работе [7], где приведен аналог указанного решения для осесимметричной оболочки в более общем случае нагружения. Прибавим это частное решение к общему решению (5).
Результаты расчетов и их сравнение с классической теорией.
На рис. 2 - 5 показаны результаты расчета НДС оболочки, имеющей следующие параметры: относительная длина хо = Ця = 4, радиус Я=о,1 м, относительная полутолщина ео = о,оо5, коэффициент Пуассона т= о,3.
Оболочка жестко защемлена на двух концах. Локальная равномерно распределенная нагрузка приложена в середине оболочки и имеет следующие параметры: х\ = 1, х2 = 3 На рис. 2 - 5 аббревиатура'^/" обозначает результаты расчета по классической теории, а обозначение о соответствует напряжению, приведенному в подрисуночной подписи.
а б
Рис. 2. График продольных нормальных напряжений сгп по толщине: а - на краю оболочки; б - на расстоянии %=8о/2 от края оболочки
Из рис.2 следует, что максимальные нормальные напряжения с11, определяемые по уточненной теории « К = 3 », превышают величину этих же напряжений, соответствующих классической теории, на 35 %.
131
Рис. 3 показывает, максимальные нормальные напряжения а22, полученные по уточненной теории, вдвое больше соответствующих напряжений, определяемых по классической теории, результаты уточненных теорий « к = 3 »,« к = 2 » относительно этих напряжений практически совпадают.
В соответствии с рис. 4 максимальные поперечные нормальные напряжения а33, достигающие значений порядка 40 % от а11, отличаются друг от друга по обеим уточненным теориям примерно на 13 %.
;
- /
о % 6 - Ж // /у
У // /у
V
"Ч , ____1' 4 -
- „
I-Г=2--Щ|
Рис. 3. График тангенциальных нормальных напряжений о22
по толщине
_1о _
1 £. , з _ «-- у / ' N \ ч
_(_ 7 /и / О / 7;5- ./_^ Ч Ч Л \
{ / __1__ \ V \ \ \ \
/ / / / 1 Э 2.5 \ \ \ \
/ / / \ \ ч\
I) £ ь
-£=3---£- = 2
Рис. 4. Изменение поперечных нормальных напряжений а
по толщине
132
/ ' ~ ч. / \ X Л
/ / \ о \ <?Г\ л
/ / /У и ч 1 \ \ о\ и
-11 1 \ -1 \ \ \ \ \ 1 ¡1
Ч V \ \ % / Ч / // /7
-€ - ч \ V /
V_/
г --£= 3 ---К= 2
Рис. 5. График поперечных касательных напряжений <тп
по толщине
Из рис.5 следует, что максимальные поперечные касательные напряжения с13, составляющие 22 % от <сп, отличаются друг от друга по обеим уточненным теориям на 30 %.
На краю оболочки дополнительные НДС «погранслой», соответствующие корням ±р3, ±р4, позволяют определить величину и характер
распределения по толщине поперечных нормальных напряжений с33, которыми в классической теории пренебрегают. Тангенциальные нормальные и касательные напряжения, полученные по вариантам теории к = 2 и К=3, практически совпадают, есть некоторые отличия непосредственно на краю оболочки.
Выводы. На основании полученных результатов можно сделать вывод, что по сравнению с классической теорией уточненная теория оболочек учитывает дополнительные краевые эффекты типа «погранслой», которые вносят существенный вклад в общее НДС оболочки вблизи зон искажения напряженного состояния, например, вблизи жестко защемленного края, зоны действия локальной нагрузки, в окрестности скачкообразного изменения жесткостных характеристик и др. Поэтому их необходимо учитывать в расчетах на прочность и долговечность конструкций объектов машиностроения.
Список литературы
1. Фирсанов В.В. Погранслой и его влияние на прочность цилиндрической оболочки переменной толщины // Вестник МАИ. 2010. Т. 17. №5. С.212-218.
2. Firsanov V.V. and Doan Ch.N. Energy-Consistent theory of cylindrical shells //Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2011. Vol. 40. No.6. P. 543-548.
3. Firsanov V.V., Doan T.N. Investigation of the statics and free vibrations of cylindrical shells on the basis of a nonclassical theory // Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal / Begell House, INC. 2015. Vol.6. Issue 2. P. 135-166.
4. Фирсанов В.В. Напряженное состояние типа «пограничный слой» - краевое кручение прямоугольной пластинки // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений / РУДН. 2016. №6. С.44-51.
5. Фирсанов В.В., Доан Ч.Н., Хиеу Л.Ч. Уточненная теория расчета напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки переменной толщины // Вестник МАИ. 2013. Т.20. №4. С. 198-211.
6.Фирсанов В.В., Доан Ч.Н. Энергетически согласованный подход к исследованию упругих оболочек произвольной геометрии // Вестник МАИ. 2011. Т. 18. № 1. С.194-207.
Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой 906, k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
THE STRESS-STRAIN STATE "BOUNDARY LAYER " IN THE CYLINDRICAL
SCHELLS BY LOCAL LOADING
V. V. Firsanov
Under the refined theory is considered axisymmetric cylindrical shell for two variants sought displacement approximation by polynomials in the normal coordinate. These functions are one-two orders higher with respect to these of the Kirchhoff-Love theory. The governing equations of three-dimensional elasticity theory are used. The basic equations of the displacement and the boundary conditions, obtained by minimizing the energy functional of Lagrange. The analytical solution of the boundary problem for the variants of a refined theory.Analyzes the found significant edge effects of the "boundary layer "on the stressstrain state shell.Compares the results of calculation, obtained by the classical and refined theory.
Key words: closed cylindrical shell, two variants of refined theory, approximation by polynomials, virtual principle Lagrange, edge conditions, Laplace transform, local loading, the characteristic equation, stress -strain "boundary layer ", normal transverse stress.
Firsanov Valery Vasilevich, doctor of technicale sciences, professor, head of chair 906, k906@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)
