Напряженное состояние “пограничный слой” в прямоугольной пластине переменной толщины Текст научной статьи по специальности «Физика»

The technology of synthesis of the machine schedules realized in system "SAPPHORD" discrete manufactures of machine-building plant is described. The original algorithm of structurally-parametrical synthesis of the machine schedule developed by the author is put in a basis of a technique of designing, optimised on criterion of minimisation of production costs at a delay ofperformance of orders.

Key words: the machine schedule, Production Planning and Detailes Scheduling (PP/DS), system "SAPFORD".

Saratov Anatoly Alekseeevich, candidate of technical science, the director, sap-forda .tiila.net, Russia, Tula, Joint-Stock Company "АК"Intersap"

УДК 539.3

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ "ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ" В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Вал.В. Фирсанов, К.Х. Зоан.

Представлены результаты расчета напряженного состояния "погранслой " в краевой зоне прямоугольной пластины с несимметрично изменяющейся по линейному закону толщиной. Расчет напряженного состояния выполняется с помощью уточненной теории, построенной вариационно-асимптотическим методом решения трехмерных уравнений теории упругости. Применяется аппроксимирующая полиномиальная функция, удовлетворяющая всем условиям краевой задачи, а также другим ограничениям вариационного метода. На примере расчета показано влияние параметра переменности толщины на напряженное состояние пластины.

Ключевые слова:прямоугольная пластина, переменная толщина, напряженное состояние, погранслой, краевая плоская деформация, вариационный метод, аппроксимирующая функция, естественные граничные условия.

Одна из проблем в современной теории пластин и оболочек закюча-ется в построении уточненных теорий и методов определения напряженно-деформированного состояния (НДС) вблизи зон непрерывных соединений и стыков, действия локальных и быстро изменяющихся нагрузок. Это объясняется тем, что для этих случаев классическая теория типа Кирхгофа -Лява, Тимошенко-Рейсснера не дает удовлетворительного соответствия с практикой в силу существенной трехмерности НДС.

Учет трехмерности НДС в элементах конструкций в сочетании с методами механики разрушения дает возможность оценить трешиностой-кость в наиболее нагруженных зонах и рационально выбрать тип конструкционного материала.

В работах [1-6] рассматриваются уточненные методы расчета НДС указанных тонкостенных элементов конструкций на основе неклассической теории. Применяя вариационно-асимптотический метод к решению трехмерных уравнений теории упругости, сформулированы краевые задачи по определению дополнительных, по отношению к классической теории, НДС типа "погранслой", идентичные плоской деформации и скручиванию, возникающие в краевых зонах пластин [1-4] и оболочек [5,6]. Однако построенные аппроксимирующие функции [1] вариационного метода применялись только для пластин и оболочек постоянной толщины.

При проектировании конструкций машиностроения, в том числе авиационной и ракетно-космической техники, применяются пластины и оболочки переменной толщины, например, элементы оперения самолетов и ракет.

В связи с этим в данной работе на основании сформулированной краевой задачи о плоской деформации [2] рассматривается построение дополнительного напряженного состояния для прямоугольной пластины с несимметрично изменяющейся по линейному закону толщиной. Соответствующая аппроксимирующая функция представляет собой полином относительно нормальной к срединной плоскости координаты и удовлетворяет всем условиям краевой задачи, а также другим ограничениям вариационно-асимптотического метода. Дан пример расчета и анализ напряженного состояния краевой плоской деформации вблизи жестко защемленного края пластины в зависимости от параметра переменности толщины.

Пусть прямоугольная изотропная пластина переменной толщины, нагружена поперечной нагрузкой #(х, у). Отнесём пластину к прямоугольной системе координат (х,у, г), обозначив через / и Ь длину и ширину пластины, а через 2И - её переменную толщину, определяемую соотношением

И = Ит -(а)-х;

где (а)= Ит- И° .

Для определённости будем полагать, что край пластины х = 0 - жёстко защемлённый. Другой край пластины х = / может быть любым, в том числе и свободным, нагруженным краевыми усилиями типа изгибающих моментов, перерезывающих и нормальных сил.

Наряду с указанной системой координат (х,у,г), используем систему (х1,у,г1), а также (Хь Л, С), определяемую соотношениями

Х1 = а, Л=у, с=а.

/ Ь ъ И

Полагаем, что основное НДС пластины известно [2]. Тогда дополнительное напряженное состояние краевой плоской деформации, приводится к определению функции В (х1, л, с) в виде

В (х1, л, с) = т (л)ф (х1, с),

444

где Ф(Хь С) - функция напряжений,

т

(л)=-

1 (о х0 + о у 0 )+(о х1 + о у1)

2

уЬ

Х=о

(1)

Рис. 1. Прямоугольная изотропная пластина переменной толщины

В формуле (1) компоненты напряженного состояния соответствуют основному (внутреннему) НДС пластины, определяемому в соответствии с работой [2].

Если функцияВопределена, то соответствующие напряжения краевой плоской можно найти по формулам

о хп

где С 2

ЭВ ;

эс 2'

1 Э

2 Э

о гп = С2В; т хгп = -ЭС%2В 0 уп = П

с2 +

ЭС

2

В, (2)

сов а ЭХь

+ ^а

2 + А . эс

Так как внешняя поверхностная нагрузка уравновешена основным напряжённым состоянием, то очевидно, что для краевой плоской деформации необходимо выполнение однородных граничных условий тхгп = огп = 0 при С = ±1, для чего достаточно потребовать

Ф =

ЭФ

Э 2Ф

= 0, при С = ±1.

(3)

ЭС ЭС2

Помимо условий (3),функция Ф должна убывать с возрастанием координаты X вместе с производными до второго порядка включительно, что обеспечивает затухание соответствующего напряжённого состояния при удалении от края пластины.

В соответствии с вариационным методом представим функцию Ф в виде конечного ряда

1 =n

(4)

Ф = I Ъ&)-/=1

в котором - функции, аппроксимирующие функцию Ф по толщине пластины и удовлетворяющие граничным условиям

I и

Ъ = Ъ = 0; Ъ = 0 при С = ±1, (5)

а У/(X) -функции, подлежащие определению.

Далее всюду полагаем, что изменение угла а ограничено неравенством

81п(а)<д/^*, (6)

где И0 = Н0/1.

Тогда для определения функции у (X) краевая задача, сформулированная в [2], после модификации с учетом условия (6) приводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений и выполнению естественных граничных условий.

Дифференциальные уравнения имеют вид

I (а/к У/^) + ъ/к У/" + с/к у/" + Л/к у/' + е/к у/ )= 0, (к =1, • ^ п). /=1

где введены обозначения

+1 \ +1

а/к = I Ъгк = 4§1п а I (р1Ък + РгЪк с/к = -2 I ¥\¥к^

-1 -1 -1 +1

(7)

dik =-4sin (a) j +1

2 2 cscViVk + ^ F'Fk + ^ FiFk

1 - v

2

eik = sin

(a) j

1

1-v

2

dZ; (8)

22 2 T-V on , c°s a. T-'V , 2(4co^a- 1)v

csc aF- Fk -2(1 + --)F Fk + ^—--^FFk

1 - v 1 - v

Можно установить, что расчётная асимптотическая погрешность полного напряжённого состояния, возникающая как от замены уравнений

теории упругости уравнениями элементарных напряжённых состояний, так

*

и при выполнении граничных условий, будет порядка Hq .

Естественные граничные условия для определения произволов интегрирования системы (7) записываются в форме

I [fi^i + gikVt + hikyi)= Qk, при x1 = q (9)

i=1

i =nt ,,, '' ' \

I \mik yi + nik yi + Pik yi + rik y^ = ^

i =1

где

+1 +1/ , \ +1 , ,

1/к = $ ^Л; ё/к = ^п а $ \FjFfc + = - $ ^

-1

+1 $■

1

& (X: ) = сов2 (а) м: $

-1

1

$т (ц)

О Л +

1

V

1 -V

О,!) (С- 1) +

+

о 0 +

V

-о 0

1 -V ,0

dh

(10)

т/к =- $ FiFkdZ; п/к =-2бш а $ (2F¡Fk + FiFk -1

+1

Р/к = $ -1

1 +

2 ^ сов а

1 -V

-1 +1

г/к = ^п а $ ^к +

1

2-V ' '

^-FiFk

1 -V у

dz.

В работе [1] показано, что аппроксимирующие функции^(С), а также их первые и вторые производные, удовлетворяют в интервале [-1,1] условиям ортогональности, т.е.

1 1 1

. .11 II II

$ FlFkdZ= $ FiFk dZ= $ FlFkdZ = 0 при / Ф к .

-1 -1 -1 Отметим, что при выводе уравнений (7), (9) были использованы следующие свойства функций, которые могут быть проверены непосредственным интегрированием с учетом равенств (5)

1 11 1

$ F;FkdZ = - $ F¡FkdZ; $ С2РкdZ = -2 $ ^С;

-1 -1 -1 -1

1 11 1

$ ($^С) ^^С = - $ ^С; $ (\\FdCdC) F'kdС = $ FгFkdС;

-1 -1 -1 -1

В данной работе установлено, что для пластины переменной толщины, у которой параметр 0° £ а £ 15°, с указанной точностью определения краевой плоской деформации можно использовать аппроксимирующую функцию вида

Ъ (С)=С-7 С3 +1 С15. 6 6

(11)

В качестве примера рассмотрим прямоугольную стальную пластину переменной толщины (рис.1), находящуюся под действием распределенной нагрузки q=const, с относительной полутолщиной к*0 = 0,01. Найдём решение системы (7), ограничиваясь в ряду (4) первым приближением, т.е. полагая /=1. Подстановкой (11) в (8) и (10) с учетом упругих постоянных материала находим

1

0

ап = fn = m11 = 0,122; b11 = g11 = 0,072; cn =-2,544; d11 =-0,418;

e11 = 58,143; hn =-1,272; nu = 0,036; p11 = 3,049; r11 = 0,917. Дифференциальное уравнение (7) записывается в виде

0,122y//F) + 0,072y1" - 2,544y1'' - 0,418y1' + 58,143y1 = 0. (12) Принимая во внимание характер затухания функции y (X), запишем решение уравнения (12) следующим образом:

y (X,) = e-kX1 (С, cos(X + C2 sm(lX1)), (13)

где k = 4,165; 1 = 2,344.

Подставляя (13) в граничные условия (9), получим C = 0,012; C2 = -0,027. В результате функцию Ф можно записать в виде Ф = E exp(-4,165X1 )(0,012 cos 2,344X1 - 0,027 sin 2,344X1) x

7-3 1 (14)

x(z—л3+~Л ) 66

Подстановкой функции (14) в формулы (2) получим напряжения краевой плоской деформации. На рис. 2-5 в едином масштабе, т.е отнесенные к функции (1), представлены графики изменения напряжений по толщине на жестко защемленном краю пластины. Индексом "к" отмечены напряжения, определяемые по классической теории.

Анализируя графики на рис. 2-5, можно установить: величины максимальных нормальных напряжений sш составляют 35%, напряжений szH - 25%, напряжений txzu - 16% от максимального напряжения изгиба, соответствующего классической теории. Следовательно, плоская деформация вносит существенный вклад в общее НДС и должна учитываться при расчётах на прочность.

1

1 У/

2 У/ у*/

в /Js

® 0 К

J

/

/

У "с .5 S 'и 0 5

" п

yfy и J

Ух у? //

1 ,

1

---стхп — — (Тхк стхп <-пхк

—гЬ

& fl

0 5

£

^) 0 5

(

—ъ-

---azn--cfzk-azn ( cszk

Рис.2. Распределение Рис.3. Распределение

нормальных напряжений охп нормальных напряжений оп

по толщине пластины по толщине пластины

Компоненты НДС существенно зависят от угла наклона пластины. Если а = 15° до максимальное нормальное напряжение оХп увеличивается на 50% по отношению к пластине постоянной толщины (рис. 6). Заметим, что суммарные напряжения на жестко защемленном краю пластины будут иметь сложный характер изменения по толщине и другие максимальные величины.

ч

\

N4

NN

NN

А' т---- П 0 5

Чч 1 Чч. чч. ?

ч

чч

чч Чу \

Ч

ступ'

■ стук ■

■ ступ(оук

Рис.4. Распределение касательных Рис.5. Распределение

напряжений тХ1п по толщине нормальных напряжений оуп

по толщине пластины

пластины

Рис.6. Эпюры распределения нормальных напряжений о по толщине пластины в зависимости от угла а

Для прямоугольной пластины переменной толщины, погрешность вычисления дополнительного НДС краевой плоской деформации с помощью аппроксимирующей функции вида (11) является вполне удовлетворительной при проведении практических расчетов, ограниченных неравенством (6).

По результатам расчетов можно сделать следующие выводы.

449

1. Построена краевая задача для определения дополнительного напряженного состояния типа "погранслой" в прямоугольной пластине переменной толщины.

2. На основании анализа доказано, что по отношению к классической теории пластинок уточненная теория вносит существенный вклад в общее напряжённое состояние пластины.

3. Компоненты НДС существенно зависят от параметра переменности толщины пластины, например, при« = 15°, максимальное напряжение ахп увеличивается на 50%.

Список литературы

1. Фирсанов В.В. Об уточнении классической теории прямоугольных пластинок из композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т. 8. №1. С. 28-64.

2. Фирсанов В.В. Математическая модель напряженно-деформированного состояния прямоугольной пластинки переменной толщины с учетом пограничного слоя // Механика композиционных материалов и конструкций (МРБД - ChemicalAbstracts). 2016. Т.22. №1. С. 3 - 18.

3. Фирсанов В.В. Напряженное состояние типа "пограничный слой" краевое кручение прямоугольной пластинки // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2016. Т.22. №6. С. 44 - 51.

4. Фирсанов В.В. Исследование напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластинок на основе неклассической теории // Проблемы машиностроения и надежности машин,2016. №6. С.35-43. (Fir-sanov V.V. Study of stress-deformed state of rectangular plates based on non-classical theory/Journal of machinery manufacture and reliability, 2016.Vol.45. №6. P.515-522).

5. Фирсанов В.В. Уточненная теория расчета напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки переменной толщины // Вестник МАИ (НИУ). 2013. №4. С. 198 - 211.

6. Фирсанов В.В. Напряженно-деформированное состояние в краевой зоне цилиндрической оболочки переменной толщины // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып.4. С. 20 - 30.

Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

ЗоанКуиХиеу, аспирант, dqhieu57@gmail.com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

450

THE STRESS STATE OF THE "BOUNDARYLAYER" IN A RECTANGULAR PLATE OF VARIABLE THICKNESS

Val.V. Firsanov, Q.H. Doan

The results of calculating the stress state of the "boundary layer" in the edge zone of a rectangular plate with variable thickness on asymmetrical linear law are presented. The stress state is calculated using a refined theory constructed by the variational-asymptotic method for solving three-dimensional equations of the elasticity theory. A polynomial function is used that satisfies all the conditions of the boundary value problem, as well as another restriction of the variation principle. The calculation in example shows the influence of the variation thickness on the stressed state of the plate.

Key words: rectangular plate, variable thickness, stress state, boundary layer, edge flat deformation, variation principle, approximating function, natural boundary conditions.

Firsanov Valery Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, head ofchair, k906@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Doan Quy Hieu, postgraduate, dqhieu57@gmail.com, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)

УДК 621.922; 621.921.34

ВОЗМОЖНЫЕ КОНСТРУКЦИИ СМЕСИТЕЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ,

РЕАЛИЗУЮЩИЕ СПОСОБ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ФОРМИРОВАНИЯ ОДНОРОДНОСТИ СМЕСЕЙ

О.В. Соколова

Рассмотрены возможные конструкции смесителей для реализации детерминированного способа формирования однородности смесей и перспективы использования автоматизированных роторных смесительных модулей.

Ключевые слова: смесь, дозатор, смеситель, роторная машина, сыпучий материал, детерминированного формирования однородности смесей.

В основе анализа предлагаемых конструкций смесительных модулей предложена известная конструкция роторного смесительного автомата (рис.1) [1,4].