CC BY
50
УДК 537.32
DOI: 10.15587/2313-8416.2015.47792
НАНОЭЛЕКТРОНИКА «СНИЗУ - ВВЕРХ»: НАЧАЛА СПИНТРОНИКИ И МАГНЕТРОНИКИ
© Ю. А. Кругляк
В рамках концепции «снизу - вверх» наноэлектроники рассматриваются ключевые вопросы спин трони-ки - спиновый вентиль, граничное сопротивление при несовпадении мод проводимости, спиновые потенциалы и разность нелокальных спин-потенциалов, спиновый момент и его транспорт, уравнение Ландау-Лифшица-Гильберта применительно к выделенной оси магнита, обсуждаются обращение намагниченности спиновым током, поляризаторы и анализаторы спинового тока, а также обсуждаются уравнения диффузии для баллистического транспорта и токи в режиме неравновесных потенциалов Ключевые слова: наноэлектроника, спинтроника, спиновый вентиль, спиновый потенциал, спиновый момент, спиновый ток
Basic topics of spintronics such as spin valve, interface resistance due to mode mismatch, spin potentials, nonlocal spin voltage, spin moment and its transport, Landau- Lifshitz- Gilbert equation with application to an "easy axis" of a magnet, nanomagnet dynamics by spin current, polarizers and analyzers of spin current, diffusion equation for ballistic transport and current in terms of non-equllibrium potentials are discussed in the frame of the «bottom - up» approach of modern nanoelectronics
Keywords: nanoelectronics, spintronics, spin valve, spin potential, spin moment, spin current
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧН1 НАУКИ
1. Введение
В продолжение публикаций [1, 2] в рамках концепции «снизу - вверх» наноэлектроники [3] рассмотрим такие ключевые вопросы спинтроники как спиновый вентиль, граничное сопротивление при несовпадении мод проводимости, спиновые потенциалы и разность нелокальных спин-потенциалов, спиновый момент и его транспорт, уравнение Ландау -Лифшица - Гильберта применительно к выделенной оси магнита, рассмотрим обращение намагниченности спиновым током, поляризаторы и анализаторы спинового тока. Рассмотрим также уравнения диффузии для баллистического транспорта, токов в режиме неравновесных потенциалов и выведем формулу для сопротивления на границе контакта двух проводников с разным числом мод проводимости - вопросов, актуальных для спинтроники.
Электроника второй половины XX века основывалась на транспорте заряда электронов и управления им электрическими и магнитными полями (зарядовая электроника). В конце века началось бурное развитие нового направления, основанного на том, что электроны имеют не только электрический заряд, но и спин и связанный с ним магнитный момент. Это направление получило название спиновой электроники или спинтроники (spin-transport electronics).
Среди работ, предвосхитивших развитие спинтроники, отметим пионерские исследования М. И. Дья-
конова и В. И. Переля, показавших возможность ориентации спинов при протекании тока [4], М. Жюлье-ра по туннельному магнитосопротивлению [5], А. Г. Аронова и Г. Е. Пикуса по спиновой инжекции в полупроводниках [6]. И поныне, 40 лет спустя, исследования в области спинтроники ведутся в области этих трех открытых эффектов - инжекции в магнитных переходах носителей с определенным направлением спина, переключения таких переходов спин-поляризованным током и гигантского магнитосопро-тивления.
Началом современного этапа исследований в области спинтроники принято считать работы [7, 8], в которых было экспериментально показано, что электронный ток в ферромагнитном металле поляризован по спину и было открыто явление гигантского магнитосопротивления. Поляризация тока открыла возможность управления транспортом спинов в ферромагнитных структурах с помощью магнитных полей. В 2007 году Альберт Ферт и Петер Грюнберг были удостоены Нобелевской премии по физике за открытие гигантского магнитосопротивления.
Основным объектом исследований в спинтро-нике и поныне остается спиновый вентиль (spin valve). В простейшем случае он состоит из двух токонесущих ферромагнитных (ФМ) контактов, разделенных достаточно тонким каналом транспорта электронов (спейсер/spacer). Спейсер может быть метал-
лическим, но не магнитным, может быть диэлектриком, его роль могут играть отдельные молекулы, кластеры и любые наноразмерные структуры. Перенос электронов по спейсеру обычно баллистический или туннельный. Один из ферромагнитных контактов (он именуется свободным/free) характеризуется малой энергией анизотропии и легко меняет направление своей намагниченности под действием внешнего магнитного поля соответствующей ориентации. Другой ферромагнитный контакт (его называют закреп-ленным/pinned) характеризуется существенно большей энергией анизотропии и требует существенно более сильных полей для изменения своей намагниченности. Сильная анизотропия закрепленного контакта может быть природно присущей ему или же наведенной в процессе изготовления.
Для спинового вентиля характерна сильная зависимость электрического сопротивления спейсера при протекании тока между магнитными контактами от взаимной ориентации намагниченности контактов: при параллельной ориентации (Р) сопротивение значительно меньше, чем при антипаралельной ориентации (АР)
RP < Rap . (1)
Поскольку ориентация намагниченности свободного ферромагнитного контакта может меняться под действием внешнего магнитного поля, то это приводит к сильной зависимости сопротивления проводника между контактами от приложенного магнитного поля.
Понять экспериментально наблюдаемое неравенство сопротивлений (1) качественно можно на основе двухканальной модели Мотта [9, 10], в которой перенос мажоритарных электронов (направление спина параллельно намагниченности) и миноритарных электронов (направление спина антипараллельно намагниченности) условно осуществляется по двум независимым спиновым подзонам (рис. 1) в условиях отсутствия спин-флип рассеяния (to flip - переворачивать), к рассмотрению которого вернемся позже.
Электрон из определенной подзоны одного контакта может туннелировать только в такую же подзону другого контакта. Если намагниченность контактов параллельна, то вероятность такого тунне-лирования будет намного больше, а электрическое сопротивление будет соответственно меньше, чем в случае антипараллельной намагниченности контактов [11]. Рассмотрим ситуацию подробнее.
Количественную оценку неравенства (1) можно получить в модели, согласно которой спиновая подзона имеет различное граничное сопротивление с контактом в зависимости от того, речь идет о переносе спинов параллельных (мажоритарных спинов) или антипараллельных (миноритарных спинов) намагниченности контактов. Граничное сопротивление для мажоритарных спинов меньше, чем для миноритарных (г < Я). Соответствующие эквивалентные схемы сопротивления показаны на рис. 1. Полноты ради, учтено также сопротивление каналов подзон Я .
Из элементарной теории электрических цепей следует, что для параллельной ориентации намагниченности контактов
(
Rp -
1
1
Y
2r + R. 2R + R
'ch J
(2r + Rch )(2R + Rch ) 2(R + r + Rch )
а для антипараллельнои ориентации r + R + Rl
U __"u
Rap --
2
(2)
(3)
Качество спинового вентиля определяется различием между Яр и . Можно ожидать, что качество вентиля будет выше, если сопротивлением канала можно пренебречь (Яск<<г,Я), так что качество вентиля определяется лишь граничными сопротивлениями. Тогда
R -
2rR r + R
(4)
ШШ
Reh
Rch R
иЛ-JWVM/Ü LjvwvwwvJ^
R Rch R R Rch r
Рис. 1. Параллельная и антипараллельная ориентации намагниченности контактов спинового вентиля и соответствующие эквивалентные схемы
сопротивления для мажоритарных (слева) и миноритарных (справа) носителей заряда. Канал транспорта электронов условно разбит на две спиновых подзоны - для электронов со спином «вверх» (up) подзона закрашена светлосерым, а со спином «вниз» (dn) - темносерым цветом
rap -
r + R 2
(5)
откуда сразу следует неравенство (1), стоит лишь в (4) и (5) большее сопротивление Я устремить к бесконечности.
В пределе ЯЛ 0 получим максимально возможное значение магнитосопротивления (МС)
Я - г Л2
МЯ = ЯАР- Я - Я- -1 - (г + Я)2 (6)
Яп Яп 4гЯ г Я - г Л2 '
1 -
R + r j
если Rch - 0.
Поляризация ФМ контакта определяется как
P • R-1 (7)
R + r
и
и является мерой его эффективности, так что магни-тосопротивление
отличается двойкой от МС металлического проводника (8).
MR =■
P
1 - P
(8)
если Rch = 0.
Зависимость МС от сопротивления канала ЯсА показана на рис. 2.
Рис. 2. Падение МС с ростом нормированного сопротивления канала при поляризации Р = 0.5
Обращает на себя внимание быстрое зануле-ние МС с ростом нормированного сопротивления канала, начиная, скажем, со значения, равного пяти.
Выражение (8) для МС справедливо для металлических немагнитных проводников. В этом случае сопротивление двух последовательно соединенных сопротивлений Я и Я2 равно сумме этих сопротивлений Я + Я2. Если же проводником является диэлектрик, то имеет место магнитный туннельный переход (МТП), а сопротивление двух последовательно соединенных сопротивлений Я и Я2 пропорционально произведению этих сопротивлений КЯ1 Я2, что следует из физики туннельных проводников, так что для параллельной Р ориентации намагниченностей контактов имеем
R = Kr 2R2
RP = 2 , „2
r2 + R
а для антипараллельной АР
KrR
(9)
rap =■
2
так что
Rap _ r2 + r
R„
(R + r)2 + (R - r)2 1 + P2
2rR
(R + r)2 - (R - r)2 1 -P2
а магнитосопротивление МТП
MR =
2P
1-P
(10)
(11)
(12)
2. Граничное сопротивление и несовпадение мод проводимости
Поначалу в спиновых вентилях использовались металлические спейсеры, например, медные. Оказалось, однако, что во многих приложениях лучше себя показывают непроводящие оксиды в режиме МТП, обеспечивая более высокие значения МС. Попытки использовать полупроводниковые спейсеры были неудачными приблизительно до 2000 года, когда стало ясно, что причина неудач кроется в высоких значениях Rch сравнительно с суммой (г+R), приводящих к низким значениям МС [12, 13]. Выход был найден в увеличении граничных сопротивлений за счет дополнительных барьерных слоев на границах с контактами (рис. 3). Сейчас это стандартная процедура при работе с полупроводниковыми каналами.
Баръеркые слои
Рис. 3. Дополнительные барьерные слои с целью увеличить граничные сопротивления при инжекции спинов в полупроводниковый канал проводимости
Как же это работает? Стандартное объяснение очевидно. Барьерные слои увеличивают граничные сопротивления г и R, уменьшая тем самым отношение ЯсА /(г + Я) и увеличивая МС (рис. 2). Однако, если бы дело было только в этом, то можно было бы уменьшить толщину спейсера настолько, чтобы перейти в баллистический режим транспорта (Ь << Л).
Эта идея не нашла, однако, экспериментального подтверждения.
Число мод М(Е) или же плотность состояний О(Е) в обычном канале проводимости и в спейсере спинового клапана схематически показаны на рис. 4.
О(Е), М(Е)
Рис. 4. Спиновые подзоны в обычном канале проводимости (справа) и в спиновом вентиле (слева)
В обычном канале обе спиновые подзоны одинаковы. В спиновом же вентиле полоса миноритарных спинов обычно сдвинута вверх по энергии, в результате чего число мод в районе Е — / меньше для миноритарных спинов (МЛ), чем для мажоритарных (Мщ,). Чему будут равны граничные сопротивления?
Ниже в Приложении будет показано, что сопротивление Я на границе контакта двух проводников с разным числом мод (М1 > М2)
R_, -
h
(
2q
Если М] » М2. то R„, - -
1
M.
J_
Ml
\
(13)
2q 2M2
(14)
что отвечает «хорошему контакту» (М1 > М2) .
Число мод М в канале металлического проводника обычно имеет промежуточное значение (рис. 5).
мир > м
Канал
Atdn< М
Канал
l
Рис. 5. Металлический спейсер между двумя ФМ контактами
В идеале же
MuP»M»Mdn ,
(15)
так что ФМ контакт «хорош» для мажоритарных спинов, но не для миноритарных:
R-■
h (J_ 2 q2 [ M
h ( 1
27 IM
1 v h
Mv J ' 2 q M '
1 ^ h
M J ' " 2 q2 m ^
(16)
Число же мод М в полупроводящем канале (рис. 6) обычно меньше числа мод в обоих ФМ контактах:
так что
Mllp>Mdn»M,
r - R -
q 2M
(17)
(18)
и поляризация Р нулевая.
Мир > м
Ковал
Mdu > м
Рис. 6. Полупроводящий спейсер между двумя ФМ контактами
Другими словами, проблема инжекции спинов в полупроводящий канал не только вызвана высоким сопротивлением канала Я , которое можно было бы уменьшить в режиме баллистического транспорта, но и тем, что теряется различие между граничными сопротивлениями Я и г для обоих спинов. Скажем, если канал имеет 10 мод проводимости, то ему безразлично имеет ли ФМ контакт 100 мод (миноритарные спины) или 1000 мод (мажоритарные спины). И в том и в другом случае недостатка электронов в канале не будет.
При наличии барьеров на границе ФМ контакта и полупроводящего канала (рис. 7) граничное сопротивление уже не дается формулой (13), а полагают, что оно пропорционально произведению плотности состояний, а стало быть и числа мод на обеих сторонах туннельного барьера так что
r - K • MM, R - K • MdnM
(19)
с константой пропорциональности К. Теперь поляризация Р не зависит от числа мод в канале:
P -
Mv - Mdn Mup + M dn
(20)
и ей можно придать нужное численное значение. Граничные сопротивления теперь, конечно, больше по сравнению с омическим сопротивлением (13).
h
h
r -
Осталось объяснить происхождение формулы (13) для граничного сопротивления Я1И(. Для этого в Приложении мы рассмотрим диффузионное уравнение для баллистического транспорта, а затем, опираясь на полученные результаты, получим формулу (13) для граничного сопротивления.
Рис. 7. Барьеры на границе ФМ контактов и канала проводимости
3. Спиновые потенциалы
Различие в граничном сопротивлении между магнитным контактом и спиновыми подзвонами для спинов вверх (ир) и вниз (йп) позволяет ввести понятие о спиновых потенциалах ц и и внутри немагнитного проводника. Различие между ними вначале было экспериментально обнаружено на металлах, а затем и на полупроводниках.
Концепцию спинового потенциала продемонстрируем на простой структуре с одним магнитным контактом (рис. 8, а). Если не учитывать спины, профиль электрохимического потенциала качественно выглядел бы как на рис. 8б. Количественное решение дают уравнения диффузии и непрерывности с соответствующими граничными условиями для и(2) на контактах, что подробно рассматривается в Приложении. Поскольку граничные сопротивления между магнитным контактом и спиновыми подзонами проводника различны, следует ожидать различное падение электрохимических потенциалов на границе между контактом и спиновыми подзонами, и при решении соответствующих уравнений диффузии профили электрохимических потенциалов для спинов ир и йп будут различны, как это качественно показано на рис. 8, в.
Электрохимические потенциалы для двух спинов сепарируются на магнитном контакте, однако, затем стремятся вернуться к исходному значению в результате спин-флип-релаксации, которая непрерывно стремится восстановить локальное равновесие путем уравнивания и и и. Количествено поведение спиновых потенциалов дается уравнениями диффузии для спинов ир и йп:
аЛ ¿иир
"р 2q dz
1dn
dHdn 2q dz
(21)
в которых для каждого из спинов учитывается половина проводимости по сравнению с уравнением для суммарного тока.
Рис. 8. Сепарирование спиновых потенциалов и и и в канале с использованием магнитного контакта (качественная картина): а - простая схема с одним
магнитным контактом; б - профиль электрохимического потенциала без учета спинов; в - профили электрохимических потенциалов для спинов ир и йп различны
Спин-флип-релаксация обращает ток / в ток /А и наоборот, так что
dl.
up
dz
dl
dn
dz
= ~K (Hup ~Hdn ) ,
(22)
где константа пропорциональности К есть мера эффективности спин-флип-релаксации, стремящейся уравнять спиновые потенциалы и и и. Комбинируя (22) и (21), получаем
d 2 Hup
dz2
Hup Hdn
2Kf
d 2Hdn dz2
где длина
К = / qK
(23)
(24)
есть характеристическое расстояние, на котором электрон меняет свой спин на противоположный. Характерные значения длины спин-флипа меняются в широких пределах от нескольких десятков нанометров до сотен микрометров в зависимости от среды и температуры.
Уравнение (23) известно как уравнение Вале -Ферта [13]. Изначально оно было получено как след-
в
ствие транспортного уравнения Больцмана [14, 15] и ныне широко используется при обсуждении диффузионных задач с учетом спина электронов.
Введем понятия зарядового и спинового потенциалов
М- (Мир + Мп)/2 , (25)
и, -иир -иап (26)
и аналогично - зарядового и спинового токов
/ = /ир + /п , (27)
/, = /р-/пп. (28)
Зарядовые потенциалы и токи удовлетворяют обычным диффузионным уравнениям (см. п. 6), а спиновый потенциал определяется длиной спин-флипа:
dz2
(29)
Можно ли измерить спиновую разность потенциалов внутри канала проводимости? Можно, и не только в пределах канала проводимости, но и за его пределами, как это показано на рис. 9. Подобные измерения известны как измерения разности нелокальных спин-потенциалов и сейчас являются рутинными при исследовании спин-транспортных задач [19].
Спиновая разность потенциалов измеряется при изменении намагниченности пробного электрода за пределами проводника (рис. 9) с параллельного режима Р на антипараллельный ЛР и как будет далее показано равна
3. 1. Разность нелокальных спин-потенциалов
Уравнение (30) можно получить в два шага. Сначала покажем, что спиновый потенциал инжектирующего контакта
м, (0) = Р д/я,. (32)
Затем покажем, что разность
Мр -МЛР = Р2М
(33)
откуда сразу получается уравнение (30).
Поведение спиновых потенциалов описывается уравнением (29), согласно которому спиновый потенциал уменьшается экспоненциально в обе стороны от инжектирующего контакта
М=М (0К|г| как это показано на рис. 10.
(34)
Рис. 10. К расчету суммарного спинового тока, порождаемого инжектирующим контактом на рис. 9
^ S Hp HAP = pAIRs£ l'V
(30)
где р и р - поляризации инжектирующего и детектирующего ФМ контактов (рис. 9), а спиновое сопротивление
= Х^ / а Л. (31)
Рис. 9. К измерению спиновой разности потенциалов за пределами проводника тока
Теперь вычислим спиновый ток в обоих направлениях от инжектирующего контакта, а именно:
Is ="
a A dps 2q dz
(35)
выражение для которого следует из (21) и (25) - (28). Сами токи в обоих направлениях показаны на рис. 10. Их сумма с учетом спинового сопротивления (31) дает суммарный спиновый ток
1 up 1 dn
H (0)
qRs
(36)
Теперь рассмотрим ток от инжектирующего контакта через его граничные проводимости gup и для спинов ир и йп (рис. 11).
Рис. 11. К вычислению токов от инжектирующего контакта через его граничные проводимости и
для спинов ир и йп
Из теории электрических цепей имеем
А (0) _ А - A Iup
g dn gut
(37)
что можно переписать в виде
Hs (0)_ gup + gdn
(PI - Ip - Inn ) ) (38)
q 2gup gdn
через поляризацию инжектирующего контакта
j-y _ gup gdn
P = + ,
gup gdn
а с использованием (36) имеем
(39)
(Iup Idn )Rs - '
или иначе
2Su,
P__1 =
-(PI - (Iup - Idn ) ) (40)
Iup ^ dn
(41)
1 1 '
— + —
gup g dn
Спиновое сопротивление Я (31) есть сопротивление той части канала проводимости, длина которой соответствует спин-флип-длине , и оно
намного меньше чем граничные сопротивления и (рис. 11), которые особенно велики при использовании барьеров для усиления поляризации контакта. В этих условиях правая часть равенства (41) зануляется, так что окончательно
I -1 - PI
up 1 dn Ч- ■
(42)
что вместе с (40) окончательно дает искомое выражение (32).
Для получения на втором шаге выражения (33) начинаем со спинового потенциала на детектирующем контакте (рис. 9)
Я (L) -я (0)e
-u\f
(43)
Для нахождения потенциала, регистрируемого детектирующим контактом, воспользуемся цепью на рис. 12, аналогичной использованной для инжектирующего контакта на рис. 11.
Рис. 12. К вычислению токов на детектирующем контакте через его граничные проводимости и
для спинов ир и ёп
Поскольку суммарный ток на детектирующем контакте равен нулю, то для цепи на рис. 12 при параллельной ориентации намагниченности контакта имеем
I - 0 - Sup (Hup -Hp ) + gdn (Hdn -Hp ) ,
так что
Hp =■
gupHup + gdnHdn
5 up + g dn
(44)
(45)
В случае же антипараллельной ориентации в числителе появляются перекрестные произведения
Hap =-
dn Mup + gup Hdn
5 up + g dn
(46)
Итак,
(gup - gdn )(Hup -Hdn) „ (47)
Hp - HAP =----- = PlHs (L)
gup + g dn
где поляризация детектирующего контакта Р2 определяется через граничные проводимости точно так же, как и поляризация инжектирующего контакта (39).
Из (47) и (43) получаем искомое уравнение (33). Это же уравнение можно получить несколько иначе.
Перепишем (44) в общем виде:
I - 0 - Sup (Hup - Я,) + Sdn (Hdn - Я,) (48)
так что
Hde,
gupHup + gdnHdn
?up + g dn
(49)
Используя уравнения (25) и (26), перепишем
Hup и Hdn через H и Hs:
Hup -H+~T>
Hdn -H-
EjL 2
2
(50)
так что для параллельной ориентации намагниченности детектирующего контакта
Hp -h +
Ph 2
(51)
а для антипараллельнои ориентации
P2Hs, (52)
Hap -h-
2
где поляризация Р2 определена выше. Таким образом, мы снова пришли к уравнению (47):
/р - /ар — Р2/(Ь) . (53)
3. 2. Спиновый момент
Спиновый вентиль и многочисленные различные устройства электроники на его основе явились наиболее значительным достижением спинтроники
q
q
[11, 20-22]. Другим удивительным достижением явилось экспериментальное обнаружение транспорта спинового момента [23-25], предложенного в [26, 27] и которое заключается в том, что спиновые токи могут менять намагниченность наноконтакта [28-30]. Схема эксперимента по транспорту спинового момента показана на рис. 13.
Рис. 13. Демонстрация эксперимента по транспорту спинового момента
Намагниченность закрепленного левого контакта спинового вентиля фиксирована и направлена вниз. Правый наноконтакт свободен и его намагниченность может изменять свое направление. Подача отрицательного потенциала на закрепленный контакт порождает отрицательный спиновый потенциал
H = Hp-Hdn < 0,
(54)
который вызывает перенос спинового момента на наноконтакт и, если спиновый потенциал достаточно большой, то намагниченность свободного контакта меняется с направления «вверх» на направление «вниз». Если теперь поменять полярность разности потенциалов, подаваемой на вентиль, то появление положительного потенциала на закрепленном контакте вытягивает из канала электроны со спиной «вниз» и таким образом меняет знак спинового потенциала на обратный
Hs=Hup -Hdn > 0
(55)
Опять же, если положительный спиновый потенциал достаточно большой, то он вернет намагниченность наноконтакта в исходное состояние. Этот эффект надежно экспериментально подтвержден, и представляется весьма вероятным, что он будет вскоре использоваться для записи информации на ФМ наноноситель так же, как явление магнитосопротив-ления сейчас широко используется для считывания информации, например, с жесткого диска.
4. Уравнение Ландау-Лифшица-Гильберта
Эти два экспериментальных достижения -магнитное генерирование избытка спинов одного сорта и обращение намагниченности образца за счет этого избытка фактически объединили спинтронику с магнетроникой (рис. 14) в единую область исследо-
ваний, в которой намагничивание и спиновый транспорт играют равновеликие роли.
Рис. 14. Спиновый транспорт и динамика перемагничивания наномагнитов тесно связаны
Модель, описывающая динамику перемагни-чивания наномагнитных структур под действием спинового тока, основана на уравнении Ландау -Лифшица - Гильберта (ЛЛГ) [31-34].
Магнитный момент электрона пропорционален магнетону Бора
М„ = ^ Мв, (56)
¡лв = -^- = 9.274-1(Г24Л-лг, (57)
2т
где £-фактор ^ для спина электрона в вакууме очень близок к 2 (точнее равен 2.002329), но может существенно отличаться от 2 для электронов в твердых телах, что для нас сейчас не существенно, так что будем считать, что ^ = 2, а М = Мв. Из (57) видно, что магнитный момент в один магнетон Бора создается током в приблизительно 10 цА, циркулируещему по квадратному контуру со стороной в 1 нм.
В немагнитных телах все спины скомпенсированы. В магнитных телах величина намагниченности пропорциональна числу нескомпенсированных спинов N в объеме
M = Hb n ,
s B Q
(58)
а направление вектора намагниченности, задаваемое его единичным вектором т, меняется с магнитным полем Н согласно уравнению ЛИГ
2 din
(1 + а')-= -у/л0(т х Н) - ау/л0{т;
dt
'- Н). (59)
где гиромагнитное отношение, как отношение заряда электрона к его массе,
= g _ 2Нв т h
(60)
а магнитная постоянная им = 1/(ео' °2) связана с электрической постоянной е0 через скорость света с.
В уравнении ЛЛГ (59) первое слагаемое описывает динамику намагниченности [32], а второе слагаемое - лиссипацию динамического процесса с па-
раметром затухания Гильберта а [33], характерное значение которого обычно ~ 0.01.
4. 1. Выделенная ось магнита
Воспользуемся уравнением ЛЛГ для описания фундаментального экспериментального факта о наличии у магнита выделенной оси (пусть это будет ось 2). Внешнее магнитное поле Нет(, если оно превышает некоторое критическое значение Нк , может быть использовано для изменения намагниченности между значениями тг — - 1 и тг —+1 (рис. 15).
Тогда вместо (64) имеем
— (2а у u H )5, dt
(68)
что означает невозможность отклонения т2 от +1 при положительном значении магнитного поля Н . Аналогично, при
m =—l — S
(69)
равенство
Рис. 15. Магнит имеет выделенную ось (пусть ось z). Внешнее магнитное поле Н^, если оно превышает некоторое критическое значение Нк , меняет намагниченность между значениями mz = -1 и mz = + 1
С магнитным полем, направленным вдоль оси z,
Й = Н z (61)
и пренебрегая а1 <к 1, уравнение ЛЛГ упрощается до
din
dt
= —y¡u0H(m x z) — ау/и0H(m x m x z) . (62)
Выполнив векторные произведения
m x z = mz, (m x z) ■ z = 0, — z ■ (m x m x z) = 1 — m,2, (63)
получим
dm о
-f- = (1 — ml)ar/UoH . dt
Равновесное состояние требует
dm,
dt
= 0.
(64)
(65)
так что единичный вектор намагниченности может принимать только два значения
m = - 1 и m = + 1,
(66)
что и служит ответом на поставленный выше вопрос о наличии у магнита выделенной оси.
Остается вопрос о стабильности решения уравнения (65). Пусть
m =+1 — 5.
(67)
d5 dt
' (2а у ju0 H) 5
(70)
свидетельствует о невозможности отклонения mz от -1 при отрицательном значении магнитного поля. Иначе говоря,
m = +1 устойчиво при H > 0, (71)
m = -1 устойчиво при H < 0 . (72)
Теперь вернемся к рис. 15. Мы до сих пор не конкретизировали магнитное поле H . Оно включает в себя внешнее магнитное поле H и внутреннее магнитное поле, которое каждый электрон чувствует со стороны всех остальных электронов со знаком, определяемым значением m ,
н = нех, + нктг. (73)
Теперь из условий устойчивости (71) и (72) следует
т = +1 устойчиво при Hext > — HK , (74)
т = -1 устойчиво при H^ < +HX . (75) что и показано графически на рис. 15.
4. 2. Обращение намагниченности спиновым током
Для обсуждения динамики намагничивания в уравнение ЛЛГ (59) добавим еще одно слагаемое (а2<<1), а именно:
dm „ - „ „ - (, „ I У (76)
-= -yjuJm хН)- ауцЛт хтхН)-\ тхтх ——
Л { qNs)
пропорциональное спиновому току Is в пересчете на один спин, где N есть число спинов, обеспечивающих намагниченность. Почему дополнительный член берется в виде двойного векторного произведения
qN
а не просто
?
(77)
(78)
Двойное векторное произведение т х т х ——
с произвольным вектором V (рис. 16) сводится к вычитанию из вектора V компоненты этого вектора вдоль единичного вектора тт :
—т xmxV = V- (т ■ V) т .
(79)
Рис. 16. К вычислению двойного векторного произведения
Поэтому член m х m :
qN
равен компоненте
вектора спинового тока ——, перпендикулярной на-
ЯК
магниченности, величина же намагниченности не изменяется, обращается только ее направление. Это гарантируется тем, что вся правая часть уравнения ЛЛГ должна быть перпендикулярна намагниченности. Есть еще один дополнительный член в правой части уравнения ЛЛГ, также перпендикулярный намагниченности, а именно:
am х-
qNs
(80)
но мы им пренебрегли, поскольку параметр затухан-ня Гильберта а обычно очень мал.
Проектируя уравнение ЛЛГ (76) на выделенную ось, получаем
dmz dt
■ = (1- m2)
aYHo HKmz +-jh
qNs /
(81)
Как и в случае с уравнением (64), критическое значение спинового тока, необходимое для обращения намагниченности, дается уравнением
(i. л
v qNs у crit
= aYHo HK
(82)
а с использованием (58) для критического значения спинового тока имеем
(83)
Величина в круглих скобках для критического тока есть энергия барьера, разделяющего два состоя-
ния магнита. Для устойчивого состояния магнита с той или иной намагниченностью (вверх или вниз) барьер должен быть не меньше нескольких десятков кТ. В противном случае намагниченность магнита будет обращаться циклически практически бесконечно долго. При барьере ~40 кТ и а = 0.01 уравнение (83) для критического значения спинового тока дает ~10иЛ . Экспериментально наблюдались токи ~50-100иЛ.
Наглядные апплеты по динамике намагничивания с переносом спинового момента выставлены на сайте [35].
5. Поляризаторы и анализаторы спинового тока
Пусть регистриующий ФМ контакт 2 расположен под углом по отношению к инжектирующему контакту (рис. 17). Какая разность потенциалов будет измерена?
Рис. 17. Регистрирующий контакт 2 в роли анализатора спинового тока
Ответ представляется довольно простым:
Д-я
H =H + -
2
(84)
где вектор поляризации совпадает с направлением регистрирующего контакта, а вектор спинового потенциала совпадает с направлением спиновой поляризации канала проводимости, которое по договоренности есть направление намагниченности инжектирующего контакта. Ранее мы уже рассматривали два частных случая взаимной ориентации намагниченности контактов: параллельно Р и антипаралле-льно ЛР (53). Как интерпретировать более общий результат (84)?
Проведем аналогию с поляризацией потока фотонов. Интенсивность света, прошедшего через анализатор, пропорциональна квадрату косинуса угла между плоскостями пропускання поляризатора и анализатора ///0 = со$2в (закон Малюса). Интенсивность прошедшего света максимальна при совпадении плоскостей пропускання поляризатора и анализатора (в = 0°) и минимальна, когда плоскости перпендикулярны (в = 90°). Иная ситуация с потоком электронов.
Пусть все электроны в потоке имеют спин «вверх». Тогда по определению (25) и (26)
H, = Hup = 2H,
(85)
если же повернуть намагниченность на регистрирующем контакте на угол в, измеряемая разность потенциалов, как следует из (84), станет
и
= 1 + P cos О .
(86)
Как и в случае потока фотонов, разность потенциалов максимальна, когда регистрирующий и инжектирующий контакты параллельны (в — 0°). Если же в случае потока фотонов интенсивность прошедшего через анализатор света минимальна при в — 90°, то в случае потока электронов минимум разности потенциалов достигается при антипараллельной (в —180°) ориентации намагниченности контактов (рис. 18).
Рис. 18. Колебания нелокального спинового потенциала в зависимости от угла между инжектирующим и регистрирующим ФМ контактами
В предположении идеального регистрирующего контакта (Р2 — 1) из (86) следует
и О
и = 1 + cos О = 2 cos2
и
2
(87)
так что если анализатор фотонов пропускает через себя количество фотонов, пропорциональное cos20 , то спиновый анализатор электронов пропускает через себя количество электронов, пропорциональное cos2(0/2) . Есть надежда, что уже в недалеком будущем спиновый анализатор электронов будет ключевым измерительным устройством в спиновом квантовом компьютере так же, как закон Малюса уже сейчас используется в фотонных квантовых компьютерах.
6. Уравнение диффузии для баллистического транспорта
Звучит противоречиво как и термин «упругий резистор» [1]. Разве диффузионное уравнение не должно было бы описывать диффузионный транспорт? Можно ли использовать уравнение диффузии для баллистического транспорта? С позиций концепции «снизу - вверх» оба режима переноса - диффузионный и баллистический - существенно близки.
Уравнение диффузии связывает электрический ток с градиентом электрохимического потенциала ju(z), а именно:
I
A
e d и q dz
(88)
где удельная проводимость а дается уравнениями (65) и (68) из [1]. Это уравнение можно получить рассматривая проводник как последовательность упругих резисторов (рис. 19).
Рис. 19. Условное разбиение реального макропроводника на последовательность упругих резисторов [1]
Используя ур-е (32) из [1], для тока I (z) в отдельной секции проводника можно написать:
I(z) — - I dE О(Е) (/(^ Е) - /(z + Az, Е)) . (89)
$ -ю
Из уравнений (42) и (50) работы [1] для проводимости в диффузионном режиме имеем
G = -
L + Л
{1, W, A},
откуда следует, что
1 Az + Л = Р-
G( E)
A
(90)
(91)
однако, при этом нужно отметить, что сопротивление (91) включает в себя граничные сопротивления, которые на самом деле не существуют, разве что на физически реальных концах проводника. Опуская их, для проводимости имеем
g ( e )=ea '
Az
(92)
Комбинируя (92) с уже привычным линейным разложением для малой разности электрохимических потенциалов
/(2, Е) - /(х + Az, Е) — ^-Ц-^ /) -/(х + Дг)) , (93)
которое следует из уравнения (20) работы [1], и определяя удельную проводимость а как термически среднее а от а(Е), получаем
1 аА
I— - — (/(z) -/(z + Az)) . (94)
Обратим внимание на то, что удельные проводимости (65) и (68) работы [1], как и проводимости выше в уравнениях (92) и (94), зависят от энергии.
e
Они должны быть усреднены в промежутке нескольких кТ , включая Е = и, с использованием функции термического уширения
a = TdEt-^]a(E) .
(95)
Именно такая термически усредненная проводимость а должна сравниваться с удельной проводимостью в классических формулах теории Друда (формулы (69) и (71) работы [1]). В вырожденных проводниках усредненная проводимость а приблизительно равна проводимости при Е=ц0:
a и a
E=Ho
(96)
Вернемся к уравнению (94). Устремляя Аь ^ 0 , получим искомое уравнение диффузии (88).
Уравнение диффузии обычно идет в паре с уравнением непрерывности. В одномерных проводниках, как на рис. 20, в условиях равновесия ток постоянен на всем протяжении проводника
d-L = о.
dz
(97)
Решение системы уравнений (88) и (97) ищется при граничных условиях
H(z = 0) = Hi,
H(z = L) = Hi-
(98)
Е1апрщвленне тока
Рис. 20. К решению системы уравнений (88) и (97) с
граничными условиями (98). Как и в [1], всегда используется направление тока S ^ D в отличие от общепринятого направления
Линейное решение, графически показанное на рис. 20, удовлетворяет систему уравнений (88) и (97) с граничными условиями (98), поскольку линейная зависимость и(ь) имеет постоянный наклон
dH dz
Hi H2 L
(99)
так что из уравнения (88) имеем постоянный ток с
сй/сЬ = 0:
I =
a A Hi H2 q L
(100)
Разность электрохимических потенциалов М - ММ = . Имеем стандартный закон Ома
i = ^у,
L
(101)
а не обобщенный закон Ома, пригодный также для учета баллистического транспорта [1],
i=oLy.
L +Л
(102)
Можно ли получить обобщенный закон Ома (102) из уравнений диффузии и непрерывности (88) и (97)? На первый взгляд нет, поскольку традиционная проводимость и коэффициент диффузии не имеют смысла для баллистического транспорта. И все же можно пользоваться уравнениями (88) и (97) для баллистического транспорта, если модифицировать граничные условия (98) путем учета в них граничного сопротивления:
H(z = 0) = Hi -
H(z = L) = H2 -
qiRB 2
qIRB
(103)
2
где есть обратное значение баллистической проводимости Ов (формулы (50) и (66) работы [1])
Я
h
a A q 2M
(104)
Новые граничные условия (103) можно реализовать в виде граничных сопротивлений /2, что ведет к скачкам химпотенциалов, как показано на рис. 21.
Рис. 21. Уравнения (88) и (97) можно использовать не только для описания диффузионного транспорта, но и для баллистического транспорта, если граничные условия (98) модифицировать путем введения граничных сопротивлений /2
Теперь легко убедиться, что новые граничные условия (103) в применении к однородному проводнику ведут к обобщенному закону Ома (102). Поскольку м(ь) меняется линейно от г = 0 до г = Ь, ток по уравнению (88)
I =
a A h(0) -h(L )
(105)
Используя новые граничные условия (103),
имеем
I =-
a A ( h- H qIRB
q
Поскольку
aARn= Я,
то
ill+±] = Oa (НН L J q V L
(106)
(107)
(108)
Учитывая, что
H - h = qV, окончательно по-
лучаем обобщенный закон Ома (102).
Можно ли обосновать новые граничные условия (103)? Да, поскольку они следуют из обобщенного закона Ома (102), если предположить, что дополнительное сопротивление аЛ/Х (107) делится поровну между двумя границами проводника.
Лучшее обоснование можно достичь, если ввести два различных электрохимических потенциала М+ и и , соответствующих движению электронов вдоль осей + г и —г , соответственно. Ранее [1] предполагалось, что оба контакта настолько массивны, что всегда находятся вблизи равновесия и описываются фермиевскими функциями (16) и (17) работы [1] с хорошо определенными электрохимическими потенциалами. Сейчас же мы говорим о м(г) в канале, не находящемся в равновесии, когда электронные состояния, переносящие электроны, заселены различно для электронов, движущихся вдоль направлений + г и — г , в противном же случае тока не будет. Это различие в заселенности находит свое отражение в различии и+ и и , и мы позже покажем, что ток пропорционален этой разности:
/ = ЯМ (м+ (г) — и~ (г)) , (109)
что можно переписать используя (66) из [1] в виде
/ (М(г) — М"(г)) = ^Л(М(г) — М(г)). (110)
ЯК в цХ
Корректные граничные условия для м и М следующие:
H (z = 0) = H, Н (z = L) = H2,
которые можно понять из следующих соображений (рис. 22).
Рис. 22. Профиль электрохимических потенциалов М+ и и в канале проводимости
Электроны, генерируемые на границе г = 0 в направлении +г, подчиняются фермиевскому распределению с потенциалом м. Аналогично, электроны, генерируемые на границе г = Ь в направлении —г, подчиняются фермиевскому распределению М на правом контакте. Ток связан с потенциалами
Ни h уравнениями
i =-
aA dH aA dH
q
dz
q
dz
(112)
которые эквивалентны уравнению диффузии (88), примененному к усредненному потенциалу
H( z) =
H+ (z) + H (z) 2
(113)
Уравнения (112) решаются с граничными условиями (111) и дают графики для и+ и и , показанные на рис. 22, и их среднее значение действительно выглядит как на рис. 21 с соответствующими скачками потенциала на концах.
И все же, нет нужды отказываться от традиционного уравнения диффузии (88) в пользу нового уравнения (112). Те же результаты можно просто получить модифицируя граничные условия для и(г) с использованием уравнений (109) - (112) следующим образом для левого конца проводника
H(z = 0) =
Н +Н
= 1 Н
Н -Н
= Н- (qiRB /2)
и для правого конца
(
Н( z = L) =
Н +
Н -Н
- \
(114)
qiRB
= Н2+ . (115)
Это в точности те же самые граничные условия для стандартного уравнения диффузии, что и выписанные раньше (103).
7. Электрохимические потенциалы вдали от равновесия
Как уже упоминалось выше в отношении электрохимических потенциалов внутри контактов, оба контакта настолько массивны, что всегда находятся вблизи равновесия и описываются фермиевскими функциями с хорошо определенными электрохимическими потенциалами. Канал проводимости, однако, не находится в равновесии, так что распределение электронов по доступным состояниям может и не описываться фермиевскими функциями.
В общем случае нужно решать транспортное уравнение Больцмана [14, 15], а в квантовом случае использовать формализм неравновесных функций Грина [16-18] для получения соответствующих функций распределения / (г, Е). Можно ли представить эти распределения с использованием электрохимических потенциалов // (г) и /л (г) ?
В канале с идеальной баллистической проводимостью использование /и+ (г) и /л (г) является строгим решением, а не приближенным. Все электроны, движущиеся от истока S в направлении + г (рис. 23), подчиняются фермиевскому распределению на этом контакте с //= / :
f+ (z, E) = fl(E)
1
exp
| E \ kT
(116)
+1
а все электроны стока D, движущиеся в направлении -г, подчиняются распределению на стоке с /л = /
f - (z, E) = f2(E)
1
r 0
exp
Канал
E-ßl kT
(117)
+1
D
f.
Mi
Рис. 23. Профили электрохимических потенциалов /+ (г) и /Г (г) в канале с идеальной баллистической проводимостью
В дополнение к сказанному заметим, что связанные со стоком D моды, берущие свое начало на истоке S, заполнены только электронами, идущими из истока, так что эти моды остаются в равновесии с истоком с функцией распределения / (Е). Аналогично, связанные с истоком моды и берущие свое
начало на стоке находятся в равновесии со стоком с функцией распределения /2 (Е).
Пусть при некоторой энергии / (Е) = 1 и / (Е) = 0, так что множество электронов на истоке
S готовы к транспорту на сток D, но ни один электрон на стоке D не готов к транспорту на исток S (рис. 24).
Можно ожидать, что связанные со стоком моды, берущие свое начало на истоке, будут вплотную заполнены электронами (трафик «бампер-к-бамперу» на скоростном шоссе), тогда как связанные с истоком моды и берущие свое начало на стоке будут пустыми (трафик в обратном направлении отсутствует).
Конечно, такая идеализированная модель баллистического канала предполагает, что в процессе транспорта электроны не возвращаются назад ни по ходу своей траектории, ни в ее конце. Именно это имеется в виду под баллистическим каналом с хорошими контактами, когда в канале есть достаточное число мод чтобы электроны легко покинули исток с практически нулевой вероятностью вернуться назад. Если же имеют место плохие контакты или транспорт в канале проводимости носит диффузионный характер, ожидать решение с функциями распределения (116) и (117) не приходится. Выше при обсуждении спиновых вентилей было показано к каким последствиям ведут плохие контакты. Сейчас же мы сосредоточимся на диффузионных каналах с хорошими контактами.
г 0
z !.
Канал
s D
( r r
I
/2=0
Рис. 24. Профили заселенности /+ и / в канале с идеальной баллистической проводимостью
Функции распределения (116) и (117) представляются нам достаточно хорошими для диффузионного канала. Предполагается, что распределения подобны фермиевским, но учитывают пространственную зависимость электрохимических потенциалов:
1
f+ (z, E) =-7
( E-И+ (z)
exP I
f- (z, E) = -
kT 1
+1
expi | +1
kT
(118)
Полноты ради заметим, что электрохимические потенциалы в общем случае зависят от энергии и в принципе нужно писать м+ (г, Е) и и (г, Е). В упругих резисторах энергии мод не зависимы и могут иметь свою характерную пространственную зависимость, если длина свободного пробега от энергии не зависит. Выше в (118), упрощения ради, этим обстоятельством пренебрегается.
8. Токи в режиме неравновесных потенциалов
Обычно рассматривается суммарный ток, который представляет собой разность токов, берущих свое начало на истоке и на стоке,
/(г) = /+ (г) — /- (г) . (119)
Ток / равен заряду, переносимому направо за единицу времени (рис. 25).
у.Аг
Uf \
Рис. 25. К подсчету тока, берущему свое начало на истоке
За временной интервал А заряд находится на длине уг А, так что
/+(г)=
= я • (число электронов на единице длины) • у2 . (120)
Для перехода от функций распределения /+ и /— к электрохимическим потенциалам и+ и и воспользуемся приближением линейного отклика (21) работы [1]:
Г (г,Е) — /- (г, Е) = ^(м+ (г) — и- (г)) , (125)
так что из (124) получим искомое уравнение (109):
/(г) = Я(и+ (г) — и~ (г)) [СЕ^М(Е) , (126)
имея в виду, что стоящий справа интеграл есть термически усредненное число мод М .
9. Сопротивление Яш на границе контакта двух проводников с разным числом мод
Рассмотрим границу раздела между двумя проводниками с разным числом мод проводимости М > М2, граничащих с двумя массивными контактами на обоих концах, число мод в которых эффективно бесконечно велико (рис. 26).
Рассмотрим электрохимические потенциалы М+ и и , соответствующие движению электронов направо и налево, соответственно. Как показано выше, граничные условия имеют вид
и (Ь) = и и (К) = и2. (127)
Ток направо и налево одинаков и равен:
/ = \МХ(М —М~)i = уМ2(и+ —М~)л . (128)
п п
Число электронов на единице длины равно половине плотности состояний на единице длины В (Е) /2Ь , умноженной на долю / занятых состояний, так что
Г (г, Е) = д^Еи (Е)/+ (г,Е) , (121)
где и есть среднее значение скорости Vг согласно уравнениям (51) - (52) работы [1], а произведение В (Е) /2Ь на скорость есть М(Е)/П согласно (67) там же, так что
г (г, Е) = ЧМ (Е) /+ (г, Е) (122)
к
и аналогично
/ (г, Е) = / (г, Е) . (123)
п
В итоге суммарный ток (119) /(г) = | СЕ (/+ (г, Е) — /- (г, Е)) =
—да
= Я | СЕ (/+ (г, Е) — /- (г, Е)) М(Е). (124)
Рис. 26. Граница раздела между двумя каналами проводимости (широким и узким) с модами М > М2, граничащих с массивными контактами на обоих концах, число мод в которых эффективно бесконечно велико
Электроны движутся свободно через границу раздела так, что движущиеся направо потоки в узком канале находятся в равновесии с движущимися направо потоками в широком канале:
U (R) = М- (129)
Движущиеся налево потоки в широком канале не могут быть адекватно заполнены узким каналом и соответствующий потенциал a priori не известен. Для его определения из (128) имеем
ц+ (L) - ц~ (L) = MU (R) (R)) . (130) Ml v '
Подставляя далее (127) и (129), получаем
Н iL) = j- Мт (М-^2) • M1
(131)
Для вычисления граничного сопротивления нужно вычислить скачок потенциала на границе контакта двух проводников
Sj =
Н +H
U + U
Используя (127), (129) и (131), получаем
(
SjU =
1 -
q,
M-Мт
Л
(H -H2) '
I =тМт^-Нт) h
(132)
(133)
(134)
и окончательно получаем искомую формулу для граничного сопротивления
Sjllq h I 1
Rint =—I
I 2ql \Мг Ml
1
(135)
Благодарности
Благодарю проф. С. Датта (Supriyo Datta) за предоставленную мне возможность прослушать его курсы лекций «Fundamentals of Nanoelectronics: Basic Concepts», прочитанных он-лайн в январе - феврале 2012 года и в марте - мае 2015 года в рамках инициативы Purdue University / nanoHUB-U [36, 37] и частично использованных мною при написании настоящего обзора.
Литература
1. Кругляк, Ю. О. Уроки наноелектрошки: виник-нення струму, формулювання закону Ома i моди провiдностi в концепцп «знизу-вгору» [Текст] / Ю. О. Кругляк, Н. Ю. Кругляк, М. В. Стрiха // Сенсорна електрошка i мiкросистемнi технологи. - 2012. - Т. 9, № 4. - С. 5-29.
2. Кругляк, Ю. А. Наноэлектроника «снизу -вверх»: Возникновение тока, обобщенный закон Ома, упругий резистор, моды проводимости, термоэлектричество [Текст] / Ю. А. Кругляк // ScienceRise. - 2015. -Т. 7, № 2 (12). - С. 76-100. doi: 10.15587/23138416.2015.45700
3. Supriyo, D. Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport [Text] / D. Supriyo. - Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Co, 2012. - 471 p. -Available at: https://nanohub.org/courses/FoN1
4. Dyakonov, M. I. Current-induced spin orientation of electrons in semiconductors [Text] / M. I. Dyakonov, V. I. Perel // Physics Letters. - 1971. - Vol. 35, Issue 6. -P. 459-460. doi: 10.1016/0375-9601(71)90196-4
5. Julliere, M. Tunneling between ferromagnetic films [Text] / M. Julliere // Physics Letters A. - 1975. - Vol. 54, Issue 3. - P. 225-226. doi: 10.1016/0375-9601(75)90174-7
6. Аронов, А. Г. Спиновая инжекция в полупроводниках [Текст] / А. Г. Аронов, Г. Е. Пикус // Физика и техника полупров. - 1976. - № 10. - С. 1177-1180.
7. Baibich, M. N. Magnetoresistance of (001) Fe/(001)Cr Magnetic Superlattices [Text] / M. N. Baibich, J. M. Broto, A. Fert, F. Nguyen Van Dau, F. Petroff, P. Etienne, G. Creuzet, A. Friederich, J. Chazelas // Physical Review Letters. - 1988. - Vol. 61, Issue 21. - P. 2472-2475. doi: 10.1103/ physrevlett.61.2472
8. Binasch, G. Enhanced magnetoresistance in layered magnetic structures with antiferromagnetic interlayer exchange [Text] / G. Binasch, P. Grünberg, F. Saurenbach, W. Zinn // Physical Review B. - 1989. - Vol. 39, Issue 7. - P. 4828-4830. doi: 10.1103/physrevb.39.4828
9. Mott, N. F. The Electrical Conductivity of Transition Metals [Text] / N. F. Mott // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 1936. -Vol. 153, Issue 880. - P. 699-717. doi: 10.1098/rspa.1936.0031
10. Mott, N. F. Electrons in Transition Metals [Text] / N. F. Mott // Advances in Physics. - 1964. - Vol. 13, Issue 51. - P. 325-422. doi: 10.1080/00018736400101041
11. Погорший, А. М. Стнтронжа. Основш явища. Тенденцй розвитку [Текст] / А. М. Погорший, С. М. Ряб-ченко, О. I. Товстолиткш // Укр. ф1з. журн. Огляди. -2010. - T. 6, № 1. - С. 37-97.
12. Schmidt, G. Concepts for Spin Injection into Semiconductors - a Review [Text] / G. Schmidt // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2005. - Vol. 38, Issue 7. -P. R107-R122. doi: 10.1088/0022-3727/38/7/r01
13. Valet, T. Theory of the perpendicular magnetoresistance in magnetic multilayers [Text] / T. Valet, A. Fert // Physical Review B. - 1993. - Vol. 48, Issue 10. -P. 7099-7013. doi: 10.1103/physrevb.48.7099
14. Sears, F. W. Thermodynamics, Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics [Text] / F. W. Sears, G. L. Salinger. - Boston: Addison-Wesley, 1975. - P. 331-336, 355-361.
15. Kubo, R. Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems [Text] / R. Kubo // Journal of the Physical Society of Japan. - 1957. - Vol. 12, Issue 6. - P. 570-586. doi: 10.1143/jpsj.12.570
16. Martin, P. C. Theory of many-particle systems. I [Text] / P. C. Martin, J. Schwinger // Physical Review. -1959. - Vol. 115, Issue 6. - P. 1342-1373. doi: 10.1103/ physrev.115.1342
17. Kadanoff, L. P. Quantum Statistical Mechanics [Text] / L. P. Kadanoff, G. Baym. - New York: W. A. Benjamin, 1962. - 203 p.
18. Keldysh, L. V. Diagram Technique for Non-Equilibrium Processes [Text] / L. V. Keldysh // ЖЭТФ. -1964. - Т. 47. - С. 1515-1527.
19. Takahashi, S. Spin Injection and Detection in Magnetic Nanostructures [Text] / S. Takahashi, S. Maekawa // Physical Review B. - 2003. - Vol. 67, Issue 5. - P. 052409. doi: 10.1103/physrevb.67.052409
20. Третяк, О. В. Фiзичнi основи cniHOBOï елек-тронiки [Текст] / О. В. Третяк, В. А. Львов, О. В. Барабанов. - Кшв: Вид-во Кшвського ушверситету, 2002. - 314 с.
21. Данилов, Ю. А. Основы спинтроники [Текст] / Ю. А. Данилов, Е. С. Демидов, А. А. Ежевский. - Нижний Новгород: Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевскогою, 2009. - 173 с.
22. Аплеснин, С. С. Основы спинтроники [Текст] / С. С. Аплеснин. - Санкт-Петербург: Изд-во ЛАНЬ, 2010. - 288 с.
23. Tsoi, M. Excitation of a Magnetic Multilayer by Electric Current [Text] / M. Tsoi, A. G. M. Jansen, J. Bass, W.-
C. Chiang, M. Seck, V. Tsoi, P. Wyder // Physical Review Letters. - 1998. - Vol. 80, Issue 19. - P. 4281-4284. doi: 10.1103/physrevlett.80.4281
24. Myers, E. B. Current-Induced Switching of Domains in Magnetic Multilayer Devices [Text] / E. B. Myers,
D. C. Ralph, J. A. Katine, R. N. Louie, R. A. Buhrman // Science. - 1999. - Vol. 285, Issue 5429. - P. 867-870. doi: 10.1126/science.285.5429.867
25. Katine, J. A. Current-Driven Magnetization Reversal and Spin-Wave Excitations in Co / Cu / Co Pillars [Text] / J. A. Katine, F. J. Albert, R. A. Buhrman, E. B. Myers, D. C. Ralph // Physical Review Letters. - 2000. - Vol. 84, Issue 14. - P. 3149-3152. doi: 10.1103/physrevlett.84.3149
26. Berger, L. Emission of spin waves by a magnetic multilayer traversed by a current [Text] / L. Berger // Physical Review B. - 1996. - Vol. 54, Issue 13. - P. 9353-9358. doi: 10.1103/physrevb.54.9353
27. Slonczewski, J. C. Current-driven excitation of magnetic multilayers [Text] / J. C. Slonczewski // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 1996. - Vol. 159, Issue 1-2. - P. L1-L7. doi: 10.1016/0304-8853(96)00062-5
28. Bazaliy, Y. B. Modification of the Landau-Lifshitz equation in the presense of a spin-polarized current and colossal- and giant-magnetoresistive materials [Text] / Y. B. Bazaliy, B. A. Jones, S.-C. Zhang // Physical Review B. - 1998. -Vol. 57, Issue 6. - P. R3213 - R3216. doi: 10.1103/ physrevb.57.r3213
29. Sun, J. Z. Spin-current interaction with a monpdo-main magnetic body: A model study [Text] / J. Z. Sun // Physical Review B. - 2000. - Vol. 62, Issue 1 - P. 570-578. doi: 10.1103/physrevb.62.570
30. Ralph, D. C. Spin transfer torques [Text] /
D. C. Ralph, M. D. Stiles // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2008. - Vol. 320, Issue 7. - P. 1190-1216. doi: 10.1016/j.jmmm.2007.12.019
31. Ландау, Л. Д. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел [Текст] / Л. Д. Ландау,
E. М. Лифшиц // Phys. Z. Sowjetunion. - 1935. - Vol. 8. -P. 153-169.
32. Ландау, Л. Д. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел [Текст] / Л. Д. Ландау. Е. М. Лифшица. - М.: Наука, 1969. - Т. 1. - С. 97.
33. Gilbert, T. A. phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials [Text] / T. A. Gilbert // IEEE Transactions on Magnetics. - 2004. - Vol. 40, Issue 6. -P. 3443-3449. doi: 10.1109/tmag.2004.836740
34. Звездин, А. К. Обобщенное уравнение Ландау -Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах [Текст] / А. К. Звездин, К. А. Звез-
дин, А. В. Хвальковский // УФН. - 2008. - Т. 178. -С. 436-442.
35. Mewes, T. Magnetization dynamics including spin-torque [Electronic resource] / T. Mewes et al. - Available at: http://www.bama.ua.edu/~tmewes/
36. Nanohub [Electronic resource]. - 2012. - Available at: https://nanohub.org/groups/u
37. PurdueX [Electronic resource]. - 2015. - Available at: https://www.edx.org/school/purduex
References
1. Krugljak, Ju. O., Krugljak, N. Ju., Striha, M. V. (2012). Uroky nanoelektroniky: vynyknennja strumu, formu-ljuvannja zakonu Oma i mody providnosti v koncepcii' «znyzu-vgoru». Sensorna elektronika i mikrosystemni tehnologii', 9 (4), 5-29.
2. Kruglyak Yu. A. (2015). Nanoelectronics «bottom -up»: current generation, generalized ohm's law, elastic resistors, conductivity modes, thermoelectricity. ScienceRise, 7/2 (12), 76-100. doi: 10.15587/2313-8416.2015.45700
3. Supriyo, D. (2012). Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport. Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Co, 471. Available at: https:// nanohub.org/courses/F oN1
4. Dyakonov, M. I., Perel, V. I. (1971). Current-induced spin orientation of electrons in semiconductors. Physics Letters A, 35 (6), 459-460. doi: 10.1016/0375-9601(71)90196-4
5. Julliere, M. (1975). Tunneling between ferromagnetic films. Physics Letters A, 54 (3), 225-226. doi: 10.1016/0375-9601(75)90174-7
6. Aronov, A. G., Pikus, G. E. (1976). Spinovaja in-zhekcija v poluprovodnikah. Fizika i tehnika poluprov, 10, 1177-1180.
7. Baibich, M. N., Broto, J. M., Fert, A., Van Dau, F. N., Petroff, F., Etienne, P., Chazelas, J. (1988). Giant Magnetoresistance of (001)Fe/(001)Cr Magnetic Superlattices. Physical Review Letters, 61 (21), 2472-2475. doi: 10.1103/physrevlett. 61.2472
8. Binasch, G., Grünberg, P., Saurenbach, F., Zinn, W. (1989). Enhanced magnetoresistance in layered magnetic structures with antiferromagnetic interlayer exchange. Physical Review B, 39 (7), 4828-4830. doi: 10.1103/physrevb.39.4828
9. Mott, N. F. (1936). The Electrical Conductivity of Transition Metals. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 153 (880), 699-717. doi: 10.1098/rspa.1936.0031
10. Mott, N. F. (1964). Electrons in transition metals. Advances in Physics, 13 (51), 325-422. doi: 10.1080/ 00018736400101041
11. Pogorilyj, A. M., Rjabchenko, S. M., Tovstolyt-kin, O. I. (2010). Spintronika. Osnovni javyshha. Tendencii' rozvytku. Ukr. fiz. zhurn. Ogljady, 6 (1), 37-97.
12. Schmidt, G. (2005). Concepts for spin injection into semiconductors-a review. Journal of Physics D: Applied Physics, 38 (7), R107-R122. doi: 10.1088/0022-3727/38/7/r01
13. Valet, T., Fert, A. (1993). Theory of the perpendicular magnetoresistance in magnetic multilayers. Physical Review B, 48 (10), 7099-7113. doi: 10.1103/ physrevb.48.7099
14. Sears, F. W., Salinger, G. L. (1975). Thermodynamics, Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics. Boston: Addison-Wesley, 331-336, 355-361.
15. Kubo, R. (1957). Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems. Journal of the Physical Society of Japan, 12 (6), 570-586. doi: 10.1143/ jpsj.12.570
16. Martin, P. C., Schwinger, J. (1959). Theory of Many-Particle Systems. I. Physical Review, 115 (6), 13421373. doi: 10.1103/physrev. 115.1342
17. Kadanoff, L. P., Baym, G. (1962). Quantum Statistical Mechanics. New York: W. A. Benjamin, 2003.
18. Keldysh, L. V. (1964). Diagram Technique for Non-Equilibrium Processes. ZhJeTF, 47, 1515-1527.
19. Takahashi, S., Maekawa, S. (2003). Spin injection and detection in magnetic nanostructures. Physical Review B, 67 (5), 052409. doi: 10.1103/physrevb.67.052409
20. Tretjak, O. V., L'vov, V. A., Barabanov, O. V. (2002). Fizychni osnovy spinovoi' elektroniky. Kyi'v: Vyd-vo Kyi'vs'kogo universytetu, 314.
21. Danilov, Ju. A., Demidov, E. S., Ezhevskij, A. A. (2009). Osnovy spintroniki. Nizhnij Novgorod: Nizhegorodskij gosudarstvennyj universitet im. N. I. Lobachevskogoju, 173.
22. Aplesnin, S. S. (2010). Osnovy spintroniki. Sankt-Peterburg: Izd-vo LAN'', 288.
23. Tsoi, M., Jansen, A. G. M., Bass, J., Chiang, W.-C., Seck, M., Tsoi, V., Wyder, P. (1998). Excitation of a Magnetic Multilayer by an Electric Current. Physical Review Letters, 80 (19), 4281-4284. doi: 10.1103/ physrevlett.80.4281
24. Myers, E. B., Ralph, D. C., Katine, J. A., Louie, R. N., Buhrman, R. A. (1999). Current-Induced Switching of Domains in Magnetic Multilayer Devices. Science, 285 (5429), 867-870. doi: 10.1126/science.285.5429.867
25. Katine, J. A., Albert, F. J., Buhrman, R. A., Myers, E. B., Ralph, D. C. (2000). Current-Driven Magnetization Reversal and Spin-Wave Excitations in Co/Cu/Co Pillars. Physical Review Letters, 84 (14), 3149-3152. doi: 10.1103/ physrevlett.84.3149
26. Berger, L. (1996). Emission of spin waves by a magnetic multilayer traversed by a current. Physical Review B, 54 (13), 9353-9358. doi: 10.1103/physrevb.54.9353
27. Slonczewski, J. C. (1996). Current-driven excitation of magnetic multilayers. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 159 (1-2), L1-L7. doi: 10.1016/0304-8853(96)00062-5
28. Bazaliy, Y. B., Jones, B. A., Zhang, S.-C. (1998). Modification of the Landau-Lifshitz equation in the presence of a spin-polarized current in colossal- and giant-magnetoresis-tive materials. Physical Review B, 57 (6), R3213-R3216. doi: 10.1103/physrevb.57.r3213
29. Sun, J. Z. (2000). Spin-current interaction with a monodomain magnetic body: A model study. Physical Review B, 62 (1), 570-578. doi: 10.1103/physrevb.62.570
30. Ralph, D. C., Stiles, M. D. (2008). Spin transfer torques. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 320 (7), 1190-1216. doi: 10.1016/j.jmmm.2007.12.019
31. Landau, L. D., Lifshic, E. M. (1935). K teorii dispersii magnitnoj pronicaemosti ferromagnitnyh tel. Phys. Z. Sowjetunion, 8, 153-169.
32. Landau, L. D., Lifshica, E. M. (1969). K teorii dispersii magnitnoj pronicaemosti ferromagnitnyh tel. Moscow: Nauka, 1, 97.
33. Gilbert, T. L. (2004). Classics in Magnetics A Phenomenological Theory of Damping in Ferromagnetic Materials. IEEE Transactions on Magnetics, 40 (6), 3443-3449. doi: 10.1109/tmag.2004.836740
34. Zvezdin, A. K., Zvezdin, K. A., Hval'kovskij, A. V. (2008). Obobshhennoe uravnenie Landau - Lifshica i processy perenosa spinovogo momenta v magnitnyh nanostrukturah. UFN, 178, 436-442.
35. Mewes, T. et al. Magnetization dynamics including spin-torque. - Available at: http://www.bama.ua.edu/~tmewes/
36. Nanohub (2012). Available at: https://nanohub.org/ groups/u
37. PurdueX (2015). Available at: https://www.edx.org/ school/purduex
Рекомендовано до публгкацИ' д-р фгз.-мат. наук Глушков О. В.
Дата надходження рукопису 22.07.2015
Kruglyak Yuriy, Doctor of Chemical Sciences, Professor, Department of Information Technologies, Odessa State Environmental University, Lvovskaya Str. 15, Odessa, 65016, Ukraine E-mail: quantumnet@yandex.ua
