Наилучшее приближение и значение поперечников множеств в пространстве L2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2011, том 54, №3_____________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Г.А.Юсупов

НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ

МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВЕ L2

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 07.02.2011 г.)

Для оценки наилучших приближений 2л -периодических функций из Ь2 использован обобщенный модуль непрерывности т -го порядка следующего вида

и для него получены неравенства типа Джексона-Стечкина.

Для классов дифференцируемых периодических функций, определенных при помощи величины От(/’ ^), вычислены точные значения различных п -поперечников.

Ключевые слова: периодическая функция - обобщенный модуль непрерывности - наилучшее приближение - экстремальная характеристика - поперечники.

1. Всюду далее N - множество натуральных чисел; Ъ+ := N и {0}; К+ - множество положительных чисел вещественной оси. £2 := Ь2[0,2 л] - пространство 2 л -периодических суммируемых с квадратом на [0,2л] функций /(х) с нормой

L(r)(r є Z+, L0 = I) - множество функций f є I, у которых производные (r — 1) -го порядка

Адрес для корреспонденции: Юсупов Гулзорхон Амиршоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: G_7777@mail.ru

где

F f (x) = f (x), Fkf (x) = Fh (Fhk—1 f (x)), k = 1, m, m є N

1 x+h

FJ(x) := fh(x) = f f (t) dt, h > 0,

2h

x—h

f(r 1)(x) абсолютно непрерывны, а производные r -го порядка f(r\x) є I2.

Символом Тп1 обозначим подпространство всевозможных тригонометрических полиномов порядка п — 1. Хорошо известно, что для произвольной функции / е £2, имеющей разложение в ряд Фурье

f (x) ~ — + £(а coskx + b sinkx),

2

k=1

величина её наилучшего приближения элементами Тп_х равна

E-, (f) = mf I f - Г,-, ||: T„_, (.r) s T_, |

]1/2

= | f—S,—i(f, x)|= \£p2

(1)

І k=n

a n

где Л2 := + bl, SnM,x) = ^0 + a cos kx + bk sin kx) - частная сумма порядка n -1 ряда

2 k=i

Фурье функции f (x) . Равенством

От (f, t) = sUP і т £(—1)т—k г т ^ К f (•+kh) |< h|

І k=0 V k J L2

(2)

определим модуль непрерывности т -го порядка функции / е £2.

При решении экстремальных задач теории аппроксимации в £2 вопросы вычисления точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина

Еп пп) пх-п-п етт /' ('1,' / п)

исследовались многими авторами (см., например, [1-6] и приведенную там литературу). В некоторых задачах теории приближения вместо модуля непрерывности т -го порядка сот (/; t) иногда удобнее использовать следующую эквивалентную характеристику вида [2,6]

Г * t t і1/2

a,(f;t) = j-filN'/olLdhi...dh,y ,

t > 0,

(3)

где h = (К,-,К), А1 = А\ °-• -°А1^, А^/ = /(- + hJ) — / (-), j = 1,1, которую называют обобщенным модулем непрерывности т -го порядка. К.В.Руновский [6] доказал, что

^т(/;t)ьр - в>т(/;t)ьр, 0 < р п да.

Следуя работе [7], обозначим

о

1 x+h

^(x) := Л (х)=^ І/(і) dt, к > 0

x—h

- функция Стеклова функции / е £2 . Разности первого и высших порядков следующим образом:

А н(/; х) = Он/(x)—/ (x) = (О—Е )/ (x), а Г(/;х) = А н (а Г Л/;х);х) =

:(Fh — Е)т/ (х) = Ъ (—1)т—к /?/(*),

к=0

V к J

где Flf (х) = /(х), (х) = О (° '/(х)), к = 1, т, т е М, Е - единичный оператор в £2.

Наряду с величинами (2) и (3), обобщенным модулем непрерывности т -го порядка функции / е £2 называют также величину [7]

а ш (/;t) = 8иР {||а т(/;0|| :1к N ^

= Бир <

к=0

Ъ (—1)т—к , ^/(-)

V к J

к |< і

(4)

Легко проверить, что функция (4) обладает всеми свойствами модуля непрерывности т -го порядка (см., например, монографию [8, стр.150]).

В данной работе вводим в рассмотрение экстремальную характеристику следующего вида

йе/

Ат,п,г, р(к) = БиР і

пгЕп—і (/)

Iі а т (/(г), і )dt

у/р

(5)

где т, п е М, г е 2+, р е Ж+ и Г > 0 - произвольное число.

Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть т, п е М, г е Ъ+, 1 / г < р < 2 и 0 < Г <ж/ п. Тогда имеют места равен-

ства

Ат,п,г,р(к) =і I*1 1

к Ґ ■ ,\тр

БІЙ ПІ

пі

—1/Р

В частности,

С

m,n,r ,1/m

(h) = 2mh-lm \1 —

2 sin(("h) / 2) nh

(б)

Доказательство. Для f є L2 легко доказать, что

sin kk

й/, t) = sup k2r pp [ 1 :| h |< t

k=1

(7)

гДе p = a2 + bk2, k s N.

Воспользуясь следующим неравенством Минковского [11, стр.32],[4]

п [ со

Леш' )1

p/2

xl/p Г

<p(t )dt

>

£l JVk)|p P(t2

1/2

, 0 < p < 2, h > 0,

и соотношением (7), после простых вычислений получаем

Откуда

}' й m f); t) dt

\i/p fh ґ • j\mp V/p

sin nt

> "''і 'Г і'

nt

dt

EUf ).

"rEn_l(f )

jt й m (/(r); t) dt

h f • x mp J f/p

f L sin "t 1

v/p<!j{ 1——J dtj

(8)

С учетом определения величины (5), из неравенства (8) вытекает оценка сверху

Сm,n,r,p(h) <Щ 1 -

I —1/p

sin "t "t

dt!

(9)

Для получения оценки снизу рассмотрим в L2 функцию f (t) = cos nt. Легко подсчитать, что для этой функции имеют место равенства

£"—і(. /0) = 1, й т( fir) ;') = "r [l —

sin nt nt

откуда, согласно определению величины (5), имеем

nrE„_,(f0)

д (h) >

/V/m,n,r, pv /

j' й т (f0(r);t) dt

\і/p

h ґ • ,\mp \ f/p

sin "t 1 -------- dt

j i—

"t

(10)

J

—т

т

Сопоставляя неравенства (9) и (10), получаем утверждение теоремы 1. Равенство (6) получается непосредственным выычислением.

2. Далее обозначим через Ъи (Ш, Ц ), йП (Ш, Ц ), йп (Ш, Ц), (Ш, Ц) и ПП (Ш, Ь2) соот-

ветственно бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный П -поперечники некоторого выпуклого центрально-симметричного компакта Ш в пространстве Ь2.

Указанные П -поперечники связаны соотношениями [9,10]:

ъп (Ш, 4) < йп (Ш, ь2) < йп (Ш, ц) = г>п (Ш, ь2) = Пп (Ш, ц) (її)

Полагаем также Еп_х (Ш) := Бир{^^1 (/) : / є Ш}.

Пусть Ж^г)р (к), т є М, г є Ъ+, 0 < р < 2 - класс функций / є Ь2), для которых при любом

к є (0, да) выполнено неравенство

к

І і ат (/1 г ’ > і )йі < 1.

ва

При сделанных предположениях имеет место следующее утверждение

Теорема 2. Пусть т, п е М, г е 2+, 1 / г < р < 2 и 0 < Г <ж / п. Тогда справедливы равенст-

Р2„ №'№ 4)=Р2п—1(К1(Г\ £,)=е,_1(1г1:>(Г))=

,тр 1/р

= п

пк ґ

Ці 1

V 0

БІЙ і

йі

где рк (•) - любой из вышеперечисленных к -поперечников.

Доказательство. Согласно определению класса Ж ^(к), из неравенства (10) получаем оценку сверху для проекционного п -поперечника

П2п (О*), І2) <П2п—1(жт:р(й), ь,) < е^ж^ ь) <

< П

-1/р

(12)

Для получения оценки снизу бернштейновского п -поперечника рассмотрим в ь шар полиномов

Тп (х) є Тп—1

В,п+1 =

пк

\ —1/Р

Тп (х) є Тп—1: И < п"р Л і| 1 —

БІЙ і

0

>

и докажем включение В2и+1 е Щг) (Г).

Заметим, что для любого полинома Ги (х) е ^_1 при любом Г е (0, ж / п] справедливо нера-

венство

йтИ" , ') < " I i" " И |. (13)

Из неравенства (13) получаем

—і/p

<

Гий / • ,\тР ~| 11Р Г пИ /■ ■ ,\тР Л 1 / р

<и-{К1—”)*} {К'—= 1

откуда и следует, что В2 и+1 е Щ ^(Г).

По известной теореме В.М.Тихомирова [9] о поперечнике шара получаем оценку снизу

*2и-1 (Щт,,) (Г). У а *2, (УТР Р Р) РР *2п (Р . к ) =

-1/р

| -I 1 — ^) . (14)

0

Утверждение теоремы 2 с учётом соотношения (11) вытекает из сравнения неравенств (12) и

(14).

Поступило 08.02.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2005, т.78, 5, с. 792-796

2. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2006, т.80, 1, с. 11-18

3. Шабозов М.Ш., Хоразмшоев С.С. - ДАН РТ, 2010, т.53, 9, с. 661-665

4. Шабозов М.Ш. - Матем. заметки, 2010, т.87, 4, с. 616-623

5. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - ДАН России, 2010, т.435, 2, с. 178-181

6. Руновский К.В. - Матем. сборник, 1984, т.185, 8, с. 81-102

7. Абилов В.А., Абилова Ф.В. - Матем. заметки, 2004, т.76, 6. с.803-811

8. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука, 1977,151 с

9. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 325 с

10. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory. Ergeb. Math. Grenzgeb. - Berlin: Springer-Verlag, 1985

11. Hardy G.H., Littlewood I.E., Polya G. Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed., 1952, 346 p.

Г.А.Юсупов

НАЗДИККУНИИ БЕХ,ТАРИН ВА ЦИМАТИ МА^МУИ ЦУТР^О ДАР ФАЗОИ Ьг

Донишго^и миллии Тоцикистон Барои бах,ои наздиккунии бех,тарини функсиях,ои даврии даврашон 2п аз фазой £2, модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби т -уми намуди

Q m(f;t) = sup \ m X (-i)m-k ^ m ^ U Fkf (•) :| h |< t

1 k=0 V k J L2

ки дар ин чо

F f (x) = f (x), Fkf (X) = Fh (Fk 1 f (X)), k = 1^, m g N

1 x+h

Fhf (x) := fh (x) = — j f (t)dt: h > °

2h

x-h

аст, истифода бурда шуда, барояш нобаробарих,ои намуди Ч,ексон-Стечкин х,исоб карда шуда-аст. Барои синфи функсиях,ои дифференсиронидашавандаи даврй, ки бо ёрии бузургии Qm (f ;t)

муайян карда мешаванд, кимати аники n -кутрх,ои гуногун ёфта шудаанд.

Калимаои калиди: функсияи даврй - модули бефосилагии умумикардашуда - наздиккунии беутарин

- тавсифи экстремалй - цутр^о.

G.A.Yusupov

THE BEST APPROXIMATION AND THE EXACT VALUE OF WIDTHS OF SETS IN L2

Tajik National University For making an evaluation of the best approximation of 2n -periodical functions in L2, is used the generalized modulus of continuity of m order of the next form

Qm( f;t) = SUP i m X (-i)m-k ^ m ^ U Fkf (•) :| h |< t

1 k=0 V k J L2

here

Fh° f (x) = f (x), Fkf (x) = Fh (F*-1 f (x)), k = im, m g N

1 x+h

Fhf (x) := fh(x) = ~^ j f (tЖ h > 0 2h

x-h

and for it the inequality of Jackson-Stechkin type is received. For the classes of differentiable periodical functions defined due to the value of Qm(f; t), where the exact value of different n -widths is culculated.

Key words: periodical functions - generalized modulus of continuity - the best approximation - extremal characteristic - widths.