Нагруженная краевая задача Римана для кусочно-аналитических автоморфных функций с дополнительными условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2012, том 55, №1___________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.948.32

Р.Акбаров, К.Джураев НАГРУЖЕННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ КУСОЧНО-АНАЛИТИЧЕСКИХ АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Кулябский государственний университет им. А.Рудаки

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 23.11.2011 г.).

Исследуется нагруженная краевая задача Римана для кусочно-аналитических автоморфных функций с дополнительными условиями на искомую функцию, принадлежащую бесконечной функциональной группе дробно-линейных преобразований.

Ключевые слова: краевая задача - нагрузка - дополнительные условия - автоморфная функция.

Пусть D - одна из фундаментальных областей, целиком состоящая из обыкновенных точек некоторой функциональной группы дробно-линейных преобразований

ш :ш0(z) = z,ak(z) = °kZ + b , Ak = akdk - ckbk Ф 0,k = 1,2,3 —,

ckz + dk

и пусть L0 - некоторая гладкая замкнутая кривая, целиком расположенная в области D . Обозначим Lk(k = 1,2....) кривые, эквивалентные L0 , то есть кривые, в которые переходит кривая L0 при преобразованиях группы. Будем считать, что кривые Lk не налегают друг на друга, хотя и могут соприкасаться.

Определение: пусть дана бесконечная группа дробно-линейных преобразований. Тогда областью D будет преобразована в бесконечное число кривых L .

Назовем функцию Ф( z ), определённую в D, кусочно-аналитической автоморфной функцией, если она обладает следующими свойствами.

10. Инвариантна автоморфна относительно подстановок группы

фК(z )] = ф( z).

20. Аналитична во всех точках области D, кроме точек контура

L = L0 u L и....

3 0 . Непрерывно продолжима на каждую точку контура L , за исключением точек самопересечения, вблизи которых она ограничена.

Адрес для корреспонденции: Акбаров Рахмат. 735360, Республики Таджикистан, г. Куляб , ул. С.Сафарова, 26, Кулябский государственный университет. E-mail akbarov39@mail.ru

Рассмотрим следующую краевую задачу.

Найти кусочно-аналитическую автоморфную функцию Ф( z), принадлежащую группе СО с линией скачков L0, H - непрерывно продолжаемое слева и справа на L0, по краевому условию

П

Ф+ (t) = G(t)Ф~(t) + g(t) + ^aA(tXt G Lo (1)

k=1

где G(t), g(t) — заданные на L0 функции, удовлетворяющее условию Гельдера, причём G(t) Ф 0 всюду на L0 (и тогда вводится обозначение индекса задачи $= IndL G(t) ); a, a2,••••,an некоторые комплексные постоянные, подлежащие определению наряду с Ф( z); 6i(t ),62(t \.:;On(t) -заданные автоморфные линейно-независимые комплексные функции класса H. Кроме того, неизвестные коэффициенты a, a2an следует подобрать так, чтобы существовало многообразие решений задачи (1), удовлетворяющее дополнительным условиям:

J hJ (т)Ф+ (T)dT = q, j = 1,2...., щ,

Lo

J hJ (т)Ф_ (r)dr = q, j = щ +1, щ + 2,...................., щ +

(2)

m = m,

-2

где И} (*) - заданные линейно-независимые комплексные функции, a ^ - заданные комплексные постоянные.

Кривые Ьк для функции Ф( 2 ) , будут также линиями разрыва, учитывая краевое условие (1)

и автоморфность искомой функции, что будет удовлетворять краевым условиям на всем контуре Ь .

2. В основе решения сформулированной задачи лежит задача о скачке

П

Ф+(0-ф- (0 = g(0(0, * е Ьо • (3)

к=1

Интеграл типа Коши не даёт её решения, так как не будет соблюдено требование автоморфности. Построим аналог интеграла типа Коши для автоморфных функций.

Пусть Р(2) - основная автоморфная функция группы о, имеющая в фундаментальной области Я полюс (простой) г0 и g(),0к (/)(к = 1, п) - заданные на контуре Ь функции класса Н . Построим интеграл

Ф( z)=lb J

g(т)+Yj^kek (т)

к=1

F (T)dT (4)

F (т) - F (z)'

L

Он определяет кусочно-аналитическую автоморфную функцию, имеющую линию разрыва Ь0 и обращающуюся в точке 20 (а также и во всех эквивалентных ее точках) в нуль. Поскольку ядро интеграла (4) представимо в виде

Г (т)

1

- + О(т, 2),

Г (т) — Г (г) т — г

где О - непрерывная на Ь0 функция, тогда для предельных значений Ф(2) на Ь0 будут справедли-

вы формулы, аналогичные формулам Сохоцкого

+ 1

Ф (і) = ± -2

Я (і ) + Т,ак^к (і )

к=1

+ -

1

2лі

%(т)+Т.^к0к(т)

к=1

Г' (т) сіт Г (т) — Г (г)

или

Ф+ (і) — Ф~ (і) = я (0 + ]Г аквк (1),

к=1

Ф

(і)+Ф- (і) = - Г

7Л ■’

к=1

Г' (т)Ст

Следовательно, интеграл (4) даёт единственное решение задачи о скачке с нагруженными свободными членами (3) в классе аналитических автоморфных функций, обращающихся в точке 20 в нуль.

Канонической функцией %(2) задачи (1) назовём автоморфную функцию, удовлетворяющую однородному краевому условию

х+(г) == ОД^_(—)

(5)

и имеющую всюду в фундаментальной области Я нулевой порядок, за исключением точки 20, где

она имеет наибольший возможный порядок Ж. Известно [1,2], что каноническая функция с точностью до постоянного множителя определяется формулой

Х(2) [Р(2) - Р(Го)] * «'('),

где Р (2) - введённая выше основная автоморфная функция с простым полюсом в 20,

(6)

Г(*) = ±: \1п ОД • гт-Гг)Ст’

2пі •

£0 - начальная точка интегрирования в последнем интеграле. С учётом (5) приводим краевое условие к виду

0

Ь

Ф+ (і) Ф- (і)_ %(і) , к=1

^аА(і)

+-к=-----------, іє Ь.

(і) х~(і) (і) (і)

Получим задачу определения кусочно-аналитической автоморфной функции с нагруженными свободными членами по её скачку. Следовательно, общее решение задачи (1) при 0 представимо в виде

Ф( г) = Х( г) (г) + ¥в(г) + Р(Р)], (7)

где х( г) определяется формулой (6), Рж - многочлен степени Ж с произвольными коэффициентами С0С1,..., сдд> а

¥ (г) ! Ж.. Р'^Ст , (8)

2т[ х+ (т) Р(т) — Р(г)

Ч'А2) = ^ак —— | ‘ (9)

к=1 X (“) Р(“) - Р(2)

Если на искомое решение накладывается условие Ф(20 ) = 0, то Рж нужно заменить на Рж_.

Если в последнем случае 0, то нужно положить Р.-1 = о , причём при Ж< 0 должны выполняться условия разрешимости.

| -^ГГТ [Р (т)] Р'(“М“ + Е а|-^-Т7Г [Р (т)] Р'(Ф“ = °- (10)

IX О 01 0о X О

(к = 1,2,...,| ш|).

Равенство (10) получается разложением интегралов (8) и (9) в ряд по степеням Р (2) и приравниванием к нулю первых |Х коэффициентов этого разложения.

Теорема 1. Неоднородная краевая задача Римана с нагруженными свободными членами (1) в классе кусочно-аналитических автоморфных функций при Ж> 0 имеет Ж+1 линейно-независимых регулярных в фундаментальной области Я решений. Все они определяются формулами (7), (9). При Ж< 0, вообще говоря, неоднородная задача регулярных решений не имеет. Для её разрешимости необходимо и достаточно выполнение |х| условий разрешимости (10). При их выполнении единственное регулярное решение даётся формулой (7), где следует положить Р Л Р) = о.

Определим неизвестные коэффициенты ак. Находя из (7)-(9) Ф±^) и вставляя в (2), получим две линейные алгебраические системы (л.а.с.) с двумя группами комплексных неизвестных

С0 С1,' ' ', и а1, а2...., ап '

Xа]к к X Г }к

к=0 к=1

■т;

(11)

где

а% = |Рк № (“)Х± (т)йт;

Р% = \ »(т)х+~ (“)

1 °к(т) , 1 г °к(т) Р'О)й

±-+— [ 7 *

й1 = 4} -|к* (т)х± (т)

2 X" (т) 2т I X" (т) Р(*) - Р(Г1)

йт:

2 X+ (т) 2™ I X+ (Г) Р(*) - Р(Г1)

Заметим, что при знаке (+) в (11) надо брать } = 1,2,., т, а при знаке (-) надо брать

} = т+1, т+2,., т + т = т.

Теорема 2. Неоднородная краевая задача (1) с дополнительными заданиями (2) в классе аналитических автоморфных функций сводится к л.а.с. (11), состоящей из двух подсистем, определяемых знаками (+) либо (-) и с неизвестными сг<с,,..., с ■ а, а а •

' у ' у о, 1 у у ¿77 1 ? 2" " * * ^ П

Пусть в (1) будет Ж > о. Тогда:

1) если т < Ж +П +1, то задача (1)-(2) безусловно разрешима, а её общее решение содержит Ж +П +1 - т произвольных комплексных постоянных;

2) если т = Ж +П +1 и определитель из (11) отличны от нуля, то задача (1)-(2) имеет и притом единственное решение;

3) если т > Ж +П +1 и ранги основной и расширенной матриц из (11) совпадают и обозначены через Г , тогда общее решение задача (1)-(2) содержит (ж +П +1) - Г произвольных постоян-

ных.

В том случае, когда Ж<0, надо взять всюду Рх(Р) = о, а вместо л.а.с. (11) две отдельные системы, как и ранее в (11) при знаках плюс и минус

П

Х$каь = , } = 1 2, ••••,m, (12)

к=1

и, кроме того, у нас есть условия разрешимости (10):

П

Х^Укак =fv, У = 0, 1, 2,•••, И -1,

л=1

где

Ь

о

У к = J [ F (т)]к-1 F(T)dT, /. = - J [ F (т)]к-1 F\т)ёт.

J X (т) L X (т)

Lo л V-/ Lo

Теорема 3. Пусть Ж<0. Тогда:

1) если m + |ж| < П, то задача (1)-(2) всегда разрешима и её общее решение содержит П — (т + |ж|) произвольных комплексных постоянных;

2) если т + |ж| = П и определитель системы (12)-(10) отличен от нуля, то задача (1)-(2) имеет и притом единственное решение;

3) если т + |ж| > П, то для разрешимости задачи (1)-(2) необходимо и достаточно, чтобы совпадали ранги основной и расширенной объединяющей матриц (10), (12) (обозначаемые через r), тогда общее решение содержит n-r произвольных комплексных постоянных.

Поступило 24.11.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи - М.: Наука, 1977, 638 с.

2. Михайлов Л. Г., Акбаров Р. - ДАН РФ, 2009, т. 425, №5, с. 1-5.

Р.Акбаров, К.Чураев

МАСЪАЛАИ САРБОРИ ДОШТАИ РИМАН БАРОИ ФУНКСИЯ^ОИ ЦИСМАН АНАЛИТИКИИ АВТОМОРФ БО ШАРТ^ОИ ИЛОВАГЙ

Донишго^и давлатии Кулоб ба номи А.Рудаки

Дар макола масъалаи сарбори доштаи Римани функсияхои кисман аналитикии автоморф бо шартхои иловагй барои гуруххои беохири функсияхои касри - хаттй тадкикот гузаро-нида шудааст.

Калима^ои калиди: масъалаи канорй - сарбори - шартхои иловагй - функсияхои автоморф.

R.Akbarov, K.Juraev

LOADED BOUNDARY VALUE PROBLEM OF RIEMANN TYPE FOR PEACOS ANALYTICALLY AUTOMORPHIE FUNCTIONS WITH COMPLEMANTARY COMDITION THE INKNOWN FUNCTIONS

A.Rudaki Kulyab State University

For the loaded problem of Riemann type and pence - analytically automorphie function with complementary conditions on the given function iholusive belonged to the group of fraction al-linear transformations in inkestigated in the paper.

Key words: boundary problems - loading - complementar - automorphie function.