Модифицированный метод Чаплыгина в частично упорядоченном B-пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010,3(1), с. 165-167

165

УДК 517.988

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЧАПЛЫГИНА В ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОМ В-ПРОСТРАНСТВЕ

© 2010 г. Н.В. Кротов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 05.11.2009

Устанавливаются достаточные условия сходимости метода двусторонних приближений к решению операторного уравнения в частично упорядоченном В-пространстве. Результат конкретизирован в случае нелинейного интегрального уравнения типа Вольтерра.

Ключевые слова: частично упорядоченное пространство, метод Чаплыгина, нелинейное интегральное уравнение.

I. Приведем известные определения. В-про-

странство называется частично упорядоченным (ч.у.), если в нем возможно выделение множества элементов х > 0, удовлетворяющего условиям (х,у > 0, с > 0) ^ (х Ф 0, х + у > 0, сх > 0); норма изотонна: (0 < х < у) ^ (||х|| < |\у\|); множество

элементов х > 0 замкнуто: (хп > 0, хп ^ х) ^ ^ (х > 0). Частным случаем такого пространства является полуупорядоченное В-простран-ство (см., например, [1]).

Сравнимость х > у, у < х означает х - у > 0. Порядковым отрезком [и, V] называется множество {х:и<х<V}. Обозначение ып Тх:ып <ип+1 ^х. Аналогично уп ^ х.

В дальнейшем X, У — ч.у. В-пространства. Линейный оператор А : X ^ У называется положительным, А > 0, если (х > 0) ^ (Ах > 0); Зх > 0 : Ах > 0. Сравнимость операторов А > В, В > А определяется так же, как для элементов.

II. Найдем достаточные условия осуществимости процесса двусторонних приближений к решению уравнения х = 5(х).

Теорема 1. Пусть элементы м0, у0 е X, м0 < у0 ; операция S отображает порядковый отрезок Р = [и0; у0 ] в пространство X, удовлетворяет при х, х + Де Р, Д> 0 условиям

0 < 5(х + Д) - 5(х) < АД,

Тогда процессы

ип+1 = 5(ип )> К+1 = Я (К) (п ^ 0) (4)

монотонно сходятся на отрезке P к единственному на этом отрезке решению х * уравнения х = Б (х):

ип \ х*, V I х * (п ^<»). (5)

Апостериорная и априорная оценки погрешностей приближений:

I1-1п~Х 0<<| п

I х *- Ып

'-уп~ ип- А" (го _ Ы0 ) 0

(6)

(1)

где линейный ограниченный оператор ЛХ^ X, Л > 0,

Ап (у0 - и0) ^ 0 (и (2)

выполняются соотношения сравнимости

и0 < Б(и0), у0 > 5(у0). (3)

Доказательство. Из соотношений (1), (3),

(4) следует:

и0 < и1 = 5 (ио ) ^ 5 Оо ) = У1 < У0 >

0 < VI - и1 = 5(Уо ) - 5(ио ) < А(уо - ио)-

Индуктивно устанавливаются соотношения сравнимости

ип < ип+1 < Уп+1 < у (п > 0), (7)

0<уп -ип < Ап(у0 -и0) ^ 0 (п ^да), (8)

по условию (2). Отсюда и из монотонности нормы следует

к - ип) ^ 0. (9)

Установим монотонную сходимость (5) процессов (4) к некоторому элементу X* е Р и оценку (6). Для номеров т > п из соотношений

(7) и транзитивности сравнимости следует, что

и0 < и < ит < Ут < У„ < Уп, \и, У„ 1 е Р,

и п т т ии?1-и?и-1 7

0 < V — и < V — и

т т п п'

166

H.B. Кротов

Норма изотонна,

vm - um\\ ^ bn - un\\ ^ 0

(m > n ^ да) (см. (9)). Последовательность vn сходится в себе, в В-пространстве существует предел, vn\- x *. Отсюда и из (9) следует, что

и -V +(и -v )—> х*, и Тх*. Соотношения

n n v n ns * n

(5) верны. Легко проверить, что х* &[ип, vn ] с Р.

Отсюда и из соотношений (8) следует (6).

Из условия (1) и непрерывности оператора следует монотонная непрерывность операции S :(un Т x*) ^ (S(un) Т S(x*)). Переходя к

пределу в равенстве (4), устанавливаем, что x * - решение уравнения x = S(x).

Проверим единственность решения. Пусть элемент х е Р является решением данного уравнения. Формально построим процесс xn+1 = A(xn), x0 = x. Тогда все xn = x . Из изо-тонности операции A и из сравнимости v0 > x следует, что vj = A(v0 ) > А(x) = x. Индуктивно устанавливаем vn > x. По аналогии с выводом

(8) имеем:

0 < vn - x < A” (v0 - x) ^ 0, vn = (vn - x) + x ^ x. Но vn ^ x*, предел единственен, X = x *.

Теорема 1 доказана.

III. Рассмотрим процесс двусторонних приближений к решению уравнения F (x) = 0.

Пусть операция F отображает порядковый отрезок P = [u0, v0 ] с X в пространство Y; линейные операторы Г, Л: X ^ Y, Г>Л; существует обратный оператор Г-1: Y ^ X, Г-1 > 0; выполняются условия

ЛЛ<F(x+Д)-F(x)<ГЛ (x,x+ДеP, Д>0), (10)

Г-1 (Г-Л) < A,

-Г *AF(х) = Г ^ГД-AF(x)]. Из соотношений Г-1 > 0, а также (10), (11) следует (1). Условия сравнимости (3) и (12) совпадают. Процессы (4) принимают вид (13).

Теорема 2 следует из теоремы 1.

Замечания. 1. Отметим, что условия (12) слабее требований F (u0) < 0 < F(v0), которые

обычно используются в методе чаплыгинского типа (см., например, [2]).

2. Для сравнимости (1) или (10) достаточно существования непрерывной по x сильной производной, соответственно S '(x) или F '(x) и сравнимости 0 < S'(х) < А или 0 < F '(x) < Г в точках x е P.

IV. Применим теорему 2 к интегральному уравнению

x(s) - If (s, t, x(t))dt - h(s) = 0 (0 < s < 1).(14)

0

Введем обозначение для подынтегральной функции f [x] = f (s, t, x(t)). Пусть h, u0, v0 e C, u0 (t) < v0 (t) (Vt). Выделим множество функций x e C:

P = {x :u0(t) < x(t) < v0(t), Vt). (15)

(x e P) ^ (f [x] e С). Пусть числа A > у > 0, выполняются двусторонние условия Липшица по третьей переменной

уД < f [ x + Д] - f [ x] < ^Д (x, x + Де P,

A(t) > 0, Vt).

Введем обозначения:

(16)

(11)

где линейный ограниченный оператор А удовлетворяет условию (2).

Теорема 2. Если выполняются условия сравнимости

Г-1Р («о) < 0 <Г-1Р (у0), (12)

то на отрезке Р процессы

= «„-Г-1Яи), Уя+1 = Уя-Г-1Р(уя) (п>0) (13) монотонно сходятся к единственному на этом отрезке решению х * уравнения Г(х) = 0, выполняются соотношения (5), (6).

Доказательство. Введем операцию 5(х) =

= х-Г~lF(х). Уравнения х = 5(х),F(х) = 0 эквивалентны. Обозначение вида ДР (х) = = F(х + Д) - F(х). Приращение Д51(х) = Д —

[Fix)](s) = x(s) - If (s, t, x(t))dt - h(s),

о

[ф(x)](s) = [F(x)](s) + у I(s-t)[F(x)](t)dt,

a = (Л - у)eY.

(17)

Теорема 3. Если выполняются неравенства

[Ф(«0)](^) ^ 0 < [Ф(Уо)](^) {Уs), (18)

то на множестве (15) процессы

ип+1 = ип -Ф(ип )» У„+1 = -ф(у„ ) (« ^ 0)(19)

монотонно и равномерно сходятся к единственному на этом множестве решению х * уравнения (14), выполняются соотношения (5) и

(6), где образ

п ^

(AnA)(s) = - I(s - tr1 Mt)dt, Д = Vo - м0,(20)

(и-і)! j

число а определено равенством (17).

Доказательство. Положим В-пространство X = Y = C. Сравнимость х > 0 означает x(t) > 0 (Vt); 3t: x(t) > 0. Порядковый отрезок P здесь является множеством (15). Введем линейные операторы Г, Л: C ^ C

s

(rA)(s) = A(s) - у |A(t)dt, i

0

s

(AA)(s) = A(s) - X | A(t )dt.

0

Тогда Г>Л, из условий (16) следуют (10), существует обратный оператор Г-1 : C ^ C, Г-1 > 0, а именно

(Г-1 y)(s) = y(s) + Y Jf(s-t} y(t )dt.

0

Образ Ф( x) = r-1F ( x). Сравнимость (12) здесь фактически означает (18) (в случае когда [Ф(и0)](s) = 0 или [Ф(у0)](s) = 0, нет проблемы

поиска решения). Процессы (13) принимают вид (19).

Для функции

y(s) = [(г - Л)А](^) = (Л - y )| A (t )dt

образ

(Г-1 y)(s) = (Л - y )

(6)

(21)

Для функций Д(-г) > 0 из неравенств

0 <(<5 следует неравенство для внутреннего

интеграла |А(т)^г < |А()йг, повторный инте-

0 0

грал мажорируется произведением одинарных

интегралов. Далее, у |ег(V? < ег — 1, так как

о

0 < 5 < 1. Сумма, указанная в квадратных скобках в (21), не превосходит произведения

ег |Д(Т. Поэтому в качестве линейного огра-

0

ниченного оператора А: С ^ С, А > 0, удовлетворяющего условию сравнимости (11), можно

принять (ЛД)Су) = а |А(^ (см. (17)). Итерация

0

” *

(А”Д)0) = —-------|(5 - Т)”-1 Д(Т)Ж. Образ, ука-

(п — 1)! о

занный в оценке (6), принимает вид (20).

Сходимость в пространстве С равномерная. Из теоремы 2 следует теорема 3.

Работа выполнена при поддержке Федеральной программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России».

Список литературы

1 . Кр отов Н . В. Метод усреднения и модулярных мажорант для дифференциального уравнения с запаздыванием // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2008. № 6. С. 161-164.

2. Слугин С.Н. Некоторые частично упорядоченные объекты в теории приближенных методов // Известия высш. уч. заведений. Математика. 1963. № 6.

MODIFIED CHAPLYGINS METHOD IN PARTIALLY ORDERED B-SPACE

N. V. Krotov

Sufficient conditions are established for convergence of the two-sided approximations method to the solution of an operator equation in a partially ordered B-space. The result has been illustrated for the case of a nonlinear integral equation of Volterra type.

Keywords: partially ordered B-space, Chaplygin’s method, nonlinear integral equation.