С. П. Похотников, Д. С. Плохотников, Д. С. Марвин
Р. Х. Фатыхов
МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФАЗОВЫЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ В ЗАДАЧАХ ПЛОЩАДНОГО ЗАВОДНЕНИЯ СЛОИСТЫХ ПЛАСТОВ
В работе исследуется погрешность расчетов осредненных моделей при двухфазной фильтрации в слоистых пластах при площадном заводнении. Осреднение проводится на основе известной схемы струй. Делаются выводы о возможности применимости такого подхода в задачах подземной гидромеханики.
В работе исследуется погрешность двух известных осредненных по толщине слоистого пласта моделей двухфазной фильтрации. Рассматривается двухфазное изотермическое вытеснение нефти водой в рамках модели Баклея-Леверетта при площадном заводнении в слоистом пласте - пятиточечной и девятиточечной системах заводнения. На двух приведённых ниже рисунках схематично показаны элементы пятиточечной системы заводнения - одна эксплуатационная скважина в центре квадрата, а вокруг - 4 нагнетательные скважины. На рисунке для девятиточечной системы - одна эксплуатационная скважина в центре, а вокруг - 8 нагнетательных воду скважин. Математическая постановка двумерной (х, у) - задачи двухфазовой фильтрации с известными краевыми условиями дана в [3]. Там же приводится численный алгоритм решения, который был реализован в данной работе.
Задача была решена при заданном перепаде давлений между нагнетательными скважинами, КП - контуром питания и эксплуатационной скважиной.
Рис. 1 - Пятиточечная система за- Рис. 2 - Девятиточечная система заводнения воднения
Сначала задача решалась с линейными исходными проницаемостями Кв (в), Кн (в) и средней К* в двумерной постановке (С-модель), а также в двумерной постановке с модифицированными КВ (в), КН! (в) вида (1) и средней К* (В-модель) для равномерного закона распределения задания абсолютной проницаемости К (I) исходного слоистого пласта.
КМ (Э) = Кв (Э) * [1 + У,13(1 - Эп (Э))],
К М (Э) = К „ (Э) * [1-Ул/3Эп (Э)]
В качестве эталонного численного решения (А-модель) брали квази-трёхмерное решение задачи для пятислойного пласта с изолированными пропластками, абсолютная проницаемость которых подчиняется равномерному распределению. На рисунках 3, 4 приведены графики коэффициента нефтеотдачи, полученного для линейных Кв (Э), Кн (Э) -единых для всех пяти пропластков. По-прежнему, осредненные решения В и С, ограничивают снизу и сверху эталонное решение А, как и в работах [1,2]. Функции К (г),Кв(Э ),Кн(Э) - коэффициенты системы дифференциальных уравнений второго порядка, которые определяют математическую модель [3].
Задача была решена при заданном перепаде давлений между нагнетательными скважинами, КП и эксплуатационной скважиной и при нелинейных Кв (Э), Кн (Э) - квадратичных и кубических параболах. На рис. 5, 6 приведены результаты для кубических зависимостей при пятиточечной и девятиточечной системах зоводнения. Полученные результаты аналогичны линейному случаю - эталонное решение А находится практически между двумя осредненными решениями В и С. Эти результаты аналогичны результатам, приведённым на графиках многочисленных примеров работы [2] для коэффициента нефтеотдачи П. Там было проведено сравнение х- задачи с (х, 2)- задачей. Таким образом, в данной работе, получены аналогичные результаты в более сложном случае.__________________
V
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
С
I
1 2 Г
Рис. 3 - Линейные КВ(в), Кн(Б), пяти- Рис. 5 - Кубические КВ(Б), Кн(Б), пятиточечная система точечная система
Рис. 4 - Линейные КВ(в), Кн(Б), девятиточечная система
Рис. 6 - Кубические КВ(Б), Кн(Б), пятиточечная система
Рассмотрим ещё более сложный случай (рис. 7,8) задания слоистой неоднородности. Пусть абсолютная проницаемость К(2) по пропласткам подчиняется равномерному закону распределения при У=0,55, а исходные лабораторные относительные фазовые проницаемости имеют в различных пропластках различный вид:
Кв (Б) = 0,5 *
в - 0,3 0,8 - 0,3
, Кн(Б) = 0,7 *
0,8 - Б 0,8 - 0,3
(2)
где значения а, Ь даны в таблицах 1, 2, в которых приведены исходные параметры для двух примеров.
Таблица 1 - Равномерный закон распределения К(Е), пример 1
І 1 2 3 4 5
Кі 0.1 0,3 0,5 0,7 0,9
аі 2 2 1,5 2 2
Ьі 2 2 1 2 2
Таблица 2 - Равномерный закон распраделения К(И), пример 2
1 1 2 3 4 5
К| 0.1 0,3 0,5 0,7 0,9
а; 2 2 1,5 1 1
Р| 2 2 1,5 1 1
Формулы для расчета относительных проницаемостей для простейшей осредненной модели С имеют вид [2]:
__ 1 П __ 1 П
Кв (Э) = -1 И,кв (Э) , К„ (Э) = - 2 Н,кн (Э) (3)
п (=1 П (=1
Формулы модифицированных проницаемостей фаз моделей В для равномерного закона распределения К(х) имеют такой вид:
кВ (Э) = Кв (Э) *[1+УТ3(1 - ЭП(Э))|, ЭП(Э) = 08-03, (4) К В (Э) = К Н (Э) * [1-Ул/3ЭП (Э)].
На всех приведенных рисунках рассмотрена модель неоднородного по толщине слоистого пласта с изолированными пропластками одинаковой толщины прямоугольной конфигурации О = {0 < х < а,0 < у < Ь}, вскрытого девятиточечной (или пятиточечной) системой заводнения для а = Ь = 800 м, Н = 5 м, т = 0.2, тН = 3 МПа с, тВ = 1 МПа с, Н1 = Н2 = Н3 = Н4 = Н5 = 1м. Давление на нагнетательной скважине и контуре питания задавали 22 МПа, давление на добывающих скважинах 12.5 МПа. Расстояние от КП до ближайшего ряда скважин 200 м, между рядами скважин тоже 200 м. Использовали конечно -разностную сетку размерностью 33*33 узла. Из них в центре пласта - нагнетательная скважина, по периметру - эксплутационные скважины. Математическая постановка задачи подробно приведена в работе [3].
На рис. 7,8 хорошо видно , что осредненные решения В и С ограничивают снизу и сверху эталонное решение А. Это говорит об обоснованности применения этих двух ос-редненных моделей в совокупности при площадном заводнении в слоистых пластах.
Рис. 7 - Девятиточечная система за- Рис. 8 - Девятиточечная система заводнения КВ(Б), Кн(Б) из таблицы 1 воднения КВ(Б), Кн(Б) из таблицы 2
Авторы выражают благодарность В. Д. Слабнову за помощь в проведении расчётов по численному алгоритму [3].
Литература
5. Плохотников С.П., Слабнов В.Д. // В сб. докл. ежд. конф. "Проблемы комплексного освоения трудноизвлекаемых запасов нефти и природных битумов". Казань, 1994. Т.6, С. 2044-2049.
6. Плохотников С.П., Елисеенков В.В. // Журн. ПМТФ РАН. 2001. Т. 42, №5. С. 115-121.
7. Слабнов В.Д., Волков Ю.А., Скворцов В.В. // Математическое моделирование. 2002. Т. 14, №1. С.3-15.
© С. П. Похотников - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики КГТУ; Д. С. Плохотников - студ. КГТУ; О. Б. Марвин - канд. физ.-мат. наук, доц КГТУ; Р. Х. Фатыхов -асс., зам. д-ра библиотеки КГТУ.