CC BY
75
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2008, том 51, №8_____________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 514.1 + 517.5
Академик АН Республики Таджикистан З.Д.Усманов МОДИФИЦИРОВАННАЯ СНЕЖИНКА КОХА
Для построения модифицированной снежинки Коха используется однотипное, бесконечное число раз повторяемое преобразование ориентированного отрезка прямой в многозвенную ломаную линию. Существо преобразования заключается в следующем.
Рассмотрим на плоскости п отрезок прямой АВ длины 10 с фиксированной ориентацией от точки А к точке В, позволяющей различать левую и правую окрестности АВ. Интересующее нас преобразование является результатом последовательного применения трех процедур:
• деления АВ на 2т +1 (т = 1,2...) равных отрезка;
• построения на каждом чётном отрезке (число таковых будет т ), как на основании, равностороннего треугольника, две вершины которого совпадают с концами отрезка, а третья вершина располагается по левую сторону от АВ ;
• удаления из полученной фигуры оснований построенных равносторонних треугольников, см. рис 1.
1. Удобства ради в дальнейшем исходный отрезок АВ будем обозначать через (АВ)0, полученную из него ломаную линию - через (АВ\, а преобразование (АВ)0 ^ (АВ\ - че-
рез Р. Очевидно, что ломаная (АВ\ состоит из 3т +1 звеньев, причем длина каждого звена - 1 = /0 /(2т +1), а длина всей ломаной - Ц = (3т +1)/0 /(2т +1) . Добавим к этому, что преобразование Р оставляет неподвижными начало и конец отрезка (АВ)0 (впрочем, также и все точки нечетных отрезков) и переносит ориентацию (АВ)0 от А к В на (АВ\ .
Теперь применим преобразование Р к (АВ\, понимая под этим, что Р применяется одновременно ко всем отрезкам (звеньям), составляющим ломаную ( АВ) . Очевидно, что Р оставляет неподвижными концы всех звеньев ломаной (АВ\. В результате преобразования получим новую ломаную (АВ)2 = Р (АВ\, у которой, как нетрудно проверить, число звеньев равно (3т +1)2, длина каждого звена - 12 = ^ /(2т +1) = /0 /(2т +1)2, а вся длина - Ц =
(3т +1)2 ^ /(2т +1) = (3т +1)2 /0 /(2т +1)2, см. рис 2.
(ДБ)2
Рис.2 ( для т = 3 )
Если далее сделать еще одну Р -итерацию уже над (АВ)2, а затем над получаемой ломаной(АВ)3 и т.д., то после выполнения п итераций получится ломаная линия
(АВ)п = Р (АВ)п_1 = Рп (АВ)0
с числом звеньев (3т +1)п, с длиной каждого звена - /п = /п_х /(2т +1) = /0 /(2т +1)п и с
общей длиной - Ц = (3т +1)”/^/(2т +1) = (3т +1)п/0/(2т +1)п. Подчеркнем также, что, как и для (АВ\, (АВ)2,..., (АВ)и-1, ломаная (АВ)п имеет начало в точке А и конец в точке В . Кроме того, концы всех звеньев ломаной (АВ)пЧ при Р - преобразовании остаются неподвижными.
При п ^ да получим предельную кривую
(АВ)* = Нт (АВ) п,
начало и конец которой совпадают соответственно с точками А и В. Отметим, что предельная кривая (АВ)* состоит из теоретико-множественного объединения точек - концов ломаной (АВ)п для п = 0,1,2,..
Из выражения для Ц следует, что
Пт Ь ^ да,
п 5
п^да
то есть длина предельной кривой между точками А и В равна бесконечности. Отметим, что этот результат не зависит от длины / начального отрезка ( АВ) , в связи с чем, очевидно,
имеет место следующее
Утверждение 1. Как бы не были близки (в смысле евклидового расстояния на плоскости) любые две точки С и Б кривой (АВ)* кусок этой кривой, заключенный между С и Б, имеет бесконечную длину.
Этому утверждению можно придать практическую интерпретацию, если ввести понятие “точки” на кривой (АВ)*, понимая под этим пару точек, принадлежащих (АВ)* и расположенных настолько близко, что с позиции применяемых измерительных приборов они не различимы и воспринимаются как одно целое. Тогда можно высказать и
Утверждение 2. Любая “точка” предельной кривой (АВ)* имеет бесконечную длину.
Очевидно также и такое
Утверждение 3. Любые “окрестности” любых внутренних точек предельной кривой (АВ)* имеют бесконечную длину, причем под словом “окрестность” следует понимать пересечение кривой ( АВ)* с достаточно малой круговой окрестностью выбранной точки.
2. Теперь займемся построением модифицированной снежинки Коха. Для этих целей на плоскости п возьмем в качестве основы правильный выпуклый многоугольник с q (^ > 3) сторонами длиной /0. Обозначим его границу (замкнутую выпуклую ломаную линию) через 20 и установим на ней ориентацию по часовой стрелке, при которой внутренность многоугольника располагается справа.
Применим преобразование Р к 0О, имея в виду, как и раньше, что операция Р действует одновременно на все звенья замкнутой ломаной 0О. Результатом преобразования будет замкнутая ломаная линия ^, состоящая из q(3m +1) звеньев с длиной каждого звена, равной ^ = /0 /(2т +1), и общей длиной - Ц = q(3m +1)^ = q/0(3т + 1)/(2т +1) , см. рис.3.
во
Рис. 3 ( для д = 5, т = 3)
Применяя Р - преобразование к ^, затем к ^ = Р(^) и т.д., после выполнения п итераций получим замкнутую ломаную линию
бп = Р(<2п-:) = РП (&),
у которой число звеньев - д(3т +1)п, длина каждого звена - /п = /0 /(2т +1)п и периметр -= Яо (3т +1)п /(2т +1)п. Для удобства эти и другие необходимые данные о ломаных представлены в табл. 1.
Таблица 1
Число звеньев ломаной Длина звена К Ьк - шри- метр ломаной Число треугольников Площадь треуголь- ника А к - сумма площадей треугольников
во Я 10 Я10
в: д(3т +1) А _ їо 2т +1 (3т +1) тц А2л/з 4 тц/2 л/3 4
в2 д(3т +1)2 ї2 _ її ц/2 (3т +1)2 тц (3т +1) ї 2л/3 тц (3т +1)/2 л/3
2т +1 4 4
вп д(3т +1)п К _ їп-1 Я1п(3т +1)" тд (3т +1)п-1 тд (3т +1)п 1 / 2>/3
2т +1 4 4
Предельная замкнутая кривая Q *, получаемая из при п , ограничивает на плоскости ж фигуру, которую назовем модифицированной снежинкой Коха. Её граница обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Кривая Q * имеет бесконечную длину.
Свойство 2. Любая “точка” кривой Q* имеет бесконечную длину.
Свойство 3. Любой ’’фрагмент” (“кусок”) кривой Q* имеет бесконечную длину.
Перечисленные свойства являются очевидными следствиями того, что установлено ранее. А вот ещё одно свойство требует проверки:
Свойство 4. Кривая Q * оконтуривает на плоскости фигуру, имеющую конечную площадь.
Для подтверждения этого свойства следует проверить, что последовательность Хи площадей, ограничиваемых замкнутыми ломаными линиями ^, сходится. В самом деле, поскольку Р -операция преобразует Qn в замкнутую ломаную Qn+1, охватывающую Qn, то между соответствующими им площадями устанавливается соотношение:
Хп+1 = &п + А п+1 ,
где Ап+1 - суммарная площадь тех равносторонних треугольников, которые при
Р -преобразовании участками “присоединяются” к площади , ограничиваемой ломаной Q .
Х-'П
Пусть Х0 - площадь правильного многоугольника ^ с д сторонами. При Р -преобразовании ^ ^ ^ к площади £0 “присоединяются” тц равносторонних треугольников с длинами сторон ^ = /0 /(2т +1) и площадями, равными I^>/3/4. Следовательно
тд1^4з
т/1?2
А =
4
Далее при Р -преобразовании ^ к площади последнего “присоединяются” (3т + 1)тд равносторонних треугольников с длинами сторон /2 = ^ /(2т +1) и площадями, равными /2 V3 / 4. Поэтому
тд (3т +1)/ 2>/з
2 = 4 '
И, наконец, по аналогии можно получить
А_ =
тц (3т +1)п 1 /2>/з 4
Приведенные данные показаны в четвертой, пятой и шестой колонках таблицы 1. Теперь остается записать формулу для £и+1 в виде
п+1
Х,+, = X 0 +2 А „
к=1
и, соответственно, при п = да
ад
X да = X 0 + £Д
к=1
12 зт +1 ^
Поскольку А ^ / А = (3т + 1)-^ =------------ < 1 при т > 1, то ряд для Xда сходится, и свой-
12п (2т +1)2
ство 4 действительно имеет место.
3. Пусть за счет выбора подходящего значения п длина 1п звена многоугольника <2п
стала достаточно малой величиной 1п = /0 /(2т +1)п = е. Число таких звеньев, как видно из таблицы 1, равно N(е) = д(3т +1)п.
Согласно определению, хаусдорфова или же фрактальная размерность границы модифицированной снежинки Коха вычисляется по формуле
О = ВшМ(£>.
е^0 1п(1/ е)
Внося в эту формулу выражения N(е) и е и переходя к пределу при п ^да, получим
о(т) = ^п^3^.
1п(2т +1)
Отметим, что значение О не зависит от д, т.е. от числа сторон порождающего многоугольника 20. Далее приводится табл. 2 для числовых значений фрактальной размерности модифицированной снежинки Коха в зависимости от натурального числа т .
Таблица 2
т 1 2 3 4 5 да
В(т) 1.26186 1.20906 1.18329 1.16736 1.15626 1
Замечание 1. В частном случае, при д = 3 и т = 1, модифицированная снежинка Коха превращается в геометрический объект, придуманный Гельгом фон Кохом в 1904 г., [1]. Из табл. 2 видно, что фрактальная размерность снежинки Коха является наибольшей в сравнении с её модификациями.
Замечание 2. Обратимся к примеру Ван дер Вардена - функции, непрерывной на всей числовой оси и нигде не дифференцируемой [2]. Эта функция получается суммированием бесконечного числа “зубчатых” кусочно-гладких функций, а её график напоминает конструкции фрактальных кривых. В связи с настоящим исследованием интересно получить ответы на два вопроса.
Какую длину, конечную или же бесконечную, имеет любой кусок кривой Ван дер Вардена, однозначно проектирующийся на конечный отрезок числовой оси?
Является ли граница модифицированной снежинки Коха нигде не дифференцируемой функцией или же нет?
Или же в более общей формулировке, являются ли характерными свойствами фрактальных кривых их недифференцируемость ни в одной своей точке и бесконечность длины любого их куска?
Институт математики Поступило 14.07.2007 г.
АН Республики Таджикистан
ЛИТЕРАТУРА
1. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000, 352 с.
2. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948, 412 с.
З.Ч,.Усмонов ЗАРРАЧАИ ТАКМИЛЁФТАИ КОХ
Дар мак;ола фрактали геометрие, ки заррачаи Кохро мукаммал месозад тархрезй шудааст. Нишон дода шудааст, ки масохати заррачаи мукаммалшуда охирнок аст ва дарозии к;исми дилхохи хатти каче, ки онро ихота мекунад, беохир аст. Проблема оиди хусусиятхои характерноки хатхои качи фракталй дар хамворй муайян карда шудааст.
Z.D.Usmanov A MODIFIED SNOW-FLAKE BY KOCH
In the article a geometric fractal generalizing the Koch snow-flake is constructed. It is stated that an area of the complicated snow-flake is limited while the length of any piece on the contour fractal curve is infinite. The problem concerning the proposed typical attributes of fractal curves has been formulated.
