CC BY
127
УДК 539.3
C.A. Лурье1, А.А. Касимовский2, Ю.О. Соляев1, Д.Д. Иванова2
1 Институт прикладной механики РАН, Москва, Россия Исследовательский центр им. М.В. Келдыша, Москва, Россия
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО КОНСТРУКЦИОННОГО МАТЕРИАЛА НА ОСНОВЕ КЕРАМИКИ SIC, АРМИРОВАННОЙ УГЛЕРОДНЫМИ НАНОТРУБКАМИ
Рассматривается композит на основе карбида кремния, армированный углеродными нанотрубками. Эффективные термоупругие характеристики композита рассчитываются в предположении, что нанотрубки концентрируются на границах зерен. Для расчёта привлекаются прикладные варианты градиентной теории упругости и теплопроводности. Приводится пример расчёта элемента конструкции, указывающий на возможную перспективность использования подобных керамических материалов.
Ключевые слова: градиентная теория упругости, градиентная теплопроводность, керамика, нанотрубки, эффективные свойства, прочность.
S.A. Lurie1, А.А. Kasimovskiy2, J.O. Soliaev1, D.D. Ivanova2
11nstitution of Russian academy of science Institute of applied mechnics RAS, Moscow, Russia 2FSUE Keldysh Research Centre, Moscow, Russia
MODELING OF HIGH STRUCTURAL MATERIAL BASED ON CERAMIC SIC, REINFORCED WITH CARBON NANOTUBES
We consider a composite material based on silicon carbide reinforced with carbon nanotubes. Effective thermoelastic characteristics of the composite are calculated on the assumption that the nanotubes are concentrated at the boundaries of grains. Applied gradient theory of elasticity and thermal conductivity are used for calculations. It is given an example of calculation of the element of construction, which indicates the possible prospects of the use of such ceramic materials.
Keywords: strain-gradient elasticity, gradient thermal conductivity, ceramic, nanotubes, effective properties, strength.
Введение
Стенки неохлаждаемых камер сгорания жидкостных реактивных двигателей малой тяги (ЖРДМТ) при эксплуатации нагреваются до максимально высоких для используемого конструкционного материала температур. Чем выше температура в камере сгорания, тем выше тех-
нические характеристики двигателя. Поэтому стоит задача разработки материалов, сохраняющих высокие прочностные характеристики при как можно более высоких температурах.
Керамики являются перспективным классом высокотемпературных материалов. Известно, что армирование керамик углеродными нанотрубками (УНТ) приводит к увеличению как предела прочности на изгиб, так и трещиностойкости [1]. В связи с этим представляет большой интерес исследование возможности применения армированных УНТ керамических композитов в качестве, например, конструкционного материала камеры сгорания ЖРД.
В настоящей работе изучается деформирование исследуемого материала, находящегося в условиях стационарного силового и температурного воздействий, соответствующих эксплуатационным режимам типовой камеры сгорания ЖРД. Рассматривается нанокомпозит на основе карбида кремния с размером зерна 250 нм, армированный углеродными нанотрубками (БіС-УНТ). Эффективные физико-механические характеристики композита предлагается рассчитывать в рамках прикладных градиентных моделей теории упругости [2-4]. В результате предлагается процедура прогноза эффективных характеристик керамического материала: модуля Юнга, модуля сдвига, коэффициента температурного расширения (КТР), коэффициента теплопроводности и предела прочности.
1. Моделирование эффективных термоупругих характеристик керамического зернистого материала, армированного углеродными нанотрубками
Известно из экспериментальных исследований, проводимых при изучении свойств высокотемпературных керамических материалов (см., например, [5, 6]), что в спечённой керамике, армированной УНТ, нанотрубки располагаются вокруг зёрен, образуя пространственную каркасную структуру. При этом существуют технологии, позволяющие добиться равномерного распределения УНТ по объёму керамики и плотного межзёренного контакта. Поэтому будем предполагать, что рассматриваемый композиционный материал состоит из двух компонентов: керамических зёрен и углеродных нанотрубок, между которыми реализуется идеальный контакт. Пористость присутствует только внутри зёрен керамики. Исходные физико-механические характери-
стики фаз композита берутся из литературных источников [5-13] и приведены в табл. 1. Отметим, что для моделирования взяты средние значения свойств нанотрубок и керамики, характерные для современного уровня развития технологий.
Таблица 1
Физико-механические характеристики составляющих композита
Характеристики УНТ БІС
25 °С 2000 оС 25 оС 2000 оС
Модуль Юнга, Е, ТПа 1 0,8 0,44 0,33
Коэффициент Пуассона, V 0,16 0,3
КТР, а-10"6 К-1 7,3 13 4,7
Коэффициент теплопроводности, к, Вт/(м-К) 3000 500 42 10
Предел прочности, ав , ГПа 30 15 0,6 0,35
Для определения эффективных характеристик композита БІС-УНТ будем рассматривать одномерную модель слоистой среды, нагруженной перпендикулярно слоям, в рамках градиентной термоупругости и градиентной теплопроводности. Выберем двухфазный представительный фрагмент с последовательным расположением фаз: свойства первой фазы определяются свойствами керамического зерна, а ее протяженность равна характерному диаметру зерна Б; вторая фаза имеет протяженность d и состоит из углеродных нанотрубок (УНТ). Как правило, между зёрнами реализуется специальная структура, в которой находится не одна, а пучок нанотрубок. В качестве приближённой модели будем считать, что свойства такого пучка нанотрубок близки свойствам углеродной нанотрубки.
Эффективные упругие модули рассматриваемой среды будем определять по следующей формуле, полученной в рамках градиентной теории упругости [14, 16]:
С1С2(Б + d)
С =
+ С2 Б -
(Г - С2)2
(1)
(С1к)! Ш(яг/) + (С2к)! \к(кО)
где Се// - искомый эффективный модуль Юнга или эффективный модуль сдвига среды (ГПа), С1,С2 - соответствующие модули упругости
фаз (керамики и УНТ) (ГПа), к - градиентный параметр модели, связанный в рассматриваемой задаче с локальным изменением морфологии керамических зёрен в области контакта с УНТ (1/м). Будем предполагать, что зависимость эффективных различных эффективных модулей может быть приближённо описана одним значением градиентного параметра, хотя в общем случае значения могут различаться.
Отметим, что выражение (1) сводится к классической формуле смеси при к^да, что соответствует отсутствию изменений в морфологии зёрен керамики при контакте с УНТ:
При определении эффективных модулей упругости композита учтем влияние пористости на значения исходного модуля упругости керамических зёрен. Используя теорию сред с сохраняющимися дислокациями [4], можно показать, что влияние пористости в среде приводит к уменьшению объёмного модуля среды и может быть учтено по следующей формуле:
где К1 - объёмный модуль пористой керамической фазы, К - модуль беспористой керамики, / п - объёмное содержание пор, Кп - коэффициент взаимовлияния деформаций пор и сплошного материала среды, который по своему смыслу является дополнительным физическим модулем модели.
Заметим, что в справочниках [7, 8] приведены соотношения для учета пористости, которые аналогичны уравнению (3).
Предположим, что коэффициент Пуассона зёрен керамики незначительно зависит от объёмного содержания пор (для объёмной доли пористости менее 10 %). Тогда влияние пористости на модуль Юнга и сдвига может быть рассчитано с использованием стандартных формул связи модулей упругости:
с,с2( в + а)
е// сха+с2 в
(2)
(3)
Е = 3К1 (1-2^), Ох = 3К1 (1-2V1)/(2 + 2^).
(4)
Здесь Е1,Є1 - модуль Юнга и модуль сдвига зёрен керамики, К1 - объёмный модуль зёрен, найденный по формуле (3).
Эффективный коэффициент температурного расширения композита, в первом приближении, предлагается определять по классической формуле Левина [15]
где К1, К2 а1, а2 - объёмные модули и КТР зёрен керамики, и УНТ со-
модуль, модули - вычисляются по формуле (1).
Учёт градиентных эффектов при определении Ке// приведёт
в итоге к учёту масштабных факторов при определении эффективного КТР нанокомпозита. Отметим также, что учет пористости осуществляется через зависимость объёмного модуля К1 от / п (3).
2. Градиентная модель теплопроводности. Определение
В данной работе предполагается также вычислить и эффективное значение коэффициента теплопроводности, используя вариант градиентной теории теплопроводности. Постановка задачи теплопроводности, позволяющей учесть масштабные эффекты, осуществляется с математической точки зрения аналогично постановке задачи градиентной теории упругости. Лагранжиан модели градиентной теплопроводности может быть записан в виде
Здесь к - коэффициент теплопроводности, Ф - температура, (/°, /Ж ) - обозначают заданное в объеме Є и на поверхности дЄ скалярное поле (плотности тепловых источников). Легко установить,
с
1 1 1
а1 -а2
(5)
ответственно. К/ - ЕеЛ°еЦІ(9Є/ 3Ее// ) - эффективный объёмный
эффективного коэффициента теплопроводности
где
ш = | /° фсіу + | /30 ф ау', е (Ф) -11 к (|уф |2 + с- |у2ф |2) ау.
что использование вариационного принципа дает здесь следующее вариационное уравнение модели:
8£ - П- С V2VC Ф+ Г
гГГ к з^С-ф)
5 ф ау+
з а
С З п
+ /
5Ф +
л
З п
(6)
ds.
В результате вариационная постановка (6) дает следующее разрешающее уравнение для градиентной теплопроводности:
-(к/С)У2У2Ф + =0, уСф = у2ф-СФ.
Кроме того, вариационное равенство (6) в случае контактной задачи теплопроводности дает следующие условия контакта на границе двух фаз (скобками обозначается скачок функции на границе контакта):
[ф]=
ЗФ
З п
-[ м (Ф)] = [2(Ф)] = 0.
где М(Ф) = (к / С) У2Ф, Q(Ф) = -(к / С) —(у£ф) .
д п v ’
Заметим, что четвертое из записанных выше условий определяет условия непрерывности для обобщенного теплового потока. Оно сводиться к классическому условию, когда С ^ да :
VCФ^2(Ф) - С Ф, то есть
к —(Ф)
З п ’
- 0.
Учитывая (6), легко установить, что в случае одномерной постановки задача градиентной теплопроводности аналогична проблеме градиентной упругости. Поэтому для определения эффективного коэффициента теплопроводности керамики можно воспользоваться аналогом формулы (1) с заменой упругих констант на коэффициенты теплопроводности фаз:
квЦ -■
к1к2 (Б + а)
к1а + к2 Б ■
(к - к2)2
(7)
(к1к1 уЩк1 а) + (к2к* уЩк1 Б)
и
где к, - искомый эффективный коэффициент теплопроводности композита (Вт • м-1 • К-1); к1, к2 - коэффициенты теплопроводности фаз
(керамики и УНТ) (Вт • м-1 • К-1); кт - градиентный параметр модели, определяющий масштаб градиентных эффектов по отношению к температурному воздействиию в области контакта керамических зёрен с УНТ (1/ м).
Отметим, что формула (6) также сводится к классическому выражению для эффективной теплопроводности в случае кт ^ да и имеет вид
к1к2( Б + а) к1а+к2 Б
3. Об оценке прочности композита БЮ-УНТ
Керамические материалы, в том числе армированные УНТ, почти не обладают пластическими свойствами. Поэтому можно считать, что прочность рассматриваемого композита определяется прочностью «слабой» фазы. В нашем случае будем считать, что прочность керамики определяется прочностью зерна. Будем предполагать, что разрушение рассматриваемого конструкционного керамического материала наступает в том случае, когда полные напряжения (рассчитанные с учетом градиентных эффектов) в зёрнах керамики достигают предела прочности.
На первом этапе решается задача уточнённого определения напряжённо-деформированного состояния в рамках одномерной постановки градиентной модели с учётом локальных градиентных эффектов. Контактная задача в рамках одномерной постановки градиентной теории упругости имеет следующий вид.
Уравнения равновесия в фазе зерна (от 0 до Б) и фазе нанотрубок (от Б до Б+^):
0 < х < а: а/ - т” = 0,
1, 1 „ (9) а < х < а + Б: а/- т" = 0.
Граничные условия по напряжениям по моментным напряжениям:
при х = 0
I '
I гг — тп — г>
(10)
| а1 - т1 = р,
[т1 = 0,
при х=Б+а
|с2 - т2 = p, (11)
[ т2 = 0.
Условия контакта фаз при х = а записываются в виде
12, (12)
а1 - т1 = а2 - т2 ,
В приведённой постановке использованы следующие обозначения: г1=г1(х), г2=г2(х) - перемещения в фазе УНТ и в зерне керамики соответственно; а1, а2 - классические напряжения в фазе УНТ и в зерне керамики; т1, т2 - моментные напряжения в фазе УНТ и в зерне керамики; р - внешняя заданная распределённая нагрузка (растягивающие напряжения).
Соотношения закона Гука для классических и моментных напряжений в рамках градиентной модели имеют вид [16]
—
аi = £% тг = —2 г", (I = 1,2). (13)
к,
В записанных уравнениях (9)—(13) величины с индексом 1 относятся к фазе зёрен керамики, а величины с индексом 2 относятся к фазе УНТ.
После решения задачи (9)—(13) в перемещениях напряжения в фазах композита находятся по формулам (13). Далее находим внешние усилия р, при которых в зёрнах керамики наступает разрушение, то есть выполняется условие
а1 = а Б1-
Найденное значение р будет определять предел прочность композита а в. Отметим, что внешние усилия являются параметром задачи. Предельное значение этого параметра может быть найдено в аналити-
Г1 Г2
т1 = т2.
ческой форме. В отличие от классической теории упругости в рамках градиентной теории напряжения в последовательно соединённых фазах не будут постоянными и равными внешним напряжениям. Вследствие влияния градиентных эффектов, концентрирующихся в области границ фаз, напряжения будут отклоняться от классического распределения. Характерный вид распределения полных напряжений (13) в рамках градиентной модели представлен на рис. 1. При этом выполняется условие непрерывности классической части напряжений (12), которые входят в постановку контактной задачи.
а/р
2.0
фаза
керамического
зерна
Рис. 1. Характерное распределение напряжений в области контакта фаз. Сплошная линия - градиентная модель, пунктир - классическое решение
Из рис. 1 видно, что в рамках градиентной модели напряжения в керамическом зерне ниже уровня напряжений классической модели
и, следовательно, предел прочности в данной фазе будет достигнут при более высоком уровне внешних напряжений. Таким образом, модель позволяет прогнозировать повышение предела прочности композита.
Следует учесть, что прочность керамических зёрен с увеличением объёмной доли пористости снижается. Известны различные эмпирические зависимости предела прочности от значения пористости [7]. Для первичных оценок будем использовать линейную зависимость
ав1 {1 - 3/“ ) •
Здесь а°Б1 - предел прочности керамики без пористости, приведённый в табл. 1, аВ1- предел прочности керамической фазы с учётом пористости. Коэффициент 3 в записанной выше формуле принят для керамики на основе [7].
4. Результаты численных вычислений
Для численных вычислений были приняты исходные данные, приведённые в табл. 1, а также следующие значения параметров модели:
- керамика с субмикрокристаллической структурой Б = 250 нм;
- Кп=3 - коэффициент влияния пористости на упругие свойств керамики (см. (3);
- к = кг = 0,005 нм - параметр градиентности среды. Можно показать [17], что данное значение к соответствует протяжённости локальных эффектов в 160 нанометров в зёрнах керамики диаметром 250 нанометров.
На рис. 2-4 показаны зависимости эффективных упругих характеристик, эффективного коэффициента температурного расширения и эффективного коэффициента теплопроводности от объемной доли углеродных нанотрубок и пористости. Исходные характеристики компонент композита взяты при 2000 °С. Отметим, что полученные зависимости не могут быть получены в рамках классических теорий упругости и теплопроводности. Эти зависимости и построенная методика расчета в целом (см. (2) и (7)) учитывают размер зёрен керамики и градиентные эффекты. Исследовано влияние внутризёренной пористости (до 10 %) на характеристики композита.
На рис. 2 на основе выражения (1) и с учётом (3) и (4), построена зависимость эффективного модуля Юнга и модуля сдвига композита Б1С-УНТ от объёмного содержания УНТ - /
2 4 6 8
Рис. 2. Зависимость эффективного модуля Юнга Ее^ и эффективного модуля сдвига Ое^ композита БЮ-УНТ от объёмного содержания УНТ для различных значений пористости:-----/ п = 0; -----------/ п = 5 %;...... / п = 10 %
На рис. 3 построены зависимости эффективного КТР и коэффициента теплопроводности от объёмного содержания УНТ с использованием выражений (5) и (7) соответственно. На данных графиках приведены также решения, получаемые в рамках классических теорий.
Рис. 3. Зависимость эффективного КТР и коэффициента теплопроводности композита ЗЮ-УНТ от объёмного содержания УНТ:-------------------------/ п = 0;-/ п = 5 %;
-------/ п = 10 %
Рис. 4. Зависимость предела прочности композита 81С-УНТ от объёмного содержания УНТ, для различных значений пористости:--/ п = 0;-/ п = 5 %;
-------/п = 10 %
На рис. 4 показана зависимость предела прочности композита от объёмного содержания УНТ для различных значений внутризёренной пористости. Вычисления предела прочности производились по методике, описанной в п. 3.
5. Результаты расчёта напряжённого состояния стенки камеры сгорания
В качестве приложения исследовался стационарный тепловой режим камеры сгорания, выполненной из рассматриваемого композита 81С-УНТ. Термический и прочностной расчет стенки камеры сгорания
проводился методом конечных элементов в программном комплексе Solid Works. С учетом осевой симметрии задачи рассматривался малый сектор камеры сгорания. Распределение температур на внешней поверхности стенки камеры в стационарном режиме работы было задано на основе экспериментальных данных, полученных во ФГУП «НИИмаш». Однако амплитудные значения температуры были заданы выше стандартного эксплуатационного режима. Максимальная температура модельного случая 2000 °С. Таким образом, входными данными расчёта являлись: температура внешней границы стенки, давление газов в камере (1 МПа) и физико-механические характеристики материала камеры, найденные с использованием моделирования (см. рис. 2-4).
Проверка прочности конструкции определялась по третьей теории прочности, наиболее подходящей для использующегося в конструкции материала. Основной задачей расчета являлась оценка возможности использования нанокомпозиционного материала для конструкций камер сгорания типовых космических двигателей. Критерием такой оценки в расчете являлся коэффициент запаса прочности для модели камеры сгорания.
Для типовой камеры из сплава Нб5В2Мц при заданном распределении температур наиболее опасной точкой является участок камеры сгорания на расстоянии 49 мм от ее основания - в докритической области, в месте начала уменьшения диаметра цилиндрической части камеры сгорания. Данный участок является наименее прочным за счет высокого градиента температуры в этой области, а также за счет геометрических особенностей камеры сгорания, а именно геометрически обусловленного концентратора напряжений. Расчёт, проведённый для типовой камеры из сплава Нб5В2Мц показал, что возникающие напряжения при заданном распределении температуры превышают предел прочности материала и запас прочности ниже 1, т.е. произойдёт разрушение конструкции.
При расчете стенки камеры сгорания из модельного композита SiC-УНТ использовались ранее полученные физико-механические характеристики (см. рис. 2-4). Рассматривались материалы с 0, 5 и 10 % пористости и содержанием УНТ 1, 2, 4 и 6 %. Найдено, что и в этом случае максимальные напряжения и минимальные коэффициенты запаса достигаются в точке на расстоянии 49 мм от основания камеры сгорания. В табл. 2 приведены экстремальные значения напряжения и
коэффициента запаса в стенке камеры сгорания для материалов, различающихся величиной пористости и содержанием нанотрубок. В таблице приведены также рассчитанные значения пределов прочности модификаций композита (аВ).
Т аблица 2
Результаты расчёта напряжённого состояния стенки камеры сгорания
/, % / % стВ, МПа о тах, МПа Коэффициент запаса
0 1 395 122 2,8
0 2 412 133 2,7
0 4 436 151 2,5
5 1 347 108 2,8
5 2 366 119 2,6
5 4 391 138 2,4
5 6 410 154 2,3
10 1 298 92 2,8
10 2 319 103 2,7
10 4 346 122 2,5
Для всех значений пористости коэффициент запаса больше 2, причём он падает с увеличением содержания УНТ, несмотря на то, что предел прочности материала растёт. Объяснение этому может быть следующее. Основной источник напряжения в опасном сечении - термонапряжения. Величина температурных напряжений пропорциональна произведению коэффициента термического расширения на модуль упругости материала. Следовательно, величина термонапряжений растёт быстрее с увеличением содержания нанотрубок, чем увеличивается предел прочности. В результате коэффициент запаса падает, а его максимальные значения при доле УНТ менее 1 %.
Заключение
В работе приводится последовательность расчёта эффективных значений модуля Юнга, модуля сдвига, КТР, коэффициента теплопроводности и предела прочности композита на основе карбида кремния, армированного нанотрубками. Используется методика расчёта, учитывающая масштабные эффекты, то есть характерный размер зерна и плотность границ контакта. Показано, что все указанные характери-
стики растут с увеличением содержания нанотрубок в композите. Проведён температурный и прочностной расчет стенки камеры сгорания методом конечных элементов при температуре нагрева, достигающей 2000 °С. Показано, что максимальные коэффициенты запаса (до 2,8) имеют место для композита при малой пористости и содержании нанотрубок менее 1 %.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №01-09-00060, №11-01-12081-офим), Программы президиума РАН П-22 и при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.» Гос.контракты № 14.740.11.1326, 14.740.11.0995.
Библиографический список
1. Cho J., Boccaccini A.R., Shaffer M.S.P. Ceramic matrix composites containing carbon nanotubes // J Mater Sci. - 2009. - Vol. 44 - P. 1934-1951.
2. Advanced theoretical and numerical multiscale modeling of cohesion/adhesion interactions in continuum mechanics and its applications for filled nanocomposites / S.A. Lurie, D.B. Volkov-Bogorodsky, V.I. Zubov, N.P. Tuchkova // Int. J. Comp. Mater. Sci. - 2009. - Vol. 45(3). - P. 709-714.
3. Lurie S.A., Belov P.A. Cohesion field: Barenblatt’s hypothesis as formal corollary of theory of continuous media with conserved dislocations. // Int. J. Fract. - 2008. - Vol. 50(1-2). - P. 181-194.
4. Лурье С.А. Белов П.А. Теория сред с сохраняющимися дислокациями. Частные случаи: среды Коссера и Аэро-Кувшинского, пористые среды, среды с «двойникованием» // Современные проблемы механики гетерогенных сред: сб. науч. тр. конф. - М: Изд-во Ин-та прикл. матем. РАН, 2005. - С. 235-268.
5. Керамика для машиностроения / А.П. Гаршин, В.М. Гропянов, Г.П. Зайцев, С.С. Семёнов. - М.: Научтехлитиздат, 2003. - 384 с.
6. Композиционный материал на основе корунда, армированный углеродными нанотрубками / Е.В. Жариков [и др.] // Стекло и керамика. - 2011. - № 3.- С. 12-15.
7. Андриевский Р.А., Спивак И.И. Прочность тугоплавких соединений и материалов на их основе. - Челябинск: Металлургия, 1989. -368 с.
8. Алексеев А.Г., Бовкун Г. А., Болгар А.С. Свойства, получение и применение тугоплавких соединений: справочник. - М.: Металлургия, 1986. - 230 с.
9. Theoretical variations in the Young’s modulus of single-walled carbon nanotubes with tube radius and temperature: a molecular dynamics study / Jin-Yuan Hsieh, Jian-Ming Lu, Min-Yi Huang, Chi-Chuan Hwang // Nanotechnology. - 2006. - Vol. 17. - P. 3920.
10. Елецкий А.В. Транспортные свойства углеродных нанотрубок // Успехи физических наук. - 2009. - Т. 179, № 3. - C. 225-242.
11. Wu F.Y., Cheng H.M. Structure and Thermal Expansion of Multiwalled Carbon Nanotubes Before and After High Temperature Treatment // J. Phys. D: Appl. Phys. - 2005. - Vol. 38. - P. 4302-4307.
12. Min-Feng Yul, Louriel O., Dyer M.J. Strength and Breaking Mechanism of Multiwalled Carbon Nanotubes Under Tensile // Science. -2000. - Vol. 287(5453]). - P. 637-640.
13. Osmanand M., Srivastava D. Temperature dependence of the thermal conductivity of single-wall carbon nanotubes // Institute of Physics Publishing. Nanotechnology. - 2001. - Vol. 12. - P. 21-24.
14. Gusev A.A., Lurie S.A. Strain-Gradient Elasticity for Bridging Continuum and Atomistic Estimates of Stiffness of Binary Lennard-Jones Crystals // Advanced Engineering Materials. - 2010. - Vol. 12(6) - P. 529-533.
15. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. - М: Мир, 1982. - 335 с.
16. Численно-аналитический учет масштабных эффектов при расчете деформаций нанокомпозитов с использованием блочного метода мультиполей / Д.Б. Волков-Богородский, Ю.Г. Евтушенко, В.И. Зубов, С.А. Лурье // Вычислительная математика и математическая физика. -2006. - Т. 46, № 7. - С. 1318-1337.
17. Лурье С.А., Соляев Ю.О. Модифицированный метод Эшелби в задаче определения эффективных свойств со сферическими микро- и нановключениями // Вестник ПГТУ. Механика. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. - № 1 - С. 80-90.
References
1. Cho J., Boccaccini A.R., Shaffer M.S.P. Ceramic matrix composites containing carbon nanotubes // J Mater Sci. 2009. Vol. 44. P. 1934-1951.
2. Lurie S.A., Volkov-Bogorodsky D.B., Zubov V.I., Tuchkova N.P. Advanced theoretical and numerical multiscale modeling of cohesion/adhesion interactions in continuum mechanics and its applications for filled nanocomposites // Int. J. Comp. Mater. Sci. 2009. Vol. 45(3). P. 709-714.
3. Lurie, S.A., Belov, P.A. Cohesion field: Barenblatt’s hypothesis as formal corollary of theory of continuous media with conserved dislocations // Int. J. Fract. 2008. Vol. 50(1-2). P. 181-194.
4. Theory of the media with conserved dislocations. Specific models: Cosserat’s and Aero Kuvshinskii media, porous medium, twinning medium [Tyeoriya sred s sokhranyayushchimisya dislokatsiyami. Chastnye sluchai: sredy Kossera i Aero - Kuvshinskogo , poristye sredy, sredy s "dvoinik-ovaniem"] // Advanced problems of heterogeneous media. Moscow, IAM RAS, 2005. P. 235-268.
5. Garshin A.P., Gropyanov V.M., Zaitsev G.P., Semenov S.S. Ceramics for industry [Keramika dlya mashinostroeniya]. Moscow, 2003. 384 p.
6. Gharikov E.V. Composite material based on corundum, reinforsed with carbon nanotubes. [Kompozitsionnyi material na osnove korunda , ar-mirovannyi uglerodnymi nanotrubkami] // Glas and Cearmic - Steklo i Keramika. 2011. No. 3. P. 12-15.
7. Andrievskii R.A., Spivak I.I. The strength of refractory compounds and materials based on them. [Prochnost tugoplavkikh soedinenii i materia-lov na ikh osnove]. Chelyabinsk, 1989. 368 p.
8. Aleksyeev A.G., Bovkun G.A., Bolgar A.S. Properties, the generation and application of refractory compounds: a handbook. [Svoistva, poluchenie i primenenie tugoplavkih soedinenii: spravochnik]. Moscow, 1986.230 p.
9. Jin-Yuan Hsieh, Jian-Ming Lu, Min-Yi Huang, Chi-Chuan Hwang. Theoretical variations in the Young’s modulus of single-walled carbon nanotubes with tube radius and temperature: a molecular dynamics study // Nanotechnology. 2006. Vol. 17. P. 3920.
10. Yeletskiy A.V. Transport properties of carbon nanotubes [Trans-portnye svoistva uglerodnykh nanotrubok] // Uspekhi fizicheskikh nauk -Successes of Physical Sciences. 2009. Vol. 179(3). P. 225-242.
11. Wu F.Y., Cheng H.M. Structure and thermal expansion of multiwalled carbon nanotubes before and after high temperature treatment // J. Phys. D: Appl. Phys. 2005. Vol. 38. P. 4302-4307.
12. Min-Feng Yul, Louriel O., Dyer M.J. Strength and breaking mechanism of multiwalled carbon nanotubes under tensile // Science. -2000. Vol. 287(5453]). P. 637-640.
13. Osmanand M., Srivastava D. Temperature dependence of the thermal conductivity of single-wall carbon nanotubes // Institute of Physics Publishing. Nanotechnology. 2001. Vol. 12. P. 21-24.
14. Gusev A.A., Lurie S.A. Strain-Gradient Elasticity for Bridging Continuum and Atomistic Estimates of Stiffness of Binary Lennard-Jones Crystals // Advanced Engineering Materials. 2010. Vol. 12(6). P. 529-533.
15. Mechanics of composite materials / Christensen R.M. John Wiley&Sons Inc., 335 p.
16. Volkov-Bogorodsky D., Evtushenko Y., Zubov V., Lurie S. Numerical-Analytical Modelling of Scale Effects for Disperse Reinforced Nanocomposites using Block Method. [Chislenno - analiticheskii uchet masshtabnykh effektov pri raschete deformatsii nanokompozitov s ispol-zovaniem blochnogo metoda multipolyei] // Comput. Math. and Math. Phys. 2006. Vol. 46(7). P. 1318-1337.
17. Lurie S.A., Soliaev J.O. Modified Eshelby method in problem of effective properties detection of composites with micro- and nanoinclusions [Modifitsirovannyi metod Eshelbi v zadache opredeleniya effektivnykh svoistv so sfericheskimi mikro - i nanovklyucheniyami] // Journal of PSTU. Mechanics - Vestnik PGTU. Mechanika. 2010. Vol. 1. P. 80-90.
Об авторах
Лурье Сергей Альбертович (Москва, Россия) - доктор технических наук, профессор, заведующий лабораторией неклассических моделей композиционных материалов и конструкций Института прикладной механики РАН (119333, г. Москва, Ленинский просп., 32а, email: salurie@mail.ru).
Касимовский Алексей Андреевич (Москва, Россия) - кандидат технических наук, старший научный сотрудник Исследовательского центра имени М.В. Келдыша (125438, г. Москва, Онежская ул., 8, email: aakas@rambler.ru).
Соляев Юрий Олегович (Москва, Россия) - младший научный сотрудник лаборатории неклассических моделей композиционных материалов и конструкций Института прикладной механики РАН (119333, г. Москва, Ленинский просп., 32а, e-mail: solyaev@bk.ru).
Иванова Дарья Дмитриевна (Москва, Россия) - младший научный сотрудник Исследовательского центра имени М.В. Келдыша (125438, г. Москва, Онежская ул., 8, e-mail: dd_ivanova@gmail.com).
About the authors
Lurie Sergei Albertovich (Moscow, Russia) - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of laboratory IAM RAS (119333, Moscow, Len-inskiy prosp., 32а, e-mail: salurie@mail.ru).
Kasimovskiy Aleksei Andreevich (Moscow, Russia) - PhD, senior researcher, FSUE Keldysh Research Centre (125438, Moscow, Oneghscaya,
8, e-mail: aakas@rambler.ru).
Soliaev Juri Olegovich (Moscow, Russia) - researcher, IAM RAS, (119333, Moscow, 119333, Moscow, Leninskiy pr., 32а, e-mail: solya-ev@bk.ru).
Ivanova Darya Dmitrievna (Moscow, Russia) - researcher FSUE Keldysh Research Centre (125438, Moscow, Oneghscaya, 8, e-mail: dd_iva-nova@gmail.com).
Получено 28.10.2011
