CC BY
38
УДК 539.3:539.52
О.К. Гаришин, А.Л. Свистков
Институт механики сплошных сред УрО РАН
МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ НАНОКОМПОЗИТА НА ОСНОВЕ СИЛИКАТНОГО НАПОЛНИТЕЛЯ И ПОЛИОЛЕФИНОВОЙ МАТРИЦЫ
Abstract
The phenomenological model of the macro-isotropic medium describing its mechanical behavior at nonlinear elastic-plastic final deformations is constructed. The additive decomposition of the rate of deformation tensor in elastic and plastic parts is taken instead of multiplicative decomposition of a deformation gradient commonly used in the literature. One of the evident merits of the given technique is the ability to describe not only hardening of a material at plastic flow, but also its softening (that is a descending branch of a stress-strain curve). The given approach was used for concrete applications for description of mechanical properties of polymeric nano-composites consisting of a mix of filler particles of laminated clay minerals (smectites) and a polyolefine matrix. The received results have shown adequacy and effectiveness of the proposed model that opens good perspectives for its further development.
В данной работе предложена феноменологическая модель упруго-пластической среды, предназначенная для описания механических свойств материалов, способных испытывать значительные нелинейно-упругие и пластические деформации (до нескольких сотен процентов).
В работе использована идея Пальмова [1-3] об аддитивном разложении тензора скоростей деформирования среды, которое несовместимо с мультипликативным разложением деформационного градиента на упругую и пластичную составляющие (разложение Ли). Поэтому последнее в модели не использовали, и в определяющих уравнениях фигурирует только деформационный градиент всей среды F. Для отдельных же элементов схемы это понятие в качестве внутренних переменных не рассматривается.
Двухэлементная дифференциально-феноменологическая модель
упругопластической сплошной среды
При моделировании механического поведения материала с нелинейными упругопластическими свойствами использовали двухэлементную символьную схему, которая показана на рис. 1. В соответствии с этой схемой узел A определяет общее механическое поведение материала, В - связывает упругий и пластический элементы, С - неподвижно закреплен. Тогда для упругого (№ 1) и пластического (№ 2) элементов тензоры скоростей деформации будут равны,
где Б - тензор скоростей деформаций всей среды. В отличие от тензоров скоростей для элементов и внутренних узлов он может быть выражен через деформационный градиент среды Г. Симметричный тензор Б записывали в следующем виде [4]:
D1 — Da — Dj — D — D2, D2 — Dj — Dc,
(1)
D =1 F F-1 + 2 _
(2)
где I7 - материальная производная от F по времени.
M/WV
В с
Рис. 1. Расчетная символьная схема упруго-пластической модели
В схеме последовательного соединения элементов напряжения (усилия) в них должны быть одинаковы. Следовательно, во всех элементах должен действовать один и тот же тензор напряжений Т:
Т = Т2 = Т. (3)
Механические свойства нелинейно-упругого элемента
Для вычисления тензора напряжений Коши в упругом элементе Т1 использовали известные уравнения нелинейной теории упругости. Считали, что объем тела и температура в процессе деформации не меняются. Объемную плотность свободной энергии записывали в виде потенциала Трелоара wT, который выражается через левый тензор растяжения упругого элемента У1 как
wT =
Ct (tr V,2 - 3), (4)
V1 =i n{'}, (5)
k=1
где Ct - это константа материала, которая по своему физическому смыслу равна 1/6 от начального модуля Юнга [5], n^ - ортонормированная тройка собственных векторов
тензора V1, - соответствующие кратности удлинений (индекс элемента при компо-
нентах указан в скобках, чтобы не путать с показателем степени). С учетом формул (35) можно записать следующее выражение для тензора напряжений:
т = T = X —(TyXk^nk1* ® nk‘> + p{'h = 2Ct V,2 + p(1)I, (6)
k=1 dxk
где I - единичный тензор, p(1) - неопределенный множитель Лагранжа, введенный для учета несжимаемости среды.
Деформацию нелинейно-упругого элемента определяли с помощью эволюционного уравнения (7) через материальную производную от левого тензора Коши - Г рина B1 = V12.
DB
D- = B1 + BWr - WrB1 = 2V1D1V1, (7)
T T
где Wr = -Wr = RR , причем R - это тензор поворота из полярного разложения деформационного градиента среды F — VR. В соответствии с (7) материальную производную от тензора B1 вычисляли как
B1 = BX + WrB1 + 2V1D1V1. (8)
Девиаторы тензоров напряжений и скоростей деформации рассчитывали по фор-
мулам (9) и (10) соответственно, причем в выражении (10) учтено, что в несжимаемой среде dev D! — Db так как в этом случае tr D! = 0.
devT = devTj = Tj --3(trT1)I = 2CT V2-(l/3trV12)l , dev D1 = D1 - 3 (tr D1 )I = D1.
(10)
(9)
Механические свойства пластического элемента
По аналогии с основными уравнениями пластического течения Прандтля-Рейсса [6] связь между девиатором тензора напряжений Коши пластического элемента Т2 и его тензором скоростей пластической деформации Б2 записывали в виде
несжимаемой. Выражение (11) содержит неопределенность. Фактически это равенство двух векторов единичной длины в девятимерном векторном пространстве -
где к - неотрицательный параметр. Если к = 0, то материал ведет себя как чисто упругий, при 0 <к < 1 - как упруго-пластический с упрочнением, случай когда к = 1 соответствует идеальной пластичности и, наконец, при к > 1 кривая нагружения становится ниспадающей, т.е. наблюдается разупрочнение материала. Из формулы (13) видно, что параметр к связывает выражения, аналогичные классическим интенсивностям тензора напряжений
или тензора малых деформаций £ (= ^/^з"5ёу£—). В модели этот параметр задавали через функцию текучести Ф2 как
где Хк - кратности удлинений для всего материала, пк - соответствующая ортонормиро-ванная тройка собственных векторов. Параметр q2 - это аналог параметра упрочнения Одквиста из классической теории пластичности [7] (он характеризует накопленную пластическую деформацию). Считали, что функция текучести Ф2 для пластического элемента, с помощью которой формируется критерий развития в среде пластических деформаций, зависит только от тензора V (зависимости от других параметров состояния среды в этой работе не рассматривались). Пластическое деформирование среды происходит в том и только в том случае, когда Ф2 имеет максимальное значение за всю предыдущую историю ее существования. В качестве Ф2 был взят параметр УтЪ введен-
(11)
где dev T2 = T2 - (1/3tr T2 )I, a dev D2 = D2, если рассматриваемая среда предполагается
devD2/|devD2| = dev T2/|devT2|. Для раскрытия неопределенности была введена еще одна зависимость между D2 и D, которую задавали в следующем виде:
к =
0, Ф2 (V,...) < q2,
я(ъ X ф 2 (V,.) =
q = max ф 2 (Vv),
(13)
В выражении (13) фигурирует левый тензор растяжения для всей среды V,
3
(14)
k=1
ный по аналогии с smt (и названный соответственно интенсивностью тензора V). В главных удлинениях выражение для Ф2 имеет вид
Ф2 = УЫ =VdevV-devV = (1/4/3),/( -X2) + (2 -X3)2 + (-X1 ) . (15)
Для одноосного растяжения несжимаемой среды формула (15) приводится к виду (X - кратность удлинения вдоль оси растяжения)
Уы=-J23 (х-1/VX). (16)
Следовательно, для описания пластического поведения материала надо знать зависимость c;(q2). Ее получали из анализа экспериментальных кривых нагружения.
Алгоритм расчета
При расчетах моделировали одноосное растяжение образца из несжимаемого упруго-пластического материала вдоль первой оси прямоугольной декартовой системы координат, т. е. вектор n1 и орт первой оси совпадали по направлению. При таком нагружении все главные оси постоянны и одинаково направлены, следовательно, WR = 0. При нагружении модельного «образца» увеличивали его кратность удлинения вдоль первой оси от 1 до Xmax. В начальный момент времени t = t0 X1 = X2 = X3 = 1 (в теле нет деформаций), при t > t0 X1 = X, X2 = X3 = X-1/2.
В соответствии с соотношением (1) символьной схемы на каждом шаге нагружения вычисляли тензор D1 = D - D2 для упругого элемента, исходя из уже вычисленных на этом шаге тензоров скоростей деформации для пластического элемента D2 и для всей системы D. Далее находили левый тензор Коши - Грина для упругого элемента B1(t + dt) через значения, вычисленные на предыдущем шаге B1(t),
B1 (t + dt) = B1 (t) + B 1dt,
где B1(t = t0) = I, а 151 = 2V1D1V1. Зная B1, вычисляли V1 = B^2, необходимый для определения тензора напряжений T.
При расчете механических характеристик пластического элемента основная проблема упирается в определение вида зависимости параметра к от функции текучести
Vint. Эту зависимость определяли из анализа экспериментальных кривых нагружения материала следующим образом: вся исследуемая экспериментальная кривая разбивалась на n-1 участков с разделителями X = 1, X*, Х2,..., ХП. Из решения вышеописанной
задачи на каждом отрезке Хе[Х^*-1, X*) подбирались такие значения к*, при которых
можно добиться наилучшего совпадения опытных и расчетных данных. При одноосном нагружении между Vint и X существует простая функциональная связь (16). Поэтому по полученным при обработке графика парам значений к* и X* можно построить искомую функцию (13), инвариантную к способу приложения нагрузки и которую уже можно использовать в определяющих соотношениях. Чем больше количество отрезков разбиения, тем точнее можно аппроксимировать экспериментальную кривую.
Полученные результаты
Предлагаемый подход был использован при моделировании упруго-пластического поведения нанокомпозитов на основе полиолефинов и слоистых глинистых минералов (смектитов). Это перспективные материалы, сочетающие такие ценные качества, как
улучшенные эксплуатационные свойства, экологическую чистота и относительная дешевизна производства. В настоящее время они являются объектом интенсивных фундаментальных и прикладных исследований [8]. По своей структуре глинистые нанокомпозиты представляет собой смесь множества тонких силикатных пластинок толщиной около 1 нм и поперечным размером от 30 нм до нескольких микрон, размещенных в полиолефиновой матрице. Эти частицы могут образовывать отдельные кристаллиты -тактоиды - из нескольких (порядка десятка) параллельно расположенных пластинок или располагаться по объему материала хаотично. В первом случае нанокомпозиты называются интеркалированными, во втором - эксфолиированными.
Работы по синтезу и экспериментальному исследованию механических свойств таких композитных материалов были выполнены В. А. Герасиным и М. А. Гусевой в Институте нефтехимического синтеза РАН (Москва). Эти результаты были взяты как исходные опытные данные для теоретических исследований с помощью вышеописанного подхода. На рис. 2 представлены экспериментальные кривые одноосного растяжения для интеркалированных нанокомпозитов с разным объемным наполнением ф. Наполнителем служил модифицированный натриевый монтмориллонит. В качестве полимерного связующего использовали полиэтилен высокой плотности.
Рис. 2. Опытные кривые растяжения нанокомпозитов типа «интеркалированный наполнитель в полиэтиленовой матрице»: о - истинное напряжение, X - кратность удлинения образца,
1 - ф =0,0%, 2 - 11,61%, 3 - 18,95%
Анализ опытных данных и расчеты показали, что упругая константа в потенциале Трелоара СТ оказалась довольно слабо зависящей от наполнения. Ее значения лежали в диапазоне (80 ± 10) МПа, что соответствует начальному модулю примерно в 500 МПа.
На рис. 3 показаны зависимости параметра к от интенсивности тензора растяжения V, построенные с помощью данной модели для нанокомпозитных систем с наполнителем ин-теркалированного типа. В случае одноосного растяжения У1п1 и X связаны зависимостью (16), которая при достаточно больших удлинениях становится практически линейной.
Расчеты на модели показали, что для всех рассматриваемых в данной работе материалов чисто упругое деформирование наблюдалось только на самом начальном участке нагружения (при деформации не выше 1.5%). Потом происходило быстрое развитие пластического течения, что соответствовало резкому росту параметра к, стремившемуся к единице. При дальнейшем увеличении У\_п\ значения к лежали поблизости друг от друга независимо от типа наполнителя и его концентрации. При более сильных растяжениях кривые к(Кы), соответствующие различным наполнениям, начинали расходиться, причем чем большее количество глинистых частиц содержал нанокомпозит, тем выше лежали значения параметра к.
Рис. 3. Зависимость параметра к от Vmt для интеркалированных нанокомпозитов: 1 - ф =0%, 2 - 11,5%, 3 - 18,95%
В качестве возможных объяснений полученных результатов можно сделать следующие предположения.
1. Слабая зависимость начального модуля нанокомпозита от наполнения объясняется тем, что упругие свойства материала формируются в первую очередь за счет деформирования ламелей в полиэтиленовой матрице, а частицы наполнителя на этот процесс особого влияния не оказывают.
2. Расхождение кривых K(Vint) с разным наполнением при больших вытяжках можно объяснить тем, что ламели в полиэтиленовой матрице и интеркалированные пачки частиц достигают максимальной ориентации вдоль оси внешней вытяжки, т.е. дальнейшее течение материала происходит за счет изменения положения центров масс частиц. Отсюда и возникает зависимость к от степени наполнения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Гранты № 05-08-33361 и № 06-03-32461).
Библиографический список
1. Пальмов, В.А. Колебания упруго-пластических тел /В А. Пальмов. - М.: Наука, 1976. - 328 с.
2. Palmov, V.A. Large strains in viscoelastoplasticity /V.A. Palmov // Acta Mechanica. - 1997. -Vol. 125. -P. 129-139.
3. Palmov, V. A. Comparison of different approaches in viscoelastoplasticity for large strain /V.A. Palmov // ZAMM. - 2000. - Vol. 80. - P. 801-806.
4. Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. -М.: Мир, 1975. - 592 с.
5. Гуль, В.Е. Структура и механические свойства полимеров /В.Е. Гуль, В.Н. Кулезнев. - М.: Высшая школа, 1972. - 320 c.
6. Рейсс, Э. Учет упругой деформации в теории пластичности /Э. Рейсс //Теория пластичности. - М.: ИЛ, 1948. - С. 202-222.
7. Одквист, Э. Упрочнение стали и подобных ей материалов / Э. Одквист //Теория пластичности. - М.: ИЛ, 1948. - С. 283-290.
8. Fengge, G. Clay/polymer composites: the story / G. Fengge // Materials Today. - 2004. - № 11. -P.50-55.
Получено 5.07.2006.
