Моделирование сетей связи методом статистических испытаний при обслуживании самоподобного трафика Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

МНТЕИНПКН

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕТЕЙ СВЯЗИ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ ПРИ ОБСЛУЖИВАНИИ САМОПОДОБНОГО

ТРАФИКА

Л. А. Фомин, С. А. Скоробогатов

MODELING TELECOMMUNICATIONS BY METHOD OF THE STATISTICAL TEST WHEN SERVICING ITSELF LIKE TRAFFIC

Fomin L. A., Skorobogatov S. A.

The Designed methods of the estimation to efficiency and quality to telecommunications when servicing itself like traffic by variation channel under simultaneous reduction of the volume of the buffer with use the method of the statistical test.

Разработана методика оценки эффективности и качества сети связи при обслуживании самоподобного трафика путем варьирования каналами передачи информации при одновременном снижении объема буфера памяти в узлах коммутации с использованием метода статистических испытаний.

Ключевые слова: сеть связи, теория телетрафика, система массового обслуживания, метод Монте-Нарло.

УДК 511.3 (075.8)

Пакетизированная передача различных видов информации потребовала пересмотра многих задач теории телетрафика, связанных с описанием потоков и расчетом нагрузок на сеть в связи с проявлением свойств самоподобия в сетевом трафике. Пачечный характер трафика создает сложные условия функционирования сетевых структур, находящихся под его воздействием. Это вызвано тем, что как длина пачек, так и паузы между ними изменяются в широких пределах временных интервалов. В следствие этого создаются условия резкой перегрузки сетевых элементов, чередующиеся с периодами простоя. Попытка преодолеть эту трудность за счет буферизации приводит к резкому снижению вероятностно-временных характеристик сети связи в целом.

В [1] рассмотрена математическая модель сети связи М/М/п/т, которая позволяет установить аналитические зависимости между заданными условиями решаемой задачи и результатом ее решения - показателем эффективности, в качестве которого использовано минимальное среднее время задержки при фиксированном значении вероятности отказа в обслуживании. Случайный процесс в системе предполагается Марковым, а время обслуживания - экспоненциальным. Показано, что объем буфера при этих условиях должен быть строго дозирован, а его величина определяется из условия:

/(% ,п,т)=0, (1)

Фомин Л. А., Скоробогатов С. А.

Моделирование сетей связи методом статистических испытаний...

где С - степень загрузки канала изотропной сети, п - число каналов в каждом направлении передачи, т - объем буфера. Выражение (1) в явном виде для сформулированных условий оптимизационной задачи получено в [1]:

^ !(П С)-(П-а) = У1( " а А

У'-^г(ПС)n-а) = У" -!)Са •

(2)

а=0 а а=1 ni X

Найденное из уравнения (2) оптимальное приемлемое значение коэффициента загрузки каждого канала определяется независимым условием

X opt = L ■ \ _ Fi /С пр

(3)

П ■ L ■ fji Vt ■ п

где L - длина пакета, l - интенсивность входного потока пакетов, / - интенсивность обслуживания, F - поток пакетов в каждой ветви, V -пропускная способность данной ветви. При фиксированном значении вероятности отказа в обслуживании по причине отсутствия свобод-

—min

ных сетевых ресурсов минимальное среднее время задержки Tзад для изотропной сети при этом равно:

_ .1 _ mt _

Tmn = 1. k[Pотк У ОС~(m'- С) + ПС(1 - Pотк )] ,

g а

(4)

7 - общий трафик сети связи, к- общее число направлений передачи, Р отк - вероятность отказа.

Графики зависимостей Тзад = /(т) и XX™ = ф(т) при различных значениях п, построенные в соответствии с формулами (4) и (2), соответственно, приведены на рисунках 1 и 2.

W т

« т х 9 ю Ii и и 1* ii i7 it 1» » :: n :> n r :i м x> m

Рисунок 1. Графики T

зад

Рисунок 2. Графики ^пр

Анализ графиков показывает, что с ростом числа каналов п при фиксированном объеме буфера т, среднее время задержки уменьшается, при этом коэффициент загрузки канала увеличивается, что позволяет сделать вывод о том, что увеличение числа каналов позволяет одновременно управлять эффективностью и качеством системы связи, приводя к одновременному росту обоих показателей. По-видимому, этот принцип является универсальным и не зависит от закона изменения трафика. Поскольку такая зависимость проявляется существеннее при уменьшении объема буфера, то не противоречит сделанному в [2] утверждению о необходимости снижения памяти системы при обслуживании самоподобного трафика.

На практике в реальных системах массового обслуживания (СМО) поток заявок редко бывает пуассоновским и еще реже наблюдается экспоненциальное распределение времени обслуживания произвольных потоков событий, переводящих систему из одного состояния в другое. Аналитические решения данной задачи получены только для отдельных частных случаев, а в общем случае, особенно при долговременно зависимом трафике, удовлетворительных методов математического описания таких процессов не существует. Как показывает зарубежный опыт внедрения новой техники, традиционные методы расчета объема оборудования (особенно емкости накопителей), основанные на марковских моделях и формулах Эрланга, приводят к значительной недооценке нагрузки и дают неоправданно оптимистические решения при обслуживании самоподобного трафика.

Многочисленные публикации, появившиеся в последние годы, посвящены созданию математических моделей долговременно зависимого трафика для анализа сетевой производительности при построении очередей. Увеличение длин очередей с точки зрения распределения задержек буферизации оказывается мало эффективным, когда обслуживается самоподобный трафик. В [2], например, приводятся результаты исследования характера построения очередей, когда на узел поступает самоподобный трафик, и делается вывод о том, что долговременная зави-

ы_

Фомин Л. А., Скоробогатов С. А. ЕЕТВ1 Моделирование сетей связи методом статистических испытаний

симость (ДВЗ) имеет незначительное влияние на QoS в реальных условиях при уменьшении объема буфера, когда снижается память системы, устраняющая влияние ДВЗ.

Целью статьи является разработка методики оценки эффективности и качества сети связи при обслуживании самоподобного трафика путем варьирования каналами при одновременном снижении объема буфера. Задача решается методом статистических испытаний.

Для построения модели, адекватно описывающей поведение системы, находящейся под воздействием потока событий с произвольным законом распределения, применяется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В основе метода лежит единичный «жребий», иначе говоря, производится «розыгрыш» ситуаций - моделирование случайного явления с помощью процедуры, дающей случайный результат. Производя такой «розыгрыш» большое число раз получают статистический результат, который обрабатывается методами математической статистики. Для сложных систем, в которых случайные факторы взаимодействуют между собой, этот метод оказывается проще любых аналитических методов.

Методом статистических испытаний можно находить не только вероятности событий, но и средние значения случайных величин, однако в этом случае уже действует не теорема Бер-нулли, а теорема Чебышева (закон больших чисел). Этим методом можно определить не только математическое ожидание, но и дисперсию интересующих случайных процессов.

При большом числе испытаний характеристики случайного процесса находятся также, как они находятся из опыта: вероятности - как частоты событий, математические ожидания -как средние арифметические значений случайных величин.

Для осуществления метода Монте-Карло используются генераторы псевдослучайных чисел. При статистическом моделировании СМО предполагают, что моделируемый случайный процесс является стационарным, протекает неограниченно долго и имеет не зависящие от времени вероятностные характеристики, т. е. процесс (например, поток заявок, переводящий систему из одного состояния в другое) не является пуассоновским, а описывается произвольным законом распределения/(I) и интервалом времени между заявками (Т ).

В случае рассмотрения нестационарных режимов или изучения начального, нестационарного периода функционирования системы, то моделирование производится тем же способом, но при этом разыгрывается множество реализаций процесса, а необходимые вероятностные характеристики системы находятся обработкой всего материала, как статистические средние по множеству реализаций.

При моделировании стационарных режимов можно пользоваться одной достаточно длинной реализацией, а интересующие вероятностные характеристики могут быть получены усреднением по времени для этой реализации. В этом случае процесс должен обладать эргодическим свойством, что означает: какая бы реализация не имела место в действительности, при ^ ® ¥ , получается процесс с одними и теми же свойствами. Это справедливо, когда существует предельный режим.

Учитывая результаты данного раздела, проанализируем работу СМО, обслуживающую самоподобную сетевую нагрузку с параметрами, определяемыми таблицей 1, по одной реализации, предполагая, что случайный процесс под воздействием которого находится СМО, является стационарным и протекает неограниченно долго. В качестве модели СМО рассмотрим п-канальную систему, содержащую т мест в очереди. Поток заявок, переводящий систему из одного состояния в другое - стационарный, обладающий долговременной зависимостью с произвольным законом распределения ) интервала времени Т между заявками. Время обслуживания одной заявки также распределено по закону у (т ), отличному от экспоненциального. Независимо от того, каковы были начальные условия и первоначальный период работы системы, считаем, что данная реализация является типичным представителем всего класса реализаций (генеральной совокупности).

Поток заявок - самоподобный процесс, интервалы времени между заявками представляют

собой независимые случайные величины, распределенные по одному и тому же закону Парето

() ab"

q(t) = to+т -

где a - параметр формы, b - нижний граничный параметр.

Время обслуживания одной заявки постоянная величина to = const одинакова для всех каналов. Заявка, прошедшая в момент, когда все каналы заняты, и свободные места в очереди отсутствуют, получает отказ и покидает систему.

Для простоты примем, что в начальный момент (j = 0) система находится в состоянии So (свободна). Моделирование начнем с того, что разыгрываем на оси ot поток заявок, то есть ряд случайных точек tj, t2, t3, ..., моментов прихода заявок, определяемых таблицей 1, которая получена путем преобразования достаточно длинной реализации, разыграв несколько сот значений случайной величины с законом распределения q(t ).

b b

Разыгрывается случайная величина t = F _1(R) =-— =-—, где rnd - слу-

(l - R)a i _ (rnd) «

чайная переменная, равномерно распределенная в интервале (0,1), а = 1. Значения интервала времени t между заявками приведены в таблице 1.

Таблица 1

Парето

3.717 4.297 2.532 3.059 10.944 2.878 2.028 2.314 3.282 3.279

2.227

2.922

4.261

3.951

3.650

2.356

15.317

2.415

2.960

2.102

3.105

3.169

35.331

2.717

2.166

3.548

3.916

2.367

2.665

7.641

2.481 2.190 3.209 3.956

2.159 3.793 2.231 2.157 3.629

6.160

4.752 2.699 2.335 3.158 3.609 2.136 4.991 4.918 2.665 2.275

2.201 2.060 5.002 3.885 2.641 4.919 2.831 3.163 3.078 2.605

2.397 2.886 3.520 2.171 2.173 2.640 3.059 2.002 2.840 2.701

2.098 5.679 2.009 2.638 4.736 8.886 2.921 4.544 3.626 3.154

2.166 9.524 2.350 2.878 2.224 2.980 5.048 2.251 2.222 5.248

18.657

2.947

3.116

4.012

4.678

2.752

3.418

2.992

2.206

3.265

2.131 2.727 4.963 2.194 2.176 5.112

5.034 2.125 2.715

3.035

2.009 5.388 2.787 2.806 3.863 2.712 2.120 4.018 2.105

Процедура моделирования иллюстрируется с помощью наглядной схемы, представленной

на рисунке 3.

Рисунок 3. Моделирование СМО

Фомин Л. А., Скоробогатов С. А.

Моделирование сетей связи методом статистических испытаний..._

Расстояние t1 откладывается от начала координат; получается момент t1, прихода первой заявки. Затем процедура розыгрыша повторяется (уже при следующем значении rnd) и новое значение 12 откладывается от t1, получается момент t2 прихода второй заявки, и т. д. Таким образом, верхняя ось времени (0) изображает моменты поступления заявок, ниже которой расположены оси обслуживания заявок (например, 1, 2, 3) и оси ожидания в очереди (4, 5, 6). На осях (1), (2) и (3) изображаются состояния первого и второго каналов (жирная черта - канал занят, тонкая - свободен). На осях (4), (5) и (6) изображены состояния первого, второго, третьего буферов (жирная черта - буфер занят, тонкая - буфер свободен). Масштаб времени для всех осей одинаков. До момента t1 - прихода первой заявки, все каналы и место в очереди свободны. В момент t1 первая заявка занимает первый канал на время t0 = const. Это время откладывается на оси (t) от точки с абсциссой t1, отмечая его жирной линией.

В момент t2 прихода второй заявки первый канал времени занят и поэтому заявка занимает второй канал. Отмечаем это состояние канала жирной чертой длиной t0 и т. д. На рисунке против каждого участка занятости для удобства обработки проставлен номер заявки, занимающей соответствующее место. Заявка, получившая отказ, отмечается звездочкой (она покидает СМО не обслуженной).

Считая, что моделирование продолжается достаточно долго, можно определить интересующие вероятностные характеристики СМО. Разделив ось (0,t) на участки соответственно числу занятых каналов, найдем вероятности Р0, Ръ Р2, ..., того, что эти каналы будут заняты. Очевидно, что Т0 + Т1 + Т2 + ... Тт = Т.

При большем Т вероятности Р0, P1t Р2 ... будут приближенно равны отношениям Ро = То /Т; Pj = Tj/Т; Р2 = Т2/Т и т. д.

Аналогично определим вероятности пребывания заявок в очереди:

Pо = T0 / T; P1 = Tj/T; P2 = T0/T и т. д., где знак ~ относится к заявкам, находящимся в очереди.

Среднее число занятых каналов получается обычным способом, как математическое ожидание дискретной случайной величины Z - числа занятых каналов:

Z = 1 • Pi + 2Р2 + 3PS-

Среднее время ожидания заявки в очереди приближенно равно среднему арифметическому этих времен

- 1 N

t = _V t (k+1)

1 ож _ NZu 'ож .

N i=0

Дисперсия времени ожидания находится аналогичным образом

N

D[t ] = — У ) ож ож

N i=0

N ' \ -2 ) ) - t

ож

Вероятность отказа на большом участке времени Т определится как отношение N заявок, помеченных звездочкой, к общему числу N заявок, поступивших за это время. Расчеты проведены на базе ПЭВМ с использованием авторской программы расчета, написанной в среде программирования "С++ Builder" и программы "Mathcad - 2001".

Аэг 1 е 1.. 100000

х. — та(1)

X

М :=•

100000

I «1

1 = 0

100001

N := аяк

Я :=

Аэг 1 е 1.. 100000 1

—

1

М = 1.502

(1 - N1)

Б :=■

100000

I («1 - М)2

1 = 0_

100001

Б = 0.764

Моделируя работу СМО методом статистических испытаний и располагая одной реализацией (см. таблицу 1), произведена оценка предельных характеристик системы (при I ® 10 сек):

вероятности состояний (вероятности того, что будут заняты все каналы, вероятности нахождения в очереди) - Р0 = 0,1; Р1 = 0,15; Р2= 0,1; Р3= 0,6. среднее число занятых каналов - ъ = 2,15 среднее время ожидания заявки в очереди - Тож= 0,8 сек вероятность отказа (заявка покинет систему не обслуженной) - Ротк= 0; среднее время пребывания заявки в системе - Тсист = 2 сек; среднее число мест в очереди т = 3.

Возникает вопрос об оценке точности характеристик случайного явления, полученных методом Монте-Карло, ответ на который базируется на центральной предельной теореме теории вероятностей. Согласно этой теореме, при большом числе опытов N их средний результат распределен приближенно по нормальному закону. При большом числе опытов можно полагать что вероятность того, что частота р* отличается от вероятности р = т * не более, чем на

заданную величину £ , то есть

р(

Р - Р

(

< 8 = 2Ф

чр(р - 1)у

Поставим теперь задачу: сколько опытов нужно произвести для того, чтобы с практической уверенностью ожидать, что частота отклонится от вероятности не больше чем на заданную величину?

Если производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то каково должно быть число опытов (длина реализации) для того, чтобы с заданной, достаточно высокой вероятностью Q можно было ожидать, что частота Р* события А отклонится от его вероятности р меньше, чем на £ ? Зададимся каким-нибудь достаточно близким к единице значением вероятности Q - назовем его «уровнем доверия». Если вероятность того, что частота и вероятность расходятся меньше чем на £ , будет Q или больше, будем считать задачу решенной. На практике уровень доверия Q выбирается каким-нибудь круглым зна-

I

*

Фомин Л. А., Скоробогатов С. А.

Моделирование сетей связи методом статистических испытаний...

чением, близким к единице, например, 0,95 или 0,99 или 0,995 и т. д., в зависимости от важности задачи, которую мы преследуем. Предположим, что вероятность Q задана. Приравняем

этому значению Q правую часть равенства для р( р — р

£

< 8) = Q, получим

2Ф

Г-4ы >

V ° х 0

= Q.

В данном случае для оценки точности моделирования в первом приближении воспользовались вместо р(р-1) статистической оценкой Ох, полученной в серии из N реализаций

=

1 N .

1 2 2 — > X. — X

N —

1 1 , где С - среднее арифметическое.

Отсюда получаем формулу для числа опытов N

N =

о 2 х

Ф "V 2Q 0

(5)

где Ф - функция, обратная функции Лапласа.

—1Г1

В таблице 2 приведены значения функции Ф I Q I для некоторых, наиболее типичных

значений уровня доверия Q.

Значения функции Лапласа для заданных уровней доверия

Таблица 2

Q 0,8 0,85 0,90 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 0,995 0,999 0,9995 0,9999

[ф' (2 Q)] 2 1,64 2,08 2,71 3,84 4,21 4,49 5,43 6,61 7,90 10,9 12,25 15,2

Пользуясь таблицей 1 при е = 0.1 и ох = 0,85 и достаточно высоком уровне доверия

Q=0,95 находим

ф—1I1Q

Г \2

Г О х ^

= 3,84. При этом —— I = 72,25 . Необходимое число опытов

2~ 0] V е 0

N определяемое по формуле (5), N = 277.

Проведенные исследования показывают, что при обработке самоподобного трафика необходимо снижать память системы. Для поддержания QoS на заданном уровне следует управлять числом каналов в каждом направлении передачи информации, снижая время пребывания в очереди за счет уменьшения объема буферной памяти в узлах коммутации. Как показывает анализ СМО типа М/М/п/т, такое управление позволяет одновременно поддерживать на достаточно высоком уровне и эффективность системы, и ее качество. Поскольку самоподобный трафик по своим статистическим свойствам существенно отличается от пуассоновских моделей, то для расчета параметров СМО необходимо использовать метод статистических испытаний. Использование метода Монте-Карло подтверждает сделанные ранее предположение о высоких значениях эффективности и качества сети связи с ограниченным буфером при самоподобном входном трафике. Анализ показал, что при этом необходим начальный объем буфера, который сглаживает трафик, поддерживать в допустимых пределах номинальных значений.

2

2

е

2

2

ЛИТЕРАТУРА

1. Турко С. А., Фомин Л. А., Будко П. А. и др. Оптимизация пропускных способностей звеньев Ш-ЦСИС при ограниченных сетевых ресурсах // Электросвязь. - 2002. - № 2. - С. 17-19.

2. Grossglauser M. and Bolot J.-C. On the relevance of long-range dependence in network traffic. SIGCOMM-96, August 1996.

3. Вентцель Е. С. Исследование операций. - М.: Наука, 1989. - 552 с.

Фомин Лев Андреевич, Ставропольский военный институт связи ракетных войск, кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры автоматизированных сетей связи. Сфера научных интересов -синтез сетей связи, прикладная математика. budko62@mail.ru

Скоробогатов Сергей Александрович, Ставропольский военный институт связи ракетных войск, старший преподаватель школы прапорщиков. Сфера научных интересов - синтез сетей связи. budko62@mail.ru

Об авторах