CC BY
11
УДК 621.315.2
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРЫВА ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИЙ
Р.Ш. ГИМАДИЕВ, Ф.Ф. ДИНМУХАМЕТОВ Казанский государственный энергетический университет
Получены уравнения движения гибкой системы в пространственной постановке. Предложена численная модель решения уравнения движения с учетом разрыва гибкой связи. Приводятся результаты расчета для плоской задачи.
Моделирование динамики линий электропередачи (ЛЭП) проводится по модели абсолютно гибкой системы. Под абсолютно гибкими системами мы будем понимать физические объекты, которые пренебрежимо слабо воспринимают изгибные напряжения, т.е. работают только на растяжение и сжатие. К ним можно отнести: протяженные высоковольтные линии передачи энергий, линии оптико-волоконной связи, тросы, находящиеся в потоке жидкости, и т.д.
Рассмотрим абсолютно гибкую систему в поле силы тяжести с линейной плотностью ро(*), которая перемещается в пространстве под действием
распределенной погонной нормальной нагрузки Рп и распределенной
погонной касательной нагрузки Рт .
Деформация гибкой системы характеризуется степенью удлинения
к = ds/ds0 = 1 + е , где dsо и ¿5 - длины элементов гибкой системы в
недеформированном и деформированном состоянии; е - относительное удлинение. Для элемента гибкой системы с массой dm, в соответствии с законом сохранения массы, имеем dт = р о ¿5 о = рds.
1. Векторное уравнение, описывающее движение упругой весомой гибкой системы под действием погонных нагрузок Рп, Рт в поле силы тяжести с ускорением свободного падения ^, имеет вид
д2Г д Т _ _
р—2 =------+ ?п + Рт + £Р (1)
д г2 д 5
Рассмотрим уравнение (1) в проекциях на оси декартовой системы координат Ох 1 х 2 х 3, рис.1.
Пусть угол между элементом ds гибкой системы и осями координат 0x1 , Ох2, Охз составляет соответственно а , в, у.
Распределенная касательная нагрузка с интенсивностью Рт действует вдоль элемента ds гибкой системы. Действующий вектор нормальной нагрузки с интенсивностью Рп составляет угол ф к плоскости ОАВ. Дополнительно введем угол а 1 - между осью Ох 1 и плоскостью ОАВ.
© Р.Ш. Гимадиев, Ф.Ф. Динмухаметов Проблемы энергетики, 2008, № 7-8
Рис. 1. Схема нагружения
Учитывая, что
\Рп\ = *п, 1*4 = Рт , \Т\ = Т, = g,
д 2 г д V
д t2 д t
и проектируя векторное уравнение движения на декартовы оси координат, получаем:
Р 0
Р 0
Р0
д v 1 д
д t 0 д
II д д
д 1 д * о
д v з д
д 1 д * о
(Т со« а )- Рп к со« ф со« у со« а 1 + Ртк со« а , (Т со« в )- Рп к со« ф со« у «1п а 1 + РТк со« в, (Т со« у )+ Рп к со« ф «1п у + РТк со« у - р оё-
Так как (дх 1 )2 + (дх2 )2 + (дх3 )2 = (Хдво )2, то
1 дх1 1 дх 2 1 дх з
со« а =---------------------------------------, со« в =-, со« у =-,
к дs
о
к дs
0
к дs
о
1ёа 1 =
со« а 1 =
«1П а 1 =
дх 2 1 дх 2 1 со« в
дх1 к дво 1 дх1 со« а
к д* о
=1 со« а
д/1 + 1ё2 а 1 ■\/со« 2 а + со«2 в
=1 со« в
[1 + йё2а 1 д/со«2 а + со«2 в
В дальнейшем индекс нуль в координате я о будем опускать и будем понимать я как лагранжеву координату (т.е. связанную с гибкой системой), тогда уравнения движения гибкой системы в декартовой системе координат Ох іх 2 х 3 примут вид:
Р 0
Р 0
Р0
3 v і 3 t д v 2 д t д v 3
д t
д í T дх і
д s V к дs у д
T дх
2
д s V к дs д ( T дх 3
д s V к 3s
J7 дХ 3 J7
- Fn cos ф cos а і-----------------------+ FT
3s дх з
- Fn cos ф sin а і------------------+ FT
дх
і
3s
+ Fn к cos ф sin у + FT
3s дх 2 3s
дх з 3s
- Р 0 g,
(2)
где
cos а
cos а і
д/cos2 а + cos2 в
sin а і
cos в
Vcos2 а + cos2 в
і дх і і дх 2
cos а =-------------; cos в =----------------
к 3s
к 3s
і дх з
cos у =----------------; sin y:
к 3s
cos2 y .
2. Уравнения движения в вертикальной плоскости Ох 1 x 2
В этом случае для уравнений (2) надо положить
п п п 1 дх2
а = —, а i = —, y + в = —, Ф = 0, sin y = cos в =---------и
2 2 2 I ds
Р 0
Р 0
д v 2 3 í T дх 2
д t д v 3
д t
д s
к 3s
д í T дх 3
д s V к 3s
- F
+ Ft
дх
3
3s дх 2 3s
+ Ft
дх 2 3s дх з 3s
- Р 0 g •
Если провести замену индексов 2 ^ і и 3 ^ 2, то получаем
д v
Р 0
і
Р 0
31 д v 2
д í T 3х д s
2
д í T дх
д t д s
к 3s
+ Fn
дх 3 3s дх 2 3s
-+ Ft
дх 2 3s дх 3 3s
- Р 0 g,
(3)
где Vі и V2 - проекции вектора скорости V на оси координат х і, х2 . Уравнения движения (3) можно записать и в компактной форме
3 vk Р1^— = — 31
+ (- і)kFn
3 х 3-k 3 s
3 хк 3 s
- Р/g(k -1),
(4)
где k = 1, 2; vk - составляющая скорости элемента гибкой системы; р¿ -линейная плотность; T - натяжение; e - относительное удлинение; s -лагранжева координата; Fn - нормальная распределенная нагрузка; FT -касательная распределенная нагрузка; g - ускорение свободного падения.
Составляющие аэродинамических сил, действующих на гибкую систему, определяются по формулам [1]:
0 pU°° .( • 2 . ) р pUoo 1 2 (5)
Fn =----d\cn sin а + cT sin aj, FT =----«—cT cos а, (5)
где ии - скорость невозмущенного потока; р - плотность среды; а - угол атаки элемента гибкой системы; й - условный диаметр; сп = 1,8446, ст = 0,0554-аэродинамические коэффициенты обтекания, как для тросов.
Поперечные колебания гибких систем влияют на нормальные составляющие Fn - погонных усилий: при движении элемента гибкой системы против потока эта составляющая увеличивается, а по потоку - уменьшается. С учетом этого пересчет можно вести по формуле [2]
Fn (s, t) = F° (s, t )[l - vVn/u of sign[l - vVn/u« J
(6)
где Уп - нормальная составляющая скорости элемента гибкой системы; V -коэффициент аэродинамического демпфирования, этот коэффициент существенно влияет на динамику нагружения. В соответствии с численными экспериментами [2] коэффициент V выбирается в диапазоне 0,1 * 0,2.
3. Численное решение задачи динамики гибкой системы
Уравнения движения (4) решаются в безразмерном виде, введя безразмерные величины:
2Fn , 2 Fт _ ¿0
/т =----------------;- Р = Р-
vk , fn =
vk -- U o
T _ E
T = , E = —,
To To
pUО Lo pUО Lo M
Uo _ Lo
T =t------, g = g
¿0 и1
где Ук - скорость элемента нити; ¿0 - характерная длина; Р - распределенная нагрузка; М0 = р 0¿0 - масса нити; Е - приведенный модуль упругости 2 2/
материала; 70 = ри<»^Л2 - характерное натяжение; * - время; g - ускорение
свободного падения; АN = р/.3/(2 М0)- параметр Ньютона. Ниже в обозначениях
черточки над параметрами опускаем. Тогда уравнения (4) в безразмерном виде примут вид
р д ук д ( Т д хк \ , д х3-к д хк р
—-------- =------------ + (-1) к/п-^ + /т— - —g(k -1) . (7)
Ах дт д s ^ 1 + е д х у д х д х Ах
o
Уравнения движения дополняются физическими соотношениями Т = Т(е) при е > 0 и Т = 0 при е < 0 (в частности, при линейном законе Т = Е е), кинематическими соотношениями
При решении системы уравнений (7) + (10) применим метод конечных разностей, введя в рассмотрение дискретную область:
ві = іАв, тп = пАт (п = 0, 1,..., т/Ат — 1, і = 1,2,..., в/А*).
Используя для аппроксимации производных центральные разности на сдвинутой на полшага сетке и явную конечно-разностную схему, уравнения (7) представим в виде
Результаты решения задачи на шаге интегрирования п служат в качестве начальных и граничных условий для следующего шага интегрирования. Явная расчетная схема наряду с достоинством - простотой реализации - имеет и недостатки: появляются высокочастотные осцилляции решения за фронтом волн. Для сглаживания решений используется корректировка решений:
где в - коэффициент корректировки скоростей, который выбирается на основе численных экспериментов.
В разностном представлении корректировка скоростей (10) имеет вид
Пусть разрыв линии (пока не обсуждая причины разрыва) происходит на элементе длины между узлами П1 и Пр = П1+1, и натяжение между этими узлами
д хк/д т = гк
(8)
и геометрическим соотношением
(д х^^/д в )2 + (д х2/д в )2 = 12, I = 1 + е.
(9)
Начальные и граничные условия для нити запишутся в виде
хк (0,*) = /к ^, Ук (0,в) = ук (в),
хк(т,0) = /к (тЬ Ук(т,0) = (Р°к (тЬ
(10)
хк (т,в1) = /к* (тЬ Ук (т,) = (^к (тЬ к =1,2 .
(12)
(13)
мгновенно принимает нулевое значение Т(п\ ) = 0. Для расчета по формуле (13) добавляем расширенную сетку для левого пролета (П1+1 ) и для правого пролета Пр-1 соответственно.
и+1/2 _ и+1/2
k,n— k,ni
и+1/2 _ n+1/2
k,np-i k,np
При этом сквозные расчеты проводятся по формуле (13) для узлов с i = 2 по
i = ni для левого пролета и с i = np по i = int(s/As) для правого пролета.
Координаты узловых точек разностной сетки, или кинематические соотношения, в разностном представлении записываются в виде
x
n+1
k, i
_ xk, i + At v
n+1/2 k, i
(14)
Необходимым условием сходимости численного решения по явной схеме к решению дифференциального уравнения является условие Куранта-Фридрихса-Леви. Для материала с линейной характеристикой упругости Е это условие
запишется в виде Ат < А\д/ро/Е , или
Ат _ а k As^/pÖ/E ,
(15)
где а к - коэффициент Куранта.
Равновесное состояние гибкой системы получается как предельное решение динамической задачи.
Выбор коэффициента корректировки скоростей и коэффициента устойчивости численного решения осуществляется путем проведения численных экспериментов на модельных задачах [2]. Для численных расчетов динамики гибкой системы можно использовать следующие значения коэффициентов:
в = (0,015 * 0,03)Аж 2 в формулах (13); а к = (0,5 * 1) в формуле (15).
4. Исходные данные и результаты расчета
Для расчета примем: провод с маркой АС 150/24, длина пролета 160 м,
3 2
высота опоры 15 м , модуль упругости провода Е = 82,5• 10 Н/мм , удельная
—3 2
нагрузка от собственного веса у = 34,6• 10 Н/(м• мм ), диаметр провода
й = 0,024 м. Начальное состояние гибкой системы в момент времени т = 0 берется в виде прямой линии. Под действием погонной весовой нагрузки система деформируется до значения максимального прогиба при т = 0,102, рис. 2. По истечении времени т = 20,169 система выходит на равновесное состояние.
-t=0,102
-t=20,169
опора
Рис. 2. Равновесная форма гибкой системы © Проблемы энергетики, 2008, № 7-8
Пусть в этот момент времени т = 20,169 реализуется разрыв линии по середине пролета. На рис. 3 представлены результаты расчета движения гибкой системы правой части пролета в различные моменты времени. Расчеты показывают: правая и левая части пролета после разрыва перемещаются симметрично. В момент времени т = 20,454 линия соприкасается с поверхностью земли и в дальнейшем скользит по земле. В момент времени т = 20,653 гибкая система выходит за опоры и до момента времени т = 25,328 за счет внутренних напряжений система перемещается в обратном направлении.
t=20,169 опора земля —■—1=20,424 —■—1=20,454
-----1=20,459 —•—1=20,653 —*—1=25,328
Рис. 3. Изменение формы гибкой системы после разрыва
Разработанный программный комплекс позволяет исследовать режимы нагружения и разрыва линии передач высоковольтной энергии.
Summary
The received equations of the moving the flexible system in spatial production. The numerical model of the decision of the motion is offered with provision for breakup flexible relationship. There are results of the calculation for flat problem.
Литература
1. Девнин В.И. Гидроупругость конструкций при отрывном обтекании. -Л.: Судостроение, 1975. - 192 с.
2. Гимадиев Р.Ш. Динамика мягких оболочек парашютного типа. -Казань: КГЭУ, 2006. - 208 с.
Поступила 22.05.2008
