Моделирование распределения плотности тока в сложном неоднородном проводнике. Часть 1 Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ТОКА В СЛОЖНОМ НЕОДНОРОДНОМ ПРОВОДНИКЕ.

ЧАСТЬ 1

А.Ю. Гришенцев

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор К.Г. Коротков

В статье рассмотрена математическая основа моделирования распределения плотности тока в сложном, неоднородном проводнике, имеющем произвольную форму поперечного сечения.

Введение

Получивший в последнее время широкое распространение во всем мире процесс газоразрядной визуализации (ГРВ) [1], непосредственно связан с протеканием токов высокой частоты через исследуемые объекты. При этом наблюдается неравномерное распределение плотности тока по сечению, называемое поверхностным эффектом. Моделирование поверхностного эффекта в однородных проводниках подробно рассмотрено в различной литературе по электротехнике. В данной статье построена математическая модель поверхностного эффекта для случая неоднородных проводников. В этом случае вклад в неравномерность распределения тока по сечению вносит неоднородность среды, например, биологических объектов, исследуемых на ГРВ оборудовании.

Моделирование электропроводящих свойств, сложных биологических тканей, рассмотрено в ряде современной литературы (например: [2-4] и др.). К сожалению не одна из предложенных моделей не позволяет оценить плотность распределения тока по биологическим тканям в процессе ГРВ, ИПЧ исследований.

Автором статьи предложен возможный вариант оценки плотности распределения тока, по биологическим тканям применимый к ГРВ и ИПЧ измерениям. Моделирование производилось на основе законов классической электродинамики ([5-9]), с учетом особенностей протекания токов по биологическим тканям ([3, 4, 10-14]).

Модель плотности распределения высокочастотного тока по сечению во время исследования на ГРВ оборудовании позволяет:

• рассмотреть различия распределения плотности тока в зависимости от электрических параметров исследуемого объекта;

• определить части объекта, по которым протекает превалирующая часть тока;

• предсказать тенденцию изменения картины ГРВ-граммы при изменении электрических параметров исследуемого объекта;

• предсказать тенденцию изменения интегральной суммы тока для приборов-измерителей, интегральной суммы токов поверхностных частот (ИПЧ), при изменении электрических параметров исследуемого объекта;

• с высокой точностью оценить значения протекающих по различным тканям токов (при исследовании человека) с целью выяснения безопасности обследования на ГРВ, ИПЧ оборудовании.

Построение математической модели

Рассмотрим картину магнитного поля в плоскости поперечного сечения проводника с током, выполненного из однородного материала (рис. 1). Представим этот провод в виде совокупности нитей, параллельных его оси. Чем ближе нить расположена к оси проводника, тем с большим числом магнитных линий она сцеплена.

Рис. 1. Магнитное поле в плоскости поперечного сечения проводника с током

При периодическом изменении тока изменяется магнитное поле, и в нитях проводника наводится э.д.с., противодействующие изменениям тока. Это противодействие тем значительнее, чем больше э.д.с. (чем больше магнитных линий сцеплено с нитью), т.е. чем ближе нить проводника расположена к оси провода. В результате плотность тока в различных точках поперечного сечения получается не одинаковой: наибольшая на периферии и наименьшая на его оси.

Рассмотренное явление концентрации переменного тока в поверхностном слое проводника называют поверхностным эффектом. Резкость проявления его возрастает с увеличением частоты /, диаметра проводника ё, магнитной проницаемости ц и удельной проводимости у материала проводника. Следствием поверхностного эффекта является некоторое уменьшение собственной индуктивности проводника ввиду ослабления магнитного поля во внутренней части проводника. В предельном случае, когда ток концентрируется на поверхности проводника в бесконечно тонком слое, магнитное поле внутри проводника отсутствует.

Другим следствием поверхностного эффекта является возрастание тепловых потерь при одинаковых значениях переменного и постоянного тока (равенстве значения постоянного тока и действующего значения переменного тока): тепловые потери больше при переменном токе. Поэтому сопротивление проводника переменному току (активное сопротивление) выше, чем сопротивление проводника постоянному току.

Степень неравномерности распределения тока по сечению проводника благодаря поверхностному эффекту в каждом конкретном случае можно оценить, сравнивая линейные размеры поперечного сечения провода с длиной волны электромагнитных колебаний в проводнике X или с эквивалентной глубиной проникновения электромагнитной волны ([8], стр. 6):

х (1)

5 =

2

"У шду 2п

где ю - круговая частота, ц - абсолютная магнитная проницаемость вещества, у -удельная объемная электропроводность вещества.

На распределение переменного тока в проводе также оказывают влияние токи соседних проводников. Это явление называют эффектом близости ([6, 8]).

Следует отметить, что в поверхностном слое плотность тока не только убывает по величине, но и изменяется по фазе. На поверхности проводника плотность тока опережает по фазе полный ток на 45°: плотность тока на поверхности пропорциональна комплексной напряженности электрического поля Е, полный ток пропорционален комплексной напряженности магнитного поля Н, Е опережает Н по фазе на 45°. По мере перехода к более глубоким слоям плотность тока запаздывает относительно поверхностного тока, и на глубине, равной половине длины волны, ток изменяет направление на противоположное. Однако этот обратный ток не играет существенной роли - в поверхностном слое толщиной в половину длины волны Х/2 протекает свыше 95% общего тока [6].

Если проводники имеют сложную форму поперечного сечения, то из-за эффектов поверхностного и близости по отдельным частям проводников протекают токи различной плотности.

Допустим, что имеется проводник длиной I, произвольного поперечного сечения рис. 2 с током:

/ = 1т 81П(Ш/), (2)

где 1т - амплитуда тока [А]; ю = 2п/- угловая частота тока [рад/сек]; /- частота тока [Гц]; I - текущее время [с]. Разобьем поперечное сечение проводника на элементарные площадки. В проводнике площадки могут отличаться по размерам одна от другой. Однако, для удобства расчетов, желательно иметь одинаковые по размерам площадки. Диаметр площадки рекомендуется выбирать примерно вдвое меньше, чем глубина проникновения ё. Будем рассматривать образованные разбиением проводники как элементарные со своим током ¡к, где принимает значения 0-„. Заменим получившийся контур эквивалентной электрической схемой рис. 3, состоящей из („+1) ветвей. Если найти токи в каждой ветви, а затем плотность тока в каждом элементарном проводнике, то задача по определению поля плотности тока будет решена.

Рис. 2. Проводник произвольного поперечного сечения

Рис. 3. Эквивалентная схема

На эквивалентной схеме (рис. 3) обозначены: I - мгновенное значение суммарного тока [А]; ¡0, ¡1,...1„ - мгновенные значения токов в элементарных проводниках [А]; Ь0,0, Ьц,... Ь„,„ - собственные индуктивности элементарных проводников [Гн]; Я0, Я],. Я„ -активные сопротивления элементарных проводников [Ом].

Для расчета собственных индуктивностей ветвей с 0-й по п-ю рассмотрим произвольный к-й элемент (рис. 4). Координаты центра сечения элементарного проводника хк, ук; размеры сечения Ьк, ск [м]. При моделировании удобно проводить разбиение на элементарные проводники квадратного сечения, поэтому Ьк=ск. Если размеры сечения элементарного проводника составляют половину или меньше от глубины проникновения 3, формула (1) (случай низкой частоты), можно считать плотность тока в пределах сечения единичного проводника постоянной. В этом случае индуктивность и активное сопротивление единичного проводника можно находить, как при постоянном токе. В случае высокой частоты, когда размеры сечения больше половины глубины проникновения, надо учитывать неравномерность распределения тока по сечению. В дальнейшей реализации модели есть возможность разбиения проводника на равные элементарные площадки квадратного (со стороной ребра Ьк) и кругового (диаметр ёк) сечений, поэтому будем рассматривать квадратное и круговое сечения. В приведенных ниже формулах: ук - удельная проводимость, 5к - глубина проникновения для к-го элементарного проводника.

Рис. 4. Произвольный элемент проводника

В случае низкой частоты имеем:

для проводников квадратного сечения собственную индуктивность будем вычислять по следующей формуле (Ьк< 25) ([8], с. 101):

^к ,к =

£о1

2п

1п ± +1 _ о У к )2(0.2Ьк )

4Л

Ь 2

24

(3)

где ц0=4л-10 Гн/м - магнитная проницаемость воздуха;

для расчета индуктивности проводников кругового сечения (ёк<5) ([8], с. 96):

^к ,к =

Д 01 2п

, 41 3 1п---

^ 4

Л

(4)

где ёк=Ьк - диаметр поперечного сечения элементарного проводника [м]; для прямоугольного сечения, активное сопротивление (Ьк<25): 1 /

*к =

У к Ьк

для кругового сечения, активное сопротивление (ёк<25): 1 4/

*к =

(5)

(6)

У к ъ^к

В случае высокой частоты имеем:

для проводников квадратного сечения собственную индуктивность будем вычислять по следующей формуле (Ьк>25) ([8], с. 101):

^к ,к =

п

Л

м 1п_^ _ Г|+1

2 ^ 0.5902Ьк ) Ьку

Д0

Л

2шу

к)

для расчета индуктивности проводников кругового сечения (ёк>25) ([8], с. 96):

2

т„ = -П

• 2п

До

V V

ьД _1

й,г

До

2шу1

к у

для прямоугольного сечения с учетом глубины проникновения выведем формулу расчета активного сопротивления (Ък>25):

1 1 (9)

У к

(

Ъ2 _п(Ък -25к)

Л

4

для кругового сечения с учетом глубины проникновения выведем формулу расчета активного сопротивления (^к>25):

1 1 (10)

У к К _§к)

Рис. 5. К расчету взаимной индуктивности элементарных проводников

Рассчитаем взаимные индуктивности М элементарных проводников. На рис. 5 изображены сечения двух проводников с произвольными номерами р,., соответственно координаты центров данных проводников (хр; ур) и (х.; у.). Расстояние между центрами проводников

(11)

=л(х? _хр) + (У? _Ур) .

Далее будем обозначать взаимные и собственные индуктивности символами Тр., Тк,к, соответственно, так как собственную индуктивность можно рассматривать как взаимную саму на себя. Такое обозначение принято в связи с тем, что численные значения всех индуктивностей удобно при вычислениях хранить в одном массиве данных.

Рассмотрим возможные случаи для расчета взаимной индуктивности элементарных проводников р, ^ при различных соотношениях расстояния между осями проводников и их длины / ([8], с. 112): • при Ыр, ¡</:

2 _ 4 Л

т = До/

ш-* _ 1+^

1 Ы

Ы

/ 4 Г

- + -

1 Ы

32 /4

при Ыр ¡¡>/:

т = До1

2 (

1_

1Л

12 Ы

■ + ■

1/

4 Л

40 Ы4

(12)

(13)

p,. у

При расчетах для уменьшения вычислений необходимо учесть, что Тр,¡=Т.,р. Для схемы замещения рис. 3 можно составить следующие уравнения. Поочередно обходя по часовой стрелке контуры, образованные ветвями 0 и 1, 1 и 2,..., й-1 и п, запишем в соответствии с законами Кирхгофа:

dW 0,! dt dy j dt

+ io R0 - ij Rj = 0

+ ij Rj - Í2 R2 = o

+ VjRn-j - inRn = o

dt

n

i = 2 ik

k=0

где - потокосцепление контуров, образованных соответствующими ветвями:

W0,j = W0 -Wj Wj,2 =Wj -W2

V п-1,п п-1 "V п

Потокосцепления ук, к=0,1,...п, можно рассчитать следующим образом:

V 0 = 4,0*0 + 4,1*1 + ••• + 4,п'п

VI = Ал +А,' + ••• + к„*п

(j5)

(j6)

V п = 4у0 + 4,л + ••¿„л

где Ькк - собственная индуктивность элементарного проводника; Ь5,Р=ЬР,5 - взаимная индуктивностьр и ^ элементарных проводников, соответственно• Запишем уравнение для расчета щр,ц, используя (15) и (16):

Wp-j,Р = 2 (Lp-j,k Lp,k )ik '

(j7)

k=0

(j8)

гдер=1,2,...,п. Подставив (17) в (14), получим следующую систему уравнений:

¿4С4-и "¿р,кX + /р_1^р"1"= 0

к=0 4

п 5

Е 4 = *

к=0

гдер=1,2,.,п; / - суммарный ток

При синусоидальном токе в проводнике потокосцепление щк и токи /0, /'1, ..., /п в элементарных проводниках также изменяются по гармоническому закону • Поэтому можно воспользоваться символическим методом расчета токов в элементарных про-водниках^ Запишем систему (18) в символическом виде:

(Lp-j,k - Lp,k)Ik + Ip-j Rp-j - IpRp = 0

k=0

Z Ik = I

k=0

где] - мнимая единица,р=1,2,...,п; I - суммарный ток. Система уравнений (19) состоит из п+1 уравнений и содержит п+1 неизвестных токов 1к. По вещественным и мнимым составляющим токов в элементарных проводниках можно вычислить модуль тока в них:

I,

• 2 . 2

[Re(I, )] + [Im(I, )] •

(20)

При решении системы (19) в качестве суммарного тока I можно принимать амплитудное значение. Тогда найденные модули токов \1к\ будут иметь амплитудные значения. Если же понимать суммарный ток как действующий, то и найденные модули токов будут действующими.

Плотность тока в каждом элементарном проводнике можно определить по формулам:

комплексная плотность токов:

А Ik •

Ак =-,

Sk

модуль плотности токов: h

(21)

А k =

S,r

(22)

где - площадь сечения к-го элементарного проводника. В зависимости от задания суммарного тока I в качестве амплитудного или действующего, плотность дока ок также будет амплитудной или действующей.

Заключение

k

Предложенная модель актуальна для моделирования распределения плотности тока по сечению исследуемого объекта в ГРВ-процессах. Новизной модели является учет неоднородности проводящего материала при расчете распределения плотности тока по сечению. В результате проведения расчетов в соответствии с предложенной моделью можно определить распределение комплексной плотности токов по сечению неоднородного проводника произвольной формы.

Литература

1. Коротков К Г. Основы ГРВ биоэлектрографии. СПб: СПбГИТМО, 2001.

2. Ордабаев Б.Б., Искаков К.М., Ры. Алма-Ата: Казахский научно исследовательский институт кардиологии, 2000.

3. Рубин А.Б. Теоретическая биофизика. В 2 т. М.: Наука, 2004.

4. Гнездецкий В .В. Обратная задача ЭЭГ и клиническая электроэнцефалография (картирование и локализация источников электрической активности мозга). М.: МЕД-пресс-информ, 2004.

5. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В. Основы теории цепей. М.: Энергия, 1975.

6. Новгородцев А.Б., Теория электромагнитного поля, конспект лекций. СПб: СПбГТУ, 1994.

7. Мансуров Н.Н., Попов В.С. Теоретическая электротехника. М.: Энергия, 1966.

8. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей. Справочная книга. Л.: Энергоатомиздат, 1986.

9. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функции комплексной переменной. М.: Физматлит, 1999.

10^ Коган АБ, Косицкий ГЖ Физиология человека и животных 1,2^ М^: Высшая школа, 1984^

11 Новгородцев АБ^ Теория электромагнитного поля, конспект лекций СПб: СПбГТУ, 1994^

12^ Иванов ГГ, Николаев ДВ^ Возможности оценки общей воды и внеклеточной жидкости методом биоимпедансной спектроскопии: современные подходы к решению актуальной проблемы^ // Вестник Российского университета дружбы народов^ Кафедра госпитальной терапии РУДН Серия «Медицина» 1998^ № 1 С 213-226^ 13^ Иванов ГГ, Сыркин АЛ, Дворников ВЕ^ Мультичастотный сегментарный биоим-педансный анализ в оценке изменений объёма водных секторов организма^ М^: Московская медицинская академия им^ ИМ Сеченова, Российский университет дружбы народов, НТЦ «Медасс» , 2000^ 14^ Афонин ПН, Афонин ДН, Бегун ПИ, Пахарьков ГН Исследование проницаемости кожных капилляров импедансометрическим методом^ // Тезисы докладов II Съезда биофизиков России, Москва, 23-27 августа 1999^ М^, 1999^ Т 2^ С 642-643^