Моделирование процесса распылительной сушки суспензии протеинового зеленого концентрата (ПЗК) Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 66.047.4

Профессор А.А. Шевцов, аспирант А.А. Коротаева, аспирант А.С. Муравьев

(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра технологиихлебопекарных, макаронных, кондитерскихизерноперерабатывающихпроизводств. теп. (473) 255-38-51 доцент А.А. Дерканосова

(Воронеж.гос. ун-т. инж. технол.) кафедра сервиса и ресторанного бизнеса тел. +7 (920) 432-16-57 E-mail: aa-der@yandex.ru

Professor A.A. Shevtsov, graduate student A.A. Korotaeva, graduate student A.S. Murav'ev

(Voronezh state university of engineering technologies) Department of technology of breadmaking, confectionery, macaroni and grain processing industries. phone (473) 255-38-5)

Associate Professor AA Derkanosova

(Voronezh State University of Engineering Technologies) Department of service and restaurant business phone +7 (920) 432-16-57 E-mail: aa-der@yandex.ru

Моделирование процесса распылительной сушки суспензии протеинового зеленого концентрата (ПЗК)

Modeling of the spray drying process of green protein suspension concentrate (PGC)

Реферат. Разработка и внедрение высокотехнологичных и энергоэффективных способов производства кормов акту -ально и целесообразно в связи с тем, что предприятия не способны обеспечить рынок потребителей комбикормов высококачественными продуктами по доступным ценам. Для решения этой проблемы разработана ресурсосберегающая технология производства протеинового зелёного концентрата (ПЗК) из листостебельной массы высокобелковых растений. Наиболее энергоемким процессом получения ПЗК является распылительная сушка. При этом вопросы энергосбережения и получение продукта высокого качества решаются путем моделирования. Модель сушки, разработанная в данном исследовании, основана на убывающем фронте испарения, который используется во многих исследованиях сушки капель. Поставлена задача получить основные уравнения тепломассопереноса в периоды постоянной и убывающей скорости сушки. Предполагается также, что сушка проходит в периоды постоянной и убывающей скорости сушки. Для обоих периодов сушки получены основные уравнения тепломассопереноса. Изменение теплофизических характеристик определены статистическими методами в интервале значений влажности ПЗК 10-75 % и температуры 20-100 %. Модель решена методом конечных разностей с погрешностью результатов моделирования 12 %. Метод конечный разностей представляет собой численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностей схемами, является сеточным методом. Проведена идентификация параметров модели по экспериментальным данным, полученным на опытной распылительной сушильной установке. Решение математической модели позволяет определять изменение влажности (концентрации СВ) и температуры по радиусу капли в процессе распылительной сушки концентрата ПЗК, что необходимо как для выбора геометрических размеров сушилки, так и для управления технологическими параметрами сушки.

Summary. Development and implementation of high-tech and energy-efficient methods of feed production is important and appropriate due to the fact that enterprises are not able to provide the market of feed consumers with high quality products at affordable prices. To solve this problem, an alternative technology for the production of protein green concentrate (PGC) from the cormophyte mass of high protein plants was developed. The most energy-intensive process of obtaining PGC is spray drying. At the same time the problems of energy saving, and the product quality are solved by modeling. The drying model developed in this study is based on the falling edge of evaporation, which is used in many studies of drops drying. The problem of obtaining the basic equations of heat and mass transfer during the periods of constant and decreasing drying rate was to be solved. It is also supposed that the drying takes place during the periods of constant and decreasing drying rate. Basic equations of heat and mass transfer for both periods of drying were obtained. Changing of thermophysical characteristics were determined by statistical methods in the range of PGC humidity of 10 ... 75% and a temperature of 20 ... 100%. The model is solved by finite difference method with an accuracy of modeling results of 12%. Method of finite differences is a numerical method for solving differential equations based on the replacement of derivative differences schemes and is the grid method. Identification of model parameters to experimental data obtained in the experimental spray dryer was carried out. The solution allows the mathematical model to determine the change in moisture content (DS concentration ) and drop radial temperature in the spray drying of the PGC concentrate that is necessary both to select the geometrical sizes of the dryer and the drying process parameters controlling.

Ключевые слова: кормопроизводство, протеиновый зеленый концентрат, распылительная сушка, математическое моделирование, уравнения тепломассопереноса.

Keywords: feed production, protein green concentrate, spray drying, mathematical modeling, heat and mass transfer equation.

© Шевцов A.A., Дерканосова A.A., Коротаева A.A., Муравьев А.С., 2015

Главная цель развития кормопроизводства — увеличение объемов и улучшение качества кормов, в том числе и концентрированных.

В настоящее время отмечается значительный недостаток отечественного кормового белка. Для решения этой проблемы разработана ресурсосберегающая технология производства протеи -нового зелёного концентрата (ПЗК) из листосте-бельной массы высокобелковыхрастений [1, 2].

Наиболее энергоемким процессом получения ПЗК является распылительная сушка, от режимов которой в значительной степени зависят себестоимости и качества готового концентрата. Поиск оптимальных режимов процесса распылительной сушки в области допустимых технологических свойств высушиваемого продукта при минимальных энергетических затратах, как правило, достигается методами математического моделирования с последующей экспериментальной проверкой полученныхрезультатов [3].

Известные модели основаны на углублении фронта испарения влаги в капле, с постепенной потерей влаги в процессе сушки [4, 5]. Однако они не учитывают особенности процесса распылительной сушки в периодах постоянной и убывающей скорости сушки с учетом специфических свойств ПЗК. При этом не детализируется алгоритм их решения, что не дает основания для их использования в систематических расчетах при поиске оптимальных режимов.

Цель работы - сформулировать задачи моделирования процесса распылительной сушки ПЗК в период постоянной и убывающей скорости сушки.

Период постоянной скорости сушки.

В периоде постоянной скорости сушки тепло передается конвекцией от окружающего воздуха к поверхности капли и вызывает испарение свободной воды пока она не будет полностью удалена (рисунок 1). Водяной пар с поверхности капли удаляется путем конвекции.

Свпямт Отго глрр/Ьр ч&тць/

/ \ Пйе/пшяь испорет! дл&и

Д • 7

Рисунок 1. Сушка капли в период постоянной скорости

Моделирование процесса сушки в первом периоде проводилось с учетом следующих упрощающих допущений:

1. Капли имеют сферическую форму.

2. Кондукция является механизмом передачи тепла внутри капли.

3. Внутренний радиус капли постоянен.

4. Удаление свободной воды на поверхности задается уменьшением внешнего радиуса капли.

5. Влажность, температура и скорость воздуха, окружающего каплю, постоянны.

6. Внутренней циркуляцией воды и капиллярными эффектами пренебрегается.

7. Отсутствует физическое или химическое взаимодействие между твердыми частицами и влагой.

8. Температура капли изменяется только в радиальном направлении.

9. На границе фронта испарения устанавливается состояние теплового и концентрационного равновесия.

10. Твердые частицы и влага вокруг них находятся в тепловом равновесии.

11. Изменение теплофизических характеристик определены методом Волькен-штейна [6] и обработаны в программе «8ТАТ18Т1СА 10» в интервале значений влажности ПЗК 10-75 % и температуры 273-373 К:

а X 108 = -7,15 X 10"7Г3 - 9,54 X 10~6Т2Ш + 1,14 X 10"67Ж2 - 2,00 X 10"5^3 - 3,66 X 10"4Г2 + 4,88 X 10"37Ж - 9,76 X 10"4^2 + 0,16 Т + 0,75^ - 6

Я = -1,18 X10"6 Т3 - 1,17 X 10~5Т2Ш2 - 9,18 X 10"7ТШ2 - 4,77 X 10"7^3 + 7,71 X 10"4Г2 + 6,81

X 10~3ТШ + 2,53 X 10"3^2- 9,67 X 10"2Г- 0,95^- 11,13 с = -1,64 X10"10 Т3 - 1,64 X 10~9Т2Ш2 - 1,41 X 10"9Т^2 - 1,24 X 10"10^3 + 1,15 X 10"7Г2 + 9,91 X 10~7ТШ + 3,43 X 10"7^2 - 1,41 X 10"5Г - 1,3Ш - 1,53 X 10"3

Принимая элемент дифференциального объема в области связанной влаги и учитывая тепловой баланс, получим уравнение переноса теплоты в виде: V 0< г < Явн, £ >0

— [£рвсвГ0С + (1 - £)ртстТсв] = 91 1 5 (1)

где £ - объемная доля воды в области связанной

<ЪестнипФТУЖЛГ, №1, 2015_

влаги. Индексы в, т и св представляют свободную влагу, твердые вещества и область связанной влаги, соответственно.

Используя закон Фурье, уравнение (1) принимает вид:

— [£рвсвГсв + (1 - £)ртстГсв] =

-- — —(г2 А

г2 дг\ св дг

>

(2)

где Лсв - коэффициент теплопроводности, Вт/мК, определяемый как:

Асв = еЛв + (1 — е)АТ (3)

Уравнение (2) принимает окончательную форму:

где к1

^ дТсв = д Тсв + 2 дТсв (4) 1 дг2 г дг '

£рвСв + (1-£)ртСт

Для решения уравнения (4) приняты:

- начальное условие:

V 0< г < Двн' I = 0^ТСВ = Т( 0), где Т(0) начальная температура капли.

- два граничных условия в центре и на внутреннем радиусе капли:

Уг = 0, £ = 0,

V г = Рвн, £ >0 ^ТСВ = ТВ Принимая элемент дифференциального

объема в области свободной влаги и учитывая тепловой баланс, уравнение теплопередачи для области свободной влаги представлено следующим образом:

УИВН < г < Двнеш(О,I = 0^

д 1 д ^ [рвсвТв] = - —— (г2Чв)' (5)

где:

дТ* '' дг'

(6)

С учетом (5) и (6) уравнение переноса тепла для области свободной влаги получено в виде:

дТв д2Тв 2 дТв (7)

2 дг2 г дг'

где к2 = ^.

Л-в

С начальным условием: УАвн<г< Двнеш (¿)' £ = 0 ^Гв = Г(0) и двумя граничными условиями:

У г = Двн' £ >0^-Асв^ = -лА

вн' св дг в дг'

УГ = Двнеш(0' I >0^

1

дТа

неш _ („ _ „ ) , В £ ОГ

где Ьв - удельная теплота парообразования, Дж/кг; аса - коэффициент конвективной теплопередачи, Вт/м2К; Тса - температура сушильного агента, К.

Уравнение (8) получено путем использования теплового баланса на поверхности испарения Квнеш(0 между теплом, передаваемым конвек-тивно к поверхности капли и теплом, переданном кондуктивно из глубины капли для испарения некоторой части свободной влаги. После преобразования уравнения (8) получаем:

р яу

¿в^Р = к3 (Гв-7са) + (9)

где к3 = кА = ^ .

Рв Рв

Отслеживание движения границы Квнеш (0 между свободной влагой и воздухом осуществляется уравнением баланса массы, в котором изменение массы капли равно конвективному потоку массы паров воды на границе фронта испарения: V г = Двн' I > 0

= -/?смМв(Сп - Сса)'

(10)

дь

где @см - конвективный коэффициент массопе-реноса, м/с; Мв - молярная масса воды, кг/моль; Сп и Сса - концентрации паров воды на поверхности капли и сушильного агента соответственно, моль/м3.

Сп в уравнении (10) определяется как:

РП(Т )

Сп=^ (11)

где Рп - давление пара при температуре поверхности, Па; Иса - универсальная газовая постоянная, Дж/моль-К.

Уравнение (10) приведено к виду:

= -МСп-Сса)' (12)

ы

где к5 =

С начальным условием: Vr = Двнеш(0' £ = 0 ^ ??внеш (с) = Д(0)' где ^(0) - начальное значение внешнего радиуса.

Введем безразмерную величину:

£ г

йвн

(13)

Тогда математическая постановка задачи моделирования в период постоянной скорости сушки примет вид:

V 0< ? <вн' I >0 ^

к'

где к'

дТсв = 2 дТп

1 dt = 2 + ' R2(0)(£pBCB+(l-£)pTCT)

(14)

Начальные и граничные условия уравнения (14):

V0<«f<<fBH, t = 0^ТСВ = Г(0)

Vf = 0, t >0^-Асв-^ = 0

Vf = ,t >0^ТСВ = тв Пвн < f < ^внеш (í), t >0^

дТв д2Тв 2 дТв

= ^ТТ + 7 ^ (15)

dt д%2 %

где к'

К2(0)рвсв

Начальные и граничные условия уравнения (15) являются:

V ^вн < <f < ^внеш (í), t = 0 ^ Тв = Г(0)

П = %теш(О,t >0^

^^"внеш

дТа

= ^з(Гв - ^са) + (16)

где кг

цса ; ^г =

3 " к(о)рв' ^ к2(о)рв-

П = ^внеш (í), t >0^

dt

= -fc'5(Cn-Cca), (17)

где k's

К(0)рв'

Начальное условие уравнения (17):

П = ^внеш(0, С = 0^внеш(0 = 1 Для расчета коэффициентов конвективного тепло- и массообмена используется эмпирическая корреляция с коэффициентом 0,65 [7].

Ыи = 2 + 0,65Де°'5Рг0'33; (18) = 2 + 0,65Де°'55с0'33, (19)

где Де = ^саРса; Рг = 5с - Мса •

Мса

ОпРса'

Sh = —; Nu = - скорость сушильного

Dn ^са

агента, м/с; - кинематическая вязкость, м2/с; сса - удельная теплоемкость, Дж/кг-K; рса - плотность сушильного агента, кг/м3; dH - наружный диаметр капли, м; Dn - диффузия водяного пара в воздухе, м2/с. В уравнениях, индексы са, ни п представляют сушильный агент, частицу и водяной пар, соответственно.

Период постоянной скорости сушки заканчивается, когда вся свободная влага с поверхности капли будет удалена т.е. пвнеш Достигает RBH (рисунок 1).

Периодубыеающей скорости сушки.

В период убывающей скорости сушки, предполагается существование углубления фронта испарения влаги, который делит каплю на область связанной влаги и область твердых частиц (рисунок 2).

— Масащшкгю

___Тепюц

(бвюнш й/юга

Твердые щктииы

/Засушенная оНлос/ш,

Побериюсть испщния 6/юги

Рисунок 2. Капля в период убывающей скорости сушки

Задача моделирования решалась при следующих упрощающих допущениях:

1. Тепло передается конвективно к поверхности капли.

2. Удаление влаги в порах капли описывается уменьшением радиуса области связанной влаги.

3. Радиус капли Явн не меняется во время сушки.

4. Растворением твердых веществ в воде пренебрегаем.

5. Поры области связанной влаги заполнены воздухом, водяной пар диффундирует через эти поры.

6. Физические и транспортные свойства водяного пара рассчитываются при средней температуре, определенной как среднее арифметическое от температуры поверхности области связанной влаги и температуры поверхности капли.

7. Закон диффузии Фика с эффективным коэффициентом диффузии описывает диффузию паров воды через поры области связанной влаги.

8. Морфология капли не изменяется во время сушки.

Принимая элемент дифференциального объема в области твердых веществ и учитывая тепловой баланс, получим уравнение переноса теплоты в виде: V 0< г < 5(0, £ >0 ^

— [£рвсвГсв + (1 - £)рТсТТсв] =

= —(г29св), r¿ дг

где те же индексы и обозначения используются для моделирования периода постоянной скорости сушки, также используется для модельных уравнений, выведенных для период убывающей скорости сушки. Как и при получении уравнения (4) , после преобразования уравнения (20) получим окончательный вид уравнения теплопередачи для области связанной влаги:

дТсв д2Тсв 2 дТсв

где т 1

тг дг дг2 + г дг '

£рвСв+(1-£)ртСт

(21)

- начальное условие: УО<г<5(0' г = 0^Гсв = Г(0,

- граничные условия:

Уг = 0'г >0^-Асв% = 0,

Уг = 5(0' г >0^ТСВ = Тво, где индекс во представляет собой высушенную область и Т(г) это температура капель в конце периода постоянной скорости.

Уравнение теплопереноса высушенной части капли теплового балансов основано на элементе дифференциальной объема, занятого в области связанной влаги: < г < Явн' г >0 ^

— [(1 - £)ртСтТк] = __1д_ 2 1 ^ 2 . (22)

где:

и:

дт

п — во-

Ч ВО ЛВО дг 5

/ = -в м —

7ВО ^ВО1 'в дг ■

(23)

(24)

Ово - эффективный коэффициент диффузии влаги в порах сухой части капли, м2/с.

2еИп П =--

иво = 3 _ £'

(25)

^во = + (1 - ^¿т ' (26)

где Лсм - теплопроводность смеси паров воздух-вода существующих в порах высушенной части, Вт/ м-К.

После преобразования уравнения и приведения подобных членов получаем окончательную форму уравнения теплопередачи: 9ТВ0 1 2 дТв0\

™2 дг = г2дг\Г дг) + (27) +

г2 дг\ в0 дг ''

где т2

(1-£)ртСт

т3

ДвоМвСд

т2-

дТв0 д2Тв0

дСп\ дТН1

(2 + т

\г т3 дг )

дг

дг дг2

2т1 + д_С„ + т

г дг дг2 в0 '

+

(28)

с начальным условием:

<г<двн'г = 0^тво = тт

и с граничными условиями: У г = в(£)' г >0 ^

*Рв1в^ = -Лво^ + (29)

У г- Явн' £ >0 ^

дтаь__ г

= ®са(^во ^са)

(30)

во дг

Уравнение (29) отражает тепловой баланс на границе испарения, в котором разница между теплом, передаваемом высушенной частью к поверхности капли используется для испарения некоторой части влаги из пор в области связанной влаги. Дальнейшее упрощение уравнения (29):

дз дТв0 дТс

1°Тг = "^"аТ + т5

дг '

(31)

где тА = —; т5 = —.

* £рв Э £рв

Для того чтобы решить уравнение (28) и получить профиль концентрации водяного пара в порах области связанной влаги составляем материальный баланс по влаге для элемента дифференциального объема в области связанной влаги:

< г < явн' г >0 ^ ^МвСЛ = -~(г2]во) (32)

После преобразования уравнения (32) получаем:

т дСп = д2^ + 2 тв дг дг2 г дг'

где т6 = -р.

Начальные и граничные условия, необходимые для решения уравнения (33):

V5(0 < Г< двн'г = 0^сп =

ЯгаТг.

рп (тво)

у г = 5(0' г >0^сп = у г = явн' г >0 ^

_п = п (с - с )

^во дг гс^ип ^са/

Баланс массы на поверхности испарения определяется уравнением:

VГ = (0'г >0^£рв^ = окмв^(34)

Преобразование уравнения (34) представлено в виде:

^ дСв

Ть = (35)

где т7 =

£Рв

Начальное условие, необходимое для решения уравнения (35):

У г = 5(0, £ = 0^5(0 = Двн (36) Окончательный вид уравнений модели (21)-(36): V 0< ^ < 5'(0, t>0 ^

, агсв _ а2гсв 2 агсв

m ■

dt 2 г af

(37)

где s'(t) безразмерный радиус области связанной влаги.

_ R2BH UPbCB + (1 ~£)ртст)

m

(38)

Начальные и граничные условия уравнения (37) являются:

V 0 < s'(t), t = 0^ТСВ = T(t)

Vf = 0,t >0^-ACB^f = 0

Vf = s(t), i(0) ^ TCB = Гво Vs'(i) < f < 1, t >0 ^

дТщ, = д^ш, + /2 + ^ дСлдТ,, +

dt ~ dr2 \r 3 dr ) dt 2m3 dC„ d2 CT

m-

+ -r— + m-.

r dr

dr2

(39)

где:

и:

m

, _ Rbh((1 - g)PTÇT).

■ T

m

DB0MBCn

; (40)

(41)

Начальными и граничными условиями уравнения (44) являются:

Vs(0<^< 1, t = 0 - -рп (nt »

V f = s'(t), t >0 ^ Сп =

П «caT(t)

рп(Тво)

Vf = 1, t > = Двнр(Сп - О

Vf = С >0^ = -'7|т, где т'7 =-§^

^вн£Рв

Начальное условие уравнения является: Vf = s'(t), t = 0s'(t) = 1 Te же соотношения задаются уравнениями (40) и (41) и используются для расчета коэффициентов конвективного тепло- массопе-реноса в период убывающей скорости сушки.

Модель (1)-(44) решена методом конечных разностей [8] с погрешностью результатов моделирования 12 % (рисунок 3). Проведена идентификация параметров модели по экспериментальным данным, полученным на опытной распылительной сушильной установке [3].

t

100 %

80 70 60 50 Ш

W 30 20

10

О

/

/ / \

/

3Î3 К

329 322 315 308 301 2% 287 280

Т

273

0 2 4 6 8 10 12 К

сек 20

Начальные и граничные условия уравнения (28) являются:

Vs'(t)<«f< 1, t = 0^TBO = T(t) Vf = s'(t), t >0 ^

j - _m' Êï™ + ÊIça (42) Lb at~ m 4 af + m 5 ac (42)

Vf = 1,t >0 ^

Лв0 = RBHa(TB0 Tca)

где m\ = _,B0 m'

Atr

^bh £Рв ^ ^BH £Рв

Vs'(i) < f < 1, t >0 ^

, acn _ a2cn 2 acn me at = af2 + f af,

где m'6 = -f-

(43)

(44)

Рисунок 3. Кривая сушки ПЗК (1) и кривая нагрева (2) при Тса = 373К, 75%

Таким образом, уравнения (1)-(44) являются математической моделью, решение которой позволяет определять изменение влажности (концентрации СВ) и температуры по радиусу капли в процессе распылительной сушки концентрата ПЗК, что необходимо как для выбора геометрических размеров сушилки, так и для управления технологическими параметрами сушки.

<becmHUKjBTyWïïï, №1, 2015[

ЛИТЕРАТУРА

REFERENCES

1 Дерканосова A.A., Коротаева A.A. Перспективы использования протеинового зеленого концентрата (ПЗК) в кормопроизводстве // «Наука и технологии в современном обществе» материалы международной научно-практической конференции: в 2 частях. Уфа, 2014. С. 142-143.

2 Шевцов A.A., Дранников A.B., Коротаева A.A., Дерканосова A.A. Анализ инновационной привлекательности использования вегетативной массы растений в комбикормах // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. 2013. № 1. С. 224-226.

3 Магомедов Г.О., Магомедов М.Г., Шахов C.B., Саранов И.А. и др. Установка для агломерирования пищевых порошкообразных полуфабрикатов комбинированным способом // Современные наукоемкие технологии. 2014. № 6. С. 69-70.

4 Гордиенко М.Г. Моделирование и разработка непрерывной технологии распылительной сушки пробиотиков: на примере сушки биосуспензии бифидобактерий: дис. ... канд. тех. наук: 05.17.08: защищена 05.02.06: утв. 10.06.71. М.: РХТУ, 2006. 200 с.

5 Куцов C.B., Дранников A.B. Физико-математическое моделирование процесса обжарки зерна овса // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. 2008. № 1. С. 26-30.

6 Волькенштейн B.C. Скоростной метод определения теплофизических характеристик материалов. Л.: Энергия, 1971.

7 Ranz W. E., Marshall W. R. Evaporation from drops //Chem. Eng. Prog. 1952. T. 48. №. 3. C. 141-146.

8 Тихонов A. H., Самарский А. А. Уравнения математической физики. M.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

1 Derkanosova A.A., Korotaeva A.A. Prospects for the use of green protein concentrate (PZK) in feed production. «Nauka i tehnologii v sovremennom obshhestve» materialy mezhdu-narodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. ["Science and technology in modern society, of" materials of the international scientific-practical conference]. Ufa, 2014, pp. 142-143. (In Russ).

2 Shevtsov A.A., Drannikov A.V., Derkanosova A.A., Korotaeva A.A. Analysis of innovation attractiveness of plants vegetative growth in compound feed. Vestnik Voronezhskogo gosudarstven-nogo universiteta inzhenernykh tehnologii. [Bulletin of the Voronezh State University of Engineering Technologies], 2013, no. 1 (55), pp. 224-226. (In Russ.).

3 Magomedov G.O., Magomedov M.G., Shakhov S.V., Saranov I.A. et al. Installation for agglomeration of food powder semis combirdet way. Sovremennye naukoemkie tekhnologii. [Modern high technologies], 2014, no 6, pp 69-70. (In Russ.).

4 Gordienko M.G. Modelirovanie i raz-rabotka nepreryvnoi tehnologii raspylitel'noi su-shki probiotikov: na primere sushki biosuspenzii bifidobakterii. Diss. kand. teh. nauk. [Modeling and development of a continuous spray drying technology of probiotics: the case of drying biosuspenzii bifidobacteria. Diss. cand. tech. sci.]. Moscow, 2006. 200 p. (In Russ.).

5 Kutsov S.V., Drannikov A.V. Physical and mathematical modeling of the process of roasting grain oats. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta inzhenernykh tehnologij. [Bulletin of the Voronezh State University of Engineering Technology], 2008, no 1, pp. 26-30. (In Russ).

6 Vol'kenshtejn V.S. Skorostnoi metod opre-deleniia teplofizicheskikh kharakteristik materi-alov [High-speed method for determining the thermal properties of materials]. Leningrad, Energiia, 1971. 340 p. (In Russ).

7 Ranz W. E., Marshall W. R Evaporation from drops. Chem. Eng. Prog., 1952, vol. 48, no. 3, pp. 141-146.

8 Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, MGU, 1999. 798 p. (In Russ).