Моделирование процесса натекания неньютоновской жидкости на жесткую преграду Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК664.66

Моделирование процесса натекания неньютоновской жидкости на жесткую преграду

А. С. ИВАНОВА, д-р техн. наук Г. В. АЛЕКСЕЕВ

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ИТМО Институт холода и биотехнологий 191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9

The calculation of time of the filling the form, necessities for designing corresponding to technological equipment as can be seen from the last advantages-mules, is conditioned by importance V1. Izotermicheskiy formed flow, to liquids, which is a dough, in pipe is found under the action of the same power, as traditionally considered flows to liquids, however in considered event is else added power to gravity dose test, residing in channel dose-torah. This additional power shall take into account as a certain additional pressure.

Keywords: time of the filling the form, designing technological mashine, formed izotermicheskiy flow, liquid.

Ключевые слова: время заполнения формы, проектирование технологического оборудования, изотермический установившийся поток, бингамовская жидкость.

Хлебобулочные и крупяные изделия в настоящее время занимают значительный удельный вес в отечественном рационе питания, поэтому производство возможно более широкого ассортимента таких изделий является актуальным.

К числу мелкоштучных хлебобулочных изделий, пользующихся популярностью у населения, относятся открытые пироги с начинкой типа ватрушек или пиццы.

Формование тестовой основы таких изделий значительно облегчается и поддается механизации, если оно производится в «перевернутом» виде, путем формования ограничивающего бортика за счет саморастекания дозируемой навески теста.

Рассмотрим процесс приготовления такой заготовки в форме, изображенной на рисунке.

Обозначим (1 — диаметр цилиндрического насадка дозатора, а И — диаметр тестовой заготовки для укладки начинки. Толщину заготовки, высоту и ширину буртика будем считать одинаковыми и равными 6.

Определим время заполнения формы из следующих соображений.

Пусть У\ — скорость течения жидкого теста в канале дозатора, У2 — радиальная скорость растекания по круговой части формы и У3 — радиальная скорость растекания по кольцевой части формы. Дополнительно полагаем, что толщина растекающегося слоя теста по круговой части формы — 5, а толщина растекающегося слоя по кольцевой части формы — 26.

Из закона сохранения массы теста = <32 для вытекающего и растекающегося теста при этих допущениях имеем

V^iul2

= ttDV2.

В момент касания тестом формы очевидно й = В и поэтому при і = 0 справедливо выражение

У2(1 = —.

4 6

При достижении фронтом растекающегося теста границы круговой области, т. е. при і = іі,

V2 = VX

d2

ADS'

Считая движение равнозамедленным, из соответствующих соотношений кинематики перемещения фронта вычислим время

tl =

4 DS D-d V\d D + d'

На границе круговой и кольцевой областей формы также выполняется закон сохранения массы. В этом случае он будет иметь вид <Э2 = <5з или

гк05\г2 = п0^26Уз,

где Б $ — текущий диаметр по кольцевому зазору.

Учитывая, как и ранее, что на границе двух участков й = Дь начальная скорость на кольцевом зазоре определяется соотношением

^30 =

V2

= V!

d2

8 DS'

Для равнозамедленного движения на участке кольцевого зазора время перемещения определим так же, как для круговой области из уравнений кинематики. В результате это время определится соотношением

—

165(D + S)D5 D + 6) '

Общее время заполнения формы можно вычислить суммированием и 42 в виде

і =

4 £><5

Жй

О-(і 45(1)+ <5)

ЇГм + гі(2£) + <5)

Вычисление времени заполнения формы, необходимое для проектирования соответствующего технологического оборудования, как видно из последней формулы, обусловлено значением У].

Изотермический установившийся поток бингамовской жидкости, которой является тесто, в трубе находится под действием тех же сил, что и традиционно рассматриваемые потоки ньютоновской жидкости, однако в данном случае еще добавляется сила тяжести навески теста, находящейся в канала дозатора. Эту добавочную силу учтем как некоторое добавочное давление Ар0.

Тогда в общем виде можно записать, что градиент скорости сдвига пропорционален касательному напряжению:

5г + /0-)- (!)

а п

Для потока, движущегося в цилиндрической трубе,

-%■=Ат). (2)

Если в движущемся потоке жидкости выделить цилиндр длиной I и радиусом г, то этот цилиндр будет находиться в равновесии под действием силы сопротивления, определяемой разностью давлений на обоих концах выделенного элементарного объема, и касательного напряжения, приложенного к его поверхности,

(Ар + Аро)тгг2 — 2пг1т = 0.

Откуда т = 1/2(Др + Аро)г/1. Максимальное напряжение у стенки трубы тст = 1/2(Др + Ар0)11/1, где Я — радиус трубы. Таким образом,

н

(3)

Подставив зависимость (3) в уравнение (2), находим:

(4)

Проинтегрировав уравнение (4), получим распределение скорости в трубе:

]-**> = ] /(Ч)

или

гу = / (гст-^) йг.

(5)

Усек п

! <3 Кек = тг J ъи2Яй г — ж юг2 — J г2й

(7)

При г = Д скорость ги = 0, поэтому уравнение (7) упрощается. Подставив ги из уравнения (5), имеем:

я

Кек = 7Г J Г2/ (т-ст-^) с! Г. о

Поскольку г = 11т/тсг [из уравнения (3)], то

ТСт

Кек = I т2/(т)с1т. (8)

^С'Г <'

О

Подставив в уравнение (8) /(г) в соответствии с реологической моделью различных групп неньютоновских жидкостей, получим расчетные уравнения для ламинарного движения в цилиндрической трубе.

Для бингамовских пластичных жидкостей

Откуда

т -т0 = рп

сі иі

СІ п

т - То = /Іпл [ I при То < т < тст, (9)

причем /(г) = 0 при 0 < Т < То-Известна схема движения бингамовской жидкости в трубе, когда напряжение т падает до нуля в центре трубы, но существует зона (вблизи осевой линии), где отсутствует скорость сдвига. При подстановке функции (9) в уравнение(8) получим:

Уг.е.К --------

7ГД3

J т2 ■ Ой т + I

.0 то

т2 ■ Осі т + / т2 (------------------------------- ) СІ т

(10)

После интегрирования имеем:

Мпл Тст

т-уТо

или

Усе. К -

7гД3Тг.

4^п

1 4 7§ 1 / Гр

3 тст 3 у тст

(11)

(12)

Подставив в выражение (12) тст = 1/2(Др+ Ар0)Я/1, получим уравнение, определяющее связь между расходом Усек бингамовских жидкостей (при их ламинарном течении по цилиндрической трубе) и перепадом давления (Ар + Ар0),

Объемный расход жидкости, проходящей через элементарный объем,

с1 Кек = ы2ттгй г. (6)

Интегрируем уравнение (6) по частям:

4

1 - -

Кек —

21т0

7гД3(Др + Др0).

8/іп

1

+ -

3 (Ар + Ар0)11 3 \ (Ар + Ар0)

21то

(13)

где дпл — пластическая вязкость; то — предел текучести.

Учитывая, что Усек = У\, задачу определения времени заполнения формы можно считать решенной.