CC BY
45
УДК 66.045.123
DOI: 10.17277/vestnik.2016.02.pp.255-263
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НАГРЕВАНИЯ ВОЗДУХА КОНДЕНСИРУЮЩИМСЯ ПАРОМ В ДВУХТРУБНОМ ТЕПЛООБМЕННИКЕ
А. Б. Голованчиков1, С. Б. Воротнева1, Н. А. Дулькина2
Кафедра «Процессы и аппараты химических и пищевых производств», ФГБОУ ВО «Волгоградский государственный технический университет» (1);
ФГУП «Всероссийский научно-исследовательский институт авиационных материалов» (2), г. Волгоград; pahp@vstu.ru
Ключевые слова: аналитическое решение; граничное условие; двухтрубный теплообменник; продольная теплопроводность; тепловой баланс; число Пекле.
Аннотация: На основании элементарного теплового баланса выведено уравнение зависимости влажности конденсирующего пара и температуры нагреваемого воздуха с учетом продольной теплопроводности и представлено новое граничное условие для градиента температуры воздуха на выходе из двухтрубного теплообменника. Получено аналитическое решение дифференциального уравнения второго порядка, определяющего зависимость температуры воздуха по длине труб. Проведены сравнительные расчеты параметров теплообменников для различных структур потоков теплоносителей: идеального вытеснения, смешения и с учетом продольной теплопроводности, которые показали, что расчет по типовому алгоритму (идеальному вытеснению) при значениях числа Пекле Ре < 12 приводит к заниженным величинам поверхности теплопередачи и длины теплообменника.
Существующие алгоритмы расчетов двухтрубных теплообменников предполагают наличие двух крайних случаев: отсутствие продольной теплопроводности ^ 0, Pe = vL/at ^ ® - идеальное вытеснение; ^ Pe = vLfk{ ^ 0 - идеальное смешение. В реальных теплообменниках структуру потока целесообразно описывать с учетом продольной теплопроводности по аналогии с массообменными аппаратами и реакторами, где она учитывается продольной диффузией [1 - 7].
Составим элементарный тепловой баланс для сечений I-I и II-II, расположенных на расстоянии dl друг от друга (рис. 1). Пар не меняет свою температуру td, но, конденсируясь, увеличивает влажность W, а воздух, двигаясь со скоростью v, изменяет температуру t за счет теплопередачи и скорости продольной теплопроводности ut. Тогда получаем
Gcpt + GdrdW + utS = Gcp ^ t + |d/ j + Gdrd f W + dW dl j + ^ + ^dl js j.
После алгебраических преобразований с учетом модифицированного уравнения продольной теплопроводности, аналогичного первому закону Фурье-Кирхгофа [1, 2]
ut i , (1)
Gj, tj гл W
ZZZZZZ2
zzzzzzzzzzzz
e
t
T2
dt
W+™dt
dt
t>t+—Ldi > dt
d£
I II
Рис. 1. К выводу дифференциальных уравнений теплового баланса и теплопередачи с учетом продольной теплопроводности
получаем дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
SX
d 2t
1 dt
dt
"p'dl
= Gcp — - Gdrd
dW dl
или при переходе в безразмерный вид по координате l, x = l/L
d 2t dx 2
= pe Ё. J Gd
dx v G
( \
d
cp
v p J
pe
dW dx
где а{ = ^/ерр - коэффициент продольной температуропроводности. Проинтегрируем по параметрам t и Ж последнее уравнение
G
' d Тг dWdx
,c„ Н dx v p J 0
f d 2t , „ r dt , „ (Gd I—- dx = Pe I—dx - Pel d dx2 dx \
t0 t0
и, обозначив градиент температуры g = dt/dx, получим уравнение связи влажности и температуры воздуха
g - gо = Pe(( - to)- Pe(G или с учетом граничного условия на входе [1 - 3]:
х = 0 tn = t0 - -1 g(
Pe
( \
d
v p
W
g = Pe((-tn)-Pe| GGf
( \ rd
cp v p
W.
Так как уравнение интегрального теплового баланса имеет вид
Сйгй = °ер - tn )=
когда Ж = 1 и t = то есть весь пар превращается в конденсат, то
(2)
(3)
(4)
gk = pe((k - tn)- pe
Gcr
Совместное решение последних двух уравнений приводит к граничному условию на выходе для градиента температуры:
х = 1, gk = 0. (5)
Выведем дифференциальное уравнение теплового баланса для нагреваемого воздуха с учетом передачи тепла от конденсирующегося пара за счет теплопередачи (см. рис. 1)
ОсрХ + + Кп(ё + Ь)и( -1) = Оср I X + — М I +1 их + М р,
которое с учетом уравнения (1), нормировки по длине и вышеприведенных обозначений числа Пекле Ре и коэффициента продольной температуропроводности а( принимает вид
ё2Х = ре Ж 4(ё + 5)тКх (( t) (б)
dx2 ёх ё 2срр
После замены переменных у = td-1 получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка
ё2 у „ ёу —2 - Р^ - ду = 0, ёх2 ах
4Ре(ё + 5)т К _Я1
где д =-2-'— , которое имеет аналитическое решение в виде [8]
ё СрР
X = Хё + С1еГ1Х + С2е Г2 х, (7)
где _
Ре \( Ре I2
1,2 = т + д, (8)
а постоянные интегрирования С1 и С2 находятся из граничных условий (2) и (5).
Ниже представлен алгоритм расчета зависимости температуры нагреваемого воздуха от относительной длины.
Первый блок формул традиционный и связан со стандартными расчетами параметров двухтрубного теплообменника как идеального вытеснителя, прежде всего расхода греющего пара, коэффициентов теплопередачи и среднего времени пребывания тг. Профиль температур воздуха по длине двухтрубного теплообменника найдем из уравнения (6), приняв Ре = 0. Тогда
* = К ( -х)
ёх ё 2срр
и после разделения переменных и интегрирования получим среднее время пребывания нагреваемого воздуха во внутренней трубе
т = сррё2 Г
2 4К{ (ё + 5) Itё - Хк у
а длину 1Г = т^.
Второй блок расчетов:
1) задаемся временем пребывания тё > тг, например, повышаем его на каждой ступени расчета на 1 %;
2) для каждого тё определяем д, а по формулам (8) корни характеристического уравнения Г1 и г2;
3) постоянные интегрирования С1 и С2 находим из граничных условий на выходе: х = 1, t = 4 и с учетом уравнения (7)
Хк = Xё + С^ + С2еГ2 х. (10)
Взяв производную по х от уравнения (7), получаем
И = ^ = С^е^ + С^е^, (11)
ах
которое с учетом граничного условия (5) принимает вид
0 = СЛе 1 + С2 г2е Г2. (12)
Из совместного решения (10) и (11) получаем алгебраические выражения
С1 = (1к - 1а)ехр(- Г1 У(1- (л/Г2));'
С2 =-С1ехр(г1 - г2 )(Г1/г2);
4) по формулам (7) и (11) проводим расчеты для х = 0
10 = + С1 + С2
И 0 = С1Г1 + С2Г2
и сравниваем tnг = /0-(д0/Ре) с tn. Если они отличаются по абсолютной величине не более заданного значения, например
8 =
100% < 1%, (13)
то расчеты заканчиваем, если последнее условие не выполняется, то увеличиваем та на 1 % и повторяем пункты 2 - 4 до выполнения условия (13).
В таблице 1 приведены исходные и справочные данные, табл. 2 - основные расчетные параметры двухтрубного теплообменника для нагревания дутьевого воздуха котельных конденсирующим паром, причем результаты расчетов приведены в сравнении модели продольной теплопроводности при Ре = 7,2 с идеальным вытеснением Ре ^ ® (к{ ^ 0) и идеальным смешением Ре ^ 0 (к{ ^ да).
Таблица 1
Исходные и справочные данные
t — t
lnr ln
tn
Наименование параметра Размерность Обозначение Величина
1 2 3 4
Исходные данные
Производительность по нагреваемому
воздуху, движущемуся во внутренней
трубе кг/ч G 25
Начальная температура нагреваемого
воздуха °С tn 20
Конечная температура нагреваемого
воздуха °С tk 150
Справочные данные [9, 10]
Температура греющего насыщенного
водяного пара °С td 169,6
Удельная теплота конденсации кДж/кг rd 2057
Плотность конденсата кг/м3 Pd 897
Динамическая вязкость конденсата Па-с ^d 2,110-4
Теплопроводность конденсата Вт/(м-К) ^d 0,679
Давление насыщенного водяного пара атм Pd 8
1 2 3 4
Теплоемкость нагреваемого воздуха при средней температуре Дж/(кг-К) ср 1040
Теплопроводность воздуха при средней температуре Вт/(м-К) 1 3,6-10-2
Вязкость воздуха при 0 °С Па-с 1,946-10-5
Температурный коэффициент вязкости воздуха К-1 а 1,310-3
Коэффициент объемного расширения воздуха К-1 ß 3,66-10-2
Внутренний диаметр внутренней трубы м d 6,5-10-2
Толщина стенки трубы м 5 510-3
Теплопроводность стальной стенки Вт/(м-К) ^w 46,2
Термическое сопротивление отложений (Вт/(м2-К))-1 rs 410-4
Таблица 2
Основные расчетные параметры двухтрубного теплообменника
Наименование Размерность Обозначение Величина
параметра * и.в. Pe = 7,2 * и.с.
1 2 3 4 5 6
Расход греющего пара кг/ч Gd 1,69 1,69 1,69
Средняя движущая сила теплопередачи °С At 64 55,3 19,6
Средняя температура нагреваемого воздуха °С ts 105,6 114,3 150
Удельная тепловая мощность Вт/м2 q 699,2 597 208,5
Коэффициент теплопередачи Вт/(м2-К) K 10,9 10,8 10,63
Число Рейнольдса воздуха - Re 6096,4 6028 5754,2
Скорость воздуха при средней температуре м/с v 2,25 2,3 2,51
Длина теплообменника м 6,23 7,61 21,1
Температура воздуха на входе °С t0 20 51 150
Скачок температуры нагреваемого воздуха на входе °С At0 0 31 130
Градиент температуры нагреваемого воздуха на входе °С g0 313,2 236,2 0
1 2 3 4 5 6
Среднее время пре-
бывания нагревае- с т 2,77 3,3 8,41
мого воздуха в цен-
тральной трубе
Коэффициенты - q - 9,2 -
расчетного уравнения (7) - п - -2 -
- r2 - 18,4 -
°С C1 - -3,54-10-4 -
°С C2 - -118,96 -
*и.в. - идеальный вытеснитель; и.с. - идеальный смеситель
Очивидно, что при Ре = 7,2 с учетом продольной теплопроводности длина теплообменника и соответственно его теплопередающая поверхность должна быть увеличена на 20 % по сравнению с идеальным вытеснителем, когда Ре ^ да, а скачок температуры на входе составит 31 °С. На рисунке 2 представлены графики изменения температуры t нагреваемого воздуха по длине двухтрубного теплообменника I, где продольная теплопроводность сначала имеет высокую скорость нарастания температуры по длине, а затем данная скорость замедляется вплоть до нуля при I = 7,6.
Рассчитаны зависимости длины 1Г двухтрубного теплообменника и температуры на входе ^ от числа Пекле продольной теплопроводности (рис. 3).
Результаты расчетов показали, что при Ре > 12 увеличение длины теплообменника с продольной теплопроводностью по сравнению с типовым расчетом, соответствующим идеальному вытеснению, не превышает 10 % и теплообменник можно считать по типовому алгоритму. Однако при уменьшении числа Пекле Ре < 12 расчет может приводить к значительному занижению поверхности и дли-
t, °С
tk 14012010080 -
60 -t<> 40 -
20 -
1
2 3
4
5
6 7
I,
8
9 20
€з 21
l, м
Рис. 2. Профили температур нагреваемого воздуха по длине двухтрубного теплообменника:
1 - идеальный вытеснитель, Ре ^ да; 2 - с учетом продольной теплопроводности, Ре = 7, 2; 3 - идеальный смеситель, Ре ^ 0
3
t
0
Рис. 3. Зависимость длины (1) двухтрубного теплообменника и входной температуры нагреваемого воздуха (2) от числа Пекле:
3а - длина идеального вытеснителя; 3б - входная температура воздуха в идеальном вытеснителе; * - параметры при Pe = 7,2
ны при использовании типового алгоритма. При Pe = 1 необходимая длина увеличивается с 6,2 до 11,8 м, то есть более, чем на 90 %, а температура на выходе t0 за счет обратной продольной теплопроводности с 20 до 110 °С, то есть в 5,5 раз.
Список литературы
1. Левеншпиль, О. Инженерное оформление химических процессов / О. Левеншпиль ; под ред. М. Г. Слинько. - М. : Химия, 1969. - 624 с.
2. Кафаров, В. В. Методы кибернетики в химии и химической технологии / В. В. Кафаров. - М. : Химия, 1985. - 379 с.
3. Полянин, А. Д. Реакционно-диффузионные уравнения с задержкой по времени / А. Д. Полянин, А. И. Журов, А. В. Вязьмин // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2015. - Т. 21, № 1. - С. 71 - 77.
4. Влияние структуры потоков на эффективность конвективного теплообмена в трубчатых аппаратах / В. П. Захаров [и др.] // Теорет. основы хим. технологии. - 2004. - Т. 38, № 5. - С. 528 - 531.
5. Бобылев, В. Н. Тепловой расчет подогревателя с учетом структуры потока теплоносителя / В. Н. Бобылев // Хим. пром-ть сегодня. - 2009. - № 7. - С. 45 - 50.
6. Efficient Surfaces for Heat Exchangers Fundamentals and design / E. K. Kalinin, [et al.]. - New York; Wallingford : Begell House, 2002. - XIX. - 392 p.
7. Голованчиков, А. Б. Моделирование гидромеханических и тепломас-сообменных процессов в аппаратах и реакторах : монография / А. Б. Голованчи-ков, Н. А. Дулькина, Ю. В. Аристова ; ВолгГТУ. - Волгоград, 2013. - 140 с.
8. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. -8-е изд. - М. : Наука, 1966. - 870 с.
9. Павлов, К. Ф. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии : учеб. пособие для вузов / К. Ф. Павлов, П. Г. Романков, А. А. Носков ; под ред. чл.-кор. АН России П. Г. Романкова. - 10-е изд., перераб. и доп. - М. : Альянс, 2013. - 576 с.
10. Мищенко, К. П. Краткий справочник физико-химических величин / К. П. Мищенко, А. А. Равдель. - 7-е. изд., испр. - Л. : Химия, 1974. - 200 с.
Simulation of Heating Air in Double-Pipe Enclosed Heat Exchanger Using Condensing Vapor
A. B. Golovanchikov1, S. B. Vorotneva 1, N. A Dulkina2
Department of Processes and Devices of Chemical and Food Production, Volgograd State Technical University (1); All-Russian Research Institute of Aviation Materials (2), Volgograd; pahp@vstu.ru
Keywords: analytical solution; double-pipe enclosed heat exchanger; heat balance; limiting condition; Peclet number; longitudinal thermal conduction.
Abstract: We derived the dependence equation of moisture condensing vapor and the heated air temperature given the longitudinal thermal conduction on the basis of the elementary heat balance, and obtained a new limiting condition for the temperature gradient of air at the output of the double-pipe enclosed heat exchanger. We obtained an analytical solution of the differential equation of the second order, which determines the dependence of the air temperature along the length of the pipes. We carried out the comparative calculations of heat exchangers parameters for different flow structures of heat carriers: plug flow, perfect mixing and flow of the longitudinal thermal conductivity. The calculation according standard algorithms (plug flow) in the Peclet number Pe < 12 leads to underestimation of the values of the heat transfer surface and the length of the heat exchanger.
References
1. Levenshpil' O. Inzhenernoe oformlenie khimicheskikh protsessov [Engineering design of chemical processes], Moscow: Khimiya, 1969, 624 p. (In Russ.)
2. Kafarov V.V. Metody kibernetiki v khimii i khimicheskoi tekhnologii [Cybernetics methods in chemistry and chemical engineering], Moscow: Khimiya, 1985, 379 p. (In Russ.)
3. Polyanin A.D., Zhurov A.I., Vyaz'min A.V. [Time-Delayed Reaction-Diffusion Equations], Transactions of Tambov State Technical University, 2015, vol. 21, no. 1, pp. 71-77. (In Russ., abstract in Eng.)
4. Zakharov V.P., Minsker K.S., Berlin Al.Al., Shevlyakov F.B. [Effect of the flow pattern on the convective heat transfer efficiency in tubular apparatuses], Teoreticheskie osnovy khimicheskoi tekhnologii [Theoretical Foundations of Chemical Engineering], 2004, vol. 38, no. 5, pp. 528-531. (In Russ., abstract in Eng.)
5. Bobylev V.N. [Thermal design of the heater, taking into account the structure of the coolant flow], Khimicheskaya promyshlennost' segodnya [Chemical Industry Today], 2009, no. 7, pp. 45-50. (In Russ.)
6. Kalinin E.K., Dreitser G.A., Kopp I.Z., Myakotchin A. S. Efficient Surfaces for Heat Exchangers Fundamentals and design, New York; Wallingford: Begell house, 2002, XIX, 392 p.
7. Golovanchikov A.B. Dul'kina N.A., Aristova Yu.V. Modelirovanie gidromekhanicheskikh i teplomas-soobmennykh protsessov v apparatakh i reaktorakh [Modeling of hydro and heat and mass transfer processes in devices and reactors], Volgograd: VolgGTU, 2013, 140 p. (In Russ.)
8. Vygodskii M.Ya. Spravochnik po vysshei matematike [Directory of higher mathematics], Moscow: Nauka, 1966, 870 p. (In Russ.)
9. Pavlov K.F., Romankov P.G., Noskov A.A. Primery i zadachi po kursu protsessov i apparatov khimiche-skoi tekhnologii: ucheb. posobie dlya vuzov [Examples
and problems at the rate of processes and devices of chemical engineering: a textbook for high schools], Moscow: Al'yans, 2013, 576 p. (In Russ.)
10. Mishchenko K.P., Ravdel' A.A. Kratkii spravochnik fiziko-khimicheskikh velichin [Quick Reference physico-chemical variables], Leningrad: Khimiya, 1974, 200 p. (In Russ.)
Modellierung des Prozesses des Lufterwärmens von dem kondensierenden Dampf im Doppelrohrwärmeübertrager
Zusammenfassung: Aufgrund des elementaren thermischen Bilanzes ist die Gleichung der Abhängigkeit der Feuchtigkeit des kondensierenden Dampfes und der Temperatur der erwärmenden Luft mit Rücksicht auf die Längswärmeleitfähigkeit herausgeführt und es ist die neue Grenzbedingung für den Gradienten der Lufttemperatur auf dem Ausgang aus dem Doppelrohrwärmeübertrager erhalten. Es ist die analytische Lösung der Differentialgleichung der II. Ordnung, die die Abhängigkeit der Lufttemperatur nach der Länge der Rohre bestimmt, erhalten. Es sind die vergleichenden Berechnungen der Parameter der Wärmeüberträger für die verschiedenen Strukturen der Ströme der Wärmeträger durchgeführt: der idealen Verdrängung, der Vermischung und unter Berücksichtigung der Längswärmeleitfähigkeit, die gezeigt haben, dass die Berechnung nach dem typisierten Algorithmus (der idealen Verdrängung) bei den Bedeutungen der Zahl von Peclet Pe < 12 zu den unterbewerteten Größen der Oberfläche der Wärmeübertragung und der Länge des Wärmeübertragers bringt.
Modélisation du processus du réchauffement de l'air par le vapeur condensant dans l'échangeur de chaleur à deux tubes
Résumé: A la base de la balance thermique élémentaire est déduite l'équation de la dépendance de l'humidité du vapeur condensant et de la température de l'air chauffé en tenant compte de la conductivité thermique longitudinale; est reçue une nouvelle condition de limite pour le gradient de la température de l'air à la sortie de l'échangeur de chaleur à deux tubes. Est reçue la solution analytique de l'équation différentielle de II ordre définissant la dépendance de la température de l'air le long des tubes. Sont mentionnés les calculs comparatifs des paramètres d'échangeurs de chaleur pour de différentes structures des courants des échangeurs de chaleur.
Авторы: Голованчиков Александр Борисович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Процессы и аппараты химических и пищевых производств»; Воротнева Светлана Борисовна - аспирант кафедры «Процессы и аппараты химических и пищевых производств», ФГБОУ ВО «Волгоградский государственный технический университет»; Дулькина Наталия Александровна -ученый секретарь научно-технического совета, ФГУП «Всероссийский научно-исследовательский институт авиационных материалов», г. Волгоград.
Рецензент: Фоменков Сергей Алексеевич - доктор технических наук, профессор кафедры «Системы автоматизированного проектирования и поискового конструирования», ФГБОУ ВО «Волгоградский государственный технический университет», г. Волгоград.
