CC BY
17
Yurik Elena Alekseevna, candidate of technical sciences, docent, EAYu-rik@,gmail. com, Russia, Kaluga, Kaluga branch of Bauman Moscow State Technical University named after N.E. Bauman
УДК 621.0:519.873
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОБСЛУЖИВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА С НЕОБЕСЦЕНИВАЮЩИМИ ОТКАЗАМИ МЕТОДОМ ПУТЕЙ
М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Д.В. Заморёнова, А. А. Скидан
Приведен метод путей, позволяющий моделировать процесс функционирования полумарковских систем. Выполнено моделирование процесса функционирования обслуживающего устройства с учетом необесценивающих отказов. Выполнено сравнение предложенного метода моделирования и известного метода, основанного на уравнениях марковского восстановления.
Ключевые слова: полумарковская система, метод путей, повторные попадания, необесценивающие отказы, обслуживающее устройство.
При создании нового автоматизированного оборудования широкое распространение получили автоматизированные системы технологической подготовки производства. Причем одним из основных этапов его создания является моделирование процесса функционирования указанного оборудования, обеспечивающее получение необходимых характеристик [1 - 7].
В данном случае остановимся на моделировании производительности функционирования обслуживающих устройств (ОУ) с учетом надежности. Под ОУ понимаются производственные и информационно вычислительные модули, на основании моделирования которых создается модель производственной или информационной системы в целом. Желательно иметь наиболее полную характеристику производительности - время цикла обслуживания единицы продукции. При этом необходимо учитывать стохастический характер как самого времени обслуживания, так и времен наработки на отказ и восстановления. В результате моделирования необходимо определить функцию распределения времени цикла обслуживания единицы продукции с учетом отказов и восстановлений. Этому вопросу посвящен ряд работ [8 - 14]. Однако по-прежнему, остаются нерассмотренными многие аспекты.
Целью данной статьи является определение точного вида ФР времени цикла обслуживания единицы продукции обслуживающим устройством при необесценивающих отказах, с использованием аппарата полумарковских процессов. Под необсценивающими отказами понимают отказы,
при которых процесс обслуживания прерывается, а после окончания восстановления - обслуживания продолжается с учетом времени прерванного обслуживания.
Формализуем постановку задачи. Опишем функционирование рассматриваемого элемента [8-10]. Время обслуживания единицы продукции ОУ - СВ а1 с ФР ) = Р{а1 £ ^. Время безотказной работы ОУ - СВ
а2 с ФР Г2(£) = Р{а2 £ 0, время восстановления ОУ - СВ Ь2с ФР ож) = Р{Р2 £ 0. СВ а1, а2, Р2 предполагаются независимыми, имеющими конечные математические ожидания и дисперсии; у ФР ), Г2(7), 02^) существуют плотности /1(1),/),g2^). При отказе ОУ обслуживание единицы продукции прерывается, после восстановления его работоспособности обслуживание продукции продолжается с учетом времени прерванного обслуживания.
Необходимо определить ФР Г0 (I) СВ 0 -времени цикла обслуживания единицы продукции ОУ с учетом его отказов, математическое ожидание и дисперсию указанной СВ, а также производительность ОУ.
Для описания функционирования системы используем процесс марковского восстановления (ПМВ){Хп,0п;п > 0} и соответствующий ему полумарковский процесс (ПМП) ) [15] с состояниями:
10х - ОУ работоспособен, началось обслуживание очередной единицы продукции; время, оставшееся до отказа ОУ, равно х > 0;
11х - мгновенное состояние, соответствующее моменту окончания обслуживания единицы продукции; время, оставшееся до отказа ОУ, равно х>0;
20х - произошло восстановление работоспособности ОУ и продолжено прерванное обслуживание единицы продукции; время, оставшееся до окончания прерванного обслуживания, равно х > 0 ;
21х - произошел отказ ОУ, обслуживание единицы продукции прервано; время, оставшееся до окончания прерванного обслуживания, равно х>0.
Временная диаграмма функционирования ОУ приведена на рис.1, граф переходов системы - на рис. 2.
10х 11х 11х 11х 21х 20х 11х 11х 21х 20х 21х 20х 11х 11х
10х 10х 10х 10х 10х 10х 10х
Рис. 1. Временная диаграмма
72
Фазовое пространство состояний имеет вид
Е={10х, 11х, 20х, 21х}.
20х
Рис. 2. Граф состояний
Решение для Р^) ФР времени цикла обслуживания ОУ с учетом его отказов, полученное известным методом, использующим УМВ, приведено в [11]:
Ш = _^_[Мх2?1(0 + \т2{х)(1х\Мз)0~2{Г - +
Ма2 0
оо t__/ / . _
+ I - Х^'^Су - *)<?2(/ -
.Г 5
Однако приведенное решение является приближенным, так как основано на использовании классического метода последовательных приближений для решения УМВ. Авторами предлагается метод, в дальнейшем называемый методом путей, позволяющий найти точное решение данной задачи. В целом, метод путей носит общий характер, и в данной статье рассматривается пример его конкретной реализации. Необходимо отметить, что путь в графе - это последовательность вершин, имеющая для каждой вершины ребро, соединяющее её со следующей вершиной в последовательности [16-19].
Метод состоит из следующих этапов.
Этап 1. Определяются ФР времен пребывания в состояниях, вероятности переходов и стационарное распределение ВЦМ для полумарковской системы с непрерывными состояниями.
Этап 2. Переход от системы с непрерывными состояниями к системе с дискретными состояниями е М+. При этом определяются ФР времен пребывания системы в новых дискретных состояниях, вероятности перехода Ру из этих состояний в другие состояния (переходные вероятности) удельные частоты р7- попадания в состояния (стационарное распреде-
ление ВЦМ) и стационарные вероятности пребывания в состояниях (стационарное распределение ПМ процесса). Процедура проводится известными методами моделирования ПМ систем.
Этап 3. Выделение всех возможных путей перехода системы из подмножества М+ в подмножество М _. Причем, каждое состояние системы входит в один или несколько путей сразу.
Этап 4. На основании формулы полной вероятности [20] определяются ФР времен пребывания системы в каждом из путей, а также веро-Т
ятности Р^ каждого из путей.
Этап 5. Находим ФР времени пребывания в М+ вне зависимости от начального состояния, которая определяется, как взвешенная сумма
(смесь) ФР каждого из путей. Коэффициентами смеси служат найденные
Т
на пятом шаге вероятности Р\ реализации путей.
Рассмотрим реализацию предложенного метода для моделирования системы, граф которой представлен на рис.2.
Опишем плотности и вероятности переходов ВЦМ:
р\0Уу=/1( х _ у^0 < у <х; №=/1( х+у^ у >0; Р20х=/2(х _ у),0 < у <х; р20ух = /2(х+y), у > РА0хХ = 1; Р2\ХХ = 1.
Обозначим Рю(х),рц(х),р20(х),Р21(х) плотности стационарного распределения для состояний 10х, 11х, 20х, 21х соответственно. Система интегральных уравнений для плотностей стационарных распределений имеет вид
¥ ¥ Р11( х) = ! /1( у _ х)р10( у)ф + | /2( х + у )р 20 (у )Ф;
х 0
¥¥
Р 21( х) = | /2( у _ х)Р 20( у¥У + | /1( х + У )Р10( УШ
х0 Рю( х) = Рп( х); Р20( х) = Р21(х);
¥
! (Р10( х) + Р11( х) + Р 20 (х) + Р 21( х)^ = 1.
0
Решение этой системы определяется формулами
Р10(х) = Р11(х) = Р0Ё2(х); Р20(х) = Р21(х) = Р0Ё1(хХ где Р 0 - находится в явном виде из условия нормировки. Времена пребывания в состояниях:
и10х = х А«1; и11х = 0; и21 у =р2; и20 у = у Аа 2. ФР времен пребывания в состояниях:
Ё 10 х (г) = 1х (г) • Ё1 (г); Ё1у (г) = С2 (г); Ё 20 у (г) = 1 у (г) • Ё2 (г).
Как было указано выше, осуществим переход к эквивалентной системе с дискретными состояниями. Граф такой системы аналогичен графу (см. рис. 2) и представлен на рис. 3. Как видно из рис. 3, у состояний графа отсутствуют непрерывные компоненты, то есть система является дискретной. Для перехода к дискретной системе используется алгоритм фазового укрупнения (АФУ), предложенный в [9].
21 ( ) ( ) 11
10
Рис. 3. Граф состояний системы с дискретными состояниями
Необходимо определить вероятности переходов, стационарное распределение ВЦМ и ФР времен пребывания системы в дискретных состояниях 10 и 20 системы по формулам [9]:
|р (¿х)Р(х9Ег)
Ек
?кг=—-7—ч--(!)
Ы*)=Ек / ч (2)
А Р (Ек)
Для состояния 20
оо
Р21 = Р20 = Р0 = Р0^а1 •
0
21 11
По формуле (1) находим вероятности переходов Р20 и ^20 :
оох 00
Ро /1 /2 (* - у)р 1(х)4у<1х | /ч (х)с/х
р21 00__ 0_
^20 ----■
Ро^ та1
оооо сю
Ро П /2 (* + у)Г\(ХУЬ'^Х 1 {х)с1х
Р11 _ 00__ о_
^20 ----
РО»7«!
Найдем ФР времени пребывания системы для в дискретном состоянии 20, используя (12)
Ро | F 1(х )йХ[1 - 1х (г )• F 2 (г | Р 1(х - 1х (г )• F 2 (г )]/х
р20 (г )—^-= ^-.
Ро^а1 та1
Проведя преобразования, получим
_ г _ та1 ¥2 (г) + Р 2 (г Fl(x )/х
^20 (г ) =- 0
ma1
Для состояния 10
¥
Р11 =Р10 =Ро í F2(x)dx = poma2 • 0
21 i i
По формуле (11) находим вероятности переходов ро и Рю
¥ X ¥
Ро íí fl(x - У)F2(x)dydx í Fi(x)F2(x)dx
P11 _ 00__ 0_
P20 _-_-•
Р0 ma 2 ma 2
¥¥ ¥ Р0 í í f1 (x + y)F2 (x)dydx í F1 (x)F2 (x)dx
р21 _ 00__ 0_
Р20 ----•
Р0та2 та2
Найдем ФР времени пребывания системы для в дискретном состоянии 10, используя (2),
Р0 | Р2 (х)^х[1 - 1х (г )• Р1(г )]ах | Р 2 (х )^Х [1 — 1х (г )• Р1(г )]ах
(г)—^ - 0
Р0та2 ma2
Проведя преобразования, получим
_ t _ та 2 F1 (t) + F1 (t )í F 2 (x)dx
F10 (t)_-5-.
ma 2
Определим ФР времен пребывания системы в состояниях 21 и 20 системы с учетом повторных попаданий по формуле (1):
F 2 (s) _ F20(s) F20( s)
c20 -(c20 - 1)f20 (s) 76
ГТТР г2 _ Р20 где с20 - 11
Р20 • PÍO Р20
F2\(S)- ™
2 P21 1 где = К21и=-й-
P21 ' ^20 ^20 Имеются два подмножества:
М+ ={10,21,20} и М_ ={11}. Определим пути выхода системы в подмножество М_ (рис. 4):
={%%}> Щ ={510^215205пК W2 ={^105215205215205ll}-
Остальные пути образовываются при повторном попадании системы в состояния S21 и S2Q -
Рис. 4. Траектории выхода системы из подмножества М+ ={l 0,21,20}
Введем гипотезы реализации каждого из путей: #0 - система попала в состояния S21 и ^20 0 раз (путь 0); Н\ - система попала в состояния ¿>21 и S20 по 1 РазУ^ Н2 - система попала в состояния S21 и S20 по 2 Раза^ #3 - система попала в состояния S21 и ^20 по 3 раза; Нп - система попала в состояния S21 и S20 по п Раз-Тогда вероятности реализации каждого из путей будут
P(H0) = Pl¿- Р(Я1)=Р12о1Р21О1;
Р^гЬ^-Н1)-^)1; ^3) = p12o1(P22O1F-P21O1;
РШп) = Р\20 ■ fe1} ' Р20 ■
77
Определим ФР времен пребывания системы в каждом из путей:
% о (г )=Ао(г); % 1 (г ) = Ао (г )*( /^ )* /21 (г)); /ж 2 (г ) = До (г )*( /21 (г )* /21 (г ))2; /ж з (г ) = Ао (г )*( /21 (г )* /21 (г ))3;
(г ) = Ао (г )*( /21 (г )* /21 (г )Г, где * - знак операции свертки.
Тогда суммарная ФР времени пребывания системы в подмножестве М+ примет вид
»11 £ М, Г>21 г>11 ^-1 (г (Л^ г (л\п
Fs(t) = P0 • F10(t)+ Po • Po ' IP 20) '(/21 (t)*/2l(t))" *Fw(t),
И=1
где * - знак операции свертки.
Перейдя в область изображение по Лапласу, получим
>11 т? (Л, г>21 „11 ^Ín21 (г (Л г (Л\п
Fs(s) = Ло ■ ^o(s) + < ■ P20 ■ IP20 ) '(/2l(s)-/2l(s))" ■ Fw(s).
n=1
Учитывая, что второе слагаемое представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем р и первым членом Ao
Р = P22o' ■ /21 (s )■ /21 (s); Ao = P'2o' ■ P20 ■ /21 (s )■ /21 (s )■ Flo (s),
имеем
Fs(s) = P/o1 ■ ^(s) + P- ■ f^/.¡s)'^).
1 - P20 ■ /21 (s )■ /21 (s)
Результаты сравнения полученных двумя методами ФР F^(t) и Fq(t) представлены на рис. 5.
Исходными данными для моделирования служат ФР F1 (t), F2 (t) и G2 (t), распределенные по закону Эрланга второго порядка с параметрами u, l, m соответственно причем
/1 (t) = u2 ■ t ■ *-u t; /2 (t) = 12 ■ t ■ *; g2 (t) = m2 ■ t ■ *-И,
где и =2 (ч-1); l = o,o5 (ч-1); m =1 (ч-1).
На рис. 5, а показано, что результаты моделирования предложенным точным методом и приближенным практически совпадают. Увидеть разницу в кривых можно только при Юй-кратном увеличении на рис. 5, б.
г
а
б
Рис. 5. Сравнение результатов моделирования классическим приближенным методом последовательных приближений и предлагаемым точным методом: а - при обычном масштабе; б - при 100-кратном увеличении; 1 - решение приближенным методом; 2 - решение предлагаемым
точным методом
Математическое ожидание и дисперсия СВ е -времени цикла обслуживания единицы продукции ОУ с учетом его отказов, определенные двумя методами:
известным методом, использующим УМВ,
те= 0,52500 ч; £>е = 0,26941ч2; 79
предлагаемым методом
шъ= 0,52499 ч; = 0,27175 ч2.
Представленных результаты показывают, что математические ожидания ФР времени цикла обслуживания единицы продукции, полученных классическим методом с использованием УМВ и, предложенном авторами, методом путей практически совпадают, а относительная погрешность моделирования по дисперсии составляет менее 1 %, что доказывает правильность предложенного метода.
В дальнейшем планируется апробация предложенного в статье метода путей для моделирования систем контроля и технического обслуживания информационных и производственных комплексов различных структур.
Исследования выполнены при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации по базовой части государственного задания №2014/702 проект № 3858 и при поддержке гранта РФФИ № 15-01-05840.
Список литературы
1. Прейс В.В. Модели и оценка надежности роторных систем автоматической загрузки с функциональными отказами // Автоматизация и современные технологии. 2002. № 10. С. 3 - 8.
2. Прейс В.В. Модели и оценка надежности роторных систем автоматической загрузки с параметрическими отказами // Автоматизация и современные технологии. 2003. № 1. С. 9 - 15.
3. Прейс В.В. Надежность автоматических роторно-конвейерных линий для сборки многоэлементных изделий // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2003. № 10. С. 17 - 22.
4. Прейс В.В., Ядыкин Е.А. Теоретические основы и методы технического диагностирования многоканальных технологических систем роторных машин. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. 72 с.
5. Прейс В.В. Надежность роторных систем автоматической загрузки. Тула: Изд-во ТулГУ. 2012. 120 с.
6. Ядыкин Е.А., Прейс В.В. Теоретические основы технической диагностики автоматических роторных и роторно-конвейерных линий в массовых производствах // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. Вып. 10. С. 9 - 20.
7. Ядыкин Е.А., Прейс В.В. Оценка структурной надежности многоканальной части автоматических роторных линий на стадии проектирования // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып.11. Ч. 2. С. 437 - 443.
8. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наукова думка, 1982. 236 с.
80
9. Королюк В.С. Стохастические модели систем / отв. ред. А.Ф. Турбин. Киев: Наукова думка, 1989. 208 с.
10. Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Стохастические модели автоматизированных производственных систем с временным резервированием. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. 284 с.
11. Броди С.М., Власенко О.Н., Марченко Б.Г. Расчет и планирование испытаний систем на надежность. Киев: Наукова думка, 1970. 192 с.
12. Obzherin Yu.E., Boyko Ye.G. Semi-Markov Models. Control of Restorable Systems with Latent Failures. Elsevier, Academic press, USA, 2015. 214 p.
13. Peschansky A. I. Semi-Markov Models of One-Server Loss Queues with Recurrent Input. Germany: LAMßERT Academic Publishing, 2013. 138 p.
14. Ямпольский Л.С., Банашак З. Автоматизация проектирования и управления в гибком автоматизированном производстве Киев: Тэхника, 1989. 214 с.
15. Ченгарь О.В., Савкова Е.О. Графоаналитическая модель загрузки гибких производственных модулей автоматизированного технологического участка машиностроительного предприятия // Вестник Восточноук-раинского национального университета имени Владимира Даля: научный журнал. Луганск. 2011. № 13(167). С. 239 - 245.
16. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 272 с.
17. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Энергоатомиздат, 1988. 480 с.
18. Евстигнеев В. А. Применение теории графов в программировании / под ред. А.П. Ершова. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. 352 с.
19. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник для вузов. 6-е изд. стер. М.: Высш. шк., 1999. 576 c.
20. Копп В.Я., Обжерин Ю.Е, Песчанский А.И. Моделирование автоматизированных линий: монография. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2006. 240 с.
Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доц., zamoryonoff@,gmail.com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, проф., v_kopp@mail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Заморёнова Дарья Викторовна, канд. техн. наук, доц., zamik@Mkr.net, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Скидан Александр Антонович, канд. техн. наук, доц., skidan 7@mail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет
FUNCTIONING MODELING OF SERVICE FACILITY WITH NON-DEVALUATIVE FAILURES USING ROUTE METHOD
M.V. Zamoryonov, V.Ya. Kopp, D.V. Zamoryonova, A.A. Skidan
A trajectory method allowing to model the functioning process of the semi-Markov systems is presented. The functioning modeling of the service facility with allowance for non-devaluative failures is performed. The comparison of the proposed modeling method and a well-known one, based on Markov renewal equations, is demonstrated.
Key words: semi-Markov system, trajectory method, repeated enterings, non-devaluative failures, service facility.
Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryo-noff@gmail.com, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v kopp@ mail.ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Zamoryonova Darya Viktorovna, candidate of technical sciences, docent, za-mik@,ukr.net, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Skidan Aleksandr Antonovich, candidate of technical sciences, docent, skidan 7@mail.ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University
УДК 669.18
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ ПРИ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ СТАЛЬНЫХ СЛИТКОВ
А.И. Вальтер, А.Н. Творогов
Разработана математическая модель расчета конвективных скоростей вторичной зоны охлаждения слитка стали, полученного методом непрерывной разливки. Численная реализация модели проводилась с использованием пакета ЛШУБ.
Ключевые слова: слиток, кристаллизация, конвективные скорости, теплопе-ренос, математическая модель.
Методы физического и математического моделирования широко применяются при исследовании процессов разливки и затвердевания слитков в изложницах [1].
Ключевыми вопросами в оптимизации технологии изготовления слитка обозначим исследование циркуляции жидкого металла при заливке и его последующее охлаждение, анализ температурных полей и условий теплообмена при кристаллизации слитка с учетом естественной конвекции расплава, расчет осевой усадочной пористости, прогнозирование структуры литого металла.
