CC BY
10433 (384) - 2014
ЭК9помиК9-математическде
моделирование
УДК 519.86
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА НА ОСНОВЕ ИНФОРМАЦИОННО-СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА
Д.А. ГАРАНИН,
кандидат экономических наук, заведующий кафедрой предпринимательства и коммерции E-mail: garanin@kafedrapik.ru
Н.С. ЛУКАШЕВИЧ,
кандидат экономических наук, доцент кафедры предпринимательства и коммерции E-mail: lukashevich@kafedrapik.ru Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Существуют известные методологические трудности, связанные с управлением инвестиционным процессом. Разработку этих вопросов следует вести на основе информационно-статистических методов с учетом фактора неопределенности и рисков. Предлагается теоретическая постановка информационно-статистических моделей оценки денежных потоков. Для моделирования жизненного цикла инвестиционного проекта предлагается и апробируется дискретно-непрерывная модель на основе аппарата Марковских цепей. Апробируется методика многокритериального позиционирования инвестиционных проектов.
Ключевые слова: инвестиционный проект, инвестиционный процесс, неопределенность, распределение, вероятность
В последнее время наблюдается тенденция возрастания интереса к вопросам обоснованности
инвестиций как в нашей стране, так и за рубежом. В этих условиях понятным является стремление организаций уменьшить возможные риски при рассмотрении вопросов, связанных с перспективами развития бизнеса. Традиционно сформировался и закрепился (в том числе и законодательно) основной состав показателей, используемых для оценки инвестиций: чистая текущая стоимость NPV, срок окупаемости, внутренняя норма доходности IRR, рентабельность инвестиций ROI. Есть устойчивое понимание вопросов дисконтирования инвестиционных затрат и доходов. При этом существуют известные методологические трудности, связанные с процессом инвестирования, в частности, с его управлением. Непроработанными и одними из ключевых остаются вопросы прогнозирования инвестиционных затрат и доходов от инвестиций, прогнозирования длительности жизненного цикла
инвестиционных процессов, проработки методов определения их структуры и параметризации, определения глубины ретроспекции и верификации прогнозов, оценки результатов и выбора альтернатив, определения интенсивности инвестиционных процессов на предприятии.
Существует немало исследований, в которых рассматриваются проблемы моделирования, оценки и прогнозирования параметров инвестиционных проектов, в том числе в условиях неопределенности. Концептуальные основы и опыт осуществления инвестиционной деятельности освещены П.И. Вахриным, Л.В. Давыдовой, А.Г. Ивасенко, Л.Л. Игониной, В.В. Ковалевым, А.Л. Лазаренко, Б. Санто, Б. Твиссом и другими отечественными и зарубежными авторами. Современные проблемы в подходах к оценке инвестиционных проектов, а также необходимость развития методологии отмечают А.В. Воронцовский, П.Л. Виленский, В.Н. Лившиц, С.А. Смоляк.
В работе [4] А.А. Воробьева выделяет категорию инвестиционных проектов, характеризующихся неопределенностью графика реализации. Для данной категории проектов построена оптимизационная модель денежных потоков, которая позволяет определить оптимальный график расширения проекта за счет реинвестирования прибыли. Построенная модель была дополнена описанием функциональных зависимостей неопределенных параметров графика реализации проекта.
В работе [2] П.В. Аниканов исследует проблему моделирования жизненного цикла инвестиционного проекта. Автор вводит понятие вариативного инвестиционного плана, оценив прогнозные вероятностные параметры каждого из варьируемых факторов и заменив в инвестиционном плане базовые ожидаемые значения основных факторов эффективности инвестиционного проекта вариативными формулами. В результате моделирования получены гистограмма распределения вероятностей возникновения чистого денежного потока и динамика ожидаемого накопленного денежного потока по проекту с доверительными интервалами.
В статье [1] Л.А. Мыльников рассмотрел алгоритм на основе моделирования выживаемости инвестиционного проекта, позволяющий оценить время для принятия управленческого решения при снижении прибыли, получаемой от реализации проекта.
Обзор и анализ методологических вопросов теории выбора и принятия решений в области
управления инвестиционным процессом выявили необходимость учета фактора неопределенности [5, 7, 10, 11]. Разработку этих вопросов предлагается вести на основе информационно-статистических методов и моделей принятия решений, которые успешно применяются в решении задач управления товарным ассортиментом [6], с учетом фактора неопределенности и рисков, с построением адаптивных моделей прогнозирования. В математическом отношении применение данного подхода выражается в разработке и применении вариационных принципов, определяющих выбор математических моделей, которые должны содержать информацию не более того количества, которым располагает исследователь, и в разработке методов оценивания экономических показателей, статистическое обследование которых затруднено малым объемом наблюдений, старением ретроспективной информации и другими факторами, обусловленными необходимостью применения нетрадиционных методов математической статистики, построенной на асимптотике [8].
В исследовании рассмотрены три проблемы управления инвестиционным процессом, которые, по мнению авторов, являются первостепенными для принятия рациональных инвестиционных решений.
Первая проблема связана с моделированием (прогнозированием) выручки (дохода) как денежного потока, который обусловливает основные показатели эффективности инвестиционного проекта. С одной стороны, на практике незначительное отклонение фактически получаемой выручки от прогнозируемой может привести к неэффективности инвестиционного проекта. С другой стороны, традиционный способ прогнозирования выручки, исходя из производственных мощностей организации, не учитывает изменения в структуре и динамике спроса, особенно в случае инновационных проектов и продуктов, когда маркетинговая стратегия организации реализуется в условиях ограниченной информации и высокой степени неопределенности.
Вторая проблема связана с понятием и моделированием жизненного цикла инвестиционного проекта. По аналогии с классической концепцией жизненного цикла товара инвестиционный проект можно рассматривать как совокупность стадий, для каждой из которых существует комплекс управленческий решений. Отсюда возникает проблема опре-
деления текущей стадии и вероятностей перехода с одной стадии на другую, в том числе на стадию ликвидации проекта.
Третья часть исследования относится к проблеме многокритериального позиционирования инвестиционных проектов. Многокритериальное позиционирование применяется в связи с необходимостью многоаспектной оценки объекта. Обычно такие условия складываются тогда, когда для принятия решения инвестору, помимо частных критериальных оценок, необходимо учесть и другие обстоятельства, количественно оценить которые не удается.
Информационно-статистические модели оценки денежных потоков. Для бизнес-планирования необходимо располагать информацией о предполагаемой выручке (доходе) организации TR. Выручка является основным денежным потоком от операционной деятельности организации, который определяет ключевые технико-экономические показатели инвестиционного проекта (бизнеса). Выручка как основной параметр для оценки эффективности инвестиционных проектов зависит от многих факторов, в том числе от производственной мощности организации, ценовой политики, рыночных цен, спроса.
В зависимости от располагаемых исходных данных, т.е. условий решаемой задачи, можно оказаться в различных информационных ситуациях, которым соответствуют свои постановки и оригинальные решения. Так, ситуацию можно описать в статике или динамике, в условиях недостатка информации, в условиях волатильности спроса и предложения, при этом необходимо учитывать вероятностный характер рассматриваемых величин.
Стохастическое усреднение выручки. С математической точки зрения зависимость дохода, отнесенная к единице времени, определяется следующим образом:
т = | P(Q)dQ,
где Р(д) - функция цены спроса;
Q - объем спроса на товар в единицу времени.
Очевидно, что в условиях конкуренции и динамичного рынка цена и объем спроса проявляют себя как случайные величины, законы распределения которых идентифицировать затруднительно. Поэтому представляется целесообразным с вероятностной точки зрения определить вероятность получения выручки TR не меньше заданной.
Если известна полная информация о законах распределения цены и объема спроса, эта вероятность может быть оценена в результате усреднения закона распределения цены спроса с учетом плотности распределения объема спроса
P = | G(pЖp)dp, (1)
п
где П - область определения случайной величины
р;
G(p) - закон распределения объема спроса; ф(р) - плотность распределения объема спроса, выраженная в цене товара. Однако анализ реальной ситуации на рынке не позволяет достаточно надежно определить эти законы распределения. Ситуация может характеризоваться наличием полной информации о законе распределения объема спроса и неполной - о законе распределения цены, и наоборот, или наличием неполной информации об обоих законах. С другой стороны, по результатам анализа равновесного состояния рынка можно определить средние значения цены тр и объема спроса Шд. Очевидно, что с помощью зависимости (1) необходимо предварительно
выбрать модель закона и (или)
. При такой
постановке задачи для выбора G(p) целесообразно воспользоваться принципом максимума неопределенности [8, 9].
Для описания закона распределения объема спроса воспользуемся распределением Рэлея:
ф( Р) = ~Р2 ехр с
2с2
где с - параметр распределения, однозначно определяемый по выборке через математическое ожидание или дисперсию.
В качестве меры неопределенности выберем энтропию Шеннона (в дифференциальной форме)
[5, 8]:
( \
ф( рЖ р)
да
|ф( рШ р^р
-1п
Ф( рШ р)
да
|ф( рШ р^р
V 0
Ар (2)
и далее решаем вариационную задачу, обеспечивающую максимум функционала (2) при дополнительных условиях:
да [1 - G( р)]' dp=да g (*=1; (3)
J [1 - G( p)]pdp = J g (p) pdp = m p.
(4)
Учитывая тот факт, что величина р = |ф( р^( p)dp
о
может изменяться в пределах [0,1], то, задавшись требуемой точностью, поставленную задачу можно решить приближенным методом в следующей последовательности. На первом шаге присвоим величине Р минимальное положительное значение Р^п. Тогда функционал (2) примет следующий вид:
Н = -
JС Ф(P)G(P)ln[Cj ф(p)G(p)] dp,
где c1 =
P .
m]n
Согласно известным теоремам вариационного исчисления, для нахождения экстремали G*(p) в условиях (3) и (4) необходимо максимизировать выражение
L = ~сг ф(p)G(p)ln[Cj ф(p)G(p)] -Vlg(p) -v2g(p)p, где v1, v2 - неопределенные множители Лагранжа.
Для составления уравнения Эйлера предварительно определим соответствующие частные производные от функции Лагранжа: dL
— = -С Ф(P)ln[Ci Ф(p)G(p)] - С1ф(p);
dG
dL dg
= -V1 V2 P.
Это приводит к уравнению Эйлера для экстремали
с ф(р)1п[с ф(p)G(р)] + с:ф(р) -V2 = 0. (5) Из уравнения (5) после очевидных алгебраических преобразований получаем искомое выражение для экстремали в следующем виде:
G* (p) = -
1
-exp
сЖ p)
-1
(6)
P = ^
1 M
7 J exp
.¿Ж p)
-1
dp.
р)
Используя условие (3) можно определить v2. На каждом последующем шаге, осуществляя приращение параметра с{ _ с._1 + Ас, по зависимости (6) определяем экстремаль G*(p). Затем на основании критерия Н* = тах{Н*.} получаем искомое
.=1,п
выражение экстремали G*(p). И, следовательно, вероятность (1) при соответствующих исходных данных может быть оценена путем вычисления интеграла вида
Описанная статичная постановка, очевидно, малопригодна для прогнозирования и может служить лишь для оценки вариантов, экономические характеристики которых фиксированы во времени. Для решения прогностических задач рассмотрим динамическую постановку.
Учет динамики спроса и предложения. Формализация процесса динамического взаимодействия рыночных понятий спроса и предложения может быть осуществлена в терминах теории систем массового обслуживания. Для этого достаточно интерпретировать известные положения теории к рассматриваемой задаче [3].
Одной из характеристик системы массового обслуживания является вероятность пребывания ее в свободном состоянии. В терминах формулируемой задачи она будет означать вероятность существования неудовлетворенного спроса на продукцию данного вида. Тогда при дисциплине обслуживания с отказами аналитическое решение для данной вероятности может быть записано в виде [3, 8]
Р(() = т+—Ь + - ехр[_(Х + -) ¿]1, (7)
где - - интенсивность удовлетворения спроса на
товар;
X - интенсивность спроса на товар.
Интенсивности в выражении (7) в сформулированных условиях представляют собой величины, обратные средним значениям числа запросов на товар и числа продаж (удовлетворения), получаемых от торгующих организаций. Зависимость (7) экспоненциальна во времени и достигает стационарного решения в установившемся режиме.
Статистическая постановка. Как показывает практика, реалии рынка гораздо сложнее и более насыщены неопределенными факторами. Поэтому представление процесса принятия инвестиционного решения с позиций теории математической статистики выглядит более объективным. Традиционными критериями принятия статистических решений являются ошибки первого и второго рода. Для инвестиций, в частности, они означают последствия, выраженные в упущенной выгоде или прямых потерях от неудачных инвестиций.
При наличии данных о распределениях спроса и предложения имеется возможность принятия статистических решений. Для этого достаточно представить, что инвестиционный процесс можно рассматривать в терминах статистической постановки. Пусть случайный спрос на товар характеризуется
1
V
2
V
2
1 0
V
Рис. 1. Статистическое принятие инвестиционного решения q(x) - плотность распределения случайного предложения;
Дх) плотность распределения случайного спроса;
V - объем инвестиций, необходимых для производства
плотностью распределения Дх). В то же время случайное предложение данного товара может быть описано с помощью плотности распределения q(x). Тогда принятие решения сопровождается некоторыми рисками, которые могут быть представлены в терминах теории принятия статистических решений. Графически такой процесс может быть интерпретирован так, как это представлено на рис. 1.
Идеальной для инвестора является ситуация, когда спрос и предложение по некоторому параметру или параметрам совпадают (равновесное состояние) не только в фиксированных значениях, но и по их рассеиванию. В этом случае ни одна из сторон не рискует и не терпит убытков. Две другие крайности характеризуются либо полным покрытием существующего спроса гарантированным предложением с неминуемым избытком, либо превышением спроса над предложением, порождающим дефицит.
В соответствии с известными положениями теории принятия статистических решений, произведя инвестиции, необходимые для производства, объемом V, инвестор рискует понести потери из-за недовложения средств с вероятностью
а =
■
(8)
или из-за неучета части спроса с вероятностью
■
(9)
■
В статистических решениях часто приходится идти на компромисс между приемлемым уровнем ошибок первого (8) и второго (9) рода, для инвестиций означающий равновесное состояние. На
практике это часто определяется разной скоростью изменения спроса и предложения товара. Таким образом, в данной постановке решение зависит от того, насколько точно представлены законы распределения Дх) и q(x).
Теория принятия статистических решений по малому числу наблюдений, для многих задач которой типична неасимптотическая постановка проблем, в настоящее время еще нуждается в научном обосновании и разработке. Сложность постановки и решения задач построения наилучших оценок при данном объеме статистического материала обусловлена тем обстоятельством, что искомое решение часто в сильной степени зависит от конкретного типа распределения, объема выборки и не может быть объектом достаточно общей математической теории. Предлагаются различные методы и подходы к решению, основанные на тех или иных допущениях. Однако более объективным следует признать направление, использующее принцип максимального извлечения информации о свойствах исследуемого объекта из имеющихся (хотя и немногочисленных) опытных данных.
В последнее время получил развитие подход к решению данной задачи, который предполагает построение ж-критериев согласия, инвариантных к параметрам законов распределения [5, 8], так как по малым выборкам практически всегда можно сформировать такую статистику, которая будет зависеть только от стандартных случайных величин (нормальных, равномерно распределенных, экспоненциальных и др.) и не будет зависеть от параметров распределения генеральной совокупности. Более эффективным в сформулированных условиях является подход, основанный на применении непараметрических статистик и элементов теории стохастической индикации [7]. Сущность данного подхода заключается в том, что по малым выборкам, представленным в виде вариационного ряда, практически всегда можно найти такое преобразование, в результате которого получится статистика, не зависящая от параметров распределения генеральной совокупности. Функцию распределения такой статистики представляется целесообразным определять в результате статистического
моделирования, если аналитическое построение ее затруднено. В основе подхода лежит понятие стохастического супериндикатора. Стохастический супериндикатор представляет собой выражение, определяющее вероятность события, исход которого зависит от соотношения двух или нескольких случайных величин.
Основой построения преобразования служит вариационный ряд х(т) - х2т) - ... - ХТ , составленный из выборки независимых случайных величин х1, х2,..., хт. Плотность совместного распределения членов вариационного ряда определяется выражением
т
I(Х1, Х2 ^ Хт ) = Т!П 1 (X ^
1=1
где I(х..) - плотность распределения случайной
величины х .
1
Нивелировать параметры распределения генеральной совокупности можно, подвергнув члены вариационного ряда промежуточному преобразованию. Так, для выборки случайных величин х. объемом т = 2 из генеральной совокупности с экспоненциальным законом распределения такое преобразование имеет вид
К = х;
Действительно, применив обратное преобразование Н.В. Смирнова к случайным величинам х1 и х2, получим следующее выражение:
К = 1п(1 _а1) 1п(1 _а2)'
которое не зависит от параметров экспоненциального распределения, но зависит только от случайных величин ах - а2, равномерно распределенных с совместной плотностью вероятности /а (а1, а 2) = 2!
Увеличение наблюдений в выборке позволяет строить совокупность промежуточных преобразований по аналогичной схеме. Такая совокупность характеризуется интегральной функцией совместного распределения
G (К i, / = 1, т _ г), где г - число параметров распределения генеральной совокупности.
Процесс формирования супериндикатора 5 и его функции распределения ^(5) и основанного на нем непараметрического критерия согласия для некоторых основных законов распределения генеральной совокупности подробно изложены в работах [8, 9].
Дискретно-непрерывные модели инвестиционного процесса. Процесс инвестирования можно представить в виде последовательной смены стадий жизненного цикла: предынвестиционной, инвестиционной, стадии развития и стадии завершения проекта. Несмотря на то, что процесс этот непрерывный, можно с уверенностью утверждать, что все из перечисленных стадий будут иметь свои особенности и могут быть смоделированы разными законами развития. Это позволяет рассматривать их по отдельности как дискретные состояния системы, хотя споры о непрерывности и дискретности моделей экономического развития ведутся по сей день. Наглядное представление о жизненном цикле инвестиций дает так называемый финансовый профиль инвестиционного процесса, представленный на рис. 2.
В соответствии с профилем рассматриваемому случайному процессу можно поставить в соответствие следующие дискретные состояния по аналогии с представленными в работе [6]: _ состояние 51 характеризуется затратами на проведение исследований, проектных и предпроек-тных изысканий, отрицательным денежным потоком, которые могут быть и не восполнены; _ состояние 52 характеризуется значительными инвестиционными затратами и отрицательным денежным потоком. Отличительная особенность - возможность с достаточной степенью уверенности предсказывать длительность стадии и величину затрат; _ состояние 53 характеризуется финансовыми поступлениями, незначительными затратами и
Время
Рис. 2. Модель жизненного цикла инвестиций (финансовый профиль инвестиционного проекта): 51-54 - дискретные состояния
X X X
«1 12 к 23 к 34 к
Источник: [6].
Рис. 3. Граф состояний инвестиционного проекта: Б^-« - состояния системы; д1-д4 - переходные вероятности;
Х12, Х23, Х34 - интенсивности перехода
положительным приростом денежного потока. Эта стадия связана с текущей деятельностью предприятия (проекта);
- состояние « характеризуется незначительными финансовыми поступлениями, незначительными затратами и отрицательным изменением денежного потока;
- состояние « - выход из проекта, его ликвидация, сворачивание. Как правило, характеризуется отрицательным денежным потоком, связанным с убытками от ликвидации.
Граф состояний инвестиционного проекта в этом случае представлен на рис. 3.
Для адекватного описания исследуемого процесса с учетом реально существующей информации об интенсивностях перехода системы из одного состояния в другое Х.. (/, i + 1) и переходных вероятностях 4. представляется целесообразным использовать аппарат дискретных цепей Маркова с нечетко определенными матрицами, случайным числом переходов и математических моделей стохастических систем с дискретными состояниями и непуассоновскими переходами. При моделировании с помощью цепей Маркова в качестве исходной информации могут выступать теоретические представления и экспериментальные сведения об объекте моделирования. В тех случаях, когда отсутствует количественная информация о значениях элементов матрицы, целесообразно использование так называемых оценок Фишборна или их модификаций. Так, если рассматриваемая система может находиться в одном из возможных состояний, то для этих состояний может быть дано отношение порядка предпочтения «4 > «3 > «2 > «. Это отношение означает, что нахождение системы в состоянии «4 после очередного шага перехода в состояние
наиболее вероятно, чем переход из состояния «3 в состояние и т.д. Отношению порядка предпочтения соответс-
2(к - , +1)
твует оценка Фишборна 4, - —————,
к (к +1)
, = 1, 2,..., k (для рассматриваемого случая ц4 = 0,4, ц3 = 0,3, ц2 = 0,2, = 0,1).
Вероятности пребывания проекта в состояниях графа, изображенного на рис. 3, можно описать следующей системой дифференциальных уравнений Колмогорова, удовлетворяющей начальным условиям: р1 (0) -1, р2 - р3 - р4 - р5 - 0
и условиям нормировки
I р, -1:
(10)
р --Х12(р - 41);
Р2 -Х12 (Р1 - 41 ) Х23 (Р2 - 42 );
Р3 - Х23 (Р2 - 42) - Х34 (Р3 - 4з );
Р4 -Х34(Р3 - 43);
р5 - р4 + 44.
Решение системы (10) для вероятностей р. при постоянных значениях интенсивностей перехода Х.. не вызывает принципиальных трудностей и может быть получено операторным методом. Если интенсивность перехода системы из состояния Б. в состояние «г+1 зависит от времени, то для решения может быть использован метод операторных рядов [6].
Интенсивность Хи+1 перехода проекта из состояния Б. равна обратному значению среднего времени его пребывания в предшествующем состоянии Б Например, наибольший интерес с точки зрения решения вопросов управления инвестициями представляет вероятность нахождения проекта в состоянии «3. Последовательно решая дифференциальные уравнения (10), можно найти искомую вероятность р3:
р - 41 + (1 - 41КХ2'; Х12 (1 - 41 )
р2 -
Х
42 +-
Х -Х
23 12
(е~Х2' - ');
р3 - 43 +Х3 - е"
')
Х12 (1 - 41 ) Х -Х
23 12
+ 42
42
Х
Однако следует заметить, что интенсивности 4 являются интегральными характеристиками
воздействия внешней среды и не могут быть достаточно надежно определены на начальных этапах. Детально моделировать динамику проекта на рынке и анализировать влияние вариаций потоков событий на оценку продолжительности денежных
-1
потоков может обеспечить метод, базирующийся на рандомизации интенсивностей перехода X¿, ¿+1 и последующем осреднении вероятностей состояний S с учетом маргинального (частного распределения) параметров X7, ¿+1, или метод рандомизации чисел псевдосостояний [6].
В первом случае для определения плотности маргинального распределения _ДХ) формируется зависимость (интегральное уравнение Фредгольма первого рода) с ядром, равным характеристической функции распределения Эрланга порядка п и правой частью, равной эмпирической характеристической функции:
п
| (1 - 7 ¿X-1 Уп/(X-1)ЛX-1 = п - £ вщ, (11) 0 к=1 где Т1,...,Тп - выборка продолжительности инвестиционных проектов.
Для решения уравнения (11) могут быть использованы метод подбора, методы регуляризации А.Н. Тихонова, квазиобращений, квазирешений и др. Сущность метода псевдосостояний состоит в том, что состояние системы, потоки переходов из которой не являются Марковскими, за счет расширения числа состояний системы реальные процессы удается свести к Марковским. Чтобы добиться статистической эквивалентности исходной информации о времени пребывания системы в определенном состоянии преобразованной случайной величины, необходимо найти закон распределения числа псевдосостояний (порядок потока Эрлангарп). Очевидно, что такой закон распределения рп должен удовлетворять по определению эмпирической характеристической функции следующему уравнению -дискретному аналогу уравнения (11):
да 1 п
£ (1 - 7 ¿X-1 )-пРп = - £ ^ . (12)
п=0 п к=1
Используя метод моментов и постулируя вид закона распределения рп, решение уравнения (12) можно приблизить с достаточно высокой степенью точности.
В качестве примера рассмотрим приложение введенных в рассмотрение моделей для оценки вероятности перехода проекта из состояния S3 в состояние S4. Для этого рассмотрим динамику денежных потоков в течение года:
- июнь 2012 г. - 5 млн руб.;
- июль 2012 г. - 6 млн руб.;
- август 2012 г. - 9 млн руб.;
- сентябрь 2012 г. - 5 млн руб.;
октябрь 2012 г. - 2 млн руб.; ноябрь 2012 г. - 5 млн руб.; декабрь 2012 г. - 5 млн руб.; январь 2013 г. - 5 млн руб.; февраль 2013 г. - 3 млн руб.; март 2013 г. - 10 млн руб.; апрель 2013 г. - 2 млн руб.; май 2013 г. - 8 млн руб. Статистическая обработка представленных данных дает следующие результаты:
математическое ожидание интенсивности денежных потоков mX = 2,84 мес.; среднеквадратические отклонения интенсивности денежных потоков с = 1,64 мес.
с.
Коэффициент вариации vX = — = 0,58, что
т
позволяет аппроксимировать плотность распределения /(X-1) гамма-распределением и представить уравнение (11) в следующем виде:
(1 ■„х-)-И 0*4 т" г-"1 ё X-. = ± £
Г(т) 12 '
где ц - коэффициент масштаба; т - коэффициент формы; Г(т) - гамма-функция.
Разложив левую и правую части этого уравнения в ряд Тейлора и приравняв коэффициенты при членах с соответствующими степенями, можно получить следующую систему уравнений:
(I - „гг "^) ёX-' = -1 £
Г(т) 12 к£ '
1 (1
10
2(т +1)т=е^- ]+с2,.
ц2 "
Решая эту систему уравнений, находим:
т=
ц =
2E2[X■1 ] ; с^ - Е2 [X-1 ];
2E[X■1 ] с^ - Е2^-1 ].
Таким образом, для рассматриваемого случая параметр формы т = -2,56 мес., а параметр масштаба ц = -5,68 мес. Если система находится в состоянии S3 (р3 = 1), то переход ее в состояние S4 определяется в результате решения дифференциального уравнения Лр3 = ^р3. Следовательно,
Л
вероятность нахождения системы в состоянии S3 имеет вид р3 (7) = г~и.
Осреднение этой вероятности с учетом полученного закона распределения интенсивности перехода [6] осуществляется следующим образом:
Рз =
] е- ^ = 1
Г(т)
(
V
1 + -
К
Результаты расчетов по полученной зависимости квантилей р соответствующих вероятности р3 нахождения системы в состоянии «53, представлены в табл. 1.
Таким образом, можно утверждать, что через 4,7-5,2 мес. с достаточно большой вероятностью (0,99-0,999) система переходит в состояние S4, которое характеризуется незначительными финансовыми поступлениями, незначительными затратами и отрицательным денежным потоком.
Многокритериальное позиционирование при выборе инвестиционного проекта. Выбор инвестиционного проекта - сложная многокритериальная задача. Наличие нескольких критериев делает возможным использование методов многокритериального позиционирования в графической интерпретации. Но в литературе нет примеров использования матриц или графиков позиционирования нескольких проектов. В связи с этим предлагается рассмотреть возможности графического представления выбора проектов.
Основные проблемы использования метода - это сложность обеспечения сопоставимости относительных показателей эффективности и рисков проектов. Причем вторая составляющая видится наиболее сложной, так как оценка рисков носит субъективный характер, а значит, в значительной степени будет замыкаться на процедуры оценки и правильность (адекватность) применяемых методов шкалирования. Для достижения поставленных целей модель позиционирования должна отвечать определенным требованиям: - результаты моделирования должны быть наглядными и позволять ясно интерпретировать взаимное расположение сравниваемых альтернатив;
Таблица 1 Результаты расчетов по полученной зависимости квантилей ¿р, соответствующих вероятности р3 нахождения проекта в состоянии S:,
Показатель Значение
Рз 0,5 0,1 0,05 0,01 0,001
1, мес. р' 1,35 3,37 3,91 4,74 5,29
- позиционирование в векторном виде (при наличии более двух факторов) должно выполнятся в таком масштабе, который приводил бы все частные критерии к безразмерному виду и отражал интуитивное понимание инвестором их сравнительной важности;
- при использовании качественных критериев они должны быть переведены в количественные оценки;
- формирование критериев позиционирования должно осуществляться на базе относительно однородных или связанных каким-либо логическим основанием факторов.
Приведем пример использования многокритериального позиционирования на условном примере. В качестве параметров сравнения предлагается использовать показатели Р1 (индекс доходности проекта) и R (риск прекращения или убыточности проекта). Если первый показатель практически в обязательном порядке содержится в каждом инвестиционном проекте (в бизнес-плане), то со вторым могут возникнуть трудности оценки субъективной вероятности (например, вероятности катастрофического риска). Обычно подобные задачи решаются экспертным путем с использованием балльных шкал с последующим переводом результатов оценки в процент вероятности. Однако проблема в этом случае заключается в формализации интуитивного подхода, которая проявляется уже на этапе выставления оценок. Более объективным следует признать метод, основывающийся на минимизации участия мнения экспертов. Такой подход требует от экспертов лишь расставить ряд предпочтений по вероятностям, а весовые коэффициенты рассчитываются с использованием принципа максимума неопределенности. Можно утверждать, что в данных условиях наибольшей объективностью обладают оценки Фишборна. Полученные оценки значений вероятностей будут отвечать условию нормировки, при этом они больше будут показывать отличие вариантов, нежели их фактическую вероятность прекращения. Это в свою очередь может затруднить восприятие критерия, поэтому в рассмотрение можно ввести один из существующих (реализуемых или уже реализованных) проектов, что также позволит более объективно посмотреть на проекты с точки зрения доходности и избежать слишком оптимистичных или пессимистичных подборок вариантов. Нормирование показателей Р1 можно не производить.
Существует и другая сложность, связанная с необходимостью учета размера инвестиций, который часто является решающим в выборе проекта. Размер инвестиций можно учесть в качестве дополнительного вектора либо произвести свертку критериев (размер инвестиций и доход инвестора), но нужно помнить, что предпочтения инвестора по размеру инвестиций могут определятся его стратегическими целями. Например, инвестор с небольшими средствами может выбирать проекты с максимальной отдачей при минимальных вложениях, инвестор же с большой суммой может отдавать предпочтение более крупным проектам, хотя и с меньшей доходностью, из-за невозможности распыления своего капитала по большому числу сложно контролируемых проектов. Поэтому рекомендуется сравнивать проекты, сопоставимые по размеру инвестиций (например, разница в инвестициях которых не превышает 5%). Аналогичная проблема может быть и в отношении горизонтов планирования. Для ее решения также рекомендуется выбирать сопоставимые проекты.
Пусть рассматриваются семь сопоставимых проектов А. (/' = 1;7). Показатели проектов следующие: индекс доходности Р1, риск R, внутренняя норма доходности IRR. Без ограничения общности будем считать, что номер проекта соответствует мнению экспертов по риску в порядке убывания, т.е. ранжирование проектов производится в порядке возрастания риска (табл. 2).
Оценки рисков получены по формуле Фишбор-на, индекс доходности и внутренняя норма взяты из показателей проекта. Выполним многомерное позиционирование сначала по двум показателям R и Р1 (рис. 4).
Введение горизонтальной и вертикальной линий раздела требует специальных оговорок. В нашем случае выбрана середина между максимальным и минимальным значениями, но можно взять, например, любое пороговое значение по индексу доходности приемлемое для инвестора. Наиболее привлекательным проектом с точки зрения максимизации доходности при минимальном риске является пятый проект. Однако можно включить в рассмотрение шес-
Таблица 2
0,30
0,25
0,20
Я 0,15
0,10
0,05
0,00 0
Данные по показателям инвестиционных проектов
Показатель Проект
1 2 3 4 5 6 7
Р1 1,7 1,5 1,8 1,1 1,6 1,4 1,2
R 0,25 0,21 0,18 0,14 0,11 0,07 0,04
1Ж, % 10 30 35 20 30 40 45
той проект, поскольку его положение может быть вызвано субъективностью в расположении вертикальной линии. Аналогично можно поступить и в отношении третьего проекта. Эти проекты могут быть дополнительно проанализированы на предмет возможного снижения риска или повышения доходности.
Далее можно рассмотреть подробнее высокорисковые проекты, одновременно являющиеся и более доходными. Для этого построим векторное поле по трем нормированным критериям (рис. 5).
Таким образом, авторами предложены модели, позволяющие принимать рациональные инвестиционные решения, основанные на информационно-статистическом подходе, который ориентирован на использование информации не более того количества, которым располагает исследователь, и оценивание экономических показателей, статистическое обследование которых затруднено малым объемом наблюдений, старением ретроспективной информации.
Отличительными особенностями информационно-статистического подхода к моделированию денежного потока являются, во-первых, возможность оценки вероятности возникновения денежного потока не менее заданной плановой величины в
1 » ^
4 ( 1 3
4 » 5
6
1 » 7
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,9
Р1
Рис. 4. Позиционирование проектов с использованием критериев риска R и индекса доходности Р1: 1-7 - проекты
PI
-1 -2 -----3
Рис. 5. Векторная диаграмма сравнения инвестиционных проектов по нормированным критериям IRR, PI и R:
1-3 - высокорисковые инвестиционные проекты
условиях максимума неопределенности, во-вторых, определения упущенной выгоды и прямых потерь инвестора от неудачных инвестиций.
Дискретно-непрерывная модель жизненного цикла инвестиционного проекта позволяет получать не только вероятности перехода с одного этапа проекта на другой, в том числе на этап ликвидации проекта, но и определять время нахождения проекта на определенном этапе. Возможность моделирования вероятностей перехода с одного этапа на другой является отличительной особенностью по сравнению с подходами, моделирующими вероятность возникновения чистого денежного потока и его динамику. Модель позволяет обоснованно прогнозировать длительность этапов инвестиционного процесса, прекращение проекта и на этой основе принимать решения о поиске новых проектов.
Метод многокритериального графического позиционирования инвестиционных проектов, скорее, не является методом в полном смысле слова. Это технология представления информации для принятия решений, но она может быть весьма полезной там, где применение формальных критериев оценки может привести к отбраковке проектов из-за высокого фактора неопределенности, неточности прогнозных данных или несовершенства подготовленных проектов. При этом необходимо соблюдение некоторых рекомендаций по количеству объектов сравнения, выбору критериев и их количеству, по переводу качественных оценок в количественные, по обеспечению сопоставимости инвестиционных проектов по срокам и размеру инвестиций.
Список литературы
1. АлькдироуР.Х., МыльниковЛ.А. Подход к прогнозированию развития и управления жизненным циклом инвестиционных проектов // Управление большими системами. 2009. № 27. С. 293-307.
2. Аниканов П.В. Оптимизация доходности и риска инновационных проектов на основе моделирования инвестиционного процесса // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. URL: http://www.uecs.ru/uecs-39-392012/ item/1132-2012-03-16-05-26-50.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерное приложения. М.: Высшая школа, 2000. 383 с.
4. Воробьева А.А. Простейшие методы оценки риска инвестиционных проектов в нестандартных ситуациях // Экономический анализ: теория и практика. 2008. № 5. С. 53-55.
5. Гаранин Д.А., Лукашевич Н.С. Оценка инвестиционной привлекательности проектов с использованием обобщенного показателя и снижением уровня субъективности // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. 2013. Т. 2. № 163. С. 103-108.
6. Гаранин Д.А., Лукашевич Н.С. Экономико-математическое моделирование параметров жизненного цикла товара // Экономика и предпринимательство. 2011. № 6. С. 189-193.
7. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Иванцов И.Б. Информационная микроэкономика. Методы анализа и прогнозирования. Ч. 1. СПб: Нордмед-Издат, 1997. 160 с.
8. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Монастырский М.Л. Теоретические основы информационно-статистического анализа сложных систем. СПб: Лань, 1997. 320 с.
9. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Табухов М.Е. Управление в экономических и социальных системах. СПб: Нордмед-Издат, 2001. 248 с.
10. ЛукашевичН.С. Оценка кредитоспособности организаций на основе композиции экспертного и нейросетевого подходов // Финансы и кредит. 2011. № 27. С. 30-39.
11. Лукашевич Н.С., Гаранин Д.А. Выбор местоположения розничных точек на основе системы построения системы сводных показателей // Экономика и предпринимательство. 2013. Т. 7. № 1. С. 288-293.
Economic analysis: theory and practice Economic and mathematical modeling
ISSN 2311-8725 (Online) ISSN 2073-039X (Print)
SIMULATION OF THE INVESTMENT PROJECT PARAMETERS BASED ON THE INFORMATION AND STATISTICAL APPROACH
Dmitrii A. GARANIN, Nikita S. LUKASHEVICH
Abstract
There are many methodological difficulties associated with investment process management. The solution of these issues should involve information and statistical methods taking into account uncertainty and risks. The article presents the theoretical formulation of information and statistical models for cash flow valuation. To simulate the life cycle of an investment project, the authors propose and test a Markov chain-based discrete-continuous model. The authors also test an original technique of multi-criteria positioning of investment projects.
Keywords: investment, project, process, uncertainty, distribution, probability
References
1. Al'kdirou R.Kh., Myl'nikov L.A. Podkhod k prog-nozirovaniyu razvitiya i upravleniya zhiznennym tsiklom investitsionnykh proektov [Approach to predicting the development and management of investment projects' life-cycle] . Upravlenie bol 'shimi sistemami - Large-scale systems control, 2009, no. 27, pp. 293-307.
2. Anikanov P.V [Optimizing profitability and risk of innovation projects based on the investment process modeling]. Upravlenie ekonomicheskimi sistemami: elektronnyi nauchnyi zhurnal. (In Russ.) Available at: http://www.uecs. ru/uecs-39-392012/item/1132-2012-03-16-05-26-50.
3. Venttsel' E.S., Ovcharov L.A. Teoriya sluchainykh protsessov i ee inzhenernoe prilozheniya [The theory of stochastic processes and its engineering application]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2000, 383 p.
4. Vorob'eva A.A. Prosteishie metody otsenki riska investitsionnykh proektov v nestandartnykh situatsiyakh [The simplest methods of investment project risk assessment in substandard situations]. Ekonomicheskii analiz: teoriya i praktika - Economic analysis: theory and practice, 2008, no. 5, pp. 53-55.
5. Garanin D.A., Lukashevich N.S. Otsenka investit-sionnoi privlekatel'nosti proektov s ispol'zovaniem obobsh-chennogo pokazatelya i snizheniem urovnya sub"ektivnosti [Evaluating the investment attractiveness of projects by using a generalized index and a decrease in the level of subjectivity]. Nauchno-tekhnicheskie vedomosti Sankt-Peterburg-skogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universiteta -
Scientific and technical journal of Saint Petersburg State Polytechnic University, 2013, vol. 2, no. 163, pp. 103-108.
6. Garanin D.A., Lukashevich N.S. Ekonomiko-matem-aticheskoe modelirovanie parametrov zhiznennogo tsikla tovara [Economic and mathematical modeling of a product's life cycle parameters]. Ekonomika i predprinimatel'stvo -Economy and entrepreneurship, 2011, no. 6, pp. 189-193.
7. Ivchenko B.P., Martyshchenko L.A., Ivantsov I.B. Informatsionnaya mikroekonomika. Metody analiza i prog-nozirovaniya. Ch. 1 [Information microeconomics. Methods of analysis and forecasting. Part 1]. St. Petersburg, Nordmed-Izdat Publ., 1997, 160 p.
8. Ivchenko B.P., Martyshchenko L.A., Monastyrskii M.L. Teoreticheskie osnovy informatsionno-statisticheskogo analiza slozhnykh sistem [Theoretical framework of information and statistical analysis of complex systems]. St. Petersburg, Lan' Publ., 1997, 320 p.
9. Ivchenko B.P., Martyshchenko L.A., Tabukhov M.E. Upravlenie v ekonomicheskikh i sotsial'nykh sistemakh [Management in economic and social systems]. St. Petersburg, Nordmed-Izdat Publ., 2001, 248 p.
10. Lukashevich N.S. Otsenka kreditosposobnosti organizatsii na osnove kompozitsii ekspertnogo i neiro-setevogo podkhodov [Credit rating of organizations based on the composition of the expert and neural network approaches]. Finansy i kredit - Finance and credit, 2011, no. 27, pp. 30-39.
11. Lukashevich N.S., Garanin D.A. Vybor mestopoloz-heniya roznichnykh tochek na osnove sistemy postroeniya sistemy svodnykh pokazatelei [Selecting retail outlets' location based on a system of consolidated indicators building]. Ekonomika i predprinimatel 'stvo - Economy and entrepreneurship, 2013, no. 1, pp. 288-293.
Dmitrii A. GARANIN
Saint Petersburg State Polytechnic University, St. Petersburg, Russian Federation garanin@kafedrapik.ru
Nikita S. LUKASHEVICH
Saint Petersburg State Polytechnic University, St. Petersburg, Russian Federation lukashevich@kafedrapik.ru
