CC BY
45
электронное научно-техническое издан не
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эя №ФС 77 - 305Б9. Государственная регистрация №0421100025.155Н 1994-040В_
Моделирование механических связей изделия # 03, март 2011 автор: Божко А. Н.
МГТУ им. Н. Э. Баумана
В классической механике под механическими связями принято понимать ограничения, которые накладываются на координаты и скорости механической системы. Математическим описанием таких связей служат системы равенств и неравенств, связывающие скорости, пространственные координаты элементов системы и время. В теоретических исследованиях по технологии машиностроения, где акценты смещены с динамических характеристик системы на ее статическое состояние, этому понятию дается более узкое толкование. Под механическими связями понимают совокупность соединений и сопряжений деталей, которые доставляют машине или механическому прибору геометрическую и функциональную тождественность.
Геометрическая тождественность - это пространственная взаимосвязь деталей, задаваемая конструкторской документацией и достигаемая взаимной координацией деталей. В данной работе рассматривается только это свойство механических систем. Процессы координации деталей и сборочных единиц при обработке, сборке и транспортировке исследуются в разделе технологии машиностроения, который называется теорией базирования [7].
Ограничимся обсуждением механических систем (машин, приборов, аппаратов, установок и пр.), элементы которых могут рассматриваться как твердые тела. Из теоретической механики известно, что любое свободное твердое тело в пространстве имеет шесть
степеней свободы. Оно может перемещаться параллельно трех координатных осей и вращаться вокруг них. Для того чтобы зафиксировать твердое тело, на него необходимо наложить шесть геометрических связей. В технологии машиностроения эти связи называются опорными точками. Для размещения опорных точек требуется выбрать три поверхности детали или заменяющих их совокупности конструктивных элементов (пересечение поверхностей, оси или плоскости симметрии, технологическая разметка и пр.). Поверхность или иной конструктивный элемент, используемый для размещения опорных точек в процессе базирования, называется базой. В технологических исследованиях предложена развитая классификация баз [6], в данной работе будем рассматривать только базы, которые используются для координации деталей и сборочных единиц в составе изделия. Такие базы называются конструкторскими. Главной и высшей таксономией конструкторских баз является их разделение на основные и вспомогательные. Основные принадлежат элементу механической системы (детали или сборочной единице) и служат для определения его положения в составе изделия. Вспомогательные базы - это базы, предназначенные для определения положения присоединяемых элементов (деталей и сборочных единиц).
Таким образом, конструкторские базы представляют собой конструктивно реализованные координатные системы, предназначенные для ориентации и координации деталей в процессе сборки изделия. С точки зрения взаимной скоординированности составляющих элементов, изделие в целом можно рассматривать как совокупность деталей, связанных отношением базирования.
Обозначим через X = {хг}г= множество деталей изделия, а через В - отношение базирования, заданное на этом множестве. Пусть элементы Хг подмножества У С X являются носителями вспомогательных конструкторских баз для некоторого элемента у £ X . Запишем это утверждение в виде В(у) = (у,Х1,...,Хk) . Это означает, что положение собственной системы координат у задается в системе координат (СК), внешней относительно
у, и элементы этой СК принадлежат Хг, г = 1, k . Так как положение каждой детали в пределах изделий определено, то УХя е X существует, возможно, не единственное подмножество Хя = {Хгт}^=1 такое, что В(Хs) = (Хs,Хг1,...,Хгк) е В . Каждая Хт связана с Хs по крайней мере одной координатой, поэтому максимальная длина любого вектора В( Хя) не
превосходит 7. Количество деталей в , распределение координатных связей по элементам и общее число опорных точек детали Хя зависят от конструкции изделия, принятых способов базирования и назначения самой детали Хя .
Все векторы вида
В( Х) обладают свойством перестановочности. Это значит, что если некоторый вектор В(Хя) = (Хя,Хг1,...,Хгк) принадлежит В, то вектор, образованный из В( Хя) перестановкой его элементов жВ( Хя) = (жХя,ЖХп,...,ЖХй), также принадлежит В для любой подстановки Ж порядка к+1, действующей на множестве Xs ^ {Хя} . Это следует из того, что элементы
В( Хя) образуют геометрически определенную группировку деталей, поскольку положение любой Хгт в системе координат, образованной деталями (Хп,..., Хгт -1, Хгт, Хт +1,..., Хгк) , также является определенным.
Алгебраически и комбинаторные свойства объектов, для которых понятие системы координат является осмысленным, изучаются в теории матроидов. Свойство, аналогичное
перестановочности векторов В( Хя), постулируется в теории матроидов как присущее любым координатизуемым системам и называется аксиомой замены Штейница [1]. Из перестановочности векторов В( Хя) следует один очень важный для технологии сборки вывод - разделение баз на основные и вспомогательные не является жестким и однозначным, оно зависит от принятой последовательности установки деталей. Поскольку порядок
перечисления элементов В( Хя) не имеет значения, то будем записывать их в нотации множеств В(Хя) = {Хя, Хп,..., Хгк} и называть В-множествами.
Взаимная скоординированность элементов В-множеств достигается реализацией механических связей, поэтому необходимо предложить математическую модель, которая описывает соединения и сопряжения, существенные для отношения базирования. В [2] показано, что такой моделью может быть представление связей в виде гиперсети.
Гиперсетью называется вектор вида £ = (X V, R, Р, F ,W ), где
X = (XI,... Хп) — множество вершин;
V = ( VI,..., Уд) — множество ветвей;
R = (г1,..., Гт)— множество ребер;
Р — отображения вида Р: V ^ 2Х , ставящее в соответствие каждому элементу V е V множество его вершин Р( V) с X. Тем самым Р определяет гиперграф Р£ = (X ,V, Р) на множестве вершин X;
F — отображение вида F : R ^ 2Р3, сопоставляющее каждому элементу г е Я множество F(г) с V ветвей, причем семейство подмножеств 2Р3 содержит только связные части гиперграфа Р£. Отображение F определяет гиперграф FS = (V, Я, F) ;
W — отображение вида Vг е Я Ж : Я ^ 2Р( Е(г)), сопоставляющее каждому элементу г е Я подмножество Ж(г) с Р(F(г)) с X его вершин, где Р(F(г)) — множество вершин в PS, инцидентных ветвям F(г) с V . Тем самым отображение Ж определяет гиперграф = (X, Я, Ж). Гиперграф PS называется первичной сетью гиперсети S, а гиперграф - ее вторичной сетью.
Изделию X поставим в соответствие гиперсеть £ = (X V, Я, Р, F ,Ж) , в которой:
вершины из X = (Хг}^=1 представляют детали;
множество ветвей V = {у}=1 описывает механические связи, наложенные на детали; Электронный журнал, №3 март 2011г. http://technomag.edu.ru/ Страница 4
каждое ребро г е R, R = {г/}^ соответствует В-множеству деталей.
Отображение Р : V ^ 2 сопоставляет каждой ветви пару деталей, между которыми существует в изделии X механическая связь (соединение или сопряжение), | Р(V) |= 2 .
Таким образом, первичная сеть PS = (XV, Р) представляет собой граф механических связей. Вторичная сеть WS = (X, Я,Ж) гиперсети S связывает детали изделия таким образом, что отображение W каждому ребру г е R ставит в соответствие В-множество деталей. Поскольку в общем случае | W(г) |> 1, то вторичная сеть гиперсети S представляет
собой гиперграф. Так как взаимная скоординированность деталей достигается наложением механических связей, то образами произвольных В-множеств являются связные подграфы первичной сети PS, т.е. условие связности элементов, составляющих семейство
2 , выполняется.
Рис. 1. Чертеж конструкции редуктора
На рис. 1 приведен чертеж конструкции редуктора, а на рис.2 изображена сопоставленная этому изделию гиперсеть. Напомним, что по правилам построения гиперсети деталям конструкции соответствуют вершины. На приведенных рисунках они обозначены одинаковыми номерами. Первичную сеть Р£ образуют все ребра, которые на рис.2 изображены прямыми линиями. Гиперребра вторичной сети изображены сплошными замкнутыми линиями (например, {11, 16, 21}) и жирными линиями. Таким образом, последние обозначают связи, которые входят как в первичную, так и во вторичную сети. Это дублирование необходимо, поскольку точное изображение всех связей чрезмерно усложнит рисунок и затруднит его восприятие.
Рис. 2. Гиперсеть редуктора Первичная сеть Р£ по сути дела представляет собой граф механических связей, свойства которого подробно обсуждались в многочисленных исследованиях по теории проектирования [3,7]. Эта структурная модель не дает точного описания отношения базирования В, поскольку она не способна выделить многоместные группировки детали, являющиеся В-множествами. Кроме того некоторые механические связи не используются для дости-
жения определенности базирования, а выполняют иные функции (устойчивость, кинематические связи и пр.). Адекватной структурной моделью отношения базирования является вторичная сеть Ж£.
Не рассматривая многочисленные конструктивные и технологические закономерности принятия решений при выборе схем базирования, будем считать, что такой выбор осуществлен, а его результаты зафиксированы в структуре вторичной сети Ж£.
Приведем несколько определений из теории гиперграфов [4], которые будут использованы для математического описания таких важных технологических категорий, как последовательность сборки и схема технологического членения (схема разузлования). В этих определениях вторичная сеть рассматривается как просто пример гиперграфа, лишенного фиксированного технологического содержания.
Определение 1:
Подграф Ж£1 = (X1,Я ,Ж) гиперграфа Ж£ = (X,Я,Ж) называется полновершинным суграфом, если X1 = X, Я1 с Я . Иными словами, Ж£ получается из Ж£ удалением ребер, входящих Я\Я1. Такое удаление называется слабым. Подграф Ж£1 = (X1, Я1, Ж1) называется усеченным суграфом гиперграфа Ж£ = (X, Я, Ж), если
X1 = X \ X11, где X11 = {X е X | Зг е Я \ Я1, Ж(X, г) = 1}. Удаление ребер вместе с инцидентными вершинами называется сильным.
Определение 2:
Стягиванием ребра г е Я в гиперграфе Ж£ = (X, Я, Ж) называется операция, состоящая из слабого удаления этого ребра и, в случае X(г) , последующей замены всех вершин X(г) новой вершиной, инцидентной каждому ребру из Я \ {г}, которые в Ж£ были инцидентны, по крайней мере, одной вершине множества X(г). Более фор-
мально: если ЖS1 = (X1,Я1,Ж1) — гиперграф, полученный из ЖS стягиванием ребра г, то
X1 = (X \ X(г)) и {хг}, Хг е X, Я1 = Я \{г},
Vx е X1 \ {хг} и Уг8 е Я1 Ж1 (х, г8) ^ Ж(х, г), У г е Я1 Ж1 (хг, г) ^ Зх е X (г), Ж (х, г) = 1.
Стягивание ребра ге Я может повлечь за собой частичное или полное отождествление вершин во множествах X(и) для других ребер и е Я (но сами эти ребра не удаляются).
Подобные отождествления допускаются лишь как индуцированные стягиванием ребра г, а не в качестве самостоятельных операций.
Определение 3:
Стягивание ребра будем называть нормальным, если степень | X(г) | стягиваемого ребра г е Я в гиперграфе ЖS = (X, Я, Ж) равна 2.
Определение 4:
Все вершины исходного гиперграфа ЖS = (X, Я, Ж) назовем s-вершинами. Кроме того, вершина хг е X, образованная отождествлением двух s-вершин, соединенных ребром
кратности 2, называется s-вершиной.
В процессе сборки изделия происходит реализация механических связей, соединяющих устанавливаемую деталь (сборочную единицу) с «собранным фрагментом изделия» и доставляющих данному элементу определенность геометрического положения относительно системы координат этого фрагмента. Абстрагируясь от конкретных технологических приемов получения соединений и сопряжений, представим реализацию каждой механической связи в виде слабого удаления соответствующего ребра вторичной сети ЖS. Во всех дальнейших операциях установленные элементы выступают как некоторая «целостность».
Это позволяет представить их в виде некоторой s-вершины сети WS, образованной отождествлением всех вершин, инцидентным стянутым гиперребрам.
Итак, процесс сборки изделия X = {х}= можно представить в виде последовательно-
сти стягиваний
Р^) = (WS0...WSN_1} вторичной сети WS = (X,), причем для Р^) долж-
ны выполняться условия:
1. WS0 = WS.
2. WSN _1 представляет собой одновершинный гиперграф, описывающий изделие в сборе;
3. Каждое стягивание ребра является нормальным;
4. Для всех WSj и WSj+1 е P(WS), ] = 0,N _ 2 выполняется соотношение
!Я,!_1 =\Щ+,!•
Рассмотрим более подробно адекватность условия 3, поскольку обоснованность условий 1 и 3 является очевидной, а 4 с необходимостью следует из изложенного материала. Для установки некоторой детали х1 необходимо, чтобы все детали из какой-либо совокупности X., образующей с х1 В-множество, были скоординированы относительно друг
друга. В этом случае они образуют внешнюю систему координат, определяющую положение х1. По определению гиперсети S В-множествам деталей соответствуют ребра вторичной сети WS, а скоординированность деталей из X. означает, что все механические связи, наложенные на элементы из X., реализованы. Иными словами, осуществлены операции слабого удаления ребер, описывающих эти связи, и отождествление вершин. Поэтому совокупности X. соответствует одна вершина в некотором WSk е P(WS) . Таким обра-
зом, ребро г, соединяющее в ЖSk х1 и X^ имеет степень 2, а установка х1 на X^ описывается нормальным стягиванием.
На рис. 3 показана вторичная сеть ЖS редуктора (см. рис.1), а на рис. 4 представлен фрагмент последовательности P(ЖS) нормальных стягиваний этой гиперсети.
18
Рис. 3. Вторичная сеть ЖS редуктора
Рис. 4. Фрагмент последовательности нормальных стягиваний вторичной сети редуктора На рис. 4 черными квадратами изображены составные вершины. Это вершины, состоящие из нескольких простых вершин, которые продуцирует процедура стягиваний вторичной сети. Так, гиперграф ЖS4 получается из вторичной сети ЖS = ЖS() нормальным стягиванием по ребрам {9,10}, {9,19}, {11,12} и {11,12,15}. Нормальные стягивания ребер гиперграфа ЖS4 {2,5}, {2,4}, {4,6}, {6,7}, {8,{9,10,19}}, {{9,10,19},20}, {18,20}, {9,10,19} и {17,20} дает гиперграф ЖS10 и т.д. до реализации всех связей и генерации одновершинного гиперграфа.
Список литературы
1. Айгнер М. Комбинаторная теория. - М.: Мир, 1982. - 558 с.
2. Божко А.Н. Выбор рациональной последовательности сборки изделия// Электронное научно-техническое издание «Наука и образование» - 2010. - №7
3. Божко А. Н., Бетин Е. А. Анализ стягиваемости гиперграфов// Информационные технологии. - 2005. - №5 - с. 6-12.
4. Зыков А.А. Гиперграфы// УМН. - 1974. - т. XXIX, вып. 6. - с. 89-153.
5. Исследования по прикладной теории графов/ Под ред. А.С. Алексеева. - Новосибирск: Наука, 1986. - 169с.
6. Маталин А.А. Технология машиностроения. - М.: Машиностроение, 1985. - 512 с.
7. Сборка и монтаж изделий машиностроения: справочник в 2-х томах / Под ред. В.С. Корсакова, В.К. Замятина. - М.: Машиностроение, 1983. - 480+360 с.
